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2024山东中考数学一轮复习
第四章 三角形
第七节 锐角三角函数及其应用
理考点·练基础
聚焦山东·精练考向
&1& 锐角三角函数的定义（5年9考）
如图，在 中， ， 为 的一个锐角，
则有：
的正弦： ①__;
的余弦： ②__;
的正切： ③__.
1.（北师九下P6随堂练习T1变式）在 中， ， ，
，则 _ _； _____； ____.
&2& 特殊角的三角函数值
三角函数
①_ __ ②_ __
③_ __ ④_ _
⑤___
1
2.计算： _ __.
3.若 ，则锐角 的大小为____.
&3& 直角三角形的边角关系（5年8考）
1.三角关系： ①____ .
90
2.三边关系： .
3.边角关系： ; ②_____; ③__ .
4. 中 ，在五个量 ， ， ， ， 中，知道两个（其中
含一边），即可根据三边关系、三角关系或边角关系公式求解出其他三个量.
4.在 中， ， ， ，则 的长度为( )
B
A.8 B.10 C.12 D.14
5.在 中， ， ， ，那么 ____度.
60
&4& 锐角三角函数的实际应用（5年53考）
仰角、俯角 在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫
①______，视线在水平线下方的角叫②______
__________________________________________
仰角
俯角
坡度（坡 比）、坡角 坡面的铅直高度 和水平宽度 的比叫坡度（坡比），用字母 表
示；坡面与水平线的夹角 叫坡角， ③_ _
________________________________
续表
方向角 点 位于点 的北偏东 方向，点 位于点 的南偏东
方向，点 位于点 的北偏西 方向（或西北方向）
____________________________________
续表
6.如图，某地修建高速公路，要从 地向 地修一座隧道（
， 在同一水平面上），某工程师乘坐热气球从 地出发，
垂直上升 到达 处，在 处观察 地的俯角为 ，
则 ， 两地之间的距离为_ ______ .
&5& 用计算器求锐角三角函数值（5年3考）
示例 按键顺序
求 的值
求 的值
求 的值
已知 ,求 的度数
已知 ,求 的度数
已知 ,求 的度数
7.已知 ，运用科学计算器求锐角 时（在开机状态下），按下的第
一个键是( )
D
A.&6& B.&7& C.&8& D.&9&
&10& 锐角三角函数的概念及相关计算（5年12考）
1.（2021威海3题3分）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算 ，按
键顺序正确的是( )
D
A.&11& B.&12&
C.&13& D.&14&
先确定计算方式再按键 （2021东营5题3分）如图，
在 中， ， ， ，若用科学计
算器求 的长，则下列按键顺序正确的是( )
D
A.&16& B.&17&
C.&18& D.&19&
第2题图
2.（2020聊城7题3分）如图，在 的正方形网格中，每个小正方
形的边长都是1， 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么
的值为( )
D
A. B. C. D.
第3题图
3.（2021淄博11题5分）如图，在 中，
， 是斜边 上的中线，过点 作
交 于点 .若 ， 的面积为5，则 的
值为( )
A
A. B. C. D.
4.（2020菏泽11题3分）如图，在 中， ，点 为
边的中点，连接 ，若 ， ，则 的值为
_ _.
&20& 锐角三角函数的实际应用（5年53考）
第5题图
5.（2021德州10题4分）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把
坡角由 减至 ，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长
（参考数据： ， ， ）( )
D
A.6米 B.3米 C.2米 D.1米
第6题图
6.（2021济南10题4分）无人机低空遥感技术已广泛应
用于农作物监测.如图，某农业特色品牌示范基地用无
人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为
的 处测得试验田右侧边界 处俯角为 ，
无人机垂直下降 至 处，又测得试验田左侧边界
C
A. B. C. D.
处俯角为 ，则 ， 之间的距离为（参考数据： ，
， ， ，结果保留整数）( )
7.（2019泰安8题4分）如图，一艘船由 港沿北偏东 方向航
行 至 港，然后再沿北偏西 方向航行至 港，
港在 港北偏东 方向，则 ， 两港之间的距离为________
.( )
B
A. B. C. D.
8.（2023枣庄14题3分）如图所示，桔棒是一种原
始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一
根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶.
当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端
的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆 米，
，支架 ， 米， 可以绕着点 自由旋转，当点
旋转到如图所示位置时 ，此时点 到水平地面 的距离为
________米.（结果保留根号）
第9题图
9.（2022枣庄12题3分）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的
设计，体现了环保低碳理念.如图所示，它的主体形状呈正六边形.若
点 ， ， ， ， ， 是正六边形的六个顶点，则
_ __.
第10题图
10.（2022泰安16题4分）如图，某一时刻太阳光从窗户射入
房间内，与地面的夹角 ，已知窗户的高度
，窗台的高度 ，窗外水平遮阳篷的宽
，则 的长度为_ _____（结果精确到 ）.
11.新考法 （2022枣庄20题8分）为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城.某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告.
测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告
活动课题 测量台儿庄古城城门楼高度
活动目的 运用三角函数知识解决实际问题
活动工具 测角仪、皮尺等测量工具
方案 示意图 ____________________________________________________________________
图①
图②
测量步骤 如图②
（1）利用测角仪站在 处测得城门楼最高点 的仰角为
；
（2）前进了10米到达 处（选择测点 ， 与 在同一水
平线上， ， 两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不
计），在 处测得 点的仰角为
参考数据 ， ， ，
， ，
计算城门楼 的高度.（结果保留整数）
续表
解：设 米，则 米.
在 中， ，
米.在 中，
，
米，
，解得 ，
（米）.
答：台儿庄古城城门楼的高度约为17米.
12.（2023聊城22题8分）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、
龙堤、南关桥等景观遥相呼应.如图所示，城门楼 在角楼 的正东方向 处，
南关桥 在城门楼 的正南方向 处.在明珠大剧院 测得角楼 在北偏东
方向，南关桥 在南偏东 方向（点 ， ， ， 四点在同一平面
内），求明珠大剧院到龙堤 的距离.（结果精确到 ）
（参考数据： ， ， ，
， ， ）
解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点
，则四边形 是矩形，
.设 .
在 中， ，
， ，
， .
在 中，
，
解得 ， ，
.
答：明珠大剧院到龙堤 的距离约为 .
图1
13.（2022济宁20题8分）［知识再现］
如图1，在 中， ， ， ， 的对边分别为
， ， .
， ， ， .
.
图2
［拓展探究］ 如图2，在锐角 中， ， ， 的对边
分别为 ， ， .
请探究 ， ， 之间的关系，并写出探究过程.
解：
如图2，作 于点 ， 于点 .
在 中， ，
同理， ， ，
，
图2
， ， ， ，
， ，
，
即 .
图3
［解决问题］ 如图3，为测量点 到河对岸点 的距离，选取与点
在河岸同一侧的点 ，测得 ， ，
.请用拓展探究中的结论，求点 到点 的距离.
[答案] 在 中， .
， ， ，
点 到点 的距离为 .
第四章 三角形
第七节 锐角三角函数及其应用
一层 稳拿基础分
二层 抢拿进阶分
三层 冲刺满分题
1.（2022天津） 的值等于( )
B
A.2 B.1 C. D.
2.在 中, .若 , ,则 的长是
( )
D
A. B. C.60 D.80
3.如图，在 中， ,设 , , 所对的边分别为 , , ,则( )
B
A. B. C. D.
第4题图
4.（2022通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点
， ， 都在格点上，以 为直径的圆经过点 ， ，则
的值为( )
B
A. B. C. D.
第5题图
5.（2023武汉）如图，将 的 按如图的方式放置在
一把刻度尺上，顶点 与尺下沿的端点重合， 与尺下沿
重合， 与尺上沿的交点 在尺上的读数为 ，若按相
同的方式将 的 放置在该刻度尺上，则 与尺上
沿的交点 在尺上的读数是____ .（结果精确到 ，
参考数据 ， ， ）
2.7
6.（2022武汉）如图，沿 方向架桥修路，为加快施工进度，在直线 上湖的
另一边的 处同时施工.取 ， ， ，则
， 两点的距离是_ ______ .
7.（2023临沂）如图，灯塔 周围9海里内有暗礁.一渔船由东
向西航行至 处，测得灯塔 在北偏西 方向上，继续航行
6海里后到达 处，测得灯塔 在西北方向上.如果渔船不改变
航线继续向西航行，有没有触礁的危险？
（参考数据： ， ，
， ， ，
）
解：如图，过点 作 于点 .
设 海里.
由题意，得 ， ， 海里.
在 中， ，
海里.
在 中， ，
，
解得 .
，
如果渔船不改变航线继续向西航行，没有触礁危险.
8.（2022淄博）如图，希望中学的教学楼 和综合楼 之间生长着一棵高度为1
2.88米的白杨树 ，且其底端 ， ， 在同一直线上， 米.在综
合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼
顶 处测得点 的仰角为 ，点 的俯角为 .问小明能否运用以上数据，得
到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由.
（解答过程中可直接选用表格中的数据哟！）
科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值）
0.156
0.158
0.276
0.287
解：能.
如图，过点 作 ，垂足为点 ，过点
作 ，垂足为点 .
由题意知， 米，
米，
， .
在 中， ，
，即 ，
（米），
（米），
米.
在 中， 米，
，
，即 ，
（米），
（米）.
答：综合楼的高度约是37.00米.
第9题图
9.（2022宜宾）如图,在矩形纸片 中, , ,将
沿 折叠到 位置, 交 于点 ,则 的
值为( )
C
A. B. C. D.
第10题图
10.（2022乐山）如图,在 中， ， ,
点 是 上一点，连接 .若 , ,则
的长为( )
C
A. B.3 C. D.2
11.（2022牡丹江）小明去爬山,在山脚看山顶角度为 ,小明在坡比为 的
山坡上走1 300米,此时小明看山顶的角度为 ,山高为( )
第11题图
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
B
第12题图
12.（2022荆州）如图,在平面直角坐标系中,点 , 分别在 轴负半
轴和 轴正半轴上,点 在 上, ,连接 ,过
点 作 交 的延长线于点 .若 ,则 的值
是( )
C
A. B. C. D.2
13.数学文化 （2022张家界）我国魏晋时期的数学家赵爽在为
天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形
和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，
它体现了中国古代数学的成就.如图，已知大正方形 的面
积是100，小正方形 的面积是4，那么 _ _.
14.新情境·风力发电 （2023烟台）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方
式具有重要意义.某电力部门在一处坡角为 的坡地新安装了一架风力发电机，
如图1.某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图
2为测量示意图.已知斜坡 长16米，在地面点 处测得风力发电机塔杆顶端 点
的仰角为 ，利用无人机在点 的正上方53米的点 处测得 点的俯角为 ，
求该风力发电机塔杆 的高度.（参考数据： ， ，
）
图1
图2
图2
解：如图2，延长 交 于点 ，延长 交 于点 .
由题意，得 ， ， 米，
.
设 米.
在 中， ， 米，
（米）.
在 中， ，
米.
在 中， ，
米，
（米），
，解得 ，
米，
（米）.
该风力发电机塔杆 的高度约为32米.
15.（2022日照）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情.如图
是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为 ， 两部分，小明同学在 点测得雪
道 的坡度 ，在 点测得 点的俯角 .若雪道 长为
，雪道 长为 .
（1）求该滑雪场的高度 ；
解：如图.
根据题意知， ，
.
的坡度
2.4， 2.4.
设 ，则 .
，
，
解得 （负值舍去），
.
答：该滑雪场的高度 为 .
（2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要
求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少 ，且甲设备造雪 所用的时
间与乙设备造雪 所用的时间相等.求甲、乙两种设备每小时的造雪量.
[答案] 设甲设备每小时的造雪量是 ，则乙设备每小时的造雪量是
.
根据题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
.
答：甲设备每小时的造雪量是 ，乙设备每小时的造雪量是 .
16.（2022河池）如图，把边长为 的矩形 沿长边 ， 的中点 ，
对折，得到四边形 ，点 ， 分别在 ， 上，且
， 与 交于点 ， 为 的中点，连接 ，作
交 于点 ，连接 ，则 _ _.

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