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直角三角形在解决有关圆问题中的作用
陕西省高陵县马家湾长庆二中： 杨军强 邮编：710201
【内容提要】在平面解析几何中，有许多与圆有关的问题，如果能够构造直角三角形，巧妙利用直角三角形的有关知识来求解，可化难为易，化繁为简，使冗长的解题过程得到简化 。
【关键词】直角三角形 圆
在平面解析几何中，有许多与圆有关的问题，如果能够构造直角三角形，巧妙利用直角三角形的有关知识来求解，可化难为易，化繁为简，使冗长的解题过程得到简化 .下面通过举例来说明这种思想和方法。
1、 求弦长
求弦长－解决与弦长有关的问题是高考常见问题，可以解方程组先求出直线与圆的交点，再利用两点间的距离公式来求弦长；也可以利用弦长公式l =,结合根与系数关系来求弦长。但这两种方法运算量大，容易出问题，不如构造直角三角形，利用勾股定理来求弦长，用公式l =2来得更为简捷。
例1、如图，直线x+2y=0被圆x2 ＋ y2 － 6x －2y－15＝0所截得的弦长为 .
解：易得圆心C(3，1)到直线
x+2y=0的距离为d==,
AC=R=5,则AM＝=2
所以弦长AB=4.
变式题：求与x轴相切，圆心在直线3x-y = 0上，且被直线x-y=0截锝的弦长为2的圆的方程。
解：设圆心坐标为 C（a,3a）,直线y-x=0与圆相交于A、B两点，则AB=2,经过C做SB的垂线，垂
足为M,这样就构造出了RtCMB，
如图所示。则CB2=CN2=R2=BM2+CM2,
而BM=AB=, CM=代入上式
可以得到a2=1,进而a=,R=3∣a∣=3,
C1(1,3)或C2(-1,-3)，所以所求圆的方程
为：(x-1)2 + (y-3)2 = 9 或 (x+1)2 + (y+3)2 = 9
二、求切线长―求圆的切线长
求圆的切线长也是圆中常见题型，可以用两点距离公式来求，但比较麻烦，不如构造直角三角形来得简单。
例2、已知圆C：(x-1)2 + (y+2)2 = 25际P（7，6），经过电P做圆的一条切线PA，A为切点，求切线长PA.
解：如右图，圆心为C(1,-2)，
半径R=5，连结AC，
则AC⊥AP，在RtPAC中，
则PA2 =PC2- CA2=75, 所以PA=5.
本题若用方程的思想 , 先求A点的
坐标，再利用距离公式来求切线长，运算会相当繁琐。
三、求公切线长
求公切线长－这是圆中比较复杂的一类题目，若方法不当则会陷入计算的泥潭而不能自拔，但结合图形，利用直角三角形求解，则思路清晰明了，运算简捷。
例3、已知两圆圆心坐标分别为C1(-1,2)或C2(2,6)，半径分别为R1=1, R2=2,求两圆的内、外公切线长。
解:1、求外公切线长。如图所示，
构造直角三角形.AB为两圆C1、 C2的
外公切线,A\B为切点,连结AC1,BC2 ,
则AC1⊥AB, BC2⊥AB,经过C1作
EC1⊥C2B.则四边形C1EBA为矩形, 所以
AB=C1E=.
2、求内公切线长。如图所示，构造直角三角形
设MN是两个圆的内公切线,M\N为切点.则
C1M⊥MN,C2N⊥MN,经过C1作MN平行线
与C2N的延长线相交于点F,则C1C2F为
直角三角形, C2F=R1+R2=3.所以MN=C1F
=.
四、求经过圆两个切点的弦的方程－若先求出切点坐标,再经过两点求直线方程,运算量很大.若另辟蹊径,利用直角三角形与圆的关系求解,则能 “化腐朽为神奇”。
例4、已知圆的方程为x2+y2=16,经过点P(6,-8),作圆的两条切线,切点分别为A、B,求直线AB的方程. 如右图.
解:利用直径所对的圆周角是直角来
构造直角三角形,得到经过A、B、P三点的
圆的方程,再和已知圆的方程相减,即可以
得到相交弦的方程来求解。由题目可知，已
知圆的圆心为O(0,0),半径为R=4,设PO的
中点为M ,则M(3,-4),OP=10，显然，OA⊥PA , OB⊥PB, 所以以OP为直径的圆必然经过A、B.
即 ⊙M: (x-3)2 + (y+4)2 = 25 (1)
而已知 ⊙O：x2 + y2 = 16 (2)
(1) - (2) 即可得直线AB的方程：9-6x+16+8y=9 即：3x-4y=0.
五、求两圆的公共弦长。
例5、已知两圆：⊙C1: x2 + y2 +2x - 6y +1= 0 ,
⊙C2 : x2 + y2 +2x - 6y +1= 0 .
求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长。
分析：利用两圆的方程求出公共弦所在的直线
方程，利用点到直线的距离公式、圆内的
直角三角形求解公共弦的长。
解：设两圆的交点为A(x1,y1) ,
B(x2,y2) , 则A、B两点坐标是方程组
x2 + y2 +2x - 6y +1= 0 （1）
x2 + y2 +2x - 6y +1= 0 （2）
的解。（1）－（2）得3x - 4y +6 =0 ,则A、B两点的坐标都满足此方程。即直线3x - 4y +6 =0 经过A、B两点，所以3x - 4y +6 =0就是两圆公共弦所在的直线方程。
根据题目容易知道圆心（-1，3），半径 R1=3; 又C1到直线AB的距离为d = . 所以AB＝2.
即两圆的公共弦长为.
通过以上实例可以看出直角三角形在解决与圆有关的问题中的妙用。构造直角三角形确实可使许多运算繁杂的问题得到简捷解答。希望老师和同学能够对这种思想方法引起足够的重视。
C(3,1)
O
M
B
A
y
x
X+2y=0
外公
切线
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