专题05 平面向量基本定理(八大题型 跟踪训练)(原卷版+解析版)(3份打包)

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专题05 平面向量基本定理(八大题型 跟踪训练)(原卷版+解析版)(3份打包)

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专题05 平面向量基本定理(八大题型+跟踪训练)
目录:
题型1:基底的概念及辨析
题型2:用基底表示向量
题型3:平面向量基本定理的应用
题型4:利用平面向量基本定理求参数
题型5:平面向量基本定理的推论
题型6:最值问题
题型7:平面向量的基本定理在三角形的“心”模型中的应用
题型8:平面向量的基本定理综合解答题
题型1:基底的概念及辨析
1.设是平面内所有向量的一个基底,则下列不能作为基底的是( )
A.和 B.和
C.和 D.和
【答案】C
【分析】只要两个向量不共线,便可作为平面内的一组基底,从而判断哪组向量共线即可.
【解析】对于A,令,则,不存在,,不共线,可以作为基底,A错误;
对于B,令,则,不存在,,不共线,可以作为基底,B错误;
对于C,,
和共线,不能作为一组基底,C正确;
对于D,令,则,不存在,,不共线,可以作为基底,D错误.
故选:C.
2.下面三种说法中正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基;
②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基;
③零向量不可作为基中的向量.
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
【答案】B
【分析】利用平面向量基底的概念进行判断.
【解析】由于同一个平面内任意不共线的向量,都可以作为表示这个平面内所有向量的基,故①错误,②正确;
由于零向量与任何向量平行,所以零向量不可作为基中的向量,故③正确.
故选:B
3.已知是不共线的非零向量,则以下向量不可以作为一组基底的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】判断选项中的两个向量是否平行,即可判断选项.
【解析】若两向量平行,则不可以作为基底,
由选项可知,ABD中的两个向量都不共线,可以作为基底,
C中的向量,满足,向量,不能作为基底.
故选:C
题型2:用基底表示向量
4.在平行四边形中,,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【解析】,
故选:B

5.已知在中,点在边上,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算即可.
【解析】在中,,又点在边上,且,
则,
故选:A.

6.如图,在中,满足条件,若,则( )
A.8 B.4 C.2 D.
【答案】A
【分析】利用向量加法的三角形法则,结合已知条件,可得,求出,从而得出答案.
【解析】因为,,
所以,
即,
又,
所以,故.
故选:A.
7.如图,在平行四边形中,与交于点,是线段的中点,的延长线与交于点.若,则等于( )

A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据两个三角形相似对应边成比例,得到,运用向量的加减运算和向量中点的表示,结合向量数量积的定义和性质,将向量用,表示,计算即可得到结果.
【解析】平行四边形,,,,,
可得,
是线段的中点,
可得,




故选:C
题型3:平面向量基本定理的应用
8.在梯形中,设,,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由向量基本定理进行求解.
【解析】.
故选:A
9.已知向量与不共线,且,,,若,,三点共线,则(  )
A. B.2 C.1 D.
【答案】C
【分析】依题意可得,设,根据平面向量基本定理得到方程组,即可得解.
【解析】∵向量与不共线,∴向量与可以作为平面内的一组基底,
∵,,三点共线,∴,设,即,
则,∴.
故选C.
10.如图所示,,,M为AB的中点,则为( )

A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根据给定条件,利用向量的加法列式作答.
【解析】,,M为AB的中点,
所以.
故选:B
11.已知,是两个不共线的向量,,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据题意,设,由待定系数法代入计算,即可得到结果.
【解析】因为,是两个不共线的向量,设,
则,
即,解得,
所以.
故选:C
12.如图,在中,中线AD、BE、CF相交于点G,点G称为的重心,那么是( )

A.3∶2 B.2∶1 C.3∶1 D.4∶3
【答案】B
【分析】设,得到,结合向量共线定理的推论得到,求出,求出答案.
【解析】因为为的中线,所以,
设,则,
故,所以,
因为,所以,
因为三点共线,可设,则,
故,
故,相加得,
解得,故.
故选:B
题型4:利用平面向量基本定理求参数
13.在中,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】借助平面向量的线性运算与基本定理即可得.
【解析】由,则,则,

故、,故.
故选:A.
14.已知△ABC中,M为BC边上一个动点,若,则的最小值为 .
【答案】16
【分析】根据已知结合图形可得出,进而根据“1”的代换,结合基本不等式,即可得出答案.
【解析】
由已知可得,共线,
所以,,使得,
所以有,
整理可得,.
又,不共线,
所以有,则有.
显然,
所以,,
当且仅当,即时等号成立.
所以,的最小值为16.
故答案为:16.
15.已知平行四边形,若点是边的中点,,直线与相交于点,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】画出图形根据向量定比分点设出,构造方程组可解得,可得结果.
【解析】如下图所示:
设,则.
设,
则,
.
因为,
所以,解得,
所以,即.
故选:C.
16.如图.在中,,分别为的中点,P为AD与BF的交点,且.若,则 ,若,则 .
【答案】
【分析】利用平面向量基本定理求解出及,进而利用平面向量的数量积运算法则进行计算即可得解.
【解析】连接DF,
因为分别为的中点,所以是△ABC的中位线,所以,


所以,所以;
因为,
所以,

.
故答案为:;.
【点睛】关键点睛:本题解决的关键在于注意到点是的重心,从而利用中位数定理得到,进而利用平面向量的相关运算即可得解.
题型5:平面向量基本定理的推论
17.在中,是边上一点,且,则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】利用平面向量共线定理的推理假设,再利用向量数量积的运算法则即可得解.
【解析】因为是边上一点,故可设,
则,
因为,
则,,
又,于是,解得,
因此.
故选:C.
18.在中,,,是外接圆的圆心,在线段上,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】设的中点分别为,连接,根据外心的性质可得,,结合三点共线设,进而运算求解即可.
【解析】设的中点分别为,连接,则,
可得,
同理可得,
因为在线段上,设,


所以的取值范围是.
故选:B.
【点睛】关键点睛:1.对于外心的数量积问题,常借助于外心的性质结合中点分析求解;
2.对于三点共线常结合结论:若三点共线,则,且,分析求解.
19.如图,在中,,是上一点,若,则实数的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】确定,得到,根据计算得到答案.
【解析】,故,则,
又是上一点,所以,解得.
故选:A.
题型6:最值问题
20.中,为上一点且满足,若为上一点,且满足,为正实数,则下列结论正确的是( )
A.的最小值为 B.的最大值为1
C.的最大值为16 D.的最小值为4
【答案】D
【分析】AB选项,根据向量基本定理和共线定理得到,从而利用基本不等式求出的最大值为;CD选项,利用基本不等式“1”的妙用求出最值,得到答案.
【解析】AB选项,因为,所以,
故,
因为三点共线,设,即,
故,
令,故,
为正实数,由基本不等式得,解得,
当且仅当时,等号成立,所以的最大值为,AB错误;
CD选项,,
当且仅当,即时,等号成立,C错误,D正确.
故选:D
21.对称性是数学美的一个重要特征,几何中的轴对称,中心对称都能给人以美感,在菱形中,,以菱形的四条边为直径向外作四个半圆,P是这四个半圆弧上的一动点,若,则的最大值为(  )
A.5 B.3 C. D.
【答案】D
【分析】根据题意,由条件可得当EF与图形下面半圆相切时,取得最大值,再结合图形,代入计算,即可得到结果.
【解析】
如图,设,,设P是直线EF上一点,
令,则,
,又,所以
因为P是四个半圆弧上的一动点,所以当EF与图形下面半圆相切时,取得最大值,
设线段AB的中点为M,线段AC的中点为O1,
连接MP,连接并延长使之与EF交于点,
过M作,垂足为N,
因为,设,则,

则,由,得,
故的最大值为.
故选:D.
22.在中,,E是线段上的动点(与端点不重合),设,则的最小值是( )
A.10 B.4 C.7 D.13
【答案】D
【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得,,则,化简后利用基本不等式可得答案.
【解析】因为,所以,
因为,所以,
因为三点共线,所以,,

当且仅当,即时取等.
故选:D.
23.在中,点为边上的中点,点满足,点是直线,的交点,过点做一条直线交线段于点,交线段于点(其中点,均不与端点重合)设,,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由题意作交于F,可推出,利用向量的线性运算推出,结合题意推出,根据三点共线可得,结合“1”的妙用,即得,展开后利用基本不等式,即可求得答案.
【解析】作交于F,连接 ,则∽,故,
由于点为边上的中点,故,
,故,又∽,故,
故,

,
由于,,故,
因为三点共线,故,
所以,
当且仅当,结合,即时等号成立,
即的最小值为,
故选:B
题型7:平面向量的基本定理在三角形的“心”模型中的应用
24.对于给定的,其外心为,重心为,垂心为,则下列结论不正确的是( )
A.
B.
C.过点的直线交于,若,,则
D.与共线
【答案】B
【分析】根据外心在AB上的射影是AB的中点,利用向量的数量积的定义可以证明A正确;利用向量的数量积的运算法则可以即,在一般三角形中易知这是不一定正确的,由此可判定B错误;利用三角形中线的定义,线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C正确;利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定与垂直,从而说明D正确.
【解析】如图,设AB中点为M,则,,
,故A正确;
等价于等价于,即,
对于一般三角形而言,是外心,不一定与垂直,比如直角三角形中,
若为直角顶点,则为斜边的中点,与不垂直,故B错误;
设的中点为,
则,
∵E,F,G三点共线,,即,故C正确;

与垂直,又,
∴与共线,故D正确.
故选:B.
【点睛】本题考查平面向量线性运算和数量及运算,向量垂直和共线的判定,平面向量分解的基本定理,属综合小题,难度较大.
25.已知三角形, , , ,点为三角形的内心,记, , ,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据点为三角形的内心有,再将分别用为基底,利用数量积的公式与余弦定理求解再判断大小即可.
【解析】∵三角形,,,,点为三角形的内心

∴,即,故
,即,故,
即.
∴.
.
.
又根据余弦定理可得:,
∴,
∴,,.

故选:A
26.在中,,,过的外心O的直线(不经过点)分别交线段于,且,,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】求得,外接圆的半径,设,,,根据,结合和
三点共线,得到,进而求得,利用基本不等式和函数的性质,即可求得取值范围.
【解析】因为中,,
由余弦定理可得,
即,且,
设,
则,,
所以,
同理可得,,
解得,所以,
又因为,,所以,
因为三点共线,可得,
因为,所以,所以,
同理可得,所以
所以,
设,可得,
令,可得,令,解得,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增,
所以当时,取得最小值,最小值为;
又由,,可得,
所以当时,取得最大值,最大值为,
所以的取值范围是.
故选:B.
27.点O是平面α上一定点,A,B,C是平面α上的三个顶点,,分别是边,的对角.有以下五个命题:
①动点P满足,则的外心一定在满足条件的P点集合中;
②动点P满足,则的内心一定在满足条件的P点集合中;
③动点P满足,则的重心一定在满足条件的P点集合中;
④动点P满足,则,的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】C
【分析】根据的外心、内心、重心、垂心分别是三边中垂线的交点、角平分线的交点、中线的交点、高的交点,这些几何特征与向量建立联系,进而判断每个命题的正误.
【解析】①当动点P满足时,则点P是的重心,所以①不正确;
②显然在的角平分线上,而与的平分线所在向量共线,
所以的内心一定在满足条件的点P集合中,因此②正确;
③变形为,而,表示点A到边的距离,
设为,所以,而表示边的中线向量,
所以表示边的中线向量,因此的重心一定在满足条件的P点集合中,
所以③正确;
④当时,的垂心与点A重合,但显然此时垂心点P不满足公式,所以④不正确;
正确答案序号为②③.
故选:C
题型8:平面向量的基本定理综合解答题
28.在平行四边形ABCD中,,.

(1)如图1,如果E、F分别是BC,DC的中点,试用分别表示;
(2)如图2,如果O是AC与BD的交点,G是DO的中点,试用表示.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)(2)均根据向量的线性运算直接表示即可;
【解析】(1)当E、F分别是BC,DC的中点时,

.
(2)∵O是AC与BD的交点,G是DO的中点,
所以,
.
29.如图,在中,是上一点,是上一点,且,过点作直线分别交于点.
(1)用向量与表示;
(2)若,求和的值.
【答案】(1)
(2),.
【分析】(1)利用向量的线性运算求解;
(2)设,利用向量的线性运算和平面向量基本定理求解.
【解析】(1).
(2)因为,所以.设,

因为三点共线,
所以,解得,所以.
因为,

所以,即.
30.如图所示,是边长为2的正三角形,点,,四等分线段BC.

(1)求的值;
(2)若点Q是线段上一点,且,求实数m的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用转化的方法,结合向量数量积运算求得的值.
(2)根据向量共线列方程,从而求得的值.
【解析】(1)因为点,,四等分线段,
所以,,,

(2)∵点Q在线段上,
∴,
∵,
∴,
∴,解得,
因此所求实数m的值为.
31.如图,在直角三角形ABC中,,.点D,E分别是线段AB,BC上的点,满足,,.

(1)求的取值范围;
(2)是否存在实数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在,
【分析】(1)以为基底表示,结合求解即可;
(2)以为基底表示求解即可.
【解析】(1).
因为,,故,
故,又,故.
(2)由题意,,若则,即,
故,
即,解得.
32.如图,在等腰梯形中,,,M为线段中点,与交于点N,P为线段上的一个动点.
(1)用和表示;
(2)求;
(3)设,求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)由向量的线性运算法则计算;
(2)由题意得,由共起点的三向量终点共线的充要条件求出,即可得出答案;
(3)由题意,可设,代入中并整理可得,又,根据平面向量基本定理得出方程组,然后结合二次函数的性质可得结论.
【解析】(1)由向量的线性运算法则,可得,①
,②
因为M为线段中点,则,
联立①②得:,
整理得:.
(2)由AM与BD交于点N,得,
由共起点的三向量终点共线的充要条件知,,解得:.
所以,即.
(3)由题意,可设,
代入中并整理可得

又,故,可得:,.
因为,所以,.
在单调递增,
则当时,,当时,,
所以,的取值范围为.
一、单选题
1.设,是平面内所有向量的一组基底,则下面四组向量中,不能作为基底的是( )
A.和 B.和
C.和 D.和
【答案】D
【分析】利用基底的定义对四个选项一一验证.
【解析】,是平面内所有向量的一组基底.
对于A:和不共线,可以作为平面的一组基底.
对于B:和不共线,可以作为平面的一组基底.
对于C:和不共线,可以作为平面的一组基底.
对于D:因为,所以和共线,所以不能作为平面的一组基底.
故选:D
2.已知向量与不平行,记,,若,则( )
A.2 B. C. D.
【答案】B
【分析】根据向量平行的条件列出方程组求解即可.
【解析】依题意,,,
,即,
,解得.
故选:B.
3.已知等边三角形ABC的边长为2,D,E分别是BC,AC的中点,则( )
A. B. C. D.0
【答案】A
【分析】将,设为基底,表示出,,运用数量积定义解决问题.
【解析】解:
.
故答案选:A.

4.在平行四边形中,点在对角线上,点在边上,,,且,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】运用向量的分解和加减运算即可得出结果.
【解析】解析:

故选:C.
5.若则等于( )
A. B.
C. D.+
【答案】D
【分析】将改为起点为的向量后再转化可求解.
【解析】∵,
∴,∴,
∴.
故选:D
6.已知,,的平分线交于点M,则向量可表示为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由向量加法的平行四边形法则知,向量和与,同向的单位向量之和共线,
【解析】由向量加法的平行四边形法则知,向量和与,同向的单位向量之和共线,与同向的单位向量即,与同向的单位向量即,所以可表示为.
故答案为:B
【点睛】本题主要考查了向量的平行四边形法则,属于基础题。
7.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设=m+n,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,n满足( )
A.m>0,n>0 B.m>0,n<0
C.m<0,n>0 D.m<0,n<0
【答案】B
【分析】应用向量的可分解性质,将分解到,所在直线上,结合图形判断参数的符号.
【解析】如图所示,利用平行四边形法则,将分解到,上,有,
∴=m=n,
显然方向相同,则m>0;方向相反,则n<0.
故选:B
8.已知,,,,则下列结论错误的是( )
A.若是的重心,则 B.若是的内心,则
C.若是的垂心,则 D.若是的外心,则
【答案】B
【分析】根据三角形各心的性质求出对应的之间的比值,即可得出答案.
【解析】如图,设,直线与直线交于点,因为,
所以,则,即,
过作分别平行于,则,而,,由平行线分线段成比例得,
同理,所以;
若是的重心,则为的中点,所以,故A正确;
若是的内心,则直线平分,而,,
所以分的比,故B不正确;
若是的垂心,如图,则点与点重合,则,故C正确;
若是的外心,
因为,所以线段AB的中垂线的斜率为,且AB的中点为,
所以线段AB的中垂线的方程为,即,
又线段BC的中垂线为,
联立,解得,所以,
,由于,,所以,则,故D正确,
故选:B.
二、多选题
9.已知是平面内的一组基底,则下列说法中正确的是( )
A.若实数m,n使,则
B.平面内任意一个向量都可以表示成,其中m,n为实数
C.对于m,,不一定在该平面内
D.对平面内的某一个向量,存在两对以上实数m,n,使
【答案】AB
【分析】根据基底的定义逐项判断即可.
【解析】解:根据基底的定义知AB正确;
对于C,对于m,,在该平面内,故C错误;
对于D,m,n是唯一的,故D错误.
故选:AB.
10.如图,在平行四边形中,为的中点,,则( )

A. B.
C. D.
【答案】BCD
【分析】根据图形利用向量的线性运算一一判断即可.
【解析】对A,由题意得,故A错误;
对B,,故B正确;
对C,,故C正确;
对D,,故D正确.
故选:BCD.
11.直角三角形中,是斜边上一点,且满足,点在过点的直线上,若,则下列结论正确的是( )
A.为常数 B.的值可以为:
C.的最小值为3 D.的最小值为
【答案】ACD
【分析】作出图形,由可得出,根据三点共线的结论得出,由此判断A,B,结合基本不等式可判断CD.
【解析】如下图所示:
由,可得,

若,,,
则,,

、、三点共线,
,,
故A正确;
当,时, ,所以B错误;

当且仅当时,等号成立,C正确;
的面积,的面积,
所以,
因为,所以,当且仅当时等号成立,
即,当且仅当时等号成立,
所以当时,取最小值,最小值为,
所以的最小值为,D正确;
故选:ACD.
12.在平行四边形中,点为边中点,点为边上靠近点的三等分点,连接,交于点,连接,点为上靠近点的三等分点,记,,则下列说法正确的是( )
A.点,,三点共线
B.若,则
C.
D.,为平行四边形的面积
【答案】ACD
【分析】根据向量的线性运算,将需要的向量都用来表示,设,,利用平面向量基本定理构造等式,可确定点的位置,依次判定选项.
【解析】如图所示:

平行四边形中,因为点为上靠近点的三等分点,
所以,,
所以,
设,
所以,又有公共点,所以点三点共线,故A选项正确;
设,

故,
所以,故B选项错误;
,
因为,所以,
故,C选项正确;
因为,,故D选项正确.
故选:ACD.
【点睛】关键点睛:此题主要是点M,点N在线段BE上的位置未给,所以通过平面向量基本定理构造求解,设,,利用,将所有向量用表示,求出的值.
三、填空题
13.在平行四边形 中, 点E满足且, 则实数 .
【答案】4
【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理分析可得结果.
【解析】由题意可得:
,
故答案为:4.
14.已知、是平面内两个不共线的向量,,,,用向量和表示 .
【答案】
【解析】设,根据平面向量基本定理可得出关于、的方程组,解出这两个未知数的值,可得出关于、的表达式.
【解析】设,则,
则有,解得,因此,.
故答案为:.
【点睛】本题考查利用基底表示向量,根据题意建立方程组是解题的关键,考查运算求解能力,属于基础题.
15.如图,OM∥AB,点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且,则x的取值范围是 ;当时,y的取值范围是 .
【答案】
【分析】由向量加法的平行四边形法则,为平行四边形的对角线,该四边形应是以的反向延长线为相邻两边,得到x的取值范围,当时,要使点落在指定区域内,即点应落在上,得到y的取值范围.
【解析】解:如图,,点在射线,线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且,由向量加法的平行四边形法则,为平行四边形的对角线,该四边形应是以的反向延长线为相邻两边,
故x的取值范围是;
当时,要使点落在指定区域内,即点应落在上,,
故y的取值范围是:.
【点睛】本题考查了平面向量基本定理及向量加法的平行四边形法则,属基础题.
16.在平行四边形中,,点分别为的中点,与交于点,则 .
【答案】
【分析】根据题意画出图形,连接,交于点,根据相似得到和的关系,设,根据三点共线得到的值即可求出.
【解析】如图,连接,交于点,

由题意易知,所以,
所以,设,
因为点为的中点,所以,
所以,
又三点共线,所以,
从而,
则,
所以

故答案为:.
四、解答题
17.如图,在中,是边上的中线,为的中点.

(1)用,表示;
(2)用,表示.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)(2)根据图形,利用向量的线性运算即可.
【解析】(1)因为是边上的中线,
所以.
(2)因为为的中点,
所以.
18.在梯形中,,,中,分别是DA,BC的中点,且.设,,选择基底,试写出下列向量在此基底下的分解式:,,.
【答案】;;
【分析】根据给定的梯形,利用梯形的性质,结合向量共线及线性运算求解作答.
【解析】如图,由,且,则,
又,且,
则.
因为,
则.
【点睛】
19.如图,在中,,E是AD的中点,设,.

(1)试用,表示,;
(2)若,与的夹角为,求.
【答案】(1),
(2)
【分析】(1)利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解;
(2)根据(1)的结论,利用向量的数量积运算法则即可求解.
【解析】(1)因为,所以,
所以.
因为E是AD的中点,
所以
.
(2)因为,与的夹角为,
所以,
由(1)知,,,
所以
.
20.如图所示,是△ABC的一条中线,点满足,过点的直线分别与射线,射线交于,两点.
(1)若,求的值;
(2)设,,,,求的值;
【答案】(1);
(2)3.
【分析】(1)利用向量的线性运算的几何表示,将用表示,进而即得;
(2)由,将用表示,利用三点共线即得.
【解析】(1)因,
所以,
又因为的中点,
所以,
所以,又,
所以;
(2)因,,,,
所以,,又因,
所以,
又因,,三点共线,
所以,即.
21.已知内一点满足,若的面积与的面积之比为,的面积与的面积之比为,求实数的值.
【答案】,
【分析】因为,又由平行四边形法则有向量,所以,,只需求出,即可。根据平面几何知识,将三角形面积之比转化为边之比,可求出,,从而求出。
【解析】如图,过点作,则,所以.
作于点,于点.
因为,所以.
又因为,所以,
即,所以,同理.
【点睛】本题主要考查向量共线定理、平面向量基本定理以及平行四边形法则的应用,涉及到平面几何知识的运用,意在考查学生的转化与化归能力以及数学建模能力。
22.如图,在中,,,与相交于点M,设,,
(1)试用,表示向量:
(2)在线段上取一点E,在上取一点F,使得过点M,设,,求证:.
【答案】(1) ;(2) 证明见解析.
【分析】(1)设,由、、三点共线以及、、三点共线可得出关于与的方程组,解出这两个未知数,即可得出关于、的表达式;
(2)根据条件,结合可建立等式,利用三点共线,可得出结论.
【解析】(1)解:由A,M,D三点共线可知,存在实数使得

由B,M,C三点共线可知,存在实数使得

由平面向量基本定理知.
解得,所以.
(2)证明:若,,则.
又因为E,M,F三点共线,所以.
23.在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,且,,,P是CD,EF的交点.设,.
(1)用,表示,;
(2)求的值.
【答案】(1),
(2)
【分析】(1)利用平面向量基本定理及线性运算,表达出,;(2)利用向量共线定理得推论得到方程组,求出,进而求出的值.
【解析】(1)因为,所以,
则,
因为,所以,
因为,所以,
则.
(2)因为E,P,F三点共线,所以.
因为C,P,D三点共线,所以.
则 解得:.
所以,
故.
24.如图所示,在中,在线段BC上,满足,是线段的中点.
(1)延长交于点Q(图1),求的值;
(2)过点的直线与边,分别交于点E,F(图2),设,.
(i)求证为定值;
(ii)设的面积为,的面积为,求的最小值.
【答案】(1)
(2)(i)证明见解析;(ii).
【分析】(1)根据题意,将作为基底表示,由三点共线可知,的系数之和为1,即可求出的值;
(2)(i)根据题意,将,作为基底表示,由三点共线可知,,的系数之和为1,即可求出为一定值;(ii)根据题意,,,,由可将化为关于的函数,利用函数性质求的最小值即可.
【解析】(1)依题意,因为,
所以,
因为是线段的中点,所以,
设,则有,
因为三点共线,所以,解得,
即,所以,所以;
(2)(i)根据题意,
同理可得:,
由(1)可知,,
所以,
因为三点共线,所以,
化简得,
即为定值,且定值为3;
(ii)根据题意,,

所以,
由(i)可知,则,
所以,
易知,当时,有最小值,此时.专题05 平面向量基本定理
目录:
题型1:基底的概念及辨析
题型2:用基底表示向量
题型3:平面向量基本定理的应用
题型4:利用平面向量基本定理求参数
题型5:平面向量基本定理的推论
题型6:最值问题
题型7:平面向量的基本定理在三角形的“心”模型中的应用
题型8:平面向量的基本定理综合解答题
题型1:基底的概念及辨析
1.设是平面内所有向量的一个基底,则下列不能作为基底的是( )
A.和 B.和
C.和 D.和
2.下面三种说法中正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基;
②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基;
③零向量不可作为基中的向量.
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
3.已知是不共线的非零向量,则以下向量不可以作为一组基底的是( )
A. B.
C. D.
题型2:用基底表示向量
4.在平行四边形中,,,则( )
A. B.
C. D.
5.已知在中,点在边上,且,则( )
A. B. C. D.
6.如图,在中,满足条件,若,则( )
A.8 B.4 C.2 D.
7.如图,在平行四边形中,与交于点,是线段的中点,的延长线与交于点.若,则等于( )

A. B. C. D.
题型3:平面向量基本定理的应用
8.在梯形中,设,,若,则( )
A. B. C. D.
9.已知向量与不共线,且,,,若,,三点共线,则(  )
A. B.2 C.1 D.
10.如图所示,,,M为AB的中点,则为( )

A. B.
C. D.
11.已知,是两个不共线的向量,,,,则( )
A. B. C. D.
12.如图,在中,中线AD、BE、CF相交于点G,点G称为的重心,那么是( )

A.3∶2 B.2∶1 C.3∶1 D.4∶3
题型4:利用平面向量基本定理求参数
13.在中,若,则( )
A. B. C. D.
14.已知△ABC中,M为BC边上一个动点,若,则的最小值为 .
15.已知平行四边形,若点是边的中点,,直线与相交于点,则( )
A. B. C. D.
16.如图.在中,,分别为的中点,P为AD与BF的交点,且.若,则 ,若,则 .
题型5:平面向量基本定理的推论
17.在中,是边上一点,且,则( )
A. B.
C. D.
18.在中,,,是外接圆的圆心,在线段上,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
19.如图,在中,,是上一点,若,则实数的值为( )
A. B. C. D.
题型6:最值问题
20.中,为上一点且满足,若为上一点,且满足,为正实数,则下列结论正确的是( )
A.的最小值为 B.的最大值为1
C.的最大值为16 D.的最小值为4
21.对称性是数学美的一个重要特征,几何中的轴对称,中心对称都能给人以美感,在菱形中,,以菱形的四条边为直径向外作四个半圆,P是这四个半圆弧上的一动点,若,则的最大值为(  )
A.5 B.3 C. D.
22.在中,,E是线段上的动点(与端点不重合),设,则的最小值是( )
A.10 B.4 C.7 D.13
23.在中,点为边上的中点,点满足,点是直线,的交点,过点做一条直线交线段于点,交线段于点(其中点,均不与端点重合)设,,则的最小值为( )
A. B. C. D.
题型7:平面向量的基本定理在三角形的“心”模型中的应用
24.对于给定的,其外心为,重心为,垂心为,则下列结论不正确的是( )
A.
B.
C.过点的直线交于,若,,则
D.与共线
25.已知三角形, , , ,点为三角形的内心,记, , ,则( )
A. B. C. D.
26.在中,,,过的外心O的直线(不经过点)分别交线段于,且,,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
27.点O是平面α上一定点,A,B,C是平面α上的三个顶点,,分别是边,的对角.有以下五个命题:
①动点P满足,则的外心一定在满足条件的P点集合中;
②动点P满足,则的内心一定在满足条件的P点集合中;
③动点P满足,则的重心一定在满足条件的P点集合中;
④动点P满足,则,的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
题型8:平面向量的基本定理综合解答题
28.在平行四边形ABCD中,,.

(1)如图1,如果E、F分别是BC,DC的中点,试用分别表示;
(2)如图2,如果O是AC与BD的交点,G是DO的中点,试用表示.
29.如图,在中,是上一点,是上一点,且,过点作直线分别交于点.
(1)用向量与表示;
(2)若,求和的值.
30.如图所示,是边长为2的正三角形,点,,四等分线段BC.

(1)求的值;
(2)若点Q是线段上一点,且,求实数m的值.
31.如图,在直角三角形ABC中,,.点D,E分别是线段AB,BC上的点,满足,,.

(1)求的取值范围;
(2)是否存在实数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
32.如图,在等腰梯形中,,,M为线段中点,与交于点N,P为线段上的一个动点.
(1)用和表示;
(2)求;
(3)设,求的取值范围.
一、单选题
1.设,是平面内所有向量的一组基底,则下面四组向量中,不能作为基底的是( )
A.和 B.和
C.和 D.和
2.已知向量与不平行,记,,若,则( )
A.2 B. C. D.
3.已知等边三角形ABC的边长为2,D,E分别是BC,AC的中点,则( )
A. B. C. D.0
4.在平行四边形中,点在对角线上,点在边上,,,且,,则( )
A. B. C. D.
5.若则等于( )
A. B.
C. D.+
6.已知,,的平分线交于点M,则向量可表示为( )
A. B. C. D.
7.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设=m+n,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,n满足( )
A.m>0,n>0 B.m>0,n<0
C.m<0,n>0 D.m<0,n<0
8.已知,,,,则下列结论错误的是( )
A.若是的重心,则 B.若是的内心,则
C.若是的垂心,则 D.若是的外心,则
二、多选题
9.已知是平面内的一组基底,则下列说法中正确的是( )
A.若实数m,n使,则
B.平面内任意一个向量都可以表示成,其中m,n为实数
C.对于m,,不一定在该平面内
D.对平面内的某一个向量,存在两对以上实数m,n,使
10.如图,在平行四边形中,为的中点,,则( )

A. B.
C. D.
11.直角三角形中,是斜边上一点,且满足,点在过点的直线上,若,则下列结论正确的是( )
A.为常数 B.的值可以为:
C.的最小值为3 D.的最小值为
12.在平行四边形中,点为边中点,点为边上靠近点的三等分点,连接,交于点,连接,点为上靠近点的三等分点,记,,则下列说法正确的是( )
A.点,,三点共线
B.若,则
C.
D.,为平行四边形的面积
三、填空题
13.在平行四边形 中, 点E满足且, 则实数 .
14.已知、是平面内两个不共线的向量,,,,用向量和表示 .
15.如图,OM∥AB,点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且,则x的取值范围是 ;当时,y的取值范围是 .
16.在平行四边形中,,点分别为的中点,与交于点,则 .
四、解答题
17.如图,在中,是边上的中线,为的中点.

(1)用,表示;
(2)用,表示.
18.在梯形中,,,中,分别是DA,BC的中点,且.设,,选择基底,试写出下列向量在此基底下的分解式:,,.
19.如图,在中,,E是AD的中点,设,.

(1)试用,表示,;
(2)若,与的夹角为,求.
20.如图所示,是△ABC的一条中线,点满足,过点的直线分别与射线,射线交于,两点.
(1)若,求的值;
(2)设,,,,求的值;
21.已知内一点满足,若的面积与的面积之比为,的面积与的面积之比为,求实数的值.
22.如图,在中,,,与相交于点M,设,,
(1)试用,表示向量:
(2)在线段上取一点E,在上取一点F,使得过点M,设,,求证:.
23.在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,且,,,P是CD,EF的交点.设,.
(1)用,表示,;
(2)求的值.
24.如图所示,在中,在线段BC上,满足,是线段的中点.
(1)延长交于点Q(图1),求的值;
(2)过点的直线与边,分别交于点E,F(图2),设,.
(i)求证为定值;
(ii)设的面积为,的面积为,求的最小值.专题05 平面向量基本定理(知识梳理)
知识点 平面向量的基本定理
1.定理:如果e1,e2是同一平面内的两个_不共线__向量,那么对于这一平面内的_任一__向量a,_有且只有一对__实数λ1,λ2,使a= λ1e1+λ2e2 .
2.基底:若e1,e2_不共线__,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内_所有__向量的一个基底.
想一想:
1.基底有哪两个特性?
2.若λ1e1+λ2e2=0,则实数λ1,λ2一定都为0吗?
3.当基底{e1,e2}给定时,向量a=λ1e1+λ2e2的分解形式是唯一的吗?
提示:1.①不共线;②不唯一.不共线的两个向量都可作为基底.
2.不一定,只有当e1与e2不共线时,才有λ1=λ2=0.
3.是,λ1,λ2是唯一确定的.
[归纳提升] 用基底表示向量的三个依据和两个“模型”
(1)依据:①向量加法的三角形法则和平行四边形法则;
②向量减法的几何意义;
③数乘向量的几何意义.
(2)模型
坐知识点梳理
条件
多个向量首尾相接,并且最后一个向
量的终点与第一个向量的起,点重合
模型

这些向量的和为零向量,其中任意
一个向量可用其他向量表示
条件
△ABC中,D为BC的中点
模型二
结论
AD
=2(A府+ad)

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