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2024年上学期七年级数学练习（一）试题卷
练习范围：七年级下册第一章－第三章第一节．
总分120分，练习时长120分钟．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如图，的同位角是（ ）
A． B． C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．在同一平面内有，，三条直线，若，且与相交，那么与的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定
4．已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点在线段的延长线上，下列四个结论中正确的个数是（ ）
①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么

A．1 B．2 C．3 D．4
6．李明一家自驾旅行，车上备了一些矿泉水，如果每人分2瓶，则多出4瓶，如果每人分3瓶，则有一人少一瓶．设这一行人共有人，矿泉水一共瓶，下列方程组中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图1，数学课上，老师在黑板上画出两条直线，，两条直线所成的角跑到黑板外面去了，老师让小明在黑板上测量出直线，所成的角的度数，小明在图 2 中画出测量示意图，过直线上一点，作．测量与的夹角就是、所成的角的度数．这种画图方法的数学依据是（ ）．

A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等
8．若与的两边分别平行，且，，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
9．已知关于，的方程组的解是．则关于，的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落位，的位置．再将沿翻折得到，①若，则．②若点恰好落在线段上．则．关于上述两个结论说法正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．已知，用含的代数式表示，则 ．
12．如图，沿方向向右平移后得到，若，，则 ．
13．如图，直线，被直线所截，，若要使，则 ．
14．对于，定义一种新运算（，是非零常数）．例如．若，，则 ， ．
15．图1，由两个相同的小长方形组成的图形周长为10，图2中在长方形内放置了若干个相同的小长方形，则长方形的周长为 ．
16．图1 是一盏可折叠台灯，图 2，图 3 是其平面示意图，固定底座于点，支架与分别可绕点和旋转，台灯灯罩且可绕点旋转调节光线角度，台灯最外侧光线，组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，，此时，则 ．现继续调节图2中的支架与灯罩，发现当最外侧光线与水平方向的夹角，且的角平分线与垂直时，光线最适合阅读（如图3），则此时 ．
三、解答题（共66分）
17．解方程组：
(1)；
(2)．
18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上，点也在格点上．用无刻度的直尺在网格内按要求完成作图并回答问题：
(1)过点作一条线段平行且等于．
(2)将图中三角形先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到三角形，
①在图中作出平移后的三角形．
②在平移过程中，线段扫过的面积为________．
19．甲、乙两名同学在解方程组时，甲同学因看错了，从而求得解为，乙同学因看错了，从而求得解为，计算，并用幂的形式表示结果．
20．如图，已知，且．

(1)判断与的数量关系，并说明理由；
(2)若平分，，求的度数．
21．已知关于，的方程组．
(1)若方程组的解满足，求的值．
(2)当取不同实数时，的值是否发生变化，如果不变，求出的值，如果改变，请说明理由．
(3)，的自然数解是________．
22．（1）阅读并补全上述推理过程．
如图1，已知点在外一点，连接，．求的度数．
解：过点作，
________，________．（ ）
又．
________．
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
（2）如图2所示，已知，、交于点，，在图2的情况下求的度数．
（3）如图3，已知，、交于点，、分别平分、，直线与直线交于点，若，则________．

23．塘栖枇杷是余杭的特色产品，肉质细嫩、汁多味鲜，塘栖枇杷有着非常悠久的历史，据相关文献记载，塘栖枇杷的种植距今已经有 1400多年的历史．某销售商将塘栖枇杷分成型、型两种礼盒进行销售，①型每盒，每盒售价元；②型每盒，每盒售价比型价格的2倍少50元．某位顾客买了一盒型，两盒型，一共花费340 元．
(1)请问型、型售价分别是多少元？
(2)假设用这两种包装方式恰好包装完所有的枇杷．销售总收入为9820元．
①若这批塘栖枇杷全部售完，请问型、型分别有多少盒？
②若该销售商留下盒型礼盒送人，剩余礼盒全部售出，求出的值．
24．如图，已知射线直线，点、分别是射线、射线上的动点，．
(1)直线与有何位置关系？请说明理由；
(2)若点在直线上，且满足，平分交直线于点．
①当、运动时，________．
②若，求的度数．
③若，绕点逆时针旋转，旋转角为，则在旋转过程中，的边与的某一边平行时，直接写出此时的值．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查的是同位角定义，根据同位角定义直接判断即可．
【详解】解：根据同位角定义，的同位角是，
故选：B．
2．C
【分析】根据同底数幂相乘的运算法则解答即可．
【详解】解：
故答案为C．
【点睛】本题考查了同底数幂的运算法则，掌握同底数幂相乘，底数不变、指数相加是解答本题的关键．
3．B
【分析】
本题考查平行公理，根据平行于同一条直线的两条直线平行，进行判断即可．
【详解】解：若，且与相交，
∴与相交，
故选B．
4．A
【分析】
本题考查二元一次方程组的解，根据方程组的解使方程组中的每一个方程都成立，求出的值，再将方程组的解分别代入各个选项中，进行判断即可．
【详解】解：∵二元一次方程组的解是，
∴，
∴，
∴，
∴，，，；
故*表示的方程可能是；
故选A．
5．C
【分析】
本题考查平行线的性质和判定，根据平行线的性质和判定定理，逐一进行判断即可．
【详解】解：如果，那么，故①错误；
如果，那么，故②正确；
如果，那么，故③正确；
如果，那么，故④正确；
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据题意列出方程是解题的关键．设这一行人共有人，矿泉水一共瓶，如果每人分2瓶，则多出4瓶，如果每人分3瓶，则有一人少一瓶，即可方程组求解．
【详解】解：设这一行人共有人，矿泉水一共瓶，则：
，
故答案为：B．
7．C
【分析】
本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；把直线a、b延伸，交于一点，进而问题可求解．
【详解】解：如图，

∵，
∴，
∴夹角就是、所成的角的度数，
故选C．
8．C
【分析】
本题考查平行线的性质，分两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：当两角相等时，如图，
∴，
解得：，
∴；
当两角互补时，如图：
∴，
解得：，
∴；
故选C．
9．D
【分析】
本题考查解二元一次方程组，利用换元法，得到的解为，进一步求解即可．
【详解】解：可化为：，
∵关于，的方程组的解是，
∴的解为：；
解得：．
故选D．
10．C
【分析】
本题主要考查的是矩形与折叠的问题，平行线的性质、以及三角形内角和定理，由折叠性质得到角相等是关键．①设，，根据三角形内角和定理求出，，延长交于点根据平行线的性质证明，即可求解；②同①方法得，进而解决问题．
【详解】解：①由折叠性质得：
，，，
延长交于点，如图，
设，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
故①正确，
②由折叠性质得：，，
设，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故②正确，
故选：C．
11．
【分析】
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将其中一个当做已知数求出另一个未知数．
把x看作已知数求出y即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：
12．
【分析】
本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可得即可求解．
【详解】解：∵沿方向向右平移后得到，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
13．##78度
【分析】
本题考查平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行，进行求解即可．
【详解】解：∵，为同旁内角，
∴当，即：时，；
故答案为：．
14．
【分析】
本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，正确理解新定义是解题的关键．
根据定义，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：∵，，
∴ ，
解得： ．
故答案为：，．
15．30
【分析】此题主要考查了列代数式、求代数式的值、整式的加减等知识，整体代入是解题的关键．设小长方形的长为，宽为，根据题意得到，然后表示出长方形的长为，宽为，进一步即可求解．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，
则由图1可知，，
∴，
由图2可知，长方形的长为，宽为，
∴长方形的周长为，
故答案为：30
16． ##68度 ##95度
【分析】
本题考查平行线的判定和性质．三角形外角的性质，如图，过点A作，过点B作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到；过点A作，过点作交于点，根据上述证明可得，再利用角平分线的性质和三角形外角定义，求得，再求得，即可解答，解题的关键是添加辅助线，构造平行线．
【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，过点A作，过点作交于点，
，
,
，平分，
，
,
，
，
角平分线与垂直，
，
，
，
故答案为：；．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解此题的关键．
（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：，
将代入得：，
解得：，
将代入得：，
原方程组的解为：；
（2）解：整理得：，
由得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
原方程组的解为：．
18．(1)见详解
(2)①见详解；②6
【分析】
本题主要考查了利用网格作图以及平移的性质．
（1）利用网格的大小根据平移的性质作图即可．
（2）①根据平移的性质作图即可．②线段在向左平移过程中未扫过面积，再向上平移2个单位的过程中扫过的面积为的矩形面积．
【详解】（1）解：如下图线段即为所求，（图一或图二，答案不唯一）
（2）①平移后的三角形如下图所示，
②线段在向左平移过程中未扫过面积，
再向上平移2个单位的过程中扫过的面积为：．
故答案为：6．
19．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，同底数幂的乘法及幂的乘方，解题关键是由二元一次方程组的解，求出，的值．根据题意，甲同学看错了，可将甲的解代入得，乙同学看错了，将乙的解代入得，求解即可得出，的值，再代入式子计算即可．
【详解】解：由题意得 ，解得，
，解得，
．
20．(1)，理由见解析
(2)
【分析】
本题考查平行线的判定和性质：
（1）先证明，得到，根据，得到，即可得证；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质，求解即可．
【详解】（1）．
理由如下：
又
．
（2）
平分
．
21．(1)
(2)不变，
(3)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，解题关键是利用整体代入法，用含的代数式表示，的解．
（1）将方程组的两个式子进行相减，得到，再整体代入的值，即可得到关于的一元一次方程，求解即可；
（2）利用代入消元法解方程组，解得，，再将，的值代入计算即可；
（3）根据方程组的解，，列举的解为自然数时，求的值，再将的值代入的解，判定是否满足自然数条件即可．
【详解】（1）解：，
由得，，
，
，
解得．
（2）解：由题意，得，
，
解得，，
，
当取不同实数时，的值不变，都为．
（3）解：由（2）得，，
当时，，
，
当时，，
此时，，为非自然数，
，的自然数解是．
22．（1），，两直线平行内错角相等，；（2）；（3）
【分析】
本题考查平行线的判定和性质：
（1）根据平行线的性质和等角转化，进行作答即可；
（2）过点作，根据平行线的性质和角度的转化进行求解即可；
（3）过点作，根据平行线的性质以及角平分线的定义，进行角度的转化即可．
【详解】解：（1）解：过点作，
，．（两直线平行内错角相等）
又．
．
，，两直线平行内错角相等，
（2）过点作，如图2，

，
，
，，
，
（3）过点作，如图3，
，

，
，
、分别平分、
，
；
故答案为：．
23．(1)型售价88元、型售价126元；
(2)①型礼盒装40盒，型礼盒50盒；②
【分析】
本题主要考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，
（1）根据题意列出一元一次方程，解方程求解；
（2）①设型礼盒装共包装了盒，型礼盒装共包装了盒,根据题意列出二元一次方程，解方程求解即可； ②由题意得出，，结合，，，得出m的值即可；
【详解】（1）解：由题意得型礼盒售价为元，
得，
解得：，
则元，
答：型售价88元、型售价126元；
（2）①设型礼盒装共包装了盒，型礼盒装共包装了盒，
由题意得：，
解得，
答：型礼盒装40盒，型礼盒50盒；
②由①知，可得．
由题意得，，
解得：，
，
，，都是整数，且，，，
．
24．(1)，理由见详解
(2)①；②或；③，，
【分析】
（1）先证明平行线性质得出，再利用即可得出．
（2）①利用平行的性质得出，利用角分线的性质得出，进一步可得出，即可求出答案．②分点在线段上时和点在线段延长线上时两种情况根据角得和差关系即可求解．③分三种情况，当时，当时，当时，分情况分别计算即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
．
（2）①，
∴，
∵平分，
∴
又∵，
∴
即：
∴．
故答案为：
②点在线段上时，如图1
平分
即
点在线段延长线上时，如图2
平分
即，
③，
又，
当，
当时，
当时，
，
【点睛】
本题主要考查了角的相关计算，平行线的判定以及性质，角平分线的性质，旋转的性质，掌握分类思想是解题的关键．

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