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18.1 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质（1）
第十八章 平行四边形
这些生活中常见的平行四边形，你有注意到吗？
这些生活中常见的平行四边形，你有注意到吗？
1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2.记作：□ABCD
3.读作：平行四边形ABCD
4.对边、对角、对角线
Ⅱ ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，AD∥BC
5.几何语言：(双重含义)
Ⅰ ∵ AB∥CD，AD∥BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形
例1.如图，DC∥GH∥AB，DA∥EF∥CB，图中的平行四边形有多少个？将它们表示出来.
解：∵DC∥GH∥AB，DA∥EF∥CB，
∴根据平行四边形的定义可以判定图中共有9个平行四边形，即
□ AEKG，□ ABHG，□ AEFD，□ GKFD，□ BEKH，□ CHKF，□ BEFC，□ CDGH，□ ABCD.
【点睛】用定义判定平行四边形，即看四边形两组对边是否分别平行.
根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？
根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等.
已知：四边形ABCD是平行四边形.
求证：AB=CD，BC=DA；∠B=∠D，∠A=∠C.
证明：连接AC
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD∥BC，AB∥CD
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4
又 AC是△ABC和△CDA的公共边
∴ △ABC≌△CDA (ASA)
∴ AB=CD，BC=DA，∠B=∠D
又 ∵∠1=∠2，∠3=∠4
∴ ∠1+∠4=∠2+∠3
即 ∠BAD=∠DCB
已知：四边形ABCD是平行四边形.
求证：AB=CD，BC=DA；∠B=∠D，∠A=∠C.
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD∥BC，AB∥CD
∴ ∠B+∠A=180°，∠B+∠C=180°
∴ ∠A=∠C
同理，∠B=∠D
平行四边形性质定理1：平行四边形的对边平行且相等;
平行四边形性质定理2：平行四边形的对角相等.
例2.如图，在□ ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.
求证：AE=CF.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ ∠A=∠C，AD=CB
∵ DE⊥AB，BF⊥CD
∴ ∠AED=∠CFB=90°
∴ △ADE≌△CBF (AAS)
∴ AE=CF
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AB∥CD
∴∠BAE=∠DCF.
又∵AE=CF，
∴ △ABE≌△CDF.
∴BE=DF.
如图，在□ ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，并且AE=CF，
求证：BE=DF.
例3.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E在边AD上，且BE平分∠ABC，CE⊥BC，求AD的长．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝DC＝2，AD∥BC，∠D＝∠ABC=60°
∵CE⊥BC
∴∠CED＝∠BCE=90°
∴∠DCE＝90°－∠D＝30°
∴DE＝CD=1
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠CBE
例3.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E在边AD上，且BE平分∠ABC，CE⊥BC，求AD的长．
∵AD∥BC
∴∠AEB=∠CBE
∴∠AEB=∠ABE
∴AE＝AB=2．
∴AD＝AE+DE=2+1=3
如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F．求线段的长．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
1.两点间的距离：
------连接两点的线段的长度.
2.点到直线的距离：
------直线外一点到这条直线的垂线段的长度.
由平行四边
如图，a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点.
形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，AB=CD.
也就是说，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离.两条平行线间的距离处处相等.
距离 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离
区别
联系
连接两点的线段的长度
点到直线的垂线段的长度
两条平行线中，从一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度
都是指某一条线段的长度
例4.如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB=4cm，S△ABC=12cm2，求△ABD中AB边上的高．
解：S△ABC =AB BC=×4 ×BC=12cm2，
∴BC=6cm.
∵AB∥CD，
∴点D到AB边的距离等于BC的长度，
∴△ABD中AB边上的高为6cm．
如图，剪两张对边平行的的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形.转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？
解：AD=BC.
理由：两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
1.如图，在△ABC中，D, E, F分别在△ABC的三边上，且DE//BC， DF//AC,
EF//AB,则图中平行四边形有( )
A. 4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.已知□ ABCD的周长为32，AB=6, 则BC等于( )
A.10 B.12 C.24 D.28
3.在□ ABCD中， ∠A:∠B:∠C:∠D的值可以是( )
A.1:2:3:4 B.1:2:2:1 C.1:1:2:2 D. 2:1:2:1
B
A
D
4.如图，在□ ABCD中，AC的垂直平分线交AD于点E，连接CE.若□ ABCD的周长为32，则△CDE的周长为( )
A.8 B.10 C.12 D. 16
5.如图,已知l1// l2, AB//CD, CE⊥l2，FG⊥l2,下列
说法错误的是( )
A.l1与l2之间的距离是线段FG的长度
B.线段CD的长度就是l1与l2两条平行线间的距离
C. AC=BD
D. CE=FG
B
D
6. □ ABCD中，若∠B+∠D=260°，则∠A=______.
7.将□ OABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点.若点A的坐标为(3，0)，点C的坐标为(1，2),则点B的坐标为_________.
50°
(4，2)
8.如图，□ ABCD的周长为20, AE平分∠BAD, CE=2， 则CD的长度为_____.
9.如图，已知直线l1//l2， BC=3cm，S△ABC=3cm2， 则△BCD的边BC上的高是_____cm.
4
2
10.已知□ ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD,垂足为E、F,求证：BE=DF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，AB=CD
∴∠ABD=2∠CDB
∵AE⊥BD, CF⊥BD
∴∠AEB=∠CFD=90°
∴△ABE≌△CDF (AAS)
∴BE=DF
11.已知,如图，在□ ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E, BF平分∠ABC交CD于点F，求证: DF=CE.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB // CD，AD=BC
∴∠BAE=∠DEA，∠ABF=∠CFB
∵AE平分∠BAD,BF平分∠ABC
∴∠BAE=∠DAE，∠ABF=∠CBF
∴∠DEA=∠DAE，∠CFB=∠CBF
∴AD=DE，BC=CF
11.已知,如图，在□ ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E, BF平分∠ABC交CD于点F，求证: DF=CE.
∴DE=CF
∴DE-EF=CF-EF
即DF=CE .
12.如图，在中，，，，垂足分别为点、
(1)求的度数；
（1）解：四边形是平行四边形，
，
,于是由,得,
，，
，
在四边形中，，
；
12.如图，在中，，，，垂足分别为点、
(2)如果BC=6，求线段AF的长．
（2）解：四边形是平行四边形，
，由，得，
在中，，，
，
由勾股定理得，
即得．
平行四边形性质定理1：平行四边形的对边平行且相等;
平行四边形性质定理2：平行四边形的对角相等.
如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离.两条平行线间的距离处处相等.
谢谢
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