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2024山东中考数学一轮复习
第四章 三角形
第六节 图形的相似（含位似）
理考点·练基础
讲重难·提能力
聚焦山东·精练考向
&1& 比例线段（5年7考）
1.比例的性质
基本 性质 如果 ，那么 ;如果 ，那么 ①__
等比 性质 如果 （ ， ， ， 且 ），那
么
合比 性质 如果 ，那么 ;如果 ，那么
2.平行线分线段成比例
基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
如图,当 时，有 , 等
___________________________________________________
推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.
如图，当 时，有 , 等
________________________
续表
3.黄金分割：如图 ,点 把线段 分成两条线段 和 ,且 ,
那么线段 被点 黄金分割,点 叫作线段 的②____________, 与 的比叫
作黄金比 .
黄金分割点
1.若 ，则下列比例式成立的是( )
A
A. B. C. D.
2.若 ，则 的值是( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
3.（青岛八上P96练习T2变式）已知： ，则 __.
4.（人教九下P31练习T1变式）如图，已知直线 ，
直线 ， 与直线 ， ， 分别交于点 ， ， ， ，
， ， ， ， ，则 ____.
4.5
&3& 相似三角形的性质及判定定理（5年38考）
性质 （1）相似三角形的对应角①______，对应边②________；
（2）相似三角形对应线段（中线、高、角平分线）的比都等于
③________；
（3）相似三角形周长的比等于④________，面积的比等于⑤___________
___
判定 定理 （1）⑥______分别相等的两个三角形相似；
（2）两边成比例且⑦______相等的两个三角形相似；
（3）三边⑧________的两个三角形相似；
（4）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所
构成的三角形与原三角形相似
相等
成比例
相似比
相似比
相似比的平方
两角
夹角
成比例
判定 思路 有平行截线——用平行线的性质,找等角
找另一对等角
找该角的两边对应成比例
找夹角相等
找第三边也对应成比例
找一对直角
续表
有一对等角
有两边对应成比例
5.（鲁教八下P119习题 变式）已知两个相似三角形的相似比为 ，则这两个
三角形的对应高的比为_ ____.
6.（青岛九上P21习题T10变式）如图， ， 是 边上的两
个点，要使 ，添加一个条件是_________________
_______________________（只写一个）.
（或 或 ）
&4& 相似多边形的性质及判定
性质 （1）对应角①______，对应边②________；
（2）对应边的比、周长的比都等于③________，面积的比等于④______
________
判定 对应角⑤______，对应边⑥________的多边形是相似多边形
相等
成比例
相似比
相似比的平方
相等
成比例
7.一个五边形的边长分别是2，3，4，5，6，另一个和它相似的五边形的最短边长
为6，则这个五边形的最长边长为____.
18
&5& 相似三角形的实际应用（5年5考）
步骤 （1）将实际问题转化为相似三角形问题；
（2）找出一对相似三角形；
（3）根据相似三角形的性质，表示出相应的量，并求解
常考 类型 （1）利用光的反射定律求物体的高度；
（2）利用影子计算建筑物的高度（同一时刻，物高与影长成正比例，
有： ）；
（3）构造相似三角形计算不能直接测量的物体的高度（宽度）
8.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆 测量建筑物的高度，已知标杆 高
，测得 ， ，则建筑物 的高是____ .
15
&6& 图形的位似（5年5考）
定义 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一
点，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心
性质 （1）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，
面积比等于①______________；
（2）位似图形对应点的连线或延长线②______________；
（3）位似图形对应边③________________且成比例；
（4）位似图形对应角④______
相似比的平方
相交于同一点
平行（或共线）
相等
位似变 换与坐 标的关 系 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似
的图形，使它与原图形的相似比为 ，那么与原图形上点 对应的位
似图形上点的坐标为⑤_ ____________________
或
续表
9.下列各组图形中不是位似图形的是( )
D
A.&7& B.&8& C.&9& D.&10&
10.在平面直角坐标系中，已知点 ， ，以原点 为位似中心，
把 放大为原来的2倍，则点 的对应点 的坐标是_ _______________.
或
相似三角形的判定
例 多维设问在 中，点 ， 分别是边 ， 上的动点，
连接 ， 交于点 ，连接 .
（1）添加一个条件________________________，使
，判定依据是______________________________
________________________________________________________；
（答案不唯一）
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
（2）添加一个条件_____________________________，使 ，判定
依据是______________________________；
（答案不唯一）
两角分别相等的两个三角形相似
（3）添加一个条件_______________________，使 ，判定依据是_
________________________________________________________________________
______________；
（答案不唯一）
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
（4）添加一个条件_______________________，使 ，判定依据是
______________________________________；
（5）若 ， ， ，当 _ ______时， 与 相似.
（答案不唯一）
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
3或
&11& 平行线分线段成比例（5年7考）
第1题图
1.（2022临沂10题3分）如图，在 中， ， ，若
，则 ( )
C
A. B. C. D.
变式1-1图
判断成比例线段（2022东营7题3分）如图，点 为
边 上任一点， 交 于点 ，连接 ， 相交
于点 ，则下列等式中不成立的是( )
C
A. B. C. D.
第2题图
2.（2021淄博8题5分）如图， ， 相交于点 ，且
，点 ， ， 在同一条直线上.已知 ，
， ，则 ， ， 之间满足的数量关系式是( )
C
A. B. C. D.
&13& 相似三角形的性质与判定（5年38考）
第3题图
3.（2019淄博8题4分）如图，在 中， ，
， 为 边上的一点，且 .若
的面积为 ，则 的面积为( )
C
A. B. C. D.
4.（2022济南11题3分）如图，在矩形 中， 为对角线，
点 关于 的对称点为点 ，连接 ， ， 交 于
点 ，过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，
垂足为 ，若 ， ，则 的值为( )
B
A. B. C. D.
5.数学文化（2021烟台14题3分）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部
分深度的方法.如图所示，在井口 处立一根垂直于井口的木杆 ，从木杆的顶端
观察井水水岸 ，视线 与井口的直径 交于点 ，如果测得 米，
米， 米，那么 为___米.
3
第6题图
6.（2020威海17题3分）如图，点 在 的内部，
， 与 互补.若 ， ，则
_ ___.
第7题图
7.（2022东营17题4分）如图，在 中，点 ， 在 上，
点 ， 分别在 ， 上，四边形 是矩形，
， 是 的高， ， ，那么
的长为_ __.
8.（2022菏泽17题6分）如图，在 中，
， 是边 上一点，且 ，过点 作
的垂线，交 的延长线于点 ，求证：
.
证明： ，
.
，
.
，
，
.
9.（2022泰安23题节选8分）如图，矩形 中，点 在
上， ， 与 相交于点 ， 与 相交于点 .
（1）若 平分 ，求证： ；
解：证明：如图，在矩形 中， ，
，
， . ，
， .
又 平分 ，
， ，
， .
（2）找出图中与 相似的三角形，并说明理由.
[答案] 与 相似的三角形有 ， .理由如下： ， ，
.
， ， .
又 ， .
&14& 图形的位似（5年5考）
10.（2022东营9题3分）如图， 中， ， 两个顶点
在 轴的上方，点 的坐标是 ，以点 为位似中心，
在 轴的下方作 的位似图形 ，并把
的边长放大到原来的2倍，设点 的横坐标是 ，则点 的
对应点 的横坐标是( )
A
A. B. C. D.
11.规律探究题（2023烟台10题3分）如图，在直角坐
标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，
以点 为位似中心作正方形 ，正方形
， ，按此规律作下去，所作正方形的顶
点均在格点上，其中正方形 的顶点坐标分别
为 ，
， ， ，则顶点 的
坐标为( )
A
A. B. C. D.
12.（2019烟台15题3分）如图，在直角坐标系中，每个小
正方形的边长均为1个单位长度， 的顶点坐标分别
为 ， ， ， 的顶点
坐标分别为 ， ， ，
与 是以点 为位似中心的位似图形，则 点的
坐标为_ ________.
13.（2020德州15题4分）在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，以原点 为
位似中心，把线段 放大为原来的2倍，点 的对应点为 .若点 恰在某一反比
例函数图象上，则该反比例函数解析式为_ _______.
14.数学文化（2022潍坊15题3分）《墨子·天文志》记载：“执规
矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形
的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位
似图形 ，若 ，则四边形 的外接
圆的周长为_ _____.
第四章 三角形
第六节 图形的相似（含位似）
一层 稳拿基础分
二层 抢拿进阶分
三层 冲刺满分题
第1题图
1.跨学科·音乐 如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线
组成的,同一条直线上的三个点 , , 都在横线上.若线段
,则线段 的长是( )
C
A. B.1 C. D.2
2.（2023重庆A卷）若两个相似三角形周长的比为 ，则这两个三角形对应边
的比是( )
B
A. B. C. D.
第3题图
3.如图，在 中， ， ， ，则
的值是( )
B
A. B. C. D.
第4题图
4.（2023浙江）如图，在直角坐标系中， 的三个顶点分别
为 ， ， ，现以原点 为位似中心，在第一
象限内作与 的位似比为2的位似图形 ，则顶点
的坐标是( )
C
A. B. C. D.
第5题图
5.综合实践 （2023南充）如图，数学活动课上，为测量学校
旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退
（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子
中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为 ，同时
B
A. B. C. D.
6.（2022北京）如图，在矩形 中，若 ， ，
，则 的长为___.
1
量得小菲与镜子的水平距离为 ，镜子与旗杆的水平距离为 ，则旗杆高度
为( )
7.跨学科·音乐 （2023达州）如图，乐器上的一根弦 ，两个端点 ，
固定在乐器面板上，支撑点 是靠近点 的黄金分割点，支撑点 是靠近点 的黄
金分割点，则支撑点 ， 之间的距离为______________ .（结果保留根号）
8.开放题 如图，在 与 中，点 ， 分别在边 ， 上，且
，若__________________，则 .
请从① ；② ；③ 这3个选项中选择一个作为条
件（写序号），并加以证明.
③（答案不唯一）
证明： ，
，
.
又 ，
.
9.如图，四边形 为菱形，点 在 的延长线上，
.
（1）求证： ；
解：证明： 四边形 为菱形，
.
，
.
又 ，
.
（2）当 ， 时，求 的长.
[答案] ，
.
， ，
，
.
10.（2022徐州）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则
阴影部分的面积为( )
C
A.5 B.6 C. D.
11.数学文化 西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两
边放置成如图2的位置，从矩的一端 （人眼）望点 ，使视线通过点 ，记人站
立的位置为点 ，量出 长，即可算得物高 .令 ， ，
若 ， ， ，则 关于 的函数表达式为( )
图1
图2
B
A. B. C. D.
12.（2023内江）如图，在 中，点 ， 为边 的三等分
点，点 ， 在边 上， ，点 为 与 的交
点.若 ，则 的长为( )
C
A.1 B. C.2 D.3
13.（2023丽水）小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程.
14.（2023广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，
它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为
____.
15
15.（2022烟台节选）
图1
【问题呈现】 如图1， 和 都是等边三角形，连接 ，
.求证： .
证明： 和 都是等边三角形，
， ， ，
，
即 ，
，
.
图2
【类比探究】 如图2， 和 都是等腰直角三角形，
.连接 ， .请直接写出 的值.
解： .
图3
【拓展提升】 如图3， 和 都是直角三角形，
，且 .连接 ， .求 的值.
解： ， ，
，
， ，
,
即 ，
， .
[解析] ， ，
，
， ，
,
即 ，
， .
[解析] 和 都是等腰直角三角形， ，
， ，即
， ， .
第16题图
16.（2022绍兴）将一张以 为边的矩形纸片,先沿一条直线剪掉一
个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角
形（剪掉的两个直角三角形相似）,剩下的是如图所示的四边形纸片
,其中 , , , , ,则剪掉的
两个直角三角形的斜边长不可能是( )
A
A. B. C.10 D.
[解析] 如图1，由已知可得， ，则 .设
， ，则 ，解得
， ，故
选项B，D不符合题意；
图1
如图2，由已知可得， ，则 .设 ，
，则 ，解得 ，
，故选项C不符合题意；如图3，此时两个直角三角
形的斜边长分别为6和7.
图2
图3
第17题图
17.（2022绥化）如图，在矩形 中， 是边 上的一个动
点，连接 ， ，过点 作射线，交线段 的延长线于点 ，
交边 于点 ，且使得 ，如果 ，
， ， ，其中 .则下列结论中，
正确的个数为( )
C
（1） 与 的关系式为 ；
（2）当 时， ；
（3）当 时， .
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
[解析] 过点 作 于点 ，如图，则四边形 是矩
形， ， ，
，
， ， ， ，
， ， （1）正确；当 时，
， ， .又
， ， （2）正确；由（2）知，当
时， ， ，
， ， ，
.由（1）知， ， ，
. ， ， ，解得
， ， （3）错误.

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