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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
专题05 几何最值问题-5.3 胡不归模型
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V11），记，即求BC+kAC的最小值.
2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.
3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
考向一　胡不归模型1
例1．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ．
例2．（2023·重庆·九年级期中）如图所示，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为　　
A．4 B．5 C． D．
例3．（2023上·福建福州·九年级校联考期中）已知如图，中直径，，点是射线上的一个动点，连接，则的最小值为 ．
例4．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值是 ．

例5．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知中，，则的最大值为 ．

考向二　胡不归模型2
例1．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．

例2．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________．
例3．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．

例4．（2023.重庆九年级一诊）如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．
（1）求直线BD的解析式；（2）如图②，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣GE的值最小，求出点G的坐标及PG﹣GE的最小值；
一、选择题
1．（2023·山东济南·统考二模）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．（2023·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．2
3．（2023秋·山东日照·九年级校联考期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．4
4．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
5．（2023·山东·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（ ）
A．4 B．2＋2 C．2 D．
6．（2023·河北保定·统考一模）如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点．

（1） °；（2）的最小值为 ．
7．（2023·湖北武汉·一模）如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______．
二、填空题
8．（2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．
9．（2023·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形中，，E是上一个动点，连接，过点C作的垂线l，过点D作交l于点F，过点D作于点G，，点H是中点，连接，则的最小值为 ．
10．（2023·四川眉山·一模）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD．如图所示若，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______．
11．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图，在中，，，.，分别是边，上的动点，且，则的最小值为 ．
12．（2023·四川成都·八年级校考期中）已知在等腰中，，．，连接，在的右侧做等腰，其中，，连接E，则的最小值为 (用含的代数式表示)．

13．（2023·黑龙江绥化·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线、相交于点O，．点E是的中点，若点F是对角线上一点，则的最小值是 ．
14．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上，且，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，点M为线段上一动点，则的最小值为 ．
15．（2023·山东·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___．
16．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．
三、解答题
17．（2023·成都市·九年级课时练习）点E为正方形ABCD的AB边上的一个动点，AB=3，如图1，将正方形ABCD对折，使点A与点B重合，点C与点D重合，折痕为MN．
思考探索(1)如图2，将正方形ABCD展平后沿过点C的直线CE折叠，使点B的对应点B′落在MN上，折痕为EC．①点B'在以点E为圆心，　　　　的长为半径的圆上；②B'M=______；
拓展延伸(2)当AB=3AE时，正方形ABCD沿过点E的直线l（不过点B）折叠后，点B的对应点B'落在正方形ABCD内部或边上，连接AB'．①△ABB'面积的最大值为______；
②点P为AE的中点，点Q在AB'上，连接PQ，若∠AQP=∠AB'E、求B'C+2PQ的最小值．
18．（2023·江苏·中考模拟）如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，，已知，．（Ⅰ）求抛物线的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？
19．（2022·广东广州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
(1)求BD的长；(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．
20．（2020·四川乐山市·中考真题）已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；②连结，求的最小值．
21．（2023·山东济宁·校考模拟预测）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，．
①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．
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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
专题05 几何最值问题-5.3 胡不归模型
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V11），记，即求BC+kAC的最小值.
2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.
3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
考向一　胡不归模型1
例1．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可．
【详解】解：过点P作于点Q，过点C作于点H，
由题意知：平分，∵，，∴，
∴，∴，∴，
∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，
∵，，，∴，∴，
∵，∴，
即最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．
例2．（2023·重庆·九年级期中）如图所示，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为　　
A．4 B．5 C． D．
解：如图，过点作于点，过点作于点，连接交于点．
四边形是菱形，，
，，，
，，，
，，，
，，的最小值为4，故选：．
例3．（2023上·福建福州·九年级校联考期中）已知如图，中直径，，点是射线上的一个动点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】作交于，交于，连接、、，令交于，由可得，由圆周角定理可得，由等边三角形的判定及性质可得是的垂直平分线，从而得到，由含角直角三角形的性质可得，从而得到，当时，此时最小为，最后根据等边三角形的性质及勾股定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，作交于，交于，连接、、，令交于，
，
，，
，，，
，是等边三角形，，，
，，，，
是的垂直平分线，，在中，，，
，，当时，此时最小为，
，，，，故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
例4．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值是 ．

【答案】
【分析】过作，过作．再由得，根据垂线段最短可知，的最小值为，求出即可．
【详解】解：连接，过作，过作，

令，即，解得或1，，，
，，，．
，根据垂线段最短可知，的最小值为，
，，，
的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是将求的最小值转化为求的最小值．属于中考选择题中的压轴题．
例5．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知中，，则的最大值为 ．

【答案】
【分析】过点C作，垂足为D，取，即可说明是等腰直角三角形，求出，进一步求出，继而将转化为，推出点D在以为直径的圆上，从而可知当为等腰直角三角形时，最大，再求解即可．
【详解】解：如图，过点C作，垂足为D，取，
∴是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴，
∴，
∵，而一定，
∴当的面积最大时，最大，∵，∴点D在以为直径的圆上，
∴当D平分时，点D到的距离最大，即高最大，则面积最大，
此时，则为等腰直角三角形，∴，故答案为：．
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是添加辅助线，将最值转化为的长．
考向二　胡不归模型2
例1．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．

【答案】/
【分析】在线段下方作，过点作于点，连接，求出此时的长度便可．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，∴，
在线段下方作，过点作于点，连接，

∴，∴，
当、、三点共线时，的值最小，
此时，∴，∴，，
∴，∴的最小值为：，
∴的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了长方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短性质，关键是作辅助线构造的最小值．
例2．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________．
【答案】0
【分析】作于，可得出，从而得的最小值，将变形为，进一步得出结果．
【详解】解：如图，作于，
∵四边形是正方形，，，的最小值为0，
∵，∴的最小值为0，故答案为：0．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形等知识，解题关键是作辅助线转化线段．
例3．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．

【答案】
【分析】作出点，作于点D，交x轴于点F，此时的最小值为的长，利用解直角三角形求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作轴于点G，此时的最小值是的长，据此求解即可．
【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴，，
作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3个单位得到，
作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形，
此时，，∴有最小值，作轴于点P，

则，，∵，∴，∴，
∴，即，∴，则，设直线的解析式为，
则，解得，∴直线的解析式为，
联立，，解得，即；过点D作轴于点G，
直线与x轴的交点为，则，
∴，∴，
∴，
即的最小值是，故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
例4．（2023.重庆九年级一诊）如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．
（1）求直线BD的解析式；（2）如图②，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣GE的值最小，求出点G的坐标及PG﹣GE的最小值；
【答案】（1）y＝x+1；（2）点G（，），最小值为；
【分析】（1）令-x2+x+4=0，可求出点A和点B的坐标，令x=0，可求出点C的坐标，再根据点D时AC的中点，可求出点D的坐标，利用待定系数法求直线解析式即可．（2）求三角形的面积最值可以转化为求线段长度的最大值，利用点坐标表示线段长度，配方求最值，求PG-GE的最小值，可将不共线的线段转换为共线的线段长度．
【详解】解：（1）令﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴B（﹣2，0），A（4，0），
令x＝0，y＝4，∴C（0，4），∵D为AC的中点，∴D（2，2），
设直线BD的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入点B和点D，
，解得，∴直线BD的解析式为y＝x+1．
（2）如图所示，过点P作y轴的平行线，交BE交于点H，
设点P的坐标为（t，﹣t2+t+4），则点H为（t， t+1），
∴PH＝﹣t2+t+4﹣（t+1）＝﹣（t﹣）2+，
当t＝时，PH最大，此时点P为（，），当PH最大时，△PDF的面积也最大．
∵直线BD的解析式为y＝x+1，令x＝0，y＝1，∴点F（0，1），
在Rt△BFO中，根据勾股定理，BF＝，∴sin∠FBO＝
过点E作x轴的平行线与过点G作y轴的平行线交于点M，
∴∠MEG＝∠FBO，∴MG＝EG sin∠MEG＝EG，∴PG﹣GE＝PG﹣MG，
当P、M、G三点共线时，PG﹣MG＝PM，否则都大于PM，
∴当P、M、G三点共线时，PG﹣MG最小，此时点G与点H重合，
令﹣x2+x+4＝x+1，解得x1＝3，x2＝﹣2，∴点E（3，），
∴PM＝﹣＝，∴点G（，），∴点G（，），PG﹣GE的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数求最值问题，线段的和差求最值问题，找等腰三角形的分类讨论，综合性较强．
一、选择题
1．（2023·山东济南·统考二模）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在中利用三角函数即可解得MH．
【详解】解：过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，
∵菱形中，，∴，为等边三角形，
∴，，∴在中，，∴，
∴此时得到最小值，，
∵，，∴，又∵，∴,故选：B.
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键．
2．（2023·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】C
【分析】如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，先求出点D的坐标，然后证明△BAO≌△PAD得到∠PDA=∠BOA=90°，则点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，当点P运动到y轴时，如图2所示，证明此时点P的坐标为（0，-2）从而求出直线PD的解析式；如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，设直线PD与x轴的交点为H，先求出点H的坐标，然后证明∠HCO=30°，从而得到，则当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，再根据轴对称的性质求出点G在x轴上，则OG即为所求．
【详解】解：如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，
∵点A的坐标为（0，2），∴OA=OD=2，∴OE=AE=1，∴，∴点D的坐标为；
∵△ABP是等边三角形，△AOD是等边三角形，∴AB=AP，∠BAP=60°，AO=AD，∠OAD=60°，
∴∠BAP+∠PAO=∠DAO+∠PAO，即∠BAO=∠PAD，∴△BAO≌△PAD（SAS），∴∠PDA=∠BOA=90°，
∴点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，
当点P运动到y轴时，如图2所示，此时点P与点C重合，
∵△ABP是等边三角形，BO⊥AP，∴AO=PO=2，
∴此时点P的坐标为（0，-2），设直线PD的解析式为，
∴，∴，∴直线PD的解析式为；
如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，连接CG，设直线PD与x轴的交点为H，
∴点H的坐标为，∴，∴∠OCH=30°，∴，由轴对称的性质可知AP=GP，∴，
∴当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，
∵A、G两点关于直线PD对称，且∠ADC=90°，∴AD=GD，即点D为AG的中点，
∵点A的坐标为（0，2），点D的坐标为，∴AG=2AD=2OA=4，
∵AC=4，∠CAG=60°，∴△ACG是等边三角形，
∵OC=OA，∴OG⊥AC，即点G在x轴上，∴由勾股定理得，
∴当点P运动到H点时，有最小值，即有最小值，最小值即为OG的长，
∴的最小值为，故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，解直角三角形等等，正确作出辅助线确定点P的运动轨迹是解题的关键．
3．（2023秋·山东日照·九年级校联考期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．4
【答案】B
【分析】直接利用已知得出，再将原式变形，进而得出最小值，进而得出答案．
【详解】解：过点A作，过点D作于点M，交于点P，
∵在矩形中，，， ∴，
∴， 则，∴，
∴， ．
即的最小值为6．故选B．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键．
4．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】连接AC，作，证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG，再利用勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．
【详解】解：连接AC，作
∵是正方形且边长为4，∴，，，
∵，∴，∴，
∴当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG，
∵，，∴，∵，∴，
设，则，∴，解得：，
设，则，∵，∴，解得：
∴，故选：D
【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG．
5．（2023·山东·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（ ）
A．4 B．2＋2 C．2 D．
【答案】A
【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），∴c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，
设，则,∵，∴，∴，∴，
∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，
∵，∴，∴DP+PJ的最小值为，∴的最小值为4．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
6．（2023·河北保定·统考一模）如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点．

（1） °；（2）的最小值为 ．
【答案】 2
【分析】（1）由矩形的性质得到，又由得到是等边三角形，则，即可得到答案；（2）过点P作于点E，过点M作于点F，证明，进一求解即可得到答案．
【详解】解：（1）∵四边形是矩形，∴，
∵，∴，∴是等边三角形，∴，
∴，故答案为：．
（2）过点P作于点E，过点M作于点F，

在中，由（1）知：，∴，∴，
在矩形中，，∵，∴，
在中，，∴，∴的最小值为2，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了矩形的性质、含的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质、含的直角三角形的性质是解题的关键．
7．（2023·湖北武汉·一模）如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，可将转化为，此时就等于，当共线时，即为所要求的最小值．
【详解】解：如图所示，过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，
，，， ，
，，，，
当，，三点共线，即在图中在位置，在位置的时候有最小，
当，，三点共线时，有最小值，此时，
的最小值为，故答案为．
【点睛】本题考查了最值问题中的胡不归问题，解题的关键是在于将进行转换．
二、填空题
8．（2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．
【答案】6
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝AC，则，即当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴点A（3，0），点，∴AO＝3，，∴，
作点B关于OA的对称点，连接 ，，过点C作CH⊥AB于H，如图所示：
∴，∴，∴，∴是等边三角形，
∵，∴，∵CH⊥AB，∴，
∴，
∴当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，
此时，，是等边三角形，∴，，
∴，∴2BC＋AC的最小值为6．故答案为：6．
【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键．
9．（2023·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形中，，E是上一个动点，连接，过点C作的垂线l，过点D作交l于点F，过点D作于点G，，点H是中点，连接，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】证明，得出，再证，求出，所以，即，可得．作的垂直平分线，交的延长线于点T，连接，过点E作于点Q，求出，所以．求的最小值，即为求的最小值，过点H作于点J，即为所求最小值．设，根据勾股定理可得出，所以，由，可求得的长度．
【详解】解：在矩形中，，∴，
∵于点C，∴，∴．
∴．同理可证，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵于点G，∴，
∵，∴，∴，即，
∵，∴，∴，∴．
如图，作的垂直平分线，交的延长线于点T，连接，过点E作于点Q，
∴，∴，即．
∴．∴，∴求的最小值，即为求的最小值，
过点H作于点J，HJ即为所求最小值．设，则，
在中，由勾股定理可知，，解得，∴．
如图，连接，，∵点H是的中点，∴，
∵，∴，
即，解得．故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积等相关知识，根据题意作出辅助线，将所求目标转化为求垂线段的长度是解题关键．
10．（2023·四川眉山·一模）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD．如图所示若，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______．
【答案】
【分析】先证明四边形ABCD是菱形，过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，可得，，然后根据勾股定理可得，则，进而求出，要使的值最小，则需要满足为最小，即为最小，
当B、P、M在同一直线上时，为最小，过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，进而求解即可．
【详解】两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，
即，四边形ABCD是平行四边形，
，，四边形ABCD是菱形，
过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，如图，
，，
，，，
，，
，过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，如图，
，要使的值最小，则需要满足为最小，即为最小，
当B、P、M在同一直线上时，为最小，如图，
，，
的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了三角函数、菱形的性质与判定及含30°直角三角形的性质，解题的关键是利用“胡不归”原理找到最小值的情况，然后根据三角函数及菱形的性质进行求解即可．
11．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图，在中，，，.，分别是边，上的动点，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】作，连接，过B点作的延长线与G点．根据相似三角形的性质可得，因此，根据两点之间线段最短可知当B、E、F三点共线时，，此时的值最小，为BF．再证四边形是矩形，由矩形的性质可知，，在中根据勾股定理可求出的长，即可知的最小值．
【详解】如图，作，连接，过B点作的延长线与G点，
，且，，
，．
，∴当B、E、F三点共线时，，此时的值最小，为．
，．又，，∴四边形是矩形，
，，，
．故答案为：
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识，构造相似三角形是解题的关键．
12．（2023·四川成都·八年级校考期中）已知在等腰中，，．，连接，在的右侧做等腰，其中，，连接E，则的最小值为 (用含的代数式表示)．

【答案】
【分析】过点作交延长线于，过点作于，作的垂直平分线交于，连接，利用证明，可得，进而可得，则由含度角的直角三角形的性质得到，，故当、、三点共线时，为最小值，当、、三点共线时，，即，可得，再运用解直角三角形即可求得答案．
【详解】解：如图，过点作交延长线于，过点作于，作的垂直平分线交于，连接，
，，，，，，
，，
，，，
在中，，，，，
，当、、三点共线时，为最小值，
当、、三点共线时，，，
，与重合，，，
，，，
是等腰三角形，，
的垂直平分线交于，，，
，在中，，
即的最小值故答案为：．
【点睛】本题字要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾服定理，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
13．（2023·黑龙江绥化·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线、相交于点O，．点E是的中点，若点F是对角线上一点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】过点F作于点G，证明为等边三角形，推出，则，，进而得出，当点E、F、G在同一条直线上时，取最小值，证明，根据相似三角形对应边成比例，即可求解．
【详解】解：过点F作于点G，如图，
∵四边形为矩形，∴，，∵，∴为等边三角形，
∴，，∴，．
∵，∴，，∴，
当点E、F、G在同一条直线上时，取最小值，
∵点E是的中点，∴，则，
∵，∴，∴，∴，解得：，
综上：的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，找出．
14．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上，且，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，点M为线段上一动点，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】作于H，作于L，首先利用勾股定理得的长，再根据，求出的长，再利用，得，则当E、M、L三点共线时，最小，最小值为的长，进而解决问题．
【详解】解：如图，作于H，作于L，
在矩形中，，，，， ，
∵沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，∴，，∴，
又∵，∴，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴当E、M、L三点共线时，最小，最小值为的长，
∴，∴的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，垂线段最短等知识，熟练掌握最短路径的计算方法是解题的关键．
15．（2023·山东·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___．
【答案】4
【详解】思路引领：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PDPB，当C，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．
答案详解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，
令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，∴A（0，﹣3），B（3，0），∴AO＝BO＝3，
又∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，
∴△BDP是等腰直角三角形，∴PDPB，∴PC+PB（PCPB）（PC+PD），
当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，
此时，△ACD是等腰直角三角形，又∵点C（0，1）在y轴上，∴AC＝1+3＝4，
∴CDAC＝2，即PC+PD的最小值为，∴PC+PB的最小值为4，故答案为：4．
16．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．
【答案】
【分析】过点P作PQ⊥AD于点Q，由于∠PDQ=60°，因此，由此可知当B、P、Q三点共线时有最小值，然后利用解直角三角形的知识进行求解即可.
【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°，
∴PQ=PD sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ，
∴当点B、P、Q三点共线时有最小值，
∴的最小值为，故答案为：3.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，线段之和最短问题，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.
三、解答题
17．（2023·成都市·九年级课时练习）点E为正方形ABCD的AB边上的一个动点，AB=3，如图1，将正方形ABCD对折，使点A与点B重合，点C与点D重合，折痕为MN．
思考探索(1)如图2，将正方形ABCD展平后沿过点C的直线CE折叠，使点B的对应点B′落在MN上，折痕为EC．①点B'在以点E为圆心，　　　　的长为半径的圆上；②B'M=______；
拓展延伸(2)当AB=3AE时，正方形ABCD沿过点E的直线l（不过点B）折叠后，点B的对应点B'落在正方形ABCD内部或边上，连接AB'．①△ABB'面积的最大值为______；
②点P为AE的中点，点Q在AB'上，连接PQ，若∠AQP=∠AB'E、求B'C+2PQ的最小值．
【答案】(1)①BE；②(2)①3；②B'C+2PQ的最小值为．
【分析】（1）①由折叠的性质知，点B'在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上，②由折叠的性质得出BE=BE′，BC=B′C，MA=MB=NC=ND=AB=，∠B=∠EB′C，进而求解；
（2）①△ABB'面积的最大时，只要AB边上的高最大即可，故当B′E⊥AB时，△ABB'面积的最大，进而求解；②证明PQ是△AEB′的中位线，故E、B′、C三点共线时，B'C+2PQ取得最小值为CE，即可求解．
（1）解：由折叠的性质知，BE=B′E，BC=B′C，MA=MB=NC=ND=AB=，∠B=∠EB′C，
①由题意得，点B'在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上；
②MB′=MN-NB′=MN-；故答案为：①BE；②；
（2）解：①∵AB=3AE=3，∴AE=1，BE=2，
∵点B'在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上，如图1，
∴△ABB'面积的最大时，只要AB边上的高最大即可，∴当B′E⊥AB时，△ABB'面积的最大，
∴△ABB'面积=×AB×B′E=×3×2=3，故答案为：3；
②∵∠AQP=∠AB'E，∴PQ∥B′E，∵P是AE的中点，∴PQ是△AEB′的中位线，如图2，
∴PQ=B′E，即B'C+2PQ=B′C+B′E，∴E、B′、C三点共线时，B'C+2PQ取得最小值为CE，
则CE=，即B'C+2PQ的最小值为．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，等边三角形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
18．（2023·江苏·中考模拟）如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，，已知，．（Ⅰ）求抛物线的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？
解：（Ⅰ）把，代入，得
，解得：．抛物线的解析式为
联立，解得：或，点的坐标为．
如图1．，，，，，，
，是直角三角形，，；
（Ⅱ）方法一：（1）存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似．
过点作轴于，则．
设点的横坐标为，由在轴右侧可得，则．
，，．
若点在点的下方，①如图2①，当时，则．
，，
，．．
则．把代入，得
，整理得：解得：（舍去），（舍去）．
②如图2②，当时，则．
同理可得：，则，
把代入，得，
整理得：解得：（舍去），，，；
若点在点的上方，①当时，则，同理可得：点的坐标为．
②当时，则．同理可得：点的坐标为，．
综上所述：满足条件的点的坐标为、，、，；
方法二：作的“外接矩形” ，易证，，
以，，为顶点的三角形与相似，或，
设，，，
①，，，，
②，，，（舍，
满足题意的点的坐标为、，、，；
（2）方法一：过点作轴于，如图3．
在中，，即，
点在整个运动中所用的时间为．
作点关于的对称点，连接，
则有，，，
，．根据两点之间线段最短可得：
当、、三点共线时，最小．
此时，，四边形是矩形，
，．对于，
当时，有，解得：，．，，
，，点的坐标为．
方法二：作点关于的对称点，交于点，显然，
作轴，垂足为，交直线于点，如图4，
在中，，即，
当、、三点共线时，最小，
，，，，，
，，，，，，
为的中点，，，．
方法三：如图，5，过作射线轴，过作射线轴，与交于点．
，，．，，，
，．．
当且仅当时，取得最小值，
点在整个运动中用时最少为：，
抛物线的解析式为，且，可求得点坐标为
则点横坐标为2，将代入，得．所以．
19．（2022·广东广州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
(1)求BD的长；(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)；(2)①四边形ABEF的面积为；②最小值为12
【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，可得BO= ，即可求解；
（2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， 根据菱形的面积可求出MN=，设BE=，则EN=，从而得到EM=MN-EN=，再由BE=DF，可得DF=，从而得到四边形ABEF的面积s= S△ABD - S△DEF ，①当CE⊥AB时，可得点E是△ABC重心，从而得到BE=CE=BO=，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；再由，可得当，即BE=时， s达到最小值，从而得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，即可求解．
【详解】（1）解∶连接AC，设AC与BD的交点为O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，
∵∠BAD = 120°，∴∠CAB=60°，∴△ABC是等边三角形，
∴BO=AB sin60°==，∴BD=2BO=；
（2）解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，
∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=6，由（1）得：BD=；
菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，∴MN⊥BC，
∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠EBN=30°；∴EN=BE
∵，∴MN=，设BE=，则EN=，∴EM=MN-EN=，
∵S菱形ABCD= AD MN=，∴S△ABD= S菱形ABCD=，
∵BE=DF，∴DF=，∴S△DEF=DF EM= =，
记四边形ABEF的面积为s，∴s= S△ABD - S△DEF =-（），
∵点E在BD上，且不在端点，∴0①当CE⊥AB时，∵OB⊥AC，∴点E是△ABC重心，∴BE=CE=BO=，
此时 =，∴当CE⊥AB时，四边形ABEF的面积为；
②作CH⊥AD于H，如图，∵CO⊥BD，CH⊥AD，而点E和F分别在BD和AD上，
∴当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；
在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，
∵∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AH=DH=3，∴CH=，
∵，∴当，即BE=时， s达到最小值，
∵BE=DF，∴DF=3，此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，
∴当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，
∴CE+CF的值达到最小，其最小值为CO+CH==12．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识是解题的关键．
20．（2020·四川乐山市·中考真题）已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；②连结，求的最小值．
【答案】（1）；（2）①；②．
【分析】（1）先函数图象与x轴交点求出D点坐标，再由求出C点坐标，用待定系数法设交点式，将C点坐标代入即可求解；（2）①先求出BC的解析式，设E坐标为，则F点坐标为，进而用t表示出的面积，由二次函数性质即可求出最大值；
②过点作于，由可得，由此可知当BPH三点共线时的值最小，即过点作于点，
线段的长就是的最小值，根据面积法求高即可．
【详解】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：，
∵是抛物线的对称轴，∴，又∵，∴，即，代入抛物线的解析式，得，解得 ，
∴二次函数的解析式为 或；
（2）①设直线的解析式为 ，∴ 解得
即直线的解析式为 ，设E坐标为，则F点坐标为，∴，
∴的面积 ∴，
∴当时，的面积最大，且最大值为；
②如图，连接，根据图形的对称性可知 ，，∴，
过点作于，则在中，，
∴，再过点作于点，则，
∴线段的长就是的最小值，∵，
又∵，∴，即，∴的最小值为．
【点睛】此题主要考查了二次函数的综合题型，其中涉及了待定系数法求解析式和三角形的面积最大值求法、线段和的最值问题．解（1）关键是利用三角函数求出C点坐标，解（2）关键是由点E、F坐标表示线段EF长，从而得到三角形面积的函数解析式，解（3）的难点是将的最小值转化为点B到AC的距离．
21．（2023·山东济宁·校考模拟预测）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，．
①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．
【答案】（1）证明见解析；（2）① ；②和 走完全程所需时间为 ．
【分析】（1）利用四边相等的四边形是菱形进行证明即可；（2）①构造直角三角形求即可；
②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间．
【详解】（1） 四边形 是矩形， ，
与 交于点O,且 关于 对称，
，， 四边形 是菱形；
（2）①连接 ,直线 分别交 于点 ,交 于点 ，
关于 的对称图形为 ， ，
在矩形 中， 为 的中点，且O为AC的中点，
为 的中位线 ， ，同理可得： 为 的中点， ，
， ；
②过点P作 交 于点 ， 由 运动到 所需的时间为3s，
由①可得，，
点Q以 的速度从P到A所需的时间等于以 从M运动到A，
即：， 由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.
如下图，当P运动到 ,即 时，所用时间最短.，
在 中，设， ，
，解得： ， ，和 走完全程所需时间为．
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