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2024山东中考数学一轮复习
第四章 三角形
第三节 等腰三角形
理考点·练基础
讲重难·提能力
聚焦山东·精练考向
&1& 等腰三角形的性质与判定（5年24考）
性质 （1）等腰三角形的两个底角①______（简述“等边对等角”）；
（2）三线合一：等腰三角形②______________，③______________，
④______________互相重合；
（3）是轴对称图形，有⑤___条对称轴（不含等边三角形），即⑥_______
___
_____________________________
相等
顶角的平分线
底边上的高线
底边上的中线
1
直线
判定 （1）有⑦____________的三角形是等腰三角形（定义）；
（2）有⑧____________的三角形是等腰三角形（简述“等角对等边”）
面积 ⑨_ ____（其中 是底边长， 是底边上的高）
两条边相等
两个角相等
续表
1.（北师八下P4习题 变式）如图， 中， ， 是 边上的中
线，若 ，则 ____ .
35
2.在 中， ，当 _ ___时， 是等腰三角形.
&2& 等边三角形的性质与判定（5年17考）
性质 （1）具备等腰三角形的所有性质；
（2）三边相等；
（3）等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于①____；
（4）是轴对称图形，有②___条对称轴
________________________________
3
判定 （1）三边都相等的三角形是等边三角形（定义）；
（2）③________都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角等于④_ ___的等腰三角形是等边三角形
面积 （ 是三角形任意一边的长， 是任意一边上的高）
三个角
续表
3.在 中， ，且 ，则 的长度为_ _____.
4.如图，在等边 中， ， ，则 的长为_ ______.
与等腰三角形有关的计算与证明
例1 多维设问如图，在 中， ，点 为 上一点.
（1）若 ，则 ____ ， ____ ；
56
68
（2）若 的一个角为 ，则另外两个角为____________
____________；
， 或 ，
（3）若一边长为3，一边长为4，则 的周长为________；
（4）若 ， ，点 为 的中点，则 ___， ___，
的面积为____；
（5）若 ， ，则 ___， 的面积为_ ___；
（6）若 ， ，则 _ ___.
10或11
3
4
12
3
图1
例2 多维设问 如图1，在 中， 平分 ， 平
分 ，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 .
（1）试找出图中的等腰三角形，并说明理由；
解： 和 是等腰三角形.理由如下：
平分 ， .
， ，
， ，
是等腰三角形.同理， 是等腰三角形.
（2）若 ， ，求 的长；
解：由（1）可知， ， .
， ， ， ， .
（3）若 ， ，求 的周长；
解： ， ， 的周长 .
， ， 的周长 .
图2
（4）若将原题中平行线 的方向改变，如图2， ，
， ，你能得出什么结论呢？
解： ， ， 平分 ， 平分
，
和 是等腰三角形， ， .
， 的周长
，
即 的周长等于 的长度.
&3& 等腰三角形的判定与计算（5年24考）
第1题图
1.创设应用场景 （2022淄博5题5分）某城市几条道路的位置关
系如图所示，道路 ，道路 与 的夹角
.城市规划部门想新修一条道路 ，要求
，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
第2题图
2.（2022滨州14题2分）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，
其中 ，立柱 ，且顶角 ，
则 的大小为_ ___.
3.（2019东营14题3分）已知等腰三角形的底角是 ，腰长为 ，则它的周长
是_________.
4.（2021淄博19题8分）如图，在 中， 的平分线
交 于点 ，过点 作 交 于点 .
（1）求证： ；
解：证明： 在 中， 的平分线交 于点 ，
.
， ，
， .
（2）若 ， ，求 的度数.
[答案] ， ， .
的平分线交 于点 ，
，
由（1）知 ，
故 的度数为 .
5.（2023烟台23题11分）如图，点 为线段 上一点，分别以 ， 为等腰三
角形的底边，在 的同侧作等腰 和等腰 ，且 .在线段
上取一点 ，使 ，连接 ， .
（1）如图1，求证： ；
图1
解：证明： ， 分别是以 ， 为底边的等腰三角形，
， ， .
， ，
， .
, .
在 和 中,
，
.
（2）如图2，若 ， 的延长线恰好经过 的中点 ，求 的长.
图2
图2
[答案] 如图2，作 ，交 于点 .
， .
, ， ， .
设 ，则 .
， .
由（1）知 ， ，
，
，即 ，
解得 或 （舍去），
的长为 .
&4& 等边三角形的判定与计算（5年17考）
6.（2023滨州8题3分）已知点 是等边 的边 上的一点，若
，则在以线段 ， ， 为边的三角形中，最小内角的大小为
( )
B
A. B. C. D.
第四章 三角形
第三节 等腰三角形
一层 稳拿基础分
二层 抢拿进阶分
三层 冲刺满分题
第1题图
1.（2023眉山）如图， 中， ， ，则
的度数为( )
C
A. B. C. D.
第2题图
2.（2022梧州）如图,在 中, , 是 的角平分线,
过点 分别作 , ,垂足分别是点 , ,则下列结论错误
的是( )
C
A. B. C. D.
第3题图
3.（2022鞍山）如图，直线 ，等边三角形 的顶点 在直
线 上， ，则 的度数为( )
A
A. B. C. D.
4.（2022绵阳）下列关于等边三角形的描述不正确的是( )
C
A.是轴对称图形
B.对称轴的交点是其重心
C.是中心对称图形
D.绕重心顺时针旋转 能与自身重合
第5题图
5.（2022淮安）如图，在 中， ， 的平分线交 于点 ，
为 的中点，若 ，则 的长是( )
A.8 B.6 C.5 D.4
C
6.方程思想 （2022自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多 ，则
这个底角的度数是( )
B
A. B. C. D.
第7题图
7.（2023江西）将含 角的直角三角板和直尺按如图所示的方
式放置，已知 ，点 ， 表示的刻度分别为 ，
，则线段 的长为___ .
2
第8题图
8.转化思想 （2023济南长清区模拟）如图， 中，
， ，垂足为点 .若 ，则图中阴影部
分的面积为___.
6
第9题图
9.（2023枣庄滕州一模）如图， 中， ，以点 为
圆心， 的长为半径画弧交 于点 ， ，再分别以点 与点
为圆心，大于 长的一半为半径画弧，两弧交于点 ，连接
交 于点 ，若 ，则 是_ ___.
第10题图
10.如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标
为 ，在 轴上取一点 使 为等腰三角形，符合条件的
点 有___个.
4
11.（2023荆州）如图， 是等边 的中线，以 为圆心，
的长为半径画弧，交 的延长线于点 ，连接 .求证：
.
证明： 是等边 的中线，
， ，
.
，
.
，
，
.
第12题图
12.易错题 （2023河北）四边形 的边长如图所示，对角线
的长度随四边形形状的改变而变化.当 为等腰三角形时，对角
线 的长为( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
第13题图
13.（2022鸡西）如图， 中， ， 平分 与
相交于点 ，点 是 的中点，点 是 的中点，连接
交 于点 .若 的面积是24， ，则 的长是 ( )
A
A.2.5 B.2 C.3.5 D.3
14.易错题 （2022苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三
角形叫做“倍长三角形”.若等腰 是“倍长三角形”，底边 的长为3，则腰
的长为___.
6
15.分类讨论思想 （2023济南莱芜区模拟）在等腰 中， ，中线
将这个三角形的周长分为18和21两个部分，则这个等腰三角形的腰长为________.
16.（2023青岛市南区模拟）若等腰三角形一腰上的高为 ，且与底边的夹角
为 ，则这个等腰三角形的面积为_ _________.
12或14
第17题图
17.（2023德州德城区模拟）如图，已知 ， 平分
，且 于点 ，则 ____ .
12
第18题图
18.（2023凉山州）如图，边长为2的等边 的两个顶点 ，
分别在两条射线 ， 上滑动，若 ，则 的最
大值是_ ______.
19.（2023烟台一模）如图， 中， ，
，以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ，
连接 ，过点 作平行于 的直线与过点 作平行于 的
直线交于点 ，连接 ，求 的度数.
解： ， ， ，
.
，
.
，
， .
，
，
即 ，
，
，
， ，
.
又 ，
，
.
20.转化思想 （2022张家界）如图，点 是等边三角形 内一
点， ， ， ，则 与 的面积之
和为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，
则 ， ， ， 是等
边三角形， ，
， ， ，
与 的面积之和为 .
21.（2022济宁曲阜一模）如图，在四边形 中， ，
， ，点 为 边上一点，连接 ， ，
与 交于点 ，且 ，若 ， ，则 的
长为_ ____.
[解析] 如图，连接 交 于点 .
， ， ， 垂直平分 ，
是等边三角形， ，
， ，
， ， ，
， 是等边三角形，
， ， ，
， .

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