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第六章　计数原理
要点1　两个计数原理
分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法
分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法
要点2　排列与组合
项目 排列 组合
概念 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
相同点 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
项目 排列数 组合数
符号
公式 ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝，其中n！＝＝ ＝＝ ＝
性质 性质1：＝； 性质2：＝ 性质1：＝； 性质2：＝
要点3　二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝bn，n∈N*，这个公式叫做二项式定理．右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，它共有(n＋1)项
通项公式 展开式中的第k＋1项Tk＋1＝an－kbk
二项式系数 各项的系数(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数
二项式系数的性质 (1)对称性：＝. (2)增减性：当k<时随k的增加而增大；当k>时随k的增加而减小． (3)最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． (4)(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n
第七章　随机变量及其分布
要点1　条件概率与全概率公式
条件概率 的计算公式 P(B|A)＝
乘法 公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．此式称为概率的乘法公式
全概率 公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝
要点2　离散型随机变量的分布列及其数字特征
定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．分布列的另外两种表示方法如下． Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn
性质 (1)pi0，i＝1，2，…，n； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1
均值
方差 D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ 方差公式的变形：D(X)＝E(X2)－(E(X))2
线性关系下的均值与方差 若X与Y都是离散型随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)
要点3　常见分布
1．两点分布
定义 若随机变量X的分布列如下表所示， X01P1－pp
则称随机变量X服从两点分布或0—1分布
均值 E(X)＝p
方差 D(X)＝p(1－p)
2．二项分布
定义 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0记法 X～B(n，p)
均值 E(X)＝np
方差 D(X)＝np(1－p)
3．超几何分布
定义 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，MN，nN，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布
分布列 如果X服从参数为N，n，M的超几何分布，且n－N＋M0，则X能取所有不大于r的自然数，此时X的分布列如下表所示． X01…k…rP……
均值 E(X)＝
4．正态分布
正态 曲线 我们称f (x)＝，x∈R(其中μ∈R，σ>0为参数)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线
图示
特点 由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线有以下特点： (1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (2)曲线在x＝μ处达到峰值； (3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (4)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线与x轴之间的区域的面积为1
正态 分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f (x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布
记法 X～N(μ，σ2)
均值 E(X)＝μ
方差 D(X)＝σ2
值四个概率 如果X～N(μ，σ2)，那么 P(X≤μ)＝P(X≥μ)＝0.5， P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
3σ原则 尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况几乎不可能发生． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则
第八章　成对数据的统计分析
要点1　成对数据的统计相关性及一元线性回归模型
经验回 归方程 经验回归方程的回归系数
经验 回归 方程 的性质 (1)经验回归直线一定过点)； (2)y与x正相关的充要条件是>0，y与x负相关的充要条件是<0； (3)当x增大一个单位时，增大个单位，这就是回归系数的实际意义
样本 相关 系数 公式 统计学里一般用样本相关系数r来衡量y与x的线性相关性强弱
要点2　独立性检验
2×2 列联表 XY合计Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d
χ2统计量 χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d
独立性检 验的步骤 (1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释． (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，利用公式计算χ2的值． (3)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值xα． (4)当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2模块综合测评
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知随机变量X～B(10，0.6)，则D(2X＋1)＝(　　)
A．4.8　　　B．5.8　　　C．9.6　　　D．10.6
C　[∵随机变量X～B(10，0.6)，∴D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，
∴D(2X＋1)＝22D(X)＝4×2.4＝9.6．故选C．]
2．(x2＋2)(x－1)10的展开式中的常数项为(　　)
A．8 B．4
C．3 D．2
D　[(x－1)10的展开式的通项为Tr＋1＝，0≤r≤10，r∈N，令10－r＝0，解得r＝10，故(x2＋2)(x－1)10的展开式中的常数项为×(－1)10＝2，故选D．]
3．为考察某种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：
是否服药 是否患病 合计
患病 未患病
服药 10 45 55
未服药 20 30 50
合计 30 75 105
则下列说法正确的是(　　)
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d．
α 0.05 0.01
xα 3.841 6.635
A．有95%的把握认为药物有效
B．有95%的把握认为药物无效
C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物无效
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效
A　[根据题中列联表，计算得χ2＝≈6.109，由6.109>3.841＝x0.05且6.109<6.635＝x0.01可知，有95%的把握认为药物有效．故选A．]
4．已知盒子中装有形状，大小完全相同的五张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，现每次从中任意取一张，取出后不再放回，若抽取三次，则在前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下，第三张为奇数的概率为(　　)
A．
C　[设“前两张卡片所标数字之和为偶数”为事件A，“第三张为奇数”为事件B，
故所求的概率P(B|A)＝＝＝．故选C．]
5．某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x(单位：万千米)对应维修保养费用y(单位：万元)的四组数据，这四组数据如表：
行驶里程x/万千米 1 2 4 5
维修保养费用y/万元 0.50 0.90 2.30 2.70
若用最小二乘法求得经验回归直线方程为＝0.58x＋，则估计该款汽车行驶里程为6万千米时的维修保养费是(　　)
A．3.34万元 B．3.62万元
C．3.82万元 D．4.02万元
A　[×(1＋2＋4＋5)＝3，×(0.50＋0.90＋2.30＋2.70)＝1.60，
∴样本中心为(3，1.60)，将其代入经验回归方程＝0.58x＋中，有1.60＝0.58×3＋，解得＝－0.14，∴经验回归方程为＝0.58x－0.14，
当x＝6时，＝0.58×6－0.14＝3.34，∴当投入6万元时，销售额的估计值为3.34万元．故选A．]
6．已知某校高三理科学生参加“成都一诊”考试的数学成绩X服从正态分布N(95，σ2)，则下列结论中不正确的是(　　)
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
A．σ越大，学生数学成绩在(90，100)内的概率就越大
B．当σ＝20时，P(75≤X≤135)≈0.818 6
C．无论σ为何值，学生数学成绩大于95的概率为0.5
D．无论σ为何值，学生数学成绩小于75与大于115的概率相等
A　[当σ＝5时，P(90≤X≤100)≈0.682 7，又P(95－σ≤X≤95＋σ)≈0.682 7 为定值，所以σ越大，学生数学成绩在(90，100)内的概率就越小，所以A中结论错误；
当σ＝20时，P(75≤X≤135)＝P(75≤X≤115)＋
≈＝0.818 6，∴B中结论正确；
由正态曲线关于直线x＝95对称可知学生数学成绩大于95的概率为0.5，与σ无关，所以C中结论正确；
由正态曲线关于直线x＝95对称可知学生数学成绩小于75与大于115的概率相等，与σ无关，所以D中结论正确．
故选A．]
7．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为(　　)
A．0.75 B．0.7
C．0.56 D．0.38
A　[设Ai表示第i天甲去A餐厅用餐(i＝1，2)，
设B1表示第一天去B餐厅用餐，则Ω＝A1∪B1，且A1，B1互斥，
由题意得P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.7，P(A2|B1)＝0.8，
∴运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为：
P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.7＋0.5×0.8＝0.75．故选A．]
8．从5名女教师和3名男教师中选出一位主考和两位监考参加某考场的监考工作．要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为(　　)
A．105　　B．210　　C．240　　D．630
B　[分三类：
①选三个女教师，全排列即可，不同的安排方案有＝60(种)；
②选两个女教师，一个男教师，男教师先挑位置，不同的安排方案有＝120(种)；
③选一个女教师，两个男教师，女教师固定，不同的安排方案有＝30(种)．
故不同的安排方案种数为60＋120＋30＝210．]
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知变量x，y之间的经验回归方程为＝－0.7x＋10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是(　　)
x 6 8 10 12
y 6 m 3 2
A．变量x，y之间呈现负相关关系
B．m＝4
C．可以预测，当x＝11时，y约为2.6
D．由表格数据知，该回归直线必过点(9，4)
ACD　[由y＝－0.7x＋10.3得b＝－0.7，故x，y呈负相关关系，故A正确；
∵＝＝9，
＝＝，
∴＝－0.7×9＋10.3，得m＝5，故B错误；
当x＝11时，y的预测值为2.6，故C正确；
∵＝9，
故＝－0.7×9＋10.3＝4，
故回归直线过(9，4)，故D正确．
综上，选ACD．]
10．(2023·江苏模拟)已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则下列说法正确的有(　　)
A．a8＝45
B．a1＋a2＋a3＋…＋a10＝210
C．x8项的系数为45
D．2a1＋22a2＋23a3＋…＋210a10＝－210
CD　[因为(1＋x)10＝(－1－x)10＝[－2＋(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，
因为a8＝·(－2)2＝180，故A错误；
令x＝1，可得a0＝210，令x＝0，可得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1－210，故B错误；
(1＋x)10展开式中含x8项的系数为＝45，故C正确；
令x＝－1，可得a0＋2a1＋22a2＋23a3＋…＋210a10＝0，
所以2a1＋22a2＋23a3＋…＋210a10＝0－a0＝，故D正确．
故选CD．]
11．(2023·辽宁凌源高二开学考)为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则下列结论正确的是(　　)
A．从六门课程中选两门的不同选法共有20种
B．课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种
C．课程“礼”“书”排在相邻两天的不同排法共有240种
D．课程“乐”“射”“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种
BC　[对于A，从六门课程中选两门的不同选法有＝15(种)，A不正确；
对于B，前5天中任取1天排“数”，再排其他五门体验课程共有＝600(种)，B正确；
对于C，“礼”“书”排在相邻两天，可将“礼”“书”视为一个元素，则不同排法共有＝240(种)，C正确；
对于D，先排“礼”“书”“数”，再用插空法排“乐”“射”“御”，则不同排法共有＝144(种)，D不正确．]
12．给出下列命题，其中正确的命题是(　　)
A．设具有相关关系的两个变量x，y的样本相关系数为r，则|r|越接近0，x，y之间的线性相关程度越强
B．随机变量X～N(3，22)，若X＝2Y＋3，则D(Y)＝1
C．随机变量X服从两点分布，若P(X＝0)＝，则D(X)＝
D．某人在10次射击中击中目标的次数为X，若X～B(10，0.8)，则当X＝8时概率最大
BD　[对于A，|r|越接近0，x，y之间的线性相关程度越弱，故A不正确；
对于B，随机变量X～N(3，22)，则E(X)＝3，D(X)＝4，若X＝2Y＋3，则D(X)＝22D(Y)＝4，
所以D(Y)＝1，故B正确；
对于C，随机变量X服从两点分布，
其中P(X＝0)＝，所以P(X＝1)＝，
E(X)＝0×＋1×＝，
D(X)＝＝，故C不正确；
对于D，因为在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B(10，0.8)，所以当X＝k时，对应的概率P(X＝k)＝×0.8k×0.210-k，当k≥1时，＝＝，令＝≥1，
得44－4k≥k，即1≤k≤，因为k∈N*，
所以1≤k≤8且k∈N*，即当k＝8时，概率P(X＝k)最大，故D正确．故选BD．]
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．
13．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满足yi＝xi＋＋ei(i＝1，2，…，n)，且ei＝0，则R2为________．
1　[由ei＝0，知yi＝i，则yi－i＝0，
故R2＝1－＝1－0＝1.]
14．(2023·辽宁锦州高二期中)学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的女教师的人数为X，则P(X≤1)＝________．
　[由题意可得P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，所以P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＝．]
15．将4名大学生分配到3个乡镇，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种．
36　[分两步完成：第一步，将4名大学生按2，1，1分成三组，其分法有种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有种．所以满足条件的分配方案有＝36(种)．]
16．(2023·重庆八中月考)测量某一目标的距离时，所产生的随机误差X服从正态分布N(20，102)，若独立测量三次，则至少有一次测量误差在[0，30]内的概率是________．
附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3，0.181 43≈0.006．
0.994　[由题意可知，μ－2σ＝20－2×10＝0≤X≤30＝20＋10＝μ＋σ，则在一次测量中误差在[0，30]内的概率P＝P(μ－2σ≤X≤μ＋σ)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈×(0.954 5＋0.682 7)＝0.818 6，
测量三次，每次测量误差均不在[0，30]内的概率为＝0.181 43≈0.006，
∴独立测量三次，至少有一次测量误差在[0，30]内的概率约是1－0.006＝0.994．]
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)在考察黄烟经过药物处理和发生青花病的关系时，得到如下数据：在试验的470株黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病．试推断药物处理跟发生青花病是否有关系．
附：χ2独立性检验中常用小概率值和相应的临界值：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
χ2＝，n＝a＋b＋c＋d．
[解]　由已知条件得2×2列联表如下：
青花病 药物 合计
药物处理 未经药物处理
青花病 25 185 210
无青花病 60 200 260
合计 85 385 470
零假设为H0：经过药物处理跟发生青花病无关系．
根据列联表中的数据，可以求得
χ2＝≈9.788>7.879＝x0.005，
根据小概率值α＝0.005的独立性检验，推断H0不成立，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为药物处理跟发生青花病是有关系的．
18．(本小题满分12分)袋中装有4个白棋子，3个黑棋子，从袋中随机地取出棋子，若取到一个白棋子得2分，取到一个黑棋子得1分，现从袋中任取4个棋子．
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6的概率．
[解]　(1)由题意知，设取到的白棋子的个数为Y，则Y的可能取值为1，2，3，4，对应的得分X为5，6，7，8．由Y服从参数为N＝7，M＝4，n＝4的超几何分布及X与Y的对应关系知，
P(X＝5)＝＝；P(X＝6)＝＝；
P(X＝7)＝＝；P(X＝8)＝＝．
故X的分布列为
X 5 6 7 8
P
(2)根据(1)中的分布列，可知得分大于6的概率为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＝．
19．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得
(1)求家庭的月储蓄对月收入x的经验回归方程＝x＋；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
[解]　(1)由题意知n＝10，
＝720－10×82＝80，
∴a＝＝2－0.3×8＝－0.4．
∴所求经验回归方程为y＝0.3x－0.4．
(2)∵＝0.3>0，
∴x与y之间是正相关．
(3)当x＝7时，＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)，
故当该家庭的月收入为7千元时，可预测该家庭的月储蓄为1.7千元．
20．(本小题满分12分)已知(n∈N*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1．
(1)求展开式中各项系数的和；
(2)求展开式中含的项；
(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．
[解]　由题意知，第5项系数为·(－2)4，第3项的系数为·(－2)2，则＝10，
化简得n2－5n－24＝0，
解得n＝8或n＝－3(舍去)．
(1)当x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1．
(2)通项公式Tr＋1＝8-r＝(－2)r，
令，则r＝1．
故展开式中含的项为T2＝．
(3)设展开式中的第r项，第r＋1项，第r＋2项的系数绝对值分别为·2r+1，
若第r＋1项的系数绝对值最大，
则
解得5≤r≤6．
又T6的系数为负，
所以系数最大的项为T7＝1 792x-11．
由n＝8知第5项二项式系数最大，
此时T5＝1 120x-6．
21．(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
[解]　(1)记事件A1为“从甲箱中摸出的1个球是红球”，
事件A2为“从乙箱中摸出的1个球是红球”，
事件B1为“顾客抽奖1次获一等奖”，
事件B2为“顾客抽奖1次获二等奖”，
事件C为“顾客抽奖1次能获奖”．
由题意可知，A1与A2相互独立，A1与A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1＋A2，C＝B1＋B2．
因为P(A1)＝＝，
P(A2)＝＝，
所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝＝，
P(B2)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝P(A1)·P()＋P()P(A2)＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2)＝＝．
故所求概率P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＝．
(2)顾客抽奖3次可视为3重伯努利试验．由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以X～B．
于是P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝．
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
数学期望为E(X)＝3×＝．
22．(本小题满分12分)某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识大赛”，分预赛和复赛两个环节．已知共有8 000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩(百分制)作为样本，得到频率分布直方图，如图所示．
(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人，求恰有1人预赛成绩为优良的概率．
(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛的学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替)，且σ2＝362．利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩高于91分的人数．
(3)预赛成绩高于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n，每一题都需要“花”掉(即减去)一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为0.1k；③每答对一题加1.5分，答错既不加分也不减分；④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩．已知学生甲答对每道题的概率均为0.7，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？
参考数据：≈19；若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997 3．
[解]　(1)由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有(0.012 5＋0.007 5)×20×100＝40(人)，其中成绩优良的人数为0.007 5×20×100＝15．
记C：从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人，恰有1人预赛成绩为优良．则P(C)＝＝．
(2)由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值＝10×0.1＋30×0.2＋50×0.3＋70×0.25＋90×0.15＝53，
则μ＝53．
又σ2＝362，∴σ≈19，
∴P(Z>91)＝P(Z>μ＋2σ)＝[1－P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)]≈0.022 75，
∴估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩高于91分的人数为8 000×0.022 75＝182．
(3)以随机变量ξ表示甲答对的题数，则ξ～B(n，0.7)，且E(ξ)＝0.7n，记甲答完n题后所加的分数为随机变量X，则X＝1.5ξ，∴E(X)＝1.5E(ξ)＝1.05n．
为了获取答n题的资格，甲需要“花”掉的分数为
0.1×(1＋2＋3＋…＋n)＝0.05(n2＋n)．
设甲答完n题的分数为M(n)，则M(n)＝100－0.05(n2＋n)＋1.05n＝－0.05(n－10)2＋105，
由于n∈N*，∴当n＝10时，M(n)取最大值105．
∴若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量n应该是10．第六章　计数原理
要点1　两个计数原理
分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法
分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法
要点2　排列与组合
项目 排列 组合
概念 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
相同点 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
项目 排列数 组合数
符号
公式 ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝，其中n！＝＝ ＝＝ ＝
性质 性质1：＝； 性质2：＝ 性质1：＝； 性质2：＝
要点3　二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝bn，n∈N*，这个公式叫做二项式定理．右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，它共有(n＋1)项
通项公式 展开式中的第k＋1项Tk＋1＝an－kbk
二项式系数 各项的系数(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数
二项式系数的性质 (1)对称性：＝. (2)增减性：当k<时随k的增加而增大；当k>时随k的增加而减小． (3)最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． (4)(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n
第七章　随机变量及其分布
要点1　条件概率与全概率公式
条件概率 的计算公式 P(B|A)＝
乘法 公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．此式称为概率的乘法公式
全概率 公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝
要点2　离散型随机变量的分布列及其数字特征
定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．分布列的另外两种表示方法如下． Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn
性质 (1)pi0，i＝1，2，…，n； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1
均值
方差 D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ 方差公式的变形：D(X)＝E(X2)－(E(X))2
线性关系下的均值与方差 若X与Y都是离散型随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)
要点3　常见分布
1．两点分布
定义 若随机变量X的分布列如下表所示， X01P1－pp
则称随机变量X服从两点分布或0—1分布
均值 E(X)＝p
方差 D(X)＝p(1－p)
2．二项分布
定义 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0记法 X～B(n，p)
均值 E(X)＝np
方差 D(X)＝np(1－p)
3．超几何分布
定义 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，MN，nN，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布
分布列 如果X服从参数为N，n，M的超几何分布，且n－N＋M0，则X能取所有不大于r的自然数，此时X的分布列如下表所示． X01…k…rP……
均值 E(X)＝
4．正态分布
正态 曲线 我们称f (x)＝，x∈R(其中μ∈R，σ>0为参数)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线
图示
特点 由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线有以下特点： (1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (2)曲线在x＝μ处达到峰值； (3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (4)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线与x轴之间的区域的面积为1
正态 分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f (x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布
记法 X～N(μ，σ2)
均值 E(X)＝μ
方差 D(X)＝σ2
值四个概率 如果X～N(μ，σ2)，那么 P(X≤μ)＝P(X≥μ)＝0.5， P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
3σ原则 尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况几乎不可能发生． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则
第八章　成对数据的统计分析
要点1　成对数据的统计相关性及一元线性回归模型
经验回 归方程 经验回归方程的回归系数
经验 回归 方程 的性质 (1)经验回归直线一定过点)； (2)y与x正相关的充要条件是>0，y与x负相关的充要条件是<0； (3)当x增大一个单位时，增大个单位，这就是回归系数的实际意义
样本 相关 系数 公式 统计学里一般用样本相关系数r来衡量y与x的线性相关性强弱
要点2　独立性检验
2×2 列联表 XY合计Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d
χ2统计量 χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d
独立性检 验的步骤 (1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释． (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，利用公式计算χ2的值． (3)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值xα． (4)当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2

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