资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题3 规律探索问题
考点扫描☆聚焦中考
规律探索问题是中考数学中的常考问题，往往以选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等。规律探索问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、思路点拨、推理，探究其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。这类问题，因其独特的规律性和探究性，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求，在近几年全国各地的中考试题中，不仅频频出现规律探究题，而且“花样百出”.
1.数式的变化规律问题
此类问题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
2.图形的变化规律问题
图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
3.点的坐标的变化规律问题
解决此类问题需要深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义；探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律；探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
考点剖析☆典型例题
例1 （2023 牡丹江）观察下面两行数：
1，5，11，19，29，…；
1，3，6，10，15，…．
取每行数的第7个数，计算这两个数的和是（　　）
A．92 B．87 C．83 D．78
【答案】C
【点拨】观察第2行数可知第n个数为1+2+3+…+n，第一行数的第n个数为第2行第n个数的2倍减1，即可求出每行数的第7个数，从而得到答案．
【解析】解：观察第2行数可知，第7个数为：1+2+3+4+5+6+7＝28，
第1行的第7个数为28×2﹣1＝55，
∵28+55＝83，
∴取每行数的第7个数，这两个数的和是83；
故选：C．
【点睛】本题考查数字的变化类问题，解题的关键是观察得到两行数字的变化规律．
例2（2023 临沂）观察下列式子：
1×3+1＝22；
2×4+1＝32；
3×5+1＝42；
…
按照上述规律，　（n﹣1）（n+1）+1　＝n2．
【答案】（n﹣1）（n+1）+1．
【点拨】根据数字的变化规律，写出第（n﹣1）个等式即可．
【解析】解：观察下列式子：
1×3+1＝22；
2×4+1＝32；
3×5+1＝42；
…；
按照上述规律，（n﹣1）（n+1）+1＝n2．
故答案为：（n﹣1）（n+1）+1．
【点睛】本题考查了数字的变化，根据数字的变化找出其规律是解本题的关键．
例3（2023 重庆）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（　　）
A．39 B．44 C．49 D．54
【答案】B
【点拨】根据图形可以写出前几个图案需要的小木棒的数量，即可发现小木棒数量的变化规律，从而可以解答本题．
【解析】解：由图可得，图案①有：4+5＝9根小木棒，
图案②有：4+5×2＝14根小木棒，
图案③有：4+5×3＝19根小木棒，
…，
∴第n个图案有：（4+5n）根小木棒，
∴第⑧个图案有：4+5×8＝44根小木棒，
故选：B．
【点睛】本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
例4（2023 泰安）已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A2，A3，A5，…都在x轴正半轴上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，则点A2023的坐标是 　（2023，）　．
【答案】（2023，）．
【点拨】根据正三角形的性质以及三角形的排列规律可得点A1横坐标为1，点A2横坐标为2，点A3横坐标为3，点A4横坐标为4，…因此点A2023横坐标为2023，再根据这些正三角形的排列规律得出点A2023在第一象限，求出点A2023的纵坐标为，得出答案．
【解析】解：如图，过点A1，A4，A7，A10，A13，……A2023分别作x轴的垂线，
∵△A1A2O是边长为2正三角形，
∴OB＝BA2＝1，A1B＝＝，
∴点A1横坐标为1，
由题意可得，点A2横坐标为2，点A3横坐标为3，点A4横坐标为4，…
因此点A2023横坐标为2023，
∵2023÷3＝674……1，而674是偶数，
∴点A2023在第一象限，
∴点A2023的纵坐标为，
即点A2023（2023，），
故答案为：（2023，）．
【点睛】本题考查正三角形的性质以及点的坐标的规律性，掌握正三角形的性质和点的坐标的变化规律是解决问题的关键．
考点过关☆专项突破
类型一 数式的变化规律问题
1．（2022 牡丹江）观察下列数据：，﹣，，﹣，，…，则第12个数是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【答案】D
【点拨】根据给出的数据可以推算出第n个数是×（﹣1）n+1所以第12个数字把n＝12代入求值即可．
【解析】解：根据给出的数据特点可知第n个数是×（﹣1）n+1，
∴第12个数就是×（﹣1）12+1＝﹣．
故选：D．
【点睛】考查了找规律以及代数式求值问题，关键要读懂题意，能根据题意找到规律并利用规律解决问题．
2．（2023 德州）计算+的结果是（　　）
A．3m+n4 B．m3+4n C．3m+4n D．3m+4n
【答案】D
【点拨】根据乘法的意义和乘方的意义即可作出判断．
【解析】解：∵m个3相加可记为3m，n个4相乘可记为4n，
∴计算+的结果是3m+4n，
故选：D．
【点睛】本题考查乘法的意义，乘方的意义，理解乘法和乘方的意义是解题的关键．
3．（2023 常德）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则a﹣b的值为（　　）
A．2003 B．2004 C．2022 D．2023
【答案】C
【点拨】观察数表得到a，b的值，即可求出答案．
【解析】解：观察数表可得，同一行的分数，分子与分母的和不变，（m，n为正整数）在第（m+n﹣1）行，第n列，
∴在第2042行，第20列，
∴a＝2042，b＝20，
∴a﹣b＝2042﹣20＝2022，
故选：C．
【点睛】本题考查数字变化类规律问题，解题的关键是观察数表得到a，b的值．
4．（2022 新疆）将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（　　）
A．98 B．100 C．102 D．104
【答案】B
【点拨】由三角形的数阵知，第n行有n个偶数，则得出前9行有45个偶数，且第45个偶数为90，得出第10行第5个数即可．
【解析】解：由三角形的数阵知，第n行有n个偶数，
则得出前9行有1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45个偶数，
∴第9行最后一个数为90，
∴第10行第5个数是90+2×5＝100，
故选：B．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，根据数字的变化得出第9行最后一个数字是解题的关键．
5．（2021 镇江）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（　　）
A．A1 B．B1 C．A2 D．B3
【答案】B
【点拨】把A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于789，可求相应的n的值，即可判断．
【解析】解：由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，
整理得：2n＝260，
则n不是整数，故A1的值不可以等于789；
A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，
整理得：2n＝254，
则n不是整数，故A2的值不可以等于789；
B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，
整理得：2n＝256＝28，
则n是整数，故B1的值可以等于789；
B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，
整理得：2n＝252，
则n不是整数，故B3的值不可以等于789；
故选：B．
【点睛】本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式子．
6．（2023 西藏）按一定规律排列的单项式：5a，8a2，11a3，14a4，…．则按此规律排列的第n个单项式为 　（3n+2）an　．（用含有n的代数式表示）
【答案】（3n+2）an．
【点拨】根据系数和字母的次数与单项式的序号关系写出即可．
【解析】解：∵第n个单项式的系数可表示为：3n+2，字母a的指数可表示为：n，
∴第n个单项式为：（3n+2）an．
【点睛】本题考查数字变化类规律探究，掌握单项式的系数和次数并发现其变化规律是解题的关键．
7．（2023 岳阳）观察下列式子：
12﹣1＝1×0；22﹣2＝2×1；32﹣3＝3×2；42﹣4＝4×3；52﹣5＝5×4；…
依此规律，则第n（n为正整数）个等式是 　n2﹣n＝n（n﹣1）　．
【答案】n2﹣n＝n（n﹣1）．
【点拨】观察等式左边的特点，即第n个式子就是n的平方减去n；右边的特点是n与（n﹣1）的积．
【解析】解：12﹣1＝1×0；
22﹣2＝2×1；
32﹣3＝3×2；
42﹣4＝4×3；
52﹣5＝5×4；
…；
依此规律，则第n（n为正整数）个等式是：n2﹣n＝n（n﹣1）．
故答案为：n2﹣n＝n（n﹣1）．
【点睛】此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现其中的规律是解本题的关键．
8．（2023 甘孜州）有一列数，记第n个数为an，已知a1＝2，当n＞1时，an＝，则a2023的值为 　2　．
【答案】2．
【点拨】分别计算出ai（i为正整数），根据所发现的规律即可解决问题．
【解析】解：由题知，
a1＝2，
，
，
，
…
由此可知，
．
所以a2023＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查实数计算中的规律，能根据计算出的ai（i为正整数）的值发现规律是解题的关键．
9．（2023 内蒙古）观察下列各式：
S1＝＝1+，S2＝＝1+，S3＝＝1+ …
请利用你所发现的规律，计算：S1+S2+…+S50＝　50　．
【答案】50．
【点拨】由题干中的式子总结规律，然后利用裂项法进行计算即可．
【解析】解：S1+S2+…+S50
＝1++1++1++...+1+
＝（1+1+1+...+1）+（+++...+）
＝1×50+（1﹣+﹣+﹣+...+﹣）
＝50+（1﹣）
＝50+
＝50，
故答案为：50．
【点睛】本题考查数式规律问题及有理数的运算，总结规律列出正确的式子并利用裂项法进行简便运算是解题的关键．
10．（2023 聊城）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：（3，5）；（7，10）；（13，17）；（21，26）；（31，37）…如果单独把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对：　（n2+n+1，n2+2n+2）　．
【答案】（n2+n+1，n2+2n+2）．
【点拨】根据题意把每一个数对中的第一个数字和第二个数字按顺序排列起来，可发现第n个数对的第一个数为n（n+1）+1，“第n个数对的第二个数为（n+1）2+1，于是得到结论．
【解析】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，．．．，
即1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，5×6+1，..．，
则第n个数对的第一个数为n2+n+1，
每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，..．，
即22+1，32+1，42+1，52+1，．．．，
则第n个数对的第二个数为（n+1）2+1＝n2+2n+2，
∴第n个数对为（n2+n+1，n2+2n+2）．
故答案为：（n2+n+1，n2+2n+2）．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，找出数字的排列规律，利用拐弯处数字的差的规律求得结果是解题的关键．
11．（2023 浙江）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…
（1）写出192﹣172的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】（1）72；
（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）见解答．
【点拨】（1）根据题目中的例子，可以写出192﹣172的结果；
（2）根据题目中给出的式子，可以得到（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）将（2）中等号左边的式子利用平方差公式计算即可．
【解析】解：（1）∵17＝2×9﹣1，
∴192﹣172＝8×9＝72；
（2）由题意可得，
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]
＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）
＝4n×2
＝8n，
∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n正确．
【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点．
类型二 图形的变化规律问题
1．（2023 重庆）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（　　）
A．14 B．20 C．23 D．26
【答案】B
【点拨】根据前4个图中的个数找到规律，再求解．
【解析】解：第①个图案中有2个圆圈，
第②个图案中有2+3×1＝5个圆圈，
第③个图案中有2+3×2＝8个圆圈，
第④个图案中有2+3×3＝11个圆圈，
...，
则第⑦个图案中圆圈的个数为：2+3×6＝20，
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型﹣图形的变化类，找到变换规律是解题的关键．
2．（2022 广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（　　）
A．252 B．253 C．336 D．337
【答案】B
【点拨】根据图形特征，第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，按此规律，得出第n个图形需要的小木棒根数即可．
【解析】解：由题意知，第1个图形需要6根小木棒，
第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，
第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，
按此规律，第n个图形需要6n+2（n﹣1）＝（8n﹣2）根小木棒，
当8n﹣2＝2022时，
解得n＝253，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，解决问题的关键是由特殊找到规律：第n个图形需要（8n﹣2）根小木棒是解题的关键．
3．（2022 玉林）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（　　）
A．4 B．2 C．2 D．0
【答案】B
【点拨】分别计算红跳棋和黑跳棋过2022秒钟后的位置，红跳棋跳回到A点，黑跳棋跳到F点，可得结论．
【解析】解：∵红跳棋从A点按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，
∴红跳棋每过6秒返回到A点，
2022÷6＝337，
∴经过2022秒钟后，红跳棋跳回到A点，
∵黑跳棋从A点按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，
∴黑跳棋每过18秒返回到A点，
2022÷18＝112 6，
∴经过2022秒钟后，黑跳棋跳到E点，
连接AE，过点F作FM⊥AE，
由题意可得：AF＝AE＝2，∠AFE＝120°，
∴∠FAE＝30°，
在Rt△AFM中，AM＝AF＝，
∴AE＝2AM＝2，
∴经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是2．
故选：B．
【点睛】本题考查了正六边形和两动点运动问题，根据方向和速度确定经过2022秒钟后两枚跳棋的位置是解本题的关键．
4．（2022 荆州）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形AnBn nDn的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【点拨】连接A1C1，D1B1，可知四边形A1B1C1D1的面积为矩形ABCD面积的一半，则S1＝ab，再根据三角形中位线定理可得C2D2＝C1，A2D2＝B1D1，则S2＝C1×B1D1＝ab，依此可得规律．
【解析】解：如图，连接A1C1，D1B1，
∵顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，
∴四边形A1BCC1是矩形，
∴A1C1＝BC，A1C1∥BC，
同理，B1D1＝AB，B1D1∥AB，
∴A1C1⊥B1D1，
∴S1＝ab，
∵顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2，
∴C2D2＝C1，A2D2＝B1D1，
∴S2＝C1×B1D1＝ab，
……
依此可得Sn＝，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理等知识，通过计算S1、S2发现规律是解决问题的关键．
5．（2023 绥化）在求1+2+3+…+100的值时，发现：1+100＝101，2+99＝101…，从而得到1+2+3+…+100＝101×50＝5050．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作a1＝1；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作a2＝5；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作a3＝9；按此方法继续下去，则a1+a2+a3+…+an＝　2n2﹣n　.（结果用含n的代数式表示）
【答案】2n2﹣n．
【点拨】根据题意可求得an＝4n﹣3，从而可求解．
【解析】解：∵图（1）有1个三角形，记作a1＝1；
图（2）有5个三角形，记作a2＝5＝1+4＝1+4×1；
图（3）有9个三角形，记作a3＝9＝1+4+4＝1+4×2；
…，
∴图（n）中三角形的个数为：an＝1+4（n﹣1）＝4n﹣3，
∴a1+a2+a3+…+an
＝1+5+9+…+（4n﹣3）
＝
＝2n2﹣n．
故答案为：2n2﹣n．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出an＝4n﹣3．
6．（2022 德阳）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：
其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2＝3，第三个三角形数是1+2+3＝6，……
图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1+3＝4，第三个正方形数是1+3+5＝9，……
……
由此类推，图④中第五个正六边形数是 　45　．
【答案】45．
【点拨】根据前三个图形的变化寻找规律，即可解决问题．
【解析】解：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2＝3，第三个三角形数是1+2+3＝6，……
图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1+3＝4，第三个正方形数是1+3+5＝9，……
图③的点数叫做五边形数，从上至下第一个五边形数是1，第二个五边形数是1+4＝5，第三个五边形数是1+4+7＝12，……
由此类推，图④中第五个正六边形数是1+5+9+13+17＝45．
故答案为：45．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，数学常识，解题的关键是找出变化规律．
7．（2022 遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 　127　．
【答案】127．
【点拨】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
【解析】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2＝3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22＝7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23＝15（个），
.....．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26＝127（个），
故答案为：127．
【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
8．（2023 安徽）【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中“◎”的个数为 　3n　；
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，……，第n个图案中“★”的个数可表示为 　　．
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+……+n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍．
【答案】见解析
【点拨】（1）不难看出，第1个图案中“◎”的个数为：3＝1+2，第2个图案中“◎”的个数为：6＝1+2+2+1，第3个图案中“◎”的个数为：9＝1+2+2+3+1，…，从而可求第n个图案中“◎”的个数；
（2）根据所给的规律进行总结即可；
（3）结合（1）（2）列出相应的式子求解即可．
【解析】解：（1）∵第1个图案中“◎”的个数为：3＝1+2，
第2个图案中“◎”的个数为：6＝1+2+2+1，
第3个图案中“◎”的个数为：9＝1+2+2+3+1，
…，
∴第n个图案中“◎”的个数：1+2（n﹣1）+n+1＝3n，
故答案为：3n；
（2）由题意得：第n个图案中“★”的个数可表示为：；
故答案为：；
（3）由题意得：＝2×3n，
解得：n＝11或n＝0（不符合题意）．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
类型三 点的坐标的变化规律问题
1．（2023 邹城市校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2023秒时，点P的坐标是（　　）
A．（2023，﹣1） B．（2023，0） C．（2023，2） D．（2023，1）
【答案】A
【点拨】两个半圆为一个周期循环出现，奇数在x轴上方，偶数在x轴下方．
【解析】解：2023×÷π＝＝1011.5，
1011×2＝2022，
2022+1＝2023，
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标，找到周期的规律是解题的关键．
2．（2023 日照）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1+2+3+4+ +100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到1+2+3+4+ +100＝．人们借助于这样的方法，得到1+2+3+4+ +n＝（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点Ai（xi，yi），其中i＝1，2，3， ，n， ，且xi，yi是整数．记an＝xn+yn，如A1（0，0），即a1＝0，A2（1，0），即a2＝1，A3（1，﹣1），即a3＝0， ，以此类推．则下列结论正确的是（　　）
A．a2023＝40 B．a2024＝43 C．＝2n﹣6 D．＝2n﹣4
【答案】B
【点拨】利用图形寻找规律A（2n﹣1）2（n﹣1，n﹣1），再利用规律解题即可．
【解析】解：第1圈有1个点，即A1（0，0），这时a1＝0；
第2圈有8个点，即A2到A9（1，1），这时a9＝1+1＝2；
第3圈有16个点，即A10到A25（2，2），这时a25＝2+2＝4；
……，
依次类推，第n圈，A（2n﹣1）2（n﹣1，n﹣1）；
由规律可知：A2023是在第23圈上，且A2025（22，22），则A2023（20，22），即a2023＝20+22＝42，故A选项不正确；
A2024是在第23圈上，且A2024（21，22），即a2024＝21+22＝43，故选项B正确；
第n圈，A（2n﹣1）2（n﹣1，n﹣1），所以a（2n﹣1）2＝2n﹣2，故C，D选项不正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．
3．（2022 河南）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（　　）
A．（，﹣1） B．（﹣1，﹣） C．（﹣，﹣1） D．（1，）
【答案】B
【点拨】由正六边形的性质可得A（1，），再根据由360°÷90°＝4可知，每4次为一个循环，由2022÷4＝505……2，可知点A2022与点A2重合，求出点A2的坐标可得答案．
【解析】解：∵边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，
∴OA＝AB＝2，∠BAO＝60°，
∵AB∥x轴，
∴∠APO＝90°，
∴∠AOP＝30°，
∴AP＝1，OP＝，
∴A（1，），
∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可知点A2与D重合，
由360°÷90°＝4可知，每4次为一个循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴点A2022与点A2重合，
∵点A2与点A关于原点O对称，
∴A2（﹣1，﹣），
∴第2022次旋转结束时，点A的坐标为（﹣1，﹣），
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，根据旋转的性质确定每4次为一个循环是解题的关键．
4．（2023 福山区一模）在生活中有许多图案都与1，1，2，3，5，8，13，…这组数有关为了进一步研究，在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作90°的圆弧，，，…，得到一组螺旋线，连接P1P2，P2P3，P3P4，…，得一组螺旋折线，如图所示．已知各点坐标分别为P1（﹣1，0），P2（0，1），P3（1，0），则点P7的坐标为（　　）
A．（6，1） B．（8，﹣1） C．（9，﹣2） D．（10，﹣3）
【答案】C
【点拨】观察图象，找出每个点的运动轨迹与斐波那契数结合推出P7的位置，即可解决问题．
【解析】解：观察发现：P1（﹣1，0）先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到P2（0，1）；
P2（0，1）先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到P3（1，0）；
P3（1，0）先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到P4（﹣1，﹣2）；
P4（﹣1，﹣2）先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到P5（﹣4，1）；
P5（﹣4，1）先向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到P6（1，6）．
根据斐波那契数，P6（1，6）应先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到P7（9，﹣2）．
故选：C．
【点睛】本题考查在平面直角坐标系中的点的坐标规律．考查了学生数形结合的能力，解题的关键是找出每个点的坐标及运动规律，推出答案即可．在做题时一定要理解题意
5．（2023 惠东县二模）如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以正方形的对角线作正方形，…，依此规律，则点A8的坐标是 　（0，16）　．
【答案】（0，16）．
【点拨】根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以，所以可求出从A到A3的后变化的坐标，再求出A1、A2、A3、A4、A5，得出A8即可．
【解析】解：由图知，点A（0，1），根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以，∵从A到A3经过了3次变化，
∵45°×3＝135°，1×（）3＝2．∴点A1（1，1），A2（2，0），∴点A3所在的正方形的对角线长为2，点A3位置在第四象限．
∴点A3的坐标是（2，﹣2）；
可得出：A1点坐标为（1，1），
A2点坐标为（2，0），
A3点坐标为（2，﹣2），
A4点坐标为（0，﹣4），A5点坐标为（﹣4，﹣4），
A6（﹣8，0），A7（﹣8，8），A8（0，16）．
故答案为：（0，16）．
【点睛】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，此题难度较大．
6．（2021 潍坊）在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点An（506，﹣505），则n的值为 　2022　．
【答案】2022．
【点拨】先根据终点An（506，﹣505）在平面直角坐标系中的第四象限，所以观察图中第四象限点的特征，A6（2，﹣1），A10（3，﹣2），A14（4，﹣3） ，A的右下标从6开始，依次加4，再看下标n与横坐标的关系：n＝2+4×（506﹣1），从而得结论．
【解析】解：∵到达终点An（506，﹣505），且此点在第四象限，
根据题意和到达位置的坐标可知：A6（2，﹣1），A10（3，﹣2），A14（4，﹣3） ，
∵6＝2+4×（2﹣1），
10＝2+4×（3﹣1），
14＝2+4×（4﹣1），

n＝2+4×（506﹣1）＝2022．
故答案为：2022．
【点睛】本题主要考查学生找规律能力和数形结合的能力，解题的思路：结合图形找出坐标所在象限，从移动规律中发现其纵坐标和横坐标与点A的右下标之间的关系．
7．（2022 南京）如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点按如下规律依序排列：（0，0），（1，0），（0，1），（2，0），（1，1），（0，2），（3，0），（2，1），（1，2），（0，3），（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），…，按这个规律，则（6，7）是第 　99　个点．
【答案】99．
【点拨】先根据点的坐标，找出规律，再计算求解．
【解析】解：横纵坐标和是0的有1个点，
横纵坐标和是1的有2个点，
横纵坐标和是2的有3个点，
横纵坐标和是3的有4个点，
……，
横纵坐标和是n的有（n+1）个点，
∴6+7＝13，
∵1+2+……+12+13＝×13×（13+1）＝91，
∴横纵坐标和是13的有14点，分别为：（13，0）、（12，1）、（11，2）、（10，3）、（9，4）、（8，5）、（7，6）、（6，7）、（5，8）、（4，9）、（3，10）、（2，11）、（1，12）、（0，13）、
∴（6，7）是第91+8＝99个点，
故答案为：99．
【点睛】本题考查了点的坐标，找到坐标的排列规律是解题的关键．
8．（2022 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4…在x轴上且OA1＝1，OA2＝2OA1，OA3＝2OA2，OA4＝2OA3…按此规律，过点A1，A2，A3，A4…作x轴的垂线分别与直线y＝x交于点B1，B2，B3，B4…记△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，△OA4B4…的面积分别为S1，S2，S3，S4…则S2022＝　24041　．
【答案】24041．
【点拨】根据已知先求出OA2，OA3，OA4的长，再代入直线y＝x中，分别求出A1B1，A2B2，A3B3，A4B4，然后分别计算出S1，S2，S3，S4，再从数字上找规律进行计算即可解答．
【解析】解：∵OA1＝1，OA2＝2OA1，
∴OA2＝2，
∵OA3＝2OA2，
∴OA3＝4，
∵OA4＝2OA3，
∴OA4＝8，
把x＝1代入直线y＝x中可得：y＝，
∴A1B1＝，
把x＝2代入直线y＝x中可得：y＝2，
∴A2B2＝2，
把x＝4代入直线y＝x中可得：y＝4，
∴A3B3＝4，
把x＝8代入直线y＝x中可得：y＝8，
∴A4B4＝8，
∴S1＝OA1 A1B1＝×1×＝×20×（20×），
S2＝OA2 A2B2＝×2×2＝×21×（21×），
S3＝OA3 A3B3＝×4×4＝×22×（22×），
S4＝OA4 A4B4＝×8×8＝×23×（23×），
..．
∴S2022＝×22021×（22021×）＝24041，
故答案为：24041．
【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，含30度角的直角三角形，根据已知分别求出S1，S2，S3，S4的值，然后从数字上找规律是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题3 规律探索问题
考点扫描☆聚焦中考
规律探索问题是中考数学中的常考问题，往往以选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等。规律探索问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、思路点拨、推理，探究其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。这类问题，因其独特的规律性和探究性，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求，在近几年全国各地的中考试题中，不仅频频出现规律探究题，而且“花样百出”.
1.数式的变化规律问题
此类问题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
2.图形的变化规律问题
图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
3.点的坐标的变化规律问题
解决此类问题需要深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义；探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律；探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
考点剖析☆典型例题
例1 （2023 牡丹江）观察下面两行数：
1，5，11，19，29，…；
1，3，6，10，15，…．
取每行数的第7个数，计算这两个数的和是（　　）
A．92 B．87 C．83 D．78
例2（2023 临沂）观察下列式子：
1×3+1＝22；
2×4+1＝32；
3×5+1＝42；
…
按照上述规律，　 　＝n2．
例3（2023 重庆）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（　　）
A．39 B．44 C．49 D．54
例4（2023 泰安）已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A2，A3，A5，…都在x轴正半轴上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，则点A2023的坐标是 　 　．
考点过关☆专项突破
类型一 数式的变化规律问题
1．（2022 牡丹江）观察下列数据：，﹣，，﹣，，…，则第12个数是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．（2023 德州）计算+的结果是（　　）
A．3m+n4 B．m3+4n C．3m+4n D．3m+4n
3．（2023 常德）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则a﹣b的值为（　　）
A．2003 B．2004 C．2022 D．2023
4．（2022 新疆）将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（　　）
A．98 B．100 C．102 D．104
5．（2021 镇江）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（　　）
A．A1 B．B1 C．A2 D．B3
6．（2023 西藏）按一定规律排列的单项式：5a，8a2，11a3，14a4，…．则按此规律排列的第n个单项式为 　 　．（用含有n的代数式表示）
7．（2023 岳阳）观察下列式子：
12﹣1＝1×0；22﹣2＝2×1；32﹣3＝3×2；42﹣4＝4×3；52﹣5＝5×4；…
依此规律，则第n（n为正整数）个等式是 　．
8．（2023 甘孜州）有一列数，记第n个数为an，已知a1＝2，当n＞1时，an＝，则a2023的值为 　 　．
9．（2023 内蒙古）观察下列各式：
S1＝＝1+，S2＝＝1+，S3＝＝1+ …
请利用你所发现的规律，计算：S1+S2+…+S50＝　 　．
10．（2023 聊城）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：（3，5）；（7，10）；（13，17）；（21，26）；（31，37）…如果单独把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对：　 　．
11．（2023 浙江）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…
（1）写出192﹣172的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
类型二 图形的变化规律问题
1．（2023 重庆）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（　　）
A．14 B．20 C．23 D．26
2．（2022 广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（　　）
A．252 B．253 C．336 D．337
3．（2022 玉林）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（　　）
A．4 B．2 C．2 D．0
4．（2022 荆州）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形AnBn nDn的面积是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023 绥化）在求1+2+3+…+100的值时，发现：1+100＝101，2+99＝101…，从而得到1+2+3+…+100＝101×50＝5050．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作a1＝1；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作a2＝5；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作a3＝9；按此方法继续下去，则a1+a2+a3+…+an＝　 　.（结果用含n的代数式表示）
6．（2022 德阳）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：
其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2＝3，第三个三角形数是1+2+3＝6，……
图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1+3＝4，第三个正方形数是1+3+5＝9，……
……
由此类推，图④中第五个正六边形数是 　 　．
7．（2022 遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 　 　．
8．（2023 安徽）【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中“◎”的个数为 　3n　；
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，……，第n个图案中“★”的个数可表示为 　　．
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+……+n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍．
类型三 点的坐标的变化规律问题
1．（2023 邹城市校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2023秒时，点P的坐标是（　　）
A．（2023，﹣1） B．（2023，0） C．（2023，2） D．（2023，1）
2．（2023 日照）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1+2+3+4+ +100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到1+2+3+4+ +100＝．人们借助于这样的方法，得到1+2+3+4+ +n＝（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点Ai（xi，yi），其中i＝1，2，3， ，n， ，且xi，yi是整数．记an＝xn+yn，如A1（0，0），即a1＝0，A2（1，0），即a2＝1，A3（1，﹣1），即a3＝0， ，以此类推．则下列结论正确的是（　　）
A．a2023＝40 B．a2024＝43 C．＝2n﹣6 D．＝2n﹣4
3．（2022 河南）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（　　）
A．（，﹣1） B．（﹣1，﹣） C．（﹣，﹣1） D．（1，）
4．（2023 福山区一模）在生活中有许多图案都与1，1，2，3，5，8，13，…这组数有关为了进一步研究，在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作90°的圆弧，，，…，得到一组螺旋线，连接P1P2，P2P3，P3P4，…，得一组螺旋折线，如图所示．已知各点坐标分别为P1（﹣1，0），P2（0，1），P3（1，0），则点P7的坐标为（　　）
A．（6，1） B．（8，﹣1） C．（9，﹣2） D．（10，﹣3）
5．（2023 惠东县二模）如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以正方形的对角线作正方形，…，依此规律，则点A8的坐标是 　 　．
6．（2021 潍坊）在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点An（506，﹣505），则n的值为 　 　．
7．（2022 南京）如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点按如下规律依序排列：（0，0），（1，0），（0，1），（2，0），（1，1），（0，2），（3，0），（2，1），（1，2），（0，3），（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），…，按这个规律，则（6，7）是第 　　个点．
8．（2022 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4…在x轴上且OA1＝1，OA2＝2OA1，OA3＝2OA2，OA4＝2OA3…按此规律，过点A1，A2，A3，A4…作x轴的垂线分别与直线y＝x交于点B1，B2，B3，B4…记△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，△OA4B4…的面积分别为S1，S2，S3，S4…则S2022＝　 　．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑