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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
专题05 几何最值问题-5.2 将军遛马（过桥）模型
将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！
【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
1）将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线m同侧：
图1 图2
（1）如图1，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
（2）如图2，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
2）将军过桥（造桥）模型
【单桥模型】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图2 ）．
问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．
图1 图2 图3
【双桥模型】已知，如图4，将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
图4 图5 图6
考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'．（如图5）
当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置．（如图6）
考向一　将军遛马模型
例1．（2023·陕西·九年级校考期中）某社区广场有一块正方形花园，其中，E是的中点．(1)如图1，经过规划，需要修建两条小道、，M是上一点，社区为节省修建时间和费用，要使得所修建的小道的值最小，试求此时的长和的最小值
(2)如图2，社区广泛收集居民建议，重新设计了方案，修建四条小道、、、，其中M、N均在上，且N在M的右边，，要使得修建的小道的值最小，试求此时的长和的最小值．

【答案】(1)，最小值为(2)，最小值为
【分析】对于（1），作点A关于直线的对称点，可知，要求最小，就是求最小，根据“两点之间线段最短”，可知当点，M，E三点共线时取最小值，即，再根据勾股定理求出答案；对于（2），作点A关于直线的对称点，连接，作，且，连接，再根据勾股定理，求出，可得，然后确定点的位置，再延长交的延长线于点G，根据勾股定理求出，可得的最小值，最后根据相似三角形的性质求出即可．
【详解】（1）如图所示，作点A关于直线的对称点，∴．
要求最小，就是求最小，根据“两点之间线段最短”，可知当点，M，E三点共线时取最小值，即．过点E作，交于点F，根据题意，得，，

根据勾股定理，得，所以的最小值为．
∵，∴∽，∴，即，解得．
当时，的最小值为．
（2）如图所示．作点A关于直线的对称点，连接，作，且，连接，
根据勾股定理，得．∴四边形是平行四边形，∴．
要求最小，就是求最小，根据“两点之间线段最短”，可知点E，，F三点共线时，最小，即．延长交的延长线于点G．根据勾股定理，得，
∴的最小值为．
∵，∴∽，∴，即，解得．
当时，的最小值为．
【点睛】本题主要考查了根据轴对称求线段和最小，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，两点之间线段最短等，勾股定理求线段长的常用方法．
例2．（2022·统考一模）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连接AH，CG．若，，，则的最小值为______．
【答案】
【分析】延长DA到点O，使AO=HE=4，连接OC，可证得四边形AOEH是平行四边形，OE=AH，可得当点E、点G在OC上时，最小，即最小，再根据勾股定理即可求得．
【详解】解：如图：延长DA到点O，使AO=HE=4，连接OE、EG，
，，，又，四边形AOEH是平行四边形，，
当点E、点G在OC上时，最小，即最小，，
，，
，故的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形及正方形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键．
例3．（2023·仁寿县一模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点（点Q在点P的右边）．①若连结AP、PE，则PE＋AP的最小值为______；②连结QE，若PQ＝3，当CQ＝______时，四边形APQE的周长最小．
【答案】 10 ##1
【分析】①延长AB到M，使BM＝AB＝4，则A和M关于BC对称，连接EM，交BC于点P，此时AP＋PE的值最小，过点M作MN⊥DC，交DC的延长线于点N，在Rt△EMN中，根据勾股定理求出EM的长即可解答；②点A向右平移3个单位到点G，点E关于BC的对称点为点F，连接GF，交BC于点Q，此时GQ＋QE的值最小，根据题意可知AE，PQ的值是定值，要使四边形APQE的周长最小，只要GQ＋EQ的值最小即可，然后根据A字模型相似三角形证明△FCQ∽△FDG，利用相似三角形的性质，即可解答．
【详解】解：①延长AB到M，使BM＝AB＝4，则A和M关于BC对称，∴AP＝PM，
连接EM，交BC于点P，此时AP＋PE的值最小，∴AP＋PE＝PM＋EP＝EM，
过点M作MN⊥DC，交DC的延长线于点N，如图：
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠MBC＝∠BCN＝90°，
∵∠MND＝90°，∴四边形BMNC是矩形，∴BM＝CN＝4，BC＝MN＝8，
∵E为CD的中点， ∴EC＝CD＝2，∴EN＝EC＋CN＝6，
∴，∴PE＋AP的最小值为10，故答案为：10；
②点A向右平移3个单位到点G，点E关于BC的对称点为点F，
连接GF，交BC于点Q，∴EQ＝FQ，∴GQ＋EQ＝GQ＋FQ＝FG，此时GQ＋QE的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∵AG＝PQ＝3，∴四边形APQG是平行四边形，
∴AP＝GQ，∴GQ＋EQ＝AP＋EQ＝FG，
∵AE，PQ的值是定值，∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP＋EQ的值最小即可，
设CQ＝x，∵BC∥AD，∴∠BCF＝∠D，∠CQF＝∠DGF，∴△FCQ∽△FDG，
∴，∴，∴x＝，∴当CQ＝时，四边形APQE的周长最小，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称 最短路线问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握轴对称之将军饮马模型想解题的关键．
例4．（2023上·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，正方形内接于⊙O，线段在对角线上运动，若⊙O的周长为，，则周长的最小值是 ．

【答案】/
【分析】过点作，令；可推出四边形为平行四边形，有；根据可知当时，周长有最小值.
【详解】解：过点作，令

∵⊙O的周长为，∴⊙O的半径为∴
∵且∴四边形为平行四边形
∴ 由正方形的对称性可得：∴
∴故：当时，周长有最小值
此时：∴周长的最小值是故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质等．推出当时，周长有最小值是解题关键．
例5．（2023·天津河东·校考模拟预测）如图，在边长为4的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据菱形的性质得到，，得出，根据平移的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值为的最小值，根据平移的性质得到点D′在过点D且平行于AC的定直线上，作点C关于定直线的对称点E，连接交定直线于D′，则的长度即为的最小值，求得，得到，于是得到结论．
【详解】解：在边长为4的菱形中，，∴，，
将沿射线的方向平移得到，∴，，
∵四边形是菱形，∴，，∴，
∴，，∴四边形是平行四边形，∴，
∴的最小值的最小值，∵点在过点且平行于的定直线上，
∴作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，
则的长度即为的最小值，在中，，，
∴，∴，∴，∵，
∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称－最短路线问题，菱形的性质，含30°的直角三角形的性质，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键．
考向二　将军过桥（造桥）模型
例1．（2023.北京西城八年级期中）作图题（不写作法）
（）如图，一个牧童从点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线．
（）如图，直线是一条河，，是两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向，两地供水，要使所需管道的长度最短，在图中标出点．（保留作图过程）
（）如图，在一条河的两岸有，两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段表示．试问：桥建在何处，才能使到的路程最短呢？请在图中画出桥的位置．（保留作图过程）
【答案】作图见解析
【分析】（1）把河岸看做一条直线，利用点到直线的所有连接线段中，垂直线段最短的性质即可解决问题．（2）根据两点之间线段最短解答．（3）先确定AA′=CD，且AA′∥CD，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．
【详解】（）如图，点到直线垂线段最短．
（）如图．
（）如图。
例2．（2022上·湖北襄阳·九年级联考自主招生）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为　　

A． B． C．14 D．12
【答案】C
【分析】延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小．
【详解】解：延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小．

∴四边形是平行四边形，∴，同理：=，
延长交的延长线于点．∴，，
∴，，
在中，，
，
的最小值为14．故选：C．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
例3．（2023·内江·中考模拟）如图，已知直线，、之间的距离为8，点P到直线的距离为6，点Q到直线的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线上有一动点B，满足AB⊥，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= ．
【答案】16
【分析】作PE⊥于E交于F，在PF上截取PC=8，连接QC交于B，作BA⊥于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，由勾股定理可求得DQ的长；易证四边形ABCP是平行四边形，由平行四边形的性质及勾股定理可求得结果．
【详解】作PE⊥于E交于F，在PF上截取PC=8，连接QC交于B，作BA⊥于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．
在Rt△PQD中，∵∠D=，PQ=，PD=18，∴DQ= =，
∵AB=PC=8，ABPC，∴四边形ABCP是平行四边形，∴PA=BC，
又CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC= ==16．故答案为：16．
【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题，平行线的性质，平行四边形判定与性质，勾股定理等知识．
例4．（2023.广东省深圳市八年级期中）如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=4，OC=10，∠A=60°，线段EF垂直平分OD，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E'关于x轴对称，连接BP、E'M，则BP+PM+ME'的长度的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接OP，先确定OD的长和B点坐标，然后证明四边形OPME'是平行四边形，可得OP= E'M，因为PM是定值，推出PB+ME'=OP+PB的值最小时，即当O、P、B共线时BP+PM+M E的长度最小，最后根据两点间的距离公式和线段的和差解答即可．
【详解】解:如图：连接OP
在Rt△ADO中，∠A=60°，AD=4，∴OD=4，∴A（-4，4）
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=OC=10，∴DB=10-4=6，∴B（6，4）
∵线段EF垂直平分OD∴OE=OD=2，∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，
∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=2，
∵OE=OE'∴PM=OE'，PM//OE'，∴四边形OPM E'是平行四边形，∴OP=EM，
∵PM=2是定值，∴PB+ME'=OP+PB的值最小时，BP+PM+M E'的长度最小，
∴当O、P、B共线时，BP+PM+M E'的长度最小
∴BP+PM+M E'的最小值为OB+PM=．故答案为．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、最短路径问题、锐角三角函数等知识，掌握并灵活应用两点之间线段最短是解答本题的关键．
例5．（广东省惠州市2022-2023学年九年级月考）如图，抛物线 ，经过点 ，， 三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；

(2)连接，，N为抛物线上的点且在第一象限，当时，求N点的坐标；
(3)在（2）问的条件下，过点C作直线轴，动点在直线l上，动点 在x轴上，连接 ，，，当m为何值时，的和最小，求出 和的最小值．
【答案】(1)，抛物线的顶点M坐标为 (2)点N坐标为
(3)当时，的最小值为
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）过点A作交抛物线于点N，则有，利用待定系数法分别求直线、的解析式，再联立方程组即可求解；
（3）将顶点向上平移3个单位得到点，连接交x轴于点，连接，则，证明四边形是平行四边形，可得，由图可知，当，，三点共线时，取最小值，利用待定系数法求直线的解析式，可得当 时，，从而求得，即，过点N作轴交延长线于点E，在中，利用勾股定理求得，，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ，，，
∴，解得：，∴，则抛物线的顶点M坐标为 ．
（2）解：设直线解析式，
将点， 代入，得：，解得：，则直线解析式为 ，
过点A作交抛物线于点N，则有，则直线的解析式为，
将点 代入，得：，解得：，∴直线解析式为，
由，解得：或 ，∴点N坐标为．

（3）解：将顶点向上平移3个单位得到点，连接交x轴于点，连接、，则，∵，，∴轴，且，
∴，且，∴四边形是平行四边形，∴，
由作图知当，，三点共线时，取最小值，
设直线的解析式为，
将点，代入，得：，解得：，
∴直线的解析式为，当 时，，∴，即，
此时过点N作轴交延长线于点E，
在中，∵，，∴，∴，
∴当 时，的最小值为．
【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、勾股定理、平行四边形的判定与性质、线段和最值、一次函数与二元一次方程组、一次函数与x轴的交点问题，熟练掌握相关知识，利用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
一、选择题
1．（2023.山东八年级月考）有一条以互相平行的直线为岸的河流，其两侧有村庄和村庄，现在要在河上建一座桥梁（桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称确定最短路线，即可得到答案．
【详解】解：根据轴对称确定最短路线问题，过村庄作河岸的垂线并且等于河的宽度，
然后与村庄连接与河岸相交于一点，过点作与相交于点，
连接，则即为最短路径，
如图 所示，故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，利用的原理为平行四边形的对边相等，难度较大．
2．（2023安徽二模）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且EF＝2，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是（ ）
A．4 B．4+ C．2+2 D．6
【答案】D
【分析】作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，进而得出△AEF周长的最小值即可．
【详解】解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，即△AEF的周长最小．
∵AH＝EF，AH∥EF，∴四边形EFHA是平行四边形，∴EA＝FH，
∵FA＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH，
∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，
在Rt△CAH中，CH＝ ∴AE+AF的最小值4，
∴△AEF的周长的最小值＝4+2＝6，故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质与动点问题最小值，构造辅助线转化相关的线段是解题关键．
3．（2023·重庆九龙坡·统考一模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．则EC+GC的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．2 D．4
【答案】B
【分析】连接AE，作点D关于直线AE的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH．由平移和菱形的性质可证明四边形CDEG为平行四边形，即得出，从而可得出，即CH的长为的最小值．最后根据等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质与勾股定理求出CH的长即可．
【详解】如图，连接AE，作点D关于直线AE的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH．
由平移的性质可知，．∵四边形ABCD为菱形，
∴，，，
∴，，∴四边形CDEG为平行四边形，∴．
由轴对称的性质可知，，，∴，
∴，即CH的长为的最小值．
∵，，∴四边形为平行四边形，∴，
∴，∴，∴为等边三角形，
∴，，∴，∴，
即为顶角是120°，底角为30°的等腰三角形，
结合含30°角的直角三角形和勾股定理即可求．故选B．
【点睛】本题考查平移的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称变换，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，综合性强，为选择题中的压轴题．正确的作出辅助线是解题关键．
4．（2023·安徽合肥·校考三模）在边长为2的正方形中，点E、F是对角线上的两个动点，且始终保持，连接、，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】过点作使，易得四边形为平行四边形，得到，进而得到，得到三点共线时，有最小值即为的长，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：过点作使，则：四边形为平行四边形，

∴，∴，∴当三点共线时，有最小值即为的长，∵四边形为正方形，∴，，，
∴，，∴，即：的最小值为3．故选B．
【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是构造平行四边形，进行线段的转化．
5．（2023年山东中考三模）如图，在菱形中，，在边上有一线段由向运动，点到达点后停止运动，在的左侧，，连接，则周长的最小值为（ ）
A． B． C．7 D．8
【答案】D
【分析】过点作交于点，再作点关于的对称点，连接，连接与交于点，当运动到点时，，，三点共线，此时取最小值，即取最小值，则此时的周长最小．
【详解】解：如图，过点作交于点，则四边形为平行四边形，
，，再作点关于的对称点，连接，则，
连接与交于点，当运动到点时，，，三点共线，此时取最小值，即取最小值，则此时的周长最小．

过点作，过点作交于点，，
，，连接，
，，四边形为矩形， ，，
，周长的最小值，故选：D．
【点睛】本题考查了关于移动线段中三角形周长最小值问题，添加合适的辅助线转化为两点间距离问题是解题关键．
6．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，，把边AB沿对角线BD平移，点，分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点，，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线的对称点的距离为48；③的最大值为15；④的最小值为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据平移的性质和平行四边形的判定方法判断①，再利用等积法得出点C到BD的距离，从而对②做出判断，再根据三角形的三边关系判断③，如图，作关于的对称点，交于 连接，过作于 分别交于 证明 是最小值时的位置，再利用勾股定理求解，对④做出判断．
【详解】解：由平移的性质可得AB//且AB=
∵四边形ABCD为矩形∴AB//CD，AB=CD=15∴//CD且=CD
∴四边形CD为平行四边形，故①正确
在矩形ABCD中，BD===25,过A作AM⊥BD，CN⊥BD，则AM=CN
∴S△ABD=AB·CD= BD·AM∴AM=CN==12∴点C到的距离为24
∴点C到它关于直线的对称点的距离为48∴故②正确
∵∴当在一条直线时最大，此时与D重合
∴的最大值==15∴故③正确，
如图，作关于的对称点，交于 连接，过作于 分别交于 则 为的中位线， ，
由可得，
此时最小，由②同理可得：
设 则
由勾股定理可得：
整理得： 解得：（负根舍去），
∴故④正确故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质以及平移的性质,锐角三角函数的应用等知识点，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
二、填空题
7．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 _____．
【答案】10
【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，证明四边形EFGC是平行四边形，得出CE＝FG，得出当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，根据勾股定理求出AG即可．
【详解】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，
∵，EF＝CG，∴四边形EFGC是平行四边形，
∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，
由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值为10，故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，根据题意作出辅助线，得出当A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，是解题的关键．
8．（2023·广东·九年级期中）如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为 _________________．
【答案】
【分析】在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，根据勾股定理得到AB，作点A关于直线x＝1的对称点A'，得到A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，根据勾股定理求出A'E，即可得解；
【详解】解：如图，在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，
∵B（0，4），A（﹣1，0），∴OB＝4，OA＝1，∴OE＝3，AB＝，
作点A关于直线x＝1的对称点A'，∴A'（3，0），AD＝A'D，
∴AD+DE＝A'D+DE，即A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，
在Rt△A'OE中，由勾股定理得A'E＝，
∴C四边形ABCD最小值＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+A'E＝+1+5＝+6．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题、勾股定理、位置与坐标，准确分析作图计算是解题的关键．
9．（2024·浙江金华·八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B的最小值为 __．
【答案】 平行四边形 2
【分析】（1）利用平移的性质证明即可．（2）如图2中，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．求出BC″，证明A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，可得结论．
【详解】解：（1）如图2中，∵A′D′=BC，A′D′∥BC，
∴四边形A′BCD′是平行四边形，故答案为：平行四边形．
（2）如图2，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴AC=AB=2，
∵BJ⊥AC，∴AJ=JC，∴BJ=AC=，∵∠BJC=∠JCH=∠H=90°，∴四边形BHCJ是矩形，
∵BJ=CJ，∴四边形BHCJ是正方形，∴BH=CH=，在Rt△BHC″中，BH=，HC″=3，
∴，
∵四边形A′BCD′是平行四边形，∴A′B=CD′，∴A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，
∴A′B+BD′≥2，∴A′B+D′B的最小值为2，故答案为：2．
【点睛】本题考查作图-平移变换，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
10．（2023·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）如图，在矩形 ABCD 中，AD=BC=3，∠DBC=60°，将△DAB 沿射线 DB方向平移得到△D’A’B’，连接 CD’和 CB’， 则 CD’+CB’的最小值为 ．
【答案】
【分析】作C点关于BD的对称点C' ，连接 过点作过点C'作，两平行线交于点G，则四边形是平行四边形，当C，G，三点共线时， 的值最小，求出CG的值即可所求．
【详解】解：如图所示：作C点关于BD的对称点，连接
过点作过点C'作，两平行线交于点G，
∴四边形是平行四边形，
∴当三点共线时，的值最小，最小值为CG的长度，
在中，在中，故答案为：
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，通过构造平行四边形边进行转化，再利用将军饮马问题进行求解是解题的关键．
11．（2023·山东潍坊·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，是轴上的一条动线段，且，当取最小值时，点坐标为______.
【答案】
【分析】如图把点A向右平移1个单位得到E（1，1），作点E关于x轴的对称点F（1，-1），连接BF，BF与x轴的交点即为点Q，此时AP+PQ+QB的值最小，求出直线BF的解析式，即可解决问题．
【详解】解：如图把点4向右平移1个单位得到E（1，1），作点E关于x轴的对称点F（1，-1），连接BF，BF与x轴的交点即为点Q，此时4P+PQ+QB的值最小.
设最小BF的解析式为y=kx+b，则有解得
∴直线BF的解析式为y=x-2，令y=0，得到x=2.∴Q（2.0）故答案为（2，0）.
【点睛】本题考查轴对称最短问题、坐标与图形的性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会构建一次函数解决交点问题，属于中考常考题型
12．（2023·四川成都·模拟预测）如图，菱形的边在轴上，顶点坐标为，顶点坐标为，点在轴上，线段轴，且点坐标为，若菱形沿轴左右运动，连接、，则运动过程中，四边形周长的最小值是________．
【答案】13+
【分析】由题意可知AD、EF是定值，要使四边形周长的最小，AE＋DF的和应是最小的，运用“将军饮马”模型，根据点E关于AD的对称点为O，过点A作AF1∥DF，当O，A，F1三点共线时，AE+DF=OA+AF1=OF1，为所求线段和的最小值，再求四边形周长的最小值．
【详解】∵点坐标为，点坐标为，∴OC＝4，OD＝3，
∴在Rt△COD中，CD＝5，∵四边形是菱形，∴AD＝CD＝5，
∵坐标为，点 在轴上，线段轴，∴EF＝8，
连接OA，过点A作AF1∥DF交EF于点F1，
则四边形ADFF1是平行四边形，FF1=AD=5，∴EF1=EF-FF1=3，
∵点E，O关于AD对称，∴OA=AE，
当O，A，F1三点共线时，AE+DF=OA+AF1=OF1，为所求线段和的最小值，
在Rt△OEF1中，OF1＝，∴四边形周长的最小值：
AD＋EF＋AE＋DF＝ AD＋EF＋ OF1＝5＋8＋＝13+．
【点睛】本题考查菱形，勾股定理，平移，轴对称，解决问题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理解直角三角形，平移图形全等性，轴对称性质．
13．（2023·重庆·校考三模）如图，在边长为1的菱形ABCD中，，将沿射线BD的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点C作直线，以直线l为对称轴作点的对称点E，连接CE，，AC，证明，求得，根据三角形三边关系可知当点，C，E共线时，的最小值是．
【详解】如图，过点C作直线，以直线l为对称轴作点的对称点E，连接CE，，AC，
设AC与BD交于点O，与直线l交于点F，则，，，
由，，易得，，
，由平移的性质可知，，
，，，，，
在中，，，，，
在中，由三角形的三边关系可得，
当点，C，E共线时，，即的最小值是，故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，正确的理解题意是解答本题的关键．
14．（2023.广东省深圳市九年级期中）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．
（1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；
（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_____；
【答案】（1）（﹣2，2），（4，2）；（2）（2，）；
【分析】（1）由30°直角三角形的性质求出OD的长，再由平行四边形的性质求出BD的长即可解决问题；（2）首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，因为PM是定值，推出PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小；
【详解】解：（1）如图1中，在Rt△ADO中，∵∠A=60°，∴∠AOD=30°．
∵AD=2，∴OD =2，∴A（﹣2，2），
∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2）；
（2）如图1中，连接OP．∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，
∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=．
∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形，∴OP=EM，
∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小．∵直线OB的解析式为y=x，∴P（2，）．故答案为（2，）．
【点睛】本题考查了四边形综合题、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、最短问题等知识，解题的关键是学会利用两点之间线段最短，解决最短问题．
15．（成都市2022-2023学年八年级期末）如图，在平面直角坐标系中有，两点．将直线：向上平移个单位长度得到直线，点在直线上，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，，，则折线的长的最小值为 ．
【答案】
【分析】先证四边形是平行四边形，可得，则，即当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，将点沿轴向下平移个单位得到，以为斜边，作等腰直角三角形，则点，连接，是等腰直角三角形，，，
将直线：向上平移个单位长度得到直线，，，
，，，
，，，四边形是平行四边形，
，，
当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，
点，点，，
折线的长的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，一次函数的应用，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．
16．（广西2021年中考数学真题）如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为 ．
【答案】．
【分析】先通过平移和轴对称得到当B、E、三点共线时，的值最小，再通过设直线的解析式并将三点坐标代入，当时，求出a的值，最后将四边形周长与时的周长进行比较，确定a的最终取值，即可得到平移后的抛物线的解析式．
【详解】解：∵，，，，
∴，，由平移的性质可知：,
∴四边形的周长为；
要使其周长最小，则应使的值最小；
设抛物线平移了a个单位，当a>0时，抛物线向右平移，当a<0时，抛物线向左平移；
∴，，将向左平移2个单位得到，
则由平移的性质可知：，将关于x轴的对称点记为点E，则，
由轴对称性质可知，∴当B、E、三点共线时，的值最小，
设直线的解析式为：，∴，
当时，∴∴，
将E点坐标代入解析式可得：，解得：，
此时，
此时四边形的周长为；
当时，，，，，此时四边形的周长为：；
∵，∴当时，其周长最小，
所以抛物线向右平移了个单位，所以其解析式为：；故答案为：．
【点睛】本题综合考查了平移、轴对称、一次函数的应用、勾股定理、抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是理解并确定什么情况下该四边形的周长最短，本题所需综合性思维较强，对学生的综合分析和计算能力要求都较高，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等．
三、解答题
17．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在中，，点D，E分别是的中点．若点M，N分别是和上的动点，则的最小值是______．
（2）问题探究：如图②，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，才能使从A到B的路径最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河岸的垂线，使，为河宽，连接，与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A到B的路径最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．（3）问题解决：如图③，在矩形中，．E、F分别在上，且满足，．若边长为10的正方形在线段上运动，连接，当取值最小时，求的长．

【答案】（1）3；（2）小旭的说法正确，理由见解析；（3）38或14
【分析】（1）连接，过点A作于点F，根据两点之间线段最短，可得当时，最短，此时点N与点F重合，即的最小值为的长，再根据直角三角形的性质，即可求解；（2）根据题意可得四边形为平行四边形，从而得到，再根据“两点之间线段最短”，当点，N，B三点共线时，最短，即可求解；
（3）过点N分别作，分别交于点H，G，连接交于点T，过点G作于点X，则，，证明四边形，四边形都是平行四边形， 可得，从而得到当点H，T，G三点共线时，的值最小，此时点N与点T重合，然后证明，可得，可求得的长；过点Q分别作，分别交于点K，L，连接交于点S，当点K，S，L三点共线时，的值最小，此时点N与点S重合，同理可求出的长，即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接，过点A作于点F，∴，

当时，最短，此时点N与点F重合，即的最小值为的长，
∵，∴，∴，
∴的最小值为3；故答案为：3
（2）解：小旭的说法正确，理由如下：根据题意得：，，
∴四边形为平行四边形，∴，
根据“两点之间线段最短”，当点，N，B三点共线时，最短，
∵为河宽，∴在点N处建桥，可使从A到B的路径最短．
（3）如图，过点N分别作，分别交于点H，G，连接交于点T，过点G作于点X，则，，

根据题意得：，，
∴四边形，四边形都是平行四边形，
∴，∴，
即当点H，T，G三点共线时，的值最小，此时点N与点T重合，
∵，∴，，，
∵，∴，∴，∴，解得：，
∴；
如图，过点Q分别作，分别交于点K，L，连接交于点S，当点K，S，L三点共线时，的值最小，此时点N与点S重合，同理；
综上所述，当取值最小时，的长为38或14．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，熟练掌握直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键．
18．（2023.广安九年级月考）如图，抛物线，经过点，，三点．求抛物线的解析式及顶点M的坐标；连接AC、MB，P为线段MB上的一个动点（不与点M、B重合），过点P作x轴的垂线PQ，若OQ=a，四边形ACPQ的面积为s，求a为何值时，面积s最大；点N是抛物线上第四象限的一个定点，坐标为 ，过点C作直线轴，动点在直线l上，动点在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，的和最小，并求出和的最小值．
【答案】（1）；M（1,4）
（2）当，面积最大，最大为.（3）
【分析】（1）抛物线过，，可求得解析式；
（2）将用含的代数式表示，并配方成顶点式求出最大值；
（3）根据选址造桥模型，将顶点向下平移三个单位得，当 在同一条直线上时，取得最小值.
【详解】(1)∵抛物线经过点，，,
∴ 解得 ∴=,顶点M的坐标为（1,4）
（2）连接AC、MB，P为线段MB上的一个动点（不与点M、B重合），过点P作x轴的垂线PQ.设P点的坐标为 ，如图所示.
∵P在直线MB上，，，设直线MB为
解得 直线MB的解析式为，P点坐标为
∵，，， ∴，，
∵
整理
∴即当，面积最大，最大为.
（3）将顶点向下平移三个单位得 ，连接 交轴于点，连接．如图所示，则.∵，∴轴，且
∴，四边形为平行四边形
∴,有图知三点共线时，取最小值.
设直线的解析式为，将点，N
求得直线的解析式为，当时，，即，即，
此时过点作轴交延长线与点，
在中，，，
∴,∴,即,
∴当时，的最小值为.
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，求最大值将函数用顶点式表示，其中第三问根据选址造桥模型确定M对应点的位置，当 在同一条直线上时，取得最小值.进而求解.
19．（2023·陕西咸阳·校考一模）【问题提出】（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，A、B两点的水平距离，点P是直线l上的一个动点，则的最小值是________；
【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值；
【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形的空地，管理人员规划修两条小路和（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在和上分别选取点M、N，沿、和修建地下水管，为了节约成本，要使得线段、与之和最小．
已测出，，，，，管理人员的想法能否实现，若能，请求出的最小值，若不能，请说明理由．

【答案】（1）10；（2）；（3）能实现，最小值为．
【分析】（1）作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于P，则的值最小，且的最小值，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论；（2）如图，作G关于的对称点，在上截取，连接，，，则，根据平行四边形的性质得到，根据三角形的三边关系得到，根据勾股定理即可得到结论；（3）作点P关于、的对称点E、F，连接，分别交、于点O、H，则，，连接，与、的交点即为点M、N的位置，连接，，此时，，的长就是的最小值，过点E作交的延长线于点G，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】.解：（1）如图，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于P，则的值最小，且的最小值，过作于E，则，，

∴，∴即的最小值是10；
（2）如图，作G关于的对称点，在上截取，
连接，，，则，

，，四边形是平行四边形，，
，，，G为的中点，
，，由勾股定理得，
，即的最小值为：；
（3）管理人员的想法能实现，
作点P关于、的对称点E、F，连接，分别交、于点O、H， ，，连接，与、的交点即为点M、N的位置，连接，，此时，，的长就是的最小值，过点E作交的延长线于点G，

，，，，，，
，，，，
，，，
，，，，
，，，.
在中，，的最小值为.
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了轴对称-最短路线问题及矩形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
20．（2023上·重庆万州·九年级校考期中）如图，直线的图象与轴和轴分别交于点和点，的垂直平分线与轴交于点，与交于点，连接．(1)如图1，求的长；(2)如图2，若点是射线上的动点，点和点是轴上的两个动点，且，当的面积为时，求的最小值。
【答案】(1)(2)的最小值为
(3)存在以为顶点的四边形是菱形，所有满足条件的点的坐标为或或
【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点的方法，令，，即可求解；（2）根据题意可求出的面积，再根据的面积为时，可求出点的坐标，根据“造桥求最短路径的方法”即可求解；
【详解】（1）解：∵直线的图象与轴和轴分别交于点和点，
∴令，则；令，则；∴，，∴，
∵是的垂直平分线，∴，设，则，
∴在中，，∴，
解得，，即，∴．
（2）解：已知，，是的垂直平分线，
∴，即，且，∴，
∵，，设所在直线的解析式为，
∴，解得，，∴所在直线的解析式为，
∵点在直线的图象上，∴设，∴，
∴，∴，整理得，，
解得，，，∴，，
∵点是射线上的动点，，∴舍去，∴点的坐标为，
∴当时，如图所示，作点关于轴对称的点，将线段向上平移至点与点重合，即，此时点三点共线，即四边形是平行四边形，则，此时的值最小，
∴，∵，∴，
如上所示，过点作轴于点，过点作轴于点，且，
∴，则，，
∴在中，，则，
∴的值最小为．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握一次函数与坐标轴交点的计算方法，对称最短路径的计算方法，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．
21．（2023·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】
古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营．他总是先去营，再到河边饮马，之后，再巡查营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，连接，则的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线上另取任一点，连结，，，∵直线是点，的对称轴，点，在上，
（1）∴__________，_________，∴____________．在中，∵，∴，即最小．
【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点为与的交点，即，，三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．
【模型应用】（2）如图④，正方形的边长为4，为的中点，是上一动点．求的最小值．
解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点与关于直线对称，连结交于点，则的最小值就是线段的长度，则的最小值是__________．
（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_____．
（4）如图⑥，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，分别连接，，，则的最小值为____________．
【答案】（1），，；（2）；（3）17；（4）
【分析】（1）根据对称性即可求解；
（2）根据正方形的对称性知B关于AC的对称点是D，连接ED，则ED是的最小值；
（3）先将玻璃杯展开，再根据勾股定理求解即可；
（4）分析知：当与垂直时，值最小，再根据特殊角计算长度即可；
【详解】解：（1）根据对称性知：，
故答案为：，，；
（2）根据正方形的对称性知B关于AC的对称点是D，连接ED ∴ED是的最小值
又∵正方形的边长为4，E是AB中点∴ ∴的最小值是；
（3）由图可知：蚂蚁到达蜂的最短路程为 的长度：
∵ ∴
∴
（4）∵在边长为2的菱形ABCD中，，将沿射线的方向平移，得到
∴ 当与垂直时，值最小
∵ ∴四边形是矩形，
∴ ∴
【点睛】本题考查“将军饮马”知识迁移，掌握“将军饮马”所遵循的数学原理，判断出最小是解题关键．
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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
专题05 几何最值问题-5.2 将军遛马（过桥）模型
将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！
【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
1）将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线m同侧：
图1 图2
（1）如图1，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。（2）如图2，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
2）将军过桥（造桥）模型
【单桥模型】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图2 ）．
问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．
图1 图2 图3
【双桥模型】已知，如图4，将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
图4 图5 图6
考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'．（如图5）
当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置．（如图6）
考向一　将军遛马模型
例1．（2023·陕西·九年级校考期中）某社区广场有一块正方形花园，其中，E是的中点．(1)如图1，经过规划，需要修建两条小道、，M是上一点，社区为节省修建时间和费用，要使得所修建的小道的值最小，试求此时的长和的最小值
(2)如图2，社区广泛收集居民建议，重新设计了方案，修建四条小道、、、，其中M、N均在上，且N在M的右边，，要使得修建的小道的值最小，试求此时的长和的最小值．

例2．（2022·统考一模）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连接AH，CG．若，，，则的最小值为______．
例3．（2023·仁寿县一模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点（点Q在点P的右边）．①若连结AP、PE，则PE＋AP的最小值为______；②连结QE，若PQ＝3，当CQ＝______时，四边形APQE的周长最小．
例4．（2023上·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，正方形内接于⊙O，线段在对角线上运动，若⊙O的周长为，，则周长的最小值是 ．

例5．（2023·天津河东·校考模拟预测）如图，在边长为4的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为 ．
考向二　将军过桥（造桥）模型
例1．（2023.北京西城八年级期中）作图题（不写作法）
（）如图，一个牧童从点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线．
（）如图，直线是一条河，，是两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向，两地供水，要使所需管道的长度最短，在图中标出点．（保留作图过程）
（）如图，在一条河的两岸有，两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段表示．试问：桥建在何处，才能使到的路程最短呢？请在图中画出桥的位置．（保留作图过程）
例2．（2022上·湖北襄阳·九年级联考自主招生）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为　　

A． B． C．14 D．12
例3．（2023·内江·中考模拟）如图，已知直线，、之间的距离为8，点P到直线的距离为6，点Q到直线的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线上有一动点B，满足AB⊥，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= ．
例4．（2023.广东省深圳市八年级期中）如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=4，OC=10，∠A=60°，线段EF垂直平分OD，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E'关于x轴对称，连接BP、E'M，则BP+PM+ME'的长度的最小值为 ．
例5．（广东省惠州市2022-2023学年九年级月考）如图，抛物线 ，经过点 ，， 三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；

(2)连接，，N为抛物线上的点且在第一象限，当时，求N点的坐标；
(3)在（2）问的条件下，过点C作直线轴，动点在直线l上，动点 在x轴上，连接 ，，，当m为何值时，的和最小，求出 和的最小值．
一、选择题
1．（2023.山东八年级月考）有一条以互相平行的直线为岸的河流，其两侧有村庄和村庄，现在要在河上建一座桥梁（桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023安徽二模）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且EF＝2，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是（ ）
A．4 B．4+ C．2+2 D．6
3．（2023·重庆九龙坡·统考一模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．则EC+GC的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．2 D．4
4．（2023·安徽合肥·校考三模）在边长为2的正方形中，点E、F是对角线上的两个动点，且始终保持，连接、，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
5．（2023年山东中考三模）如图，在菱形中，，在边上有一线段由向运动，点到达点后停止运动，在的左侧，，连接，则周长的最小值为（ ）
A． B． C．7 D．8
6．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，，把边AB沿对角线BD平移，点，分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点，，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线的对称点的距离为48；③的最大值为15；④的最小值为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 _____．
8．（2023·广东·九年级期中）如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为 _________________．
9．（2024·浙江金华·八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B的最小值为 __．
10．（2023·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）如图，在矩形 ABCD 中，AD=BC=3，∠DBC=60°，将△DAB 沿射线 DB方向平移得到△D’A’B’，连接 CD’和 CB’， 则 CD’+CB’的最小值为 ．
11．（2023·山东潍坊·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，是轴上的一条动线段，且，当取最小值时，点坐标为______.
12．（2023·四川成都·模拟预测）如图，菱形的边在轴上，顶点坐标为，顶点坐标为，点在轴上，线段轴，且点坐标为，若菱形沿轴左右运动，连接、，则运动过程中，四边形周长的最小值是________．
13．（2023·重庆·校考三模）如图，在边长为1的菱形ABCD中，，将沿射线BD的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为 ．
14．（2023.广东省深圳市九年级期中）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．
（1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；
（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_____；
15．（成都市2022-2023学年八年级期末）如图，在平面直角坐标系中有，两点．将直线：向上平移个单位长度得到直线，点在直线上，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，，，则折线的长的最小值为 ．
16．（广西2021年中考数学真题）如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为 ．
三、解答题
17．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在中，，点D，E分别是的中点．若点M，N分别是和上的动点，则的最小值是______．
（2）问题探究：如图②，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，才能使从A到B的路径最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河岸的垂线，使，为河宽，连接，与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A到B的路径最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．（3）问题解决：如图③，在矩形中，．E、F分别在上，且满足，．若边长为10的正方形在线段上运动，连接，当取值最小时，求的长．
18．（2023.广安九年级月考）如图，抛物线，经过点，，三点．求抛物线的解析式及顶点M的坐标；连接AC、MB，P为线段MB上的一个动点（不与点M、B重合），过点P作x轴的垂线PQ，若OQ=a，四边形ACPQ的面积为s，求a为何值时，面积s最大；点N是抛物线上第四象限的一个定点，坐标为 ，过点C作直线轴，动点在直线l上，动点在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，的和最小，并求出和的最小值．
19．（2023·陕西咸阳·校考一模）【问题提出】（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，A、B两点的水平距离，点P是直线l上的一个动点，则的最小值是________；
【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值；
【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形的空地，管理人员规划修两条小路和（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在和上分别选取点M、N，沿、和修建地下水管，为了节约成本，要使得线段、与之和最小．
已测出，，，，，管理人员的想法能否实现，若能，请求出的最小值，若不能，请说明理由．

20．（2023上·重庆万州·九年级校考期中）如图，直线的图象与轴和轴分别交于点和点，的垂直平分线与轴交于点，与交于点，连接．(1)如图1，求的长；(2)如图2，若点是射线上的动点，点和点是轴上的两个动点，且，当的面积为时，求的最小值。
21．（2023·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】
古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营．他总是先去营，再到河边饮马，之后，再巡查营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，连接，则的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线上另取任一点，连结，，，∵直线是点，的对称轴，点，在上，
（1）∴__________，_________，∴____________．在中，∵，∴，即最小．
【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点为与的交点，即，，三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．
【模型应用】（2）如图④，正方形的边长为4，为的中点，是上一动点．求的最小值．
解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点与关于直线对称，连结交于点，则的最小值就是线段的长度，则的最小值是__________．
（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_____．
（4）如图⑥，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，分别连接，，，则的最小值为____________．
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