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贵州省2024年中考数学模拟卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
1．如果向南走3米，记作+3米，那么﹣7米表示（　　）
A．向东走7米 B．向西走7米 C．向北走7米 D．向南走7米
2．国家能源局数据显示，截至2023年10月底我国可再生能源发电总装机达到14.04亿千瓦，约占全国发电总装机的49.9%．数据“14.04亿”用科学记数法表示为（　　）
A．14.04×108 B．0.1404×1010
C．1.404×109 D．1.404×1010
3．如图，下列水平放置的几何体中，其侧面展开图有可能是半圆的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，直角三角形ABC的直角顶点A在直线EF上，若 BC∥EF，∠1＝42°，则∠2的度数是（　　）
A．42° B．48° C．52° D．58°
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在 ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14，则△BOC的周长是（　　）
A．21 B．22 C．25 D．32
7．在某次演讲比赛中，9位评委给选手小欣打分，得到互不相等的9个分数．同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计数量中一定不会发生改变的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
8．一次函数y＝k（x﹣2）+4的图象上y随x的增大而减小，则下列点可能在函数图象上的是（　　）
A．（3，﹣1） B．（2，5） C．（4，6） D．（5，6）
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（2，3），以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则B点的横坐标介于（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
10．在数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有牛五，羊二，值金十两；牛二羊五，值金八两，问牛羊各值金几何？”译文：五头牛和两只羊共值金10两，两头牛和五只羊共值金8两，问牛和羊各值金多少两？若设一头牛值金x两，一只羊值金y两，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　）
A．，π B．，π C．， D．，2π
12．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC．对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②；③ac﹣b+1＝0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：本题共4小题，共16分。
13．在平面直角坐标系中，点（3，1）关于x轴对称点的坐标是 　 　．
14．有四张完全一样正面分别写有数字1，2，3，4的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的数字之积不小于9的概率是 　 　．
15．若x1、x2 分别为方程x2﹣2x﹣1＝0 的两根，则 +3x1x2+＝　 　.
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为AC上靠近点A的三等分点，点F是矩形内一动点，且，连接EF，当EF最小时，DF的长为 　 　．
三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）（1）实数的计算：．
（2）．先化简再求值（x﹣y）2+（y+x）（y﹣x），其中x＝﹣1，y＝﹣2．
18．（10分）某市共有一中、二中、三中等3所高中，有一天所有高二学生参加了一次数学测试．阅卷后老师对第10题进行了分析，把每个学生的解答情况归结为下列四类情况之一：A（概念错误）；B（计算错误）；C（基本正确），但不完整；D（完全正确），各校出现这四类情况的人数分别占本校高二学生数的百分比如下面的条形统计图．
已知一中高二学生有400名，这三所学校之间高二学生人数的比例见扇形统计图如图所示．
（1）求全市高二学生总数；
（2）求全市解答完全正确的高二学生数占高二学生总数的百分比；
（3）请你对三中高二数学老师提一个值得关注的数学建议，并说明理由．
（4）从一中四名学生中选两人参加选拔赛，M、N、P、Q四人中M为男生其它是女生，用画表格或树状图的方式分析，求选择两人都是女生的概率．
19．（10分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求BD的长．
20．（10分）如图，已知四边形OABC是矩形，反比例函数y＝（m≠0）和一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点D（2，4），E（n，1），且点D，E分别在BC，AB上．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请判断反比例函数y＝的图象是否经过矩形OABC的中心，并说明理由；
（3）请直接写出关于x的不等式kx+b＞的解集．
20．（10分）北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥．某校九年级数学兴趣小组开展了测量“浦仓路桥顶部到水面的距离”的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的一侧选取B、C两点，在B处测得浦仓路桥顶部点A的仰角为22°，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17米至C处，在C处测得点A的仰角为37°，在D处测得地面BD到水面EF的距离DE为1.2米（点B、C、D在一条直线上，BD∥EF，DE⊥EF，AF⊥EF），求浦仓路桥顶部A到水面的距离AF．（精确到0.1米）
（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
22（10分）．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电柱．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问A，B型充电桩各购买多少个可使购买总费用最少？
23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6，AC＝6，求阴影部分的面积．
24．（12分）中山公园的人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出的水柱形状可看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一点的位置与水管的水平距离为x米，与湖面的垂直高度为y米，表中记录了x与y的五组数据：
x（米） 0 1 2 3 4
y（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5
（1）根据表中所给数据，在图1建立的平面直角坐标系中画出表示y与x函数关系的图象；
（2）求y与x的函数表达式；
（3）公园准备调节水管露出湖面的高度，使游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船以抛物线的对称轴为中轴线从水柱下方通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米，已知游船顶棚宽度2米，顶棚到湖面的高度为1.8米，请计算分析水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？
25．（12分）在正方形ABCD中，E是BC边上一点（点E不与点B，C重合），AE⊥EF，垂足为点E，EF与正方形的外角∠DCG的平分线交于点F．
（1）如图1，若点E是BC的中点，猜想AE与EF的数量关系是 　 　；证明此猜想时，可取AB的中点P，连接EP，根据此图形易证△AEP≌△EFC，则判断△AEP≌△EFC的依据是 　 　．
（2）点E在BC边上运动，如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
贵州省2024年中考数学模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
1．如果向南走3米，记作+3米，那么﹣7米表示（　　）
A．向东走7米 B．向西走7米 C．向北走7米 D．向南走7米
解：向南走3米，记作+3米，那么﹣7米表示向北走7米，
故选：C．
2．国家能源局数据显示，截至2023年10月底我国可再生能源发电总装机达到14.04亿千瓦，约占全国发电总装机的49.9%．数据“14.04亿”用科学记数法表示为（　　）
A．14.04×108 B．0.1404×1010
C．1.404×109 D．1.404×1010
解：∵1亿＝108，
∴14.04亿＝1404000000，
即：1404000000＝1.404×109，
故选：C．
3．如图，下列水平放置的几何体中，其侧面展开图有可能是半圆的是（　　）
A． B． C． D．
解：A、侧面展开图是四个长方形，故此选项不符合题意；
B、侧面展开图是一个长方形，故此选项不符合题意；
C、侧面展开图是三个长方形，故此选项不符合题意；
D、侧面展开图是扇形，故此选项符合题意．
故选：D．
4．如图，直角三角形ABC的直角顶点A在直线EF上，若 BC∥EF，∠1＝42°，则∠2的度数是（　　）
A．42° B．48° C．52° D．58°
解：∵BC∥EF，
∴∠BAF＝∠1＝42°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣42°＝48°．
故选：B．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
解：A∵，∴此选项计算错误，故不符合题意；
B∵，∴此选项计算错误，故不符合题意；
C．∵，∴此选项的计算错误，故不符合题意；
D．∵，∴此选项的计算正确，故符合题意；
故选：D．
6．如图，在 ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14，则△BOC的周长是（　　）
A．21 B．22 C．25 D．32
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝8，BD＝14，
∴AO＝OC＝4，OD＝OB＝7，
∵BC＝10，
∴△BOC的周长为BC+OB+OC＝10+7+4＝21．
故选：A．
7．在某次演讲比赛中，9位评委给选手小欣打分，得到互不相等的9个分数．同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计数量中一定不会发生改变的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的是中位数．
故选：C．
8．一次函数y＝k（x﹣2）+4的图象上y随x的增大而减小，则下列点可能在函数图象上的是（　　）
A．（3，﹣1） B．（2，5） C．（4，6） D．（5，6）
解：∵一次函数y＝k（x﹣2）+4的图象上y随x的增大而减小，
∴k＜0，
当x＝3，y＝﹣1时，﹣1＝k（3﹣2）+4，得k＝﹣5，故选项A符合题意；
当x＝2，y＝5时，5＝k（2﹣2）+4不成立，故选项B不符合题意；
当x＝4，y＝6时，6＝k（4﹣2）+4，得k＝1，故选项C不符合题意；
当x＝5，y＝6时，6＝k（5﹣2）+4，得k＝，故选项D不符合题意；
故选：A．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（2，3），以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则B点的横坐标介于（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
解：∵点A坐标为（2，3），
∴OA＝＝，
∵点A、B均在以点O为圆心，以OA为半径的圆上，
∴OA＝OB＝，
∵3＜＜4，点B在x轴的正半轴上，
∴点B的横坐标介于3和4之间．
故选：A．
10．在数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有牛五，羊二，值金十两；牛二羊五，值金八两，问牛羊各值金几何？”译文：五头牛和两只羊共值金10两，两头牛和五只羊共值金8两，问牛和羊各值金多少两？若设一头牛值金x两，一只羊值金y两，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
解：根据题意得，
，
故选：A．
11．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　）
A．，π B．，π C．， D．，2π
解：连接OB、OC，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴BC＝OB＝6，
∵OM⊥BC，
∴，
∴，
∴的长为：，
故选：D．
12．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC．对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②；③ac﹣b+1＝0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵点A到直线x＝1的距离大于1，
∴点B到直线x＝1的距离大于1，
即点B在（2，0）的右侧，
∴当x＝2时，y＞0，
即4a+2b+c＞0，
∴a+b+c＞0，所以②正确；
∵C（0，c），OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
∴ac2﹣bc+c＝0，即ac﹣b+1＝0，所以③正确；
∵点A与点B关于直线x＝1对称，
∴B（2+c，0），
∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以④正确．
故选：A．
二、填空题：本题共4小题，共16分。
13．在平面直角坐标系中，点（3，1）关于x轴对称点的坐标是 　（3，﹣1）　．
解：在平面直角坐标系中，点（3，1）关于x轴对称点的坐标是（3，﹣1）．
故答案为：（3，﹣1）．
14．有四张完全一样正面分别写有数字1，2，3，4的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的数字之积不小于9的概率是 　　．
解：列表如下：
由表知，共有16种等可能结果，其中数字之积不小于9的共有4结果，
所以抽取的两张卡片上的数字积不小于9的概率是＝，
故答案为：．
15．若x1、x2 分别为方程x2﹣2x﹣1＝0 的两根，则 +3x1x2+＝　3　.
解：∵x1、x2 分别为方程x2﹣2x﹣1＝0 的两根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，
∴+3x1x2+＝（x1+x2）2+x1x2＝22﹣1＝3．
故答案为：3．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为AC上靠近点A的三等分点，点F是矩形内一动点，且，连接EF，当EF最小时，DF的长为 　　．
解：如图，过点F作MN⊥AD交AD于N，交BC于M，
∴四边形ABMN是矩形，
∴MN＝AB＝4，
∵，
∴点F到CD的距离为，即为ND＝2，
∴点F的运动轨迹是线段MN．
如图，当EF⊥MN时，此时EF的值最小，
∴EF∥AD∥BC，点E为AC上靠近点A的三等分点，
∴，
∴FN＝，
∴DF＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共98分。其中：第19题8分，其余每题各10分。
17．（1）实数的计算：．
解：
＝
＝
＝．
（2）．先化简再求值（x﹣y）2+（y+x）（y﹣x），其中x＝﹣1，y＝﹣2．
解：（x﹣y）2+（y+x）（y﹣x）
＝x2﹣2xy+y2+y2﹣x2
＝﹣2xy+2y2，
当x＝﹣1，y＝﹣2时，原式＝﹣2xy+2y2
＝﹣2×（﹣1）×（﹣2）+2×（﹣2）2
＝﹣4+2×4
＝﹣4+8
＝4．
18．某市共有一中、二中、三中等3所高中，有一天所有高二学生参加了一次数学测试．阅卷后老师对第10题进行了分析，把每个学生的解答情况归结为下列四类情况之一：A（概念错误）；B（计算错误）；C（基本正确），但不完整；D（完全正确），各校出现这四类情况的人数分别占本校高二学生数的百分比如下面的条形统计图．
已知一中高二学生有400名，这三所学校之间高二学生人数的比例见扇形统计图如图所示．
（1）求全市高二学生总数；
（2）求全市解答完全正确的高二学生数占高二学生总数的百分比；
（3）请你对三中高二数学老师提一个值得关注的数学建议，并说明理由．
（4）从一中四名学生中选两人参加选拔赛，M、N、P、Q四人中M为男生其它是女生，用画表格或树状图的方式分析，求选择两人都是女生的概率．
解：（1）全市高二学生总数为人；
（2）∵二中的人数为人，
∴三中的人数为1200﹣400﹣450＝350人，
则全市解答完全正确的高二学生数为400×32%+450×36%+350×56%＝486，
所以全市解答完全正确的高二学生数占高二学生总数的百分比为；
（3）建议三中高二数学老师要关注学生的概念学习，
因为三中学生出现概念错误的学生百分比达到12%，而一中、二中分别只有2%、4%．
（4）列表如下：
M N P Q
M MN MP MQ
N NM NP NQ
P PM PN PQ
Q QM QN QP
由表格可知，共有12种情况，都是女生的情况有6种情况，
故选择两人都是女生的概率是．
19．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求BD的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵CF＝BE，
∴CF+CE＝BE+CE，
即EF＝BC，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
又∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，
∵四边形AEFD是矩形，
∴EF＝AD＝6，
∵CE＝4，
∴BE＝2，
∴BF＝8，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABE＝60°，
∴AB＝2BE＝4，
∴AE＝＝＝2，
∴DF＝AE＝2，
∴BD＝＝＝2．
20．如图，已知四边形OABC是矩形，反比例函数y＝（m≠0）和一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点D（2，4），E（n，1），且点D，E分别在BC，AB上．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请判断反比例函数y＝的图象是否经过矩形OABC的中心，并说明理由；
（3）请直接写出关于x的不等式kx+b＞的解集．
解：（1）将点D代入y＝中，得到m＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝，
将E（n，1）代入y＝中，得n＝8，
∴E（8，1），
将点D（2，4），E（8，1）代入y＝kx+b中，
∴，
解得，
∴直线的解析式为y＝﹣x+5；
（2）反比例函数y＝的图象是否经过矩形OABC的中心，理由如下：
∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥x轴，AB∥y轴，
∴B（8，4），
∴BO的中点为（4，2），
将点（4，2）代入y＝，得2＝，
∴反比例函数y＝的图象是否经过矩形OABC的中心；
（3）由图可得2＜x＜8或x＜0．
21．北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥．某校九年级数学兴趣小组开展了测量“浦仓路桥顶部到水面的距离”的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的一侧选取B、C两点，在B处测得浦仓路桥顶部点A的仰角为22°，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17米至C处，在C处测得点A的仰角为37°，在D处测得地面BD到水面EF的距离DE为1.2米（点B、C、D在一条直线上，BD∥EF，DE⊥EF，AF⊥EF），求浦仓路桥顶部A到水面的距离AF．（精确到0.1米）
（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
解：延长BD交AF于点G，
由题意得：BG⊥AF，DE＝GF＝1.2米，BC＝17米，
设CG＝x米，
∴BG＝BC+CG＝（x+17）米，
在Rt△ACG中，∠ACG＝37°，
∴AG＝CG tan37°≈0.75x（米），
在Rt△ABG中，∠ABG＝22°，
∴AG＝BG tan22°≈0.4（x+17），
∴0.75x＝0.4（x+17），
解得：x＝，
∴AG≈0.75x＝（米），
∴AF＝AG+FG＝+1.2≈15.8（米），
∴浦仓路桥顶部A到水面的距离AF约为15.8米．
22．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电柱．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等．
（Ⅰ）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（Ⅱ）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问A，B型充电桩各购买多少个可使购买总费用最少？
解：（Ⅰ）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价（x+0.3）万元，
根据题意得：
＝，
解得x＝0.9，
经检验x＝0.9是原方程的解，
∴x＝0.9．
答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为1.2万元；
（Ⅱ）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩（25﹣m）个，
根据题意，得：，
解得：≤m≤．
∵m为整数，
∴m＝14，15，16．
∴该停车场有3种购买机床方案，
方案一：购买14个A型充电桩、11个B型充电桩；
方案二：购买15个A型充电桩、10个B型充电桩；
方案三：购买16个A型充电桩、9个B型充电桩．
∵A型充电桩的单价低于B型充电桩的单价，
∴购买方案三总费用最少，最少费用＝16×0.9+1.2×9＝25.2（万元）．
23．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6，AC＝6，求阴影部分的面积．
解：（1）直线AF与⊙O相切．
理由如下：连接OC，
∵PC为圆O切线，
∴CP⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵OF∥BC，
∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠AOF＝∠COF，
∵在△AOF和△COF中，
，
∴△AOF≌△COF（SAS），
∴∠OAF＝∠OCF＝90°，
∴AF⊥OA，
又∵OA为圆O的半径，
∴AF为圆O的切线；
（2）∵AC＝OA＝6，OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，OC＝6，
∵∠OCP＝90°，
∴，
∴，，
∴阴影部分的面积为．
24．中山公园的人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出的水柱形状可看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一点的位置与水管的水平距离为x米，与湖面的垂直高度为y米，表中记录了x与y的五组数据：
x（米） 0 1 2 3 4
y（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5
（1）根据表中所给数据，在图1建立的平面直角坐标系中画出表示y与x函数关系的图象；
（2）求y与x的函数表达式；
（3）公园准备调节水管露出湖面的高度，使游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船以抛物线的对称轴为中轴线从水柱下方通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米，已知游船顶棚宽度2米，顶棚到湖面的高度为1.8米，请计算分析水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？
解：（1）以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，
如图1所示：
（2）由图1可得函数顶点为（2，1.5），
∴可设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣2）2+1.5，
将（0，0.5）代入y＝a（x﹣2）2+1.5，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+1.5＝﹣x2+x+0.5．
（3）设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+0.5+n，
由题意可知，当横坐标为时2+＝3时，纵坐标的值不小于1.8+0.5＝2.3，
∴﹣×（3）2+3+0.5+n≥2.3，
解得n≥1.05，
∴水管高度至少向上调节1.05米，
∴1.05+0.5＝1.55（米），
∴公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到约1.55米才能符合要求．
25．在正方形ABCD中，E是BC边上一点（点E不与点B，C重合），AE⊥EF，垂足为点E，EF与正方形的外角∠DCG的平分线交于点F．
（1）如图1，若点E是BC的中点，猜想AE与EF的数量关系是 　AE＝EF　；证明此猜想时，可取AB的中点P，连接EP，根据此图形易证△AEP≌△EFC，则判断△AEP≌△EFC的依据是 　ASA　．
（2）点E在BC边上运动，如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
解：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC，点E是BC的中点，点P是AB的中点，
∴，，
∴EC＝AP，BE＝BP，
在正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，
∴△BEP是等腰直角三角形，
∴∠BPE＝45°，
∴∠APE＝180°﹣∠BPE＝180°﹣45°＝135°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCG＝180°﹣∠BCD＝90°，
∵CF平分∠DCG，
∴，
∴∠ECF＝∠BCD+∠DCF＝90°+45°＝135°，
∴∠APE＝∠ECF，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝180°﹣∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
在△APE和△ECF中，
，
∴△APE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF，
故答案为：AE＝EF，ASA．
（2）①成立，理由如下：
如图，在AB上取一点P，使BP＝BE，连接PE，则AP＝EC，
由（1）得：∠PAE＝∠CEF，
∵BP＝BE，∠B＝90°，
∴△BPE是等腰直角三角形，
∴∠BPE＝45°，
∴∠APE＝180°﹣∠BPE＝180°﹣45°＝135°，
∴∠APE＝∠ECF，
在△AEP和△EFC中，
，
∴△AEP≌△EFC（ASA），
∴AE＝EF；

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