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2024山东中考数学一轮复习
第四章 三角形
第四节 直角三角形
理考点·练基础
聚焦山东·精练考向
&1& 直角三角形（5年8考）
性质 （1）直角三角形的两个锐角①______；
（2）直角三角形斜边上的中线等于②____________；
（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等
于③____________；
（4）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于④____________，如两
直角边分别为 ， ，斜边为 ，则有
__________________________
互余
斜边的一半
斜边的一半
斜边的平方
判定 （1）有一个角为直角的三角形是直角三角形；
（2）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于
⑤______________，那么这个三角形是直角三角形；
（3）有两个角⑥______的三角形是直角三角形
面积 （ ， 分别为两个直角边的长， 为斜边的长， 为斜边
上的高）
第三边的平方
互余
续表
1.（鲁教七上P9习题 变式）下列线段不能组成直角三角形的是( )
D
A.3，4，5 B.6，8，10 C.5，12，13 D.9，15，17
2.在 中， ， ，则 ____ .
3.已知 中， ， ， ，则 ___，
______.
30
3
4.如图，在 中， ， 是 的中线，
，则 的长为___.
6
&2& 等腰直角三角形（5年11考）
性质 （1）具有直角三角形的所有性质；
（2）两直角边相等，即 ；
（3）两锐角相等且都等于①____
___________________________
判定 （1）顶角为②______的等腰三角形是等腰直角三角形；
（2）有两个角为③____的三角形是等腰直角三角形；
（3）有一个角为 的④______三角形是等腰直角三角形；
（4）⑤__________相等的直角三角形是等腰直角三角形
面积 （ 为直角边的长， 为斜边的长， 为斜
边 上的高）
直角
直角
两直角边
续表
5.如图，把一块含有 角的直角三角板的两个顶点放在直尺的
对边上.如果 ，那么 的度数是( )
C
A. B. C. D.
6. 中， ， ， ，则 的面积为_______
____.
&3& 直角三角形的判定与计算（5年8考）
1.（2021滨州2题3分）在 中，若 ， ， ，则点
到直线 的距离为( )
D
A.3 B.4 C.5 D.2.4
2.（2019滨州10题3分）满足下列条件时， 不是直角三角形的为( )
C
A. ， ， B.
C. D.
3.（2021临沂9题3分）如图，点 ， 都在格点上（网格长为
1），若 ，则 的长为( )
B
A. B. C. D.
4.（2021烟台12题3分）由12个有公共顶点 的直角三角形拼
成的图形如图所示， .若
，则 的长为( )
A
A. B. C. D.
第5题图
5.（2020淄博12题4分）如图，在 中， ， 分别是
， 边上的中线，且 ，垂足为点 ，设 ，
， ，则下列关系式中成立的是( )
A
A. B.
C. D.
第6题图
6.（2021菏泽11题3分）如图,在 中， , ,
分别为 , 的中点, ,过点 作 ,交 的延长
线于点 ,则四边形 的面积为_____.
7.（2019聊城16题3分）如图，在 中，
， ， 为 的中位线，延长
至 ，使 ，连接 并延长交 于点 .若
，则 的周长为_ ___.
&4& 等腰直角三角形的判定与计算（5年11考）
8.新情境 （2020威海9题3分）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具.用七巧板能拼出
许多有趣的图案.小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制
成一副七巧板（如图②）.已知 ，则图中阴影部分的面积为( )
图①
图②
C
A. B. C. D.
9.（2019聊城11题3分）如图,在等腰直角三角形 中, ,一个三角尺
的直角顶点与 边的中点 重合,且两条直角边分别经过点 和点 ,将三角尺绕
点 按顺时针方向旋转任意一个锐角,当三角尺的两直角边与 , 分别交于点
, 时，下列结论中错误的是( )
C
A. B.
C. D.
10.（2019枣庄17题4分）把两个同样大小含 角的三角尺按
如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三
角尺的直角顶点重合于点 ，且另外三个锐角顶点 ， ，
在同一直线上.若 ，则 _________.
11.（2019威海17题3分）如图，在四边形 中，
，连接 ， .若 ， ，
，则 _____ .
105
第四章 三角形
第四节 直角三角形
一层 稳拿基础分
二层 抢拿进阶分
三层 冲刺满分题
第1题图
1.（2022岳阳）如图，已知 ， 于点 ，若
，则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
第2题图
2.（2023泰安东平一模）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电
梯示意图.其中 ， 分别表示一楼、二楼地面的水平线，
， 的长是 ，则乘电梯从点 到点 上升
的高度 是( )
A
A. B. C. D.
第3题图
3.（2023株洲）一技术人员用刻度尺（单位： ）测量某
三角形部件的尺寸.如图所示，已知 ，点 为
边 的中点，点 ， 对应的刻度为1，7，则 ( )
A. B. C. D.
B
第4题图
4.（2022陕西）如图，是一个棱长为1的正方体纸盒.若一只蚂蚁要沿
着正方体纸盒的表面，从顶点 爬到顶点 去觅食，则需要爬行的最
短路程是( )
C
A. B.2 C. D.3
第5题图
5.传统文化 （2022泰州）如图所示的象棋盘中，各个小正方形
的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马
走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为_ ___.
第6题图
6.如图，某港口 位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离
开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12
海里和16海里，1小时后两船分别位于点 ， 处，且相距20海
里，如果知道甲船沿北偏西 方向航行，则乙船沿_________
____方向航行.
北偏东
第7题图
7.（2023泰安新泰一模）如图，在 中，
， 为中线，延长 至点 ，使 ，连
接 ， 为 中点，连接 .若 ， ，则 的
长为____.
2.5
第8题图
8.（2023荆州）如图， 为 斜边 上的中线，
为 的中点.若 ， ，则 ___.
3
9.（2022金华）如图，在 中， ， ， .
把 沿 方向平移 ，得到 ，连接 ，则四边形 的周
长为__________ .
10.（2022杭州）如图,在 中, ,点 为边
的中点,点 在线段 上, 于点 ,连接 , .已知
, .
（1）求证: ;
解:证明: ,点 为边 的中点，
,
，
.
，
, .
（2）若 ,求线段 的长.
[答案] , .
, ，
.
第11题图
11.（2022大连）如图,在 中, .分别以点 和
点 为圆心,大于 的长为半径作弧，两弧相交于 , 两点，
作直线 .直线 与 相交于点 ,连接 ,若 ,则
的长是( )
C
A.6 B.3 C.1.5 D.1
第12题图
12.（2023临沂河东区一模）如图， 中， ，若
于点 ， 于点 ， ， 分别为 ， 的中
点，若 ，则 的长为( )
A
A. B.9 C.10 D.无法确定
13.（2023随州）如图，在 中， ，
， ， 为 上一点，若 是 的平分
线，则 ___.
5
14.若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程 的两个
实数根，则这个直角三角形斜边的长是_ ____.
第15题图
15.数学文化 （2023扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创
制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的
直角三角形和一个小正方形组成.如图，直角三角形的直角边长为
， ，斜边长为 ，若 ， ，则每个直角三角形的
面积为____.
96
第16题图
16.如图，在 中， ， ， .
若 ， 是 边上的两个动点，以 为边的等边 的顶
点 在 内部或边上，则等边 的周长的最大值为
_ ____.
第17题图
17.如图， 于点 ， 于点 ，点 是 中
点，若 ， ， ，则 的长是____.
12
第18题图
18.（2023广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为 ，底面周长为
，在杯内壁离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁
正好在杯外壁上，它在离杯上沿 ，且与蜂蜜相对的点 处，则蚂
蚁从外壁 处到内壁 处所走的最短路程为____ .（杯壁厚度不计）
10
19.活动探究:我们知道,已知两边和其中一边的对角对应相等的两个
三角形不一定全等.如已知 中, , , 所对
的边为 ,满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的
C
A. B. C. 或 D. 或
是一个直角三角形）,则满足已知条件的三角形的第三边长为( )
20.（2022武汉）如图,在 中， , ,
分别以 的三边为边向外作三个正方形 , , ,
连接 .过点 作 的垂线 ,垂足为 ,分别交 , 于点 , .
若 , ,则四边形 的面积是____.
80

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