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备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题二 代数式问题
考点扫描☆聚焦中考
代数式问题，是每年中考必考内容，涉及本知识点的问题多以填空题、选择题为主的形式考查，部分涉及本知识点以解答题形式的出现，属于中低档题；涉及本知识点的主要内容有整式：幂的运算(同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除)、合并同类项、整式的加减、整式的乘法法则；分式:分式的意义、分式的加减乘除与化简求值；二次根式：二次根式的混合运算、二次根式的意义与化简；因式分解:运用提公因式法、公式法因式分解.涉及本知识点主要有合并同类项、代数式的化简求值、因式分解、分式的意义将成为中考命题的热点.
考点剖析☆典型例题
例1 （2023 长春）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程
为 　 　公里．（用含x的代数式表示）
例2（2023 海南）下列计算中，正确的是（　　）
A．a2 a3＝a5 B．（a3）2＝a5 C．（2a）5＝10a5 D．a4+a4＝a8
例3（2023 盐城）先化简，再求值：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b），其中a＝2，b＝﹣1．
例4（2023 济宁）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　）
A．（a+3）2＝a2+6a+9 B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y） D．a2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）
例5（2023 江西）化简（+） ．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是 　　，乙同学解法的依据是 　　；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
例6（2023 青岛）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
考点过关☆专项突破
类型一 代数式及其求值
1．（2023 河北）代数式﹣7x的意义可以是（　　）
A．﹣7与x的和 B．﹣7与x的差 C．﹣7与x的积 D．﹣7与x的商
2．（2023 大庆）端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（　　）
A．20% B．25% C．75% D．80%
3．（2023 河南）某校计划给每个年级配发n套劳动工具，则3个年级共需配发 　 　套劳动工具．
4．（2023 南通）若a2﹣4a﹣12＝0，则2a2﹣8a﹣8的值为（　　）
A．24 B．20 C．18 D．16
5．（2023 宁夏）如图是某种杆秤．在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡．秤盘放入x克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡．测得x与y的几组对应数据如下表：
x/克 0 2 4 6 10
y/毫米 10 14 18 22 30
由表中数据的规律可知，当x＝20克时，y＝　　毫米．
类型二 整式的相关概念及其运算
1．（2021 海南）下列整式中，是二次单项式的是（　　）
A．x2+1 B．xy C．x2y D．﹣3x
2．（2023 宜宾）下列计算正确的是（　　）
A．4a﹣2a＝2 B．2ab+3ba＝5ab C．a+a2＝a3 D．5x2y﹣3xy2＝2xy
3．（2023 云南）下列计算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．（3a）2＝6a2 C．a6÷a3＝a2 D．3a2﹣a2＝2a2
4．（2023 陕西）计算：＝（　　）
A．3x4y5 B．﹣3x4y5 C．3x3y6 D．﹣3x3y6
5．（2023 成都）下列计算正确的是（　　）
A．（﹣3x）2＝﹣9x2 B．7x+5x＝12x2 C．（x﹣3）2＝x2﹣6x+9 D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2+4y2
6．（2023 随州）设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（2023 沈阳）当a+b＝3时，代数式2（a+2b）﹣（3a+5b）+5的值为 　　．
8．（2022 包头）若一个多项式加上3xy+2y2﹣8，结果得2xy+3y2﹣5，则这个多项式为 　　．
9．（2023 丽水）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am﹣bn＝2，an+bm＝4．
（1）若a＝3，b＝4，则图1阴影部分的面积是 　　；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 　　．
10．（2023 内蒙古）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b） 其中a＝﹣1，b＝．
类型三 因式分解
1．（2023 益阳）下列因式分解正确的是（　　）
A．2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2 B．a2+ab+a＝a（a+b）
C．4a2﹣b2＝（4a+b）（4a﹣b） D．a3b﹣ab3＝ab（a﹣b）2
2．（2023 黄石）因式分解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝　 　．
3．（2022 苏州）已知x+y＝4，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝　 　．
4．（2023 东营）因式分解：3ma2﹣6mab+3mb2＝　 　．
5．（2023 河北）若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（　　）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
6．（2023 成都）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧优数，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 　　；第23个智慧优数是 　　．
类型四 分式及其运算
1．（2023 广西）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠1 D．x≠2
2．（2023 凉山州）分式的值为0，则x的值是（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．0或1
3．（2023 兰州）计算：＝（　　）
A．a﹣5 B．a+5 C．5 D．a
4．（2023 天津）计算的结果等于（　　）
A．﹣1 B．x﹣1 C． D．
5．（2023 赤峰）化简+x﹣2的结果是（　　）
A．1 B． C． D．
6．（2023 福建）已知+＝1，且a≠﹣b，则的值为 　　．
7．（2023 苏州）先化简，再求值： ﹣，其中a＝．
8．（2023 张家界）先化简（x﹣1﹣）÷，然后从﹣1，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．
类型五 二次根式及其运算
1．（2023 无锡）若二次根式有意义，则x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
2．（2023 泰州）计算等于（　　）
A．±2 B．2 C．4 D．
3．（2023 烟台）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 西宁）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023 聊城）计算：（﹣3）÷＝　　．
6．（2023 天津）计算的结果为 　　．
7．（2023 金昌）计算：÷×2﹣6．
8．（2021 西宁）计算：（+3）（﹣3）﹣（﹣1）2．
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专题二 代数式问题
考点扫描☆聚焦中考
代数式问题，是每年中考必考内容，涉及本知识点的问题多以填空题、选择题为主的形式考查，部分涉及本知识点以解答题形式的出现，属于中低档题；涉及本知识点的主要内容有整式：幂的运算(同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除)、合并同类项、整式的加减、整式的乘法法则；分式:分式的意义、分式的加减乘除与化简求值；二次根式：二次根式的混合运算、二次根式的意义与化简；因式分解:运用提公因式法、公式法因式分解.涉及本知识点主要有合并同类项、代数式的化简求值、因式分解、分式的意义将成为中考命题的热点.
考点剖析☆典型例题
例1 （2023 长春）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 　（7.5﹣10x）　公里．（用含x的代数式表示）
【点拨】根据题意可知：总路程﹣已跑的路程＝离终点的路程，然后列出相应的代数式即可．
【解析】解：由题意可得，
他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为（7.5﹣10x）公里，
故答案为：（7.5﹣10x）．
【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式即可．
例2（2023 海南）下列计算中，正确的是（　　）
A．a2 a3＝a5 B．（a3）2＝a5 C．（2a）5＝10a5 D．a4+a4＝a8
【答案】A
【点拨】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则逐项进行计算即可．
【解析】解：A．a2 a3＝a5，故A符合题意；
B．（a3）2＝a6，故B不符合题意；
C．（2a）5＝32a5，故C不符合题意；
D．a4+a4＝2a4，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，掌握同底数幂的乘法的计算方法，幂的乘方与积的乘方的运算性质以及合并同类项法则是解答的关键．
例3（2023 盐城）先化简，再求值：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b），其中a＝2，b＝﹣1．
【点拨】依据题意，利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将a，b的值代入计算即可求解．
【解析】解：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b）
＝a2+6ab+9b2+a2﹣9b2
＝2a2+6ab．
当a＝2，b＝﹣1时，
原式＝2×22+6×2×（﹣1）
＝8﹣12
＝﹣4．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＝b2．
例4（2023 济宁）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　）
A．（a+3）2＝a2+6a+9 B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y） D．a2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）
【答案】C
【点拨】本题考查因式分解﹣十字相乘，提公因式等相关知识．
【解析】解：A：（a+3）2＝a2+6a+9是完全平方公式，不是因式分解的形式，故选项A错误，
B：a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，故选项B错误，
C：5ax2﹣5ay2＝5a（x2﹣y2）＝5a（x+y）（x﹣y），故选项C正确，
D：a2﹣2a﹣8＝（a+2）（a﹣4），故选项D错误．
故答案为：C．
【点睛】本题考查因式分解，提公因式等相关知识．解题的关键是能够熟悉因式分解的定义，熟练运用因式分解中的提公因式，十字相乘等方法．
例5（2023 江西）化简（+） ．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是 　②　，乙同学解法的依据是 　③　；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】（1）②；③．
（2）2x．
【点拨】（1）甲同学的解法两个分式先通分依据是分式的基本性质，乙同学根据乘法分配律先算乘法，后算加法，这样简化运算，更简便了．
（2）选择乙同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行加法运算即可．
【解析】解：（1）甲同学的解法是：先把括号内两个分式通分后相加，再进行乘法运算，
通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：②．
乙同学的解法是：根据乘法的分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算加法，
故答案为：③．
（2）选择乙同学的解法．
（+）
＝+
＝+
＝x﹣1+x+1
＝2x．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，根据题目的特点，灵活选用合适的解法是解题的关键．
例6（2023 青岛）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【点拨】根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可．
【解析】解：与无法合并，则A不符合题意；
2﹣＝，则B不符合题意；
×＝＝，则C符合题意；
÷3＝＝，则D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
考点过关☆专项突破
类型一 代数式及其求值
1．（2023 河北）代数式﹣7x的意义可以是（　　）
A．﹣7与x的和 B．﹣7与x的差 C．﹣7与x的积 D．﹣7与x的商
【答案】C
【点拨】直接利用代数式的意义分析得出答案．
【解析】解：代数式﹣7x的意义可以是﹣7与x的积．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了代数式，掌握代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子是解题关键．
2．（2023 大庆）端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（　　）
A．20% B．25% C．75% D．80%
【答案】A
【点拨】设降价幅度为x，降价后的价格大于等于成本列式．
【解析】解：设成本为m，标价为（1+25%）m，
设降价幅度为x，
∴粽子降价出售的售价为：（1+25%）m（1﹣x），
为了不亏本，即售价大于等于成本，
（1+25%）m（1﹣x）≥m，
解得x≤20%，
故选：A．
【点睛】本题考查销售问题，解题的关键是商品的售价表示方法与成本间的比较．
3．（2023 河南）某校计划给每个年级配发n套劳动工具，则3个年级共需配发 　3n　套劳动工具．
【答案】3n
【点拨】根据题意列出代数式即可．
【解析】解：∵给每个年级配发n套劳动工具，
∴3个年级共需配发3n套劳动工具．
故答案为：3n．
【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是读懂题意，用含n的代数式表示3个年级劳动工具的套数．
4．（2023 南通）若a2﹣4a﹣12＝0，则2a2﹣8a﹣8的值为（　　）
A．24 B．20 C．18 D．16
【答案】D
【点拨】由已知条件可得a2﹣4a＝12，然后将2a2﹣8a﹣8变形后代入数值计算即可．
【解析】解：∵a2﹣4a﹣12＝0，
∴a2﹣4a＝12，
∴2a2﹣8a﹣8
＝2（a2﹣4a）﹣8
＝2×12﹣8
＝24﹣8
＝16，
故选：D．
【点睛】本题考查代数式求值，将2a2﹣8a﹣8变形为2（a2﹣4a）﹣8是解题的关键．
5．（2023 宁夏）如图是某种杆秤．在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡．秤盘放入x克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡．测得x与y的几组对应数据如下表：
x/克 0 2 4 6 10
y/毫米 10 14 18 22 30
由表中数据的规律可知，当x＝20克时，y＝　50　毫米．
【答案】50．
【点拨】观察列表中数据可知当放入x克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为（10+2x）毫米，把x＝20代入求值即可．
【解析】解：由题可得当放入0克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10毫米，
当放入2克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×2＝14（毫米），
当放入4克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×4＝18（毫米），
当放入6克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×6＝22（毫米），
当放入8克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×8＝26（毫米），
当放入10克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×10＝22（毫米），
……
所以当放入x克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为（10+2x）毫米，
当放入x＝20克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×20＝50（毫米），
故答案为：50．
【点睛】此题主要是考查了列代数式，代数式求值，能够根据题意列出代数式是解答此题的关键．
类型二 整式的相关概念及其运算
1．（2021 海南）下列整式中，是二次单项式的是（　　）
A．x2+1 B．xy C．x2y D．﹣3x
【答案】B
【点拨】根据单项式的次数的意义判断即可．
【解析】解：A．x2+1是多项式，故A不合题意；
B．xy是二次单项式，故B符合题意；
C．x2y是次数为3的单项式，故C不符合题意；
D．﹣3x是次数为1的单项式，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了单项式，正确掌握单项式的次数确定方法是解题关键．
2．（2023 宜宾）下列计算正确的是（　　）
A．4a﹣2a＝2 B．2ab+3ba＝5ab C．a+a2＝a3 D．5x2y﹣3xy2＝2xy
【答案】B
【点拨】根据合并同类项的运算法则将各项计算后进行判断即可．
【解析】解：A．4a﹣2a＝（4﹣2）a＝2a，则A不符合题意；
B．2ab+3ba＝（2+3）ab＝5ab，则B符合题意；
C．a与a2不是同类项，无法合并，则C不符合题意；
D．5x2y与3xy2不是同类项，无法合并，则D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查合并同类项，其运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3．（2023 云南）下列计算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．（3a）2＝6a2 C．a6÷a3＝a2 D．3a2﹣a2＝2a2
【答案】D
【点拨】根据同底数幂乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂除法以及合并同类项的法则计算即可．
【解析】解：A、a2 a3＝a2+3＝a5，原式计算错误，故选项不符合题意；
B、（3a）2＝9a2，原式计算错误，故选项不符合题意；
C、a6÷a3＝a6﹣3＝a3，原式计算错误，故选项不符合题意；
D、3a2﹣a2＝2a2，计算正确，故选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂除法以及合并同类项，解题的关键是熟练掌握相关的定义和法则．
4．（2023 陕西）计算：＝（　　）
A．3x4y5 B．﹣3x4y5 C．3x3y6 D．﹣3x3y6
【答案】B
【点拨】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．
【解析】解：
＝6×（﹣）x1+3y2+3
＝﹣3x4y5．
故选：B．
【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．（2023 成都）下列计算正确的是（　　）
A．（﹣3x）2＝﹣9x2 B．7x+5x＝12x2 C．（x﹣3）2＝x2﹣6x+9 D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2+4y2
【答案】C
【点拨】利用幂的乘方与积的乘方的性质，合并同类项的法则，完全平方公式和平方差公式对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解析】解：∵（﹣3x）2＝9x2，
∴A选项的运算不正确，不符合题意；
∵7x+5x＝12x，
∴B选项的运算不正确，不符合题意；
∵（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，
∴C选项的运算正确，符合题意；
∵（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2，
∴D选项的运算不正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，幂的乘方与积的乘方的性质，合并同类项的法则，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握上述性质与公式是解题的关键．
6．（2023 随州）设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【点拨】用长乘宽，列出算式，根据多项式乘多项式的运算法则展开，然后根据A、B、C类卡片的形状可得答案．
【解析】解：∵（3a+b）（2a+2b）
＝6a2+6ab+2ab+2b2
＝6a2+8ab+2b2，
∴若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为8张．
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式在几何图形问题中的应用，数形结合并明确多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
7．（2023 沈阳）当a+b＝3时，代数式2（a+2b）﹣（3a+5b）+5的值为 　2　．
【答案】2．
【点拨】先将原式去括号，然后合并同类项可得﹣a﹣b+5，再把前两项提取﹣1，然后把a+b的值代入可得结果．
【解析】解：2（a+2b）﹣（3a+5b）+5
＝2a+4b﹣3a﹣5b+5
＝﹣a﹣b+5
＝﹣（a+b）+5
当a+b＝3时，原式＝﹣3+5＝2．
故答案为：2．
【点睛】此题主要是考查了整式的化简求值，能够熟练运用去括号法则，合并同类项法则化简是解题的关键．
8．（2022 包头）若一个多项式加上3xy+2y2﹣8，结果得2xy+3y2﹣5，则这个多项式为 　y2﹣xy+3　．
【答案】y2﹣xy+3．
【点拨】现根据题意列出算式，再去掉括号合并同类项即可．
【解析】解：由题意得，这个多项式为：
（2xy+3y2﹣5）﹣（3xy+2y2﹣8）
＝2xy+3y2﹣5﹣3xy﹣2y2+8
＝y2﹣xy+3．
故答案为：y2﹣xy+3．
【点睛】本题考查整式的加减法，能根据题意列出算式是解答本题的关键．
9．（2023 丽水）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am﹣bn＝2，an+bm＝4．
（1）若a＝3，b＝4，则图1阴影部分的面积是 　25　；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 　　．
【答案】（1）25；
（2）．
【点拨】（1）根据正方形的面积公式列得代数式，然后代入数值计算即可；
（2）结合已知条件可得a2+b2＝3，利用梯形面积公式可得（m+n）2＝10，然后将题干中的两个等式分别平方再相加并整理可得（a2+b2）（m2+n2）＝20，继而求得m2+n2＝，再结合（m+n）2＝10可求得mn＝，根据正方形性质可得图2中阴影部分是一个直角三角形，利用勾股定理求得其两直角边长，再根据三角形面积公式可得其面积为mn＝．
【解析】解：（1）由题意可得图1阴影部分面积为：a2+b2，
∵a＝3，b＝4，
∴a2+b2＝32+42＝25，
故答案为：25；
（2）由题意可得a2+b2＝3，图2中四边形ABCD是直角梯形，
∵AB＝m，CD＝n，它的高为：（m+n），
∴（m+n）（m+n）＝5，
∴（m+n）2＝10，
∵am﹣bn＝2，an+bm＝4，
∴将两式分别平方并整理可得：a2m2﹣2abmn+b2n2＝4①，a2n2+2abmn+b2m2＝16②，
①+②整理得：（a2+b2）（m2+n2）＝20，
∵a2+b2＝3，
∴m2+n2＝，
∵（m+n）2＝10，
∴（m+n）2﹣（m2+n2）＝10﹣，
整理得：2mn＝，
即mn＝，
∵图2中阴影部分的三角形的其中两边是两正方形的对角线，
∴这两边构成的角为：45°+45°＝90°，
那么阴影部分的三角形为直角三角形，其两直角边的长分别为：＝m，＝n，
故阴影部分的面积为：×m×n＝mn＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式运算的实际应用，（2）中将题干中的两个等式分别平方再相加并整理后得出（a2+b2）（m2+n2）＝20是解题的关键．
10．（2023 内蒙古）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b） 其中a＝﹣1，b＝．
【答案】2a2+4ab，1．
【点拨】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，把已知数据代入得出答案．
【解析】解：原式＝a2+4b2+4ab+a2﹣4b2
＝2a2+4ab，
当a＝﹣1，b＝时，
原式＝2×（﹣1）2+4×（﹣1）×
＝2﹣1
＝1．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式化简是解题关键．
类型三 因式分解
1．（2023 益阳）下列因式分解正确的是（　　）
A．2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2 B．a2+ab+a＝a（a+b）
C．4a2﹣b2＝（4a+b）（4a﹣b） D．a3b﹣ab3＝ab（a﹣b）2
【答案】A
【点拨】利用提公因式法、公式法逐个分解得结论．
【解析】解：A选项，2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2，故该选项符合题意；
B选项，a2+ab+a＝a（a+b+1），故该选项不符合题意；
C选项，4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），故该选项不符合题意；
D选项，a3b﹣ab3＝ab（a2﹣b2）＝ab（a+b）（a﹣b），故该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
2．（2023 黄石）因式分解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝　（y﹣1）（x﹣4）　．
【答案】（y﹣1）（x﹣4）．
【点拨】将整式x（y﹣1）+4（1﹣y）变形含有公因式（y﹣1），提取即可．
【解析】解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝x（y﹣1）﹣4（y﹣1）＝（y﹣1）（x﹣4）．
【点睛】本题考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，找到公因式是本题分解因式的关键．
3．（2022 苏州）已知x+y＝4，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝　24　．
【答案】24．
【点拨】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案．
【解析】解：∵x+y＝4，x﹣y＝6，
∴x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）
＝4×6
＝24．
故答案为：24．
【点睛】此题主要考查了公式法因式分解，正确将原式变形是解题关键．
4．（2023 东营）因式分解：3ma2﹣6mab+3mb2＝　3m（a﹣b）2　．
【答案】3m（a﹣b）2．
【点拨】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
【解析】解：3ma2﹣6mab+3mb2
＝3m（a2﹣2ab+b2）
＝3m（a﹣b）2，
故答案为：3m（a﹣b）2．
【点睛】本题考查因式分解，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5．（2023 河北）若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（　　）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【答案】B
【点拨】先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可．
【解析】解：（2k+3）2﹣4k2
＝4k2+12k+9﹣4k2
＝12k+9
＝3（4k+3），
∵k为任意整数，
∴（2k+3）2﹣4k2的值总能被3整除，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，能求出（2k+3）2﹣4k2＝3（4k+3）是解此题的关键．
6．（2023 成都）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧优数，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 　15　；第23个智慧优数是 　57　．
【答案】15，57．
【点拨】根据新定义m2﹣n2，可以分别列出m2和n2的值，进而即可求解．
【解析】解：注意到m﹣n＞1，知m﹣n≥2，∴m≥n+2．当m＝n+2时，由 （n+2）2﹣n2＝4+4n产生的智慧优数为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，……当m＝n+3时，由 （n+3）2﹣n2＝9+6n产生的智慧优数为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，……当m＝n+4时，由（n+4）2﹣n2＝16+8n并产生的智慧优数为：24，32，40，48，56，64，72，80，……当m＝n+5时，由（n+5）2﹣n2＝25+10n产生的智慧优数为：35，45，55，65，75，85，……当m＝n+6时，由（n+6）2﹣n2＝36+12n产生的智慧优数为：48，60，72，84，……当m＝n+7时，由（n+7）2﹣n2＝49+14n．产生的智慧优数为：63，77，91，……当m＝n+8时，由（n+8）2﹣n2＝64+16n产生的智慧优数为：80，96，…………综上，将上述产生的智慧优数从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，57，60，63，64，65，68，69，……故第3个智慧优数是15；第23个智慧优数是57．故答案为：15，57．
【点睛】本题考查新定义下智慧优数的计算和分类，根据规律计算求解，解题的关键是能有分类进行求解．
类型四 分式及其运算
1．（2023 广西）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠1 D．x≠2
【答案】A
【点拨】根据分式有意义的条件解答即可．
【解析】解：∵分式有意义，
∴x+1≠0，
解得x≠﹣1．
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
2．（2023 凉山州）分式的值为0，则x的值是（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．0或1
【答案】A
【点拨】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算．
【解析】解：∵分式的值为0，
∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，
解得：x＝0，
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
3．（2023 兰州）计算：＝（　　）
A．a﹣5 B．a+5 C．5 D．a
【答案】D
【点拨】先把分式的分子因式分解，再约分即可．
【解析】解：
＝
＝a，
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式的约分，约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
4．（2023 天津）计算的结果等于（　　）
A．﹣1 B．x﹣1 C． D．
【答案】C
【点拨】由于是异分母的分式的加减，所以先通分，化为同分母的分式，然后进行加减即可．
【解析】解：
＝
＝
＝
＝，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的加减，计算时首先判断分母是否相同，然后利用分式加减的法则计算即可．
5．（2023 赤峰）化简+x﹣2的结果是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【点拨】利用分式的加法法则进行计算即可．
【解析】解：原式＝+
＝
＝，
故选：D．
【点睛】本题考查分式的加法运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6．（2023 福建）已知+＝1，且a≠﹣b，则的值为 　1　．
【答案】1
【点拨】根据+＝1，可得ab＝2a+b，再代入即可求出答案．
【解析】解：∵+＝1，
∴+＝＝1，
∴ab＝2a+b，
∴＝＝＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了分式的加减法和分式的值，熟练掌握分式的运算法则是关键．
7．（2023 苏州）先化简，再求值： ﹣，其中a＝．
【答案】，﹣1．
【点拨】直接利用分式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
【解析】解：原式＝ ﹣
＝﹣
＝
＝，
当a＝时，
原式＝
＝﹣1．
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
8．（2023 张家界）先化简（x﹣1﹣）÷，然后从﹣1，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．
【答案】x+1，将x＝1代入得2．
【点拨】先根据整式的运算法则进行运算，再化简结果，注意代入的值不可令分母为0，求解即可．
【解析】解：（x﹣1﹣）÷
＝[]
＝
＝x+1，
∵x+1≠0，x2+2x+1≠0，x2﹣4≠0，
∴x≠﹣1，x≠±2，
将x＝1代入上式，得：原式＝1+1＝2．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，注意分母不能为零．
类型五 二次根式及其运算
1．（2023 无锡）若二次根式有意义，则x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【点拨】根据二次根式有意义的条件可得1﹣2x≥0，再解不等式即可．
【解析】解：由题意得：1﹣2x≥0，
解得：x≤．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2．（2023 泰州）计算等于（　　）
A．±2 B．2 C．4 D．
【答案】B
【点拨】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解析】解：＝2．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
3．（2023 烟台）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【点拨】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得出答案即可．
【解析】解：A．＝2，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B．和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C．＝2，和是同类二次根式，故本选项符合题意；
D．＝2，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
4．（2023 西宁）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【点拨】直接利用二次根式的混合运算法则分别计算，进而判断得出答案．
【解析】解：A．+无法合并，故此选项不合题意；
B．＝5，故此选项不合题意；
C．（3﹣）2＝11﹣6，故此选项符合题意；
D．6÷×＝9，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（2023 聊城）计算：（﹣3）÷＝　3　．
【答案】3．
【点拨】直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解析】解：原式＝（4﹣3×）÷
＝（4﹣）÷
＝3÷
＝3．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（2023 天津）计算的结果为 　1　．
【答案】1．
【点拨】利用平方差公式进行计算，即可解答．
【解析】解：
＝（）2﹣（）2
＝7﹣6
＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
7．（2023 金昌）计算：÷×2﹣6．
【答案】6．
【点拨】直接利用二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案．
【解析】解：原式＝3××2﹣6
＝12﹣6
＝6．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
8．（2021 西宁）计算：（+3）（﹣3）﹣（﹣1）2．
【答案】﹣8+2．
【点拨】利用平方差公式和完全平方公式计算．
【解析】解：原式＝5﹣9﹣（3﹣2+1）
＝﹣4﹣4+2
＝﹣8+2．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和乘法公式是解决问题的关键．
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