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第17章《勾股定理》单元检测卷（基础卷）
考试时间:120分钟 满分：120分
一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．（2024·福建南平·模拟预测）一个三角形三边的比是，那么这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
3．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：米，米，米，米，且．请同学们计算一下这块草坪的面积（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ）
A．1 B．5 C． D．
5．（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）若3，，5分别是一个直角三角形的三边长，则的值是（ ）
A．4 B． C．4或34 D．4或
6．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（　　）
A． B． C． D．
7．（2023·海南省直辖县级单位·二模）如图，中，，用尺规作图作射线交于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，图中，…分别表示对应正方形的面积，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是7，小正方形的边长是5，则大正方形的面积是（ ）

A．121 B．144 C．169 D．193
10．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，在正方形内有一点F，连接，有，若的角平分线交于点E，若E为中点，，则的长为（　　）
A． B．6 C． D．5
二．填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则这个三角形第三边的长为 ．
12．（22-23八年级上·山东济南·阶段练习）已知的三边长分别是、、，则的面积是 ．
13．（23-24八年级下·重庆梁平·阶段练习）如图，在数轴上，以单位长度为边长画正方形，以正方形对角线长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数为 ．
14．（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，将沿翻折与重合，若，．则的长为 ．
15．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，，以斜边为底作等腰直角三角形，则该等腰直角三角形的面积为 ．
16．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为、、，则它爬行的最短路程为 ．
三．解答题（共3题，每题6分，满分18分）
17．（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，在中，，垂足为．，，．求证：．
18．（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图所示，在四边形中，，，，．

(1)求的长；
(2)四边形的面积．
19．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，有一块四边形花圃，，，，，．若在这块花圃上种植花草，已知每种植需元，则共需多少元？

四．解答题（共3题，每题8分，满分24分）
20．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）一架云梯长25米，如图，靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．
(1)这个梯子的顶端距离地面有多高
(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米
21．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米．

(1)求出旗杆在离底部多少米的位置断裂；
(2)求点B到的距离．
22．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）一辆轿车从地以的速度向正东方向行驶，同时一辆货车以速度从地向正北方向行驶，2小时后两车同时到达走向公路上的两地．
(1)求两地的距离；
(2)若要从地修建一条最短新路到达公路，求的距离．
五．解答题（共2题，每题9分，满分18分）
23．（22-23八年级下·河北沧州·阶段练习）今日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240千米的B处，以每时12千米的速度向北偏东60度方向移动，距沙尘暴中心150千米的范围为受影响区域．

(1)A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？
(2)若A城受这次沙尘暴的影响，遭受影响的时间有多长？
24．（23-24八年级上·山西运城·阶段练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形的地毯上爬行，地毯上堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个等腰直角三角形，且，斜边上的高为，求这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程．

(1)如图1，______________，______________．
(2)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接．
(3)在图②中，线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是____________________________．
(4)问题解决：在图②中，求这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程．
六．解答题（满分12分）
25．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图1，已知，，，分别以、为边向外作与，且，，，连接交于点．
(1)探究：与的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．
(2)如图2，若，，题目中的其他条件不变，（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
(3)如图3，若，题目中的其他条件不变，使得（1）中得到的结论仍然成立，请直接写出的值．中小学教育资源及组卷应用平台
第17章《勾股定理》单元检测卷（基础卷）
考试时间:120分钟 满分：120分
一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】C
【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断，掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键．根据勾股定理的逆定理，即可求得．
【详解】解：A、，故是直角三角形，故A选项不符合题意；
B、，故是直角三角形，故B选项不符合题意；
C、，故不是直角三角形，故C选项符合题意；
D、，故是直角三角形，故D选项不符合题意．
故选：C．
2．（2024·福建南平·模拟预测）一个三角形三边的比是，那么这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【答案】C
【分析】
本题考查了勾股定理的逆运用，根据三边之比，设三边长分别为：，通过计算可得，即可得出这个三角形为直角三角形．
【详解】解：设三边长分别为：，
这个三角形是直角三角形，
故选：C．
3．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：米，米，米，米，且．请同学们计算一下这块草坪的面积（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．正确做出辅助线、构造直角三角形是解题的关键数．
如图：连接，根据勾股定理可求得，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，最后根据这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和即可解答．
【详解】解：连接，如图，
∵，
，
∵米，米，
∴米，
∵米，米，
，
∴为直角三角形，
∴这块草坪的面积．
故选：B．
4．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ）
A．1 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是两点间距离公式，掌握“由两点的坐标求解两点之间的距离”是解本题的关键．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点到原点的距离是：
．
故选：D．
5．（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）若3，，5分别是一个直角三角形的三边长，则的值是（ ）
A．4 B． C．4或34 D．4或
【答案】D
【分析】
本题考查勾股定理，分边长为的边为直角边和斜边两种情况进行讨论求解即可．
【详解】
解：当边长为的边为直角边时，则：5为斜边，由勾股定理，得：；
当边长为的边为斜边时，由勾股定理，得：；
故选D．
6．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，属于基础题，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键．先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度．
【详解】
解：在中，（米，
故可得地毯长度（米，
故选：．
7．（2023·海南省直辖县级单位·二模）如图，中，，用尺规作图作射线交于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题考查等腰三角形判定和性质，勾股定理．熟练掌握角平分线的作图，等腰三角形三线合一，是解题的关键．由题意得是的平分线，再由等腰三角形的性质得，，由勾股定理得，即可得解．
【详解】解：由图中的尺规作图得：是的平分线，
∵，
∴，，
∴，
∴．
故选：B．
8．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，图中，…分别表示对应正方形的面积，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，利用直角三角形的边长与正方形的面积的关系，结合勾股定理计算判断即可．
【详解】如图，设面积分别，…的正方形的边长分别为，
则，
根据题意，得，
∴，
故A正确；
同理可证，，，
∴，，
故B，D正确；
无法证明，
故不一定成立，符合题意，
故选C．
9．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是7，小正方形的边长是5，则大正方形的面积是（ ）

A．121 B．144 C．169 D．193
【答案】C
【分析】
此题主要考查学生勾股定理的运用能力及观察图形的能力．观察图形可得直角三角形的较短的直角边加上小正方形的边长刚好等于直角三角形的较长直角边的长，根据勾股定理即可求得直角三角形斜边的长的平方，从而求得大正方形的面积．
【详解】
解：直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，
直角三角形的较长直角边，
直角三角形斜边长的平方，
大正方形的面积是169．
故选：C
10．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，在正方形内有一点F，连接，有，若的角平分线交于点E，若E为中点，，则的长为（　　）
A． B．6 C． D．5
【答案】C
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰三角形的性质等知识点，连接，作，证是解题关键．
【详解】解：连接，作，如图所示
由题意得：
∵，
∴
∴
∵E为中点
∴
∴
∵
∴
∴
∴
设，则
∴
∵ ，
∴
∵
∴
解得：（舍去）
∴
故选：C
二．填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则这个三角形第三边的长为 ．
【答案】5
【分析】
本题考查了勾股定理，掌握直角三角形两边直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由勾股定理得：第三边的长为，
故答案为：5．
12．（22-23八年级上·山东济南·阶段练习）已知的三边长分别是、、，则的面积是 ．
【答案】/6平方厘米
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，三角形的面积，解题的关键是判断是直角三角形．根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵的三边长分别是、、，
∴，
∴是直角三角形，
∴的面积是．
故答案为：．
13．（23-24八年级下·重庆梁平·阶段练习）如图，在数轴上，以单位长度为边长画正方形，以正方形对角线长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数为 ．
【答案】/
【分析】
本题考查的是勾股定理，实数与数轴，首先求出正方形对角线的长度，再根据点A在数轴上的位置，确定点A表示的数，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．
【详解】
∵正方形的边长为1，
∴正方形对角线的长度，
∴点A表示．
故答案为：．
14．（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，将沿翻折与重合，若，．则的长为 ．
【答案】/
【分析】
本题考查轴对称的性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．
由翻折得，由，根据勾股定理得，求得，于是得到问题的答案．
【详解】
解：将沿翻折与重合，
，
，，
，
，
，
，
解得，
的长为，
故答案为：
15．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，，以斜边为底作等腰直角三角形，则该等腰直角三角形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理；勾股定理求得，进而勾股定理求得等腰三角形的直角边长，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：∵在中，，，，
∴
∵以斜边为底作等腰直角三角形，如图所示，
∴
∴，
则，
∴该等腰直角三角形的面积为，
故答案为：．
16．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为、、，则它爬行的最短路程为 ．
【答案】/13分米
【分析】
本题考查勾股定理解决最短距离问题，将楼梯拉伸，根据两点间线段最短，结合勾股定理求解即可得到答案；
【详解】解：将三级台阶展开为平面图形如图所示，
则的长即为它爬行的最短路程，
由勾股定理得，，
∴它爬行的最短路程为，
故答案为：．
三．解答题（共3题，每题6分，满分18分）
17．（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，在中，，垂足为．，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，证明是解题的关键．
先求出，利用勾股定理求出、，进而得到，由此即可证明结论．
【详解】证明：∵，
∴，
由勾股定理得：，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
18．（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图所示，在四边形中，，，，．

(1)求的长；
(2)四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是对勾股定理的掌握和运用．
（1）利用勾股定理直接计算即可解题；
（2）先利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，然后利用计算即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形且，
∴．
19．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，有一块四边形花圃，，，，，．若在这块花圃上种植花草，已知每种植需元，则共需多少元？

【答案】1800元
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用；连接，则在直角中，已知，根据勾股定理可以计算，又因为，所以为直角三角形，四边形的面积为和面积之和．
【详解】解：连接，
在中，，，
，
在中，，
，
的面积为平方米，
的面积为平方米，
四边形面积平方米，
共需花费元元．
答：共需花费元．

四．解答题（共3题，每题8分，满分24分）
20．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）一架云梯长25米，如图，靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．
(1)这个梯子的顶端距离地面有多高
(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米
【答案】(1)这个梯子的顶端距离地面有24米高
(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米
【分析】本题考查勾股定理的实际应用．
（1）在中，直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）在中，利用勾股定理求出的长，用的长减去的长，求解即可；
掌握勾股定理，是解题的关键．
【详解】（1）解：在中，，，
∴；
答：这个梯子的顶端距离地面有24米高；
（2）∵，
在中，，
∴，
∴．
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
21．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米．

(1)求出旗杆在离底部多少米的位置断裂；
(2)求点B到的距离．
【答案】(1)6米
(2)4.8米
【分析】（1）设旗杆在离底部x米的位置断裂，则，根据勾股定理列方程求解即可；
（2）根据三角形面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：设旗杆在离底部x米的位置断裂，
∵，，
∴．
在中，，，，
∴，即，
解得：．
故旗杆在离底部6米的位置断裂．
（2）作于点D，

∴
∴米
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握勾股定理解三角形是解题的关键．
22．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）一辆轿车从地以的速度向正东方向行驶，同时一辆货车以速度从地向正北方向行驶，2小时后两车同时到达走向公路上的两地．
(1)求两地的距离；
(2)若要从地修建一条最短新路到达公路，求的距离．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了方位角、勾股定理的应用等知识，解题的关键是：
（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）根据等面积法求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，，，
∴，
即两地的距离为；
（2）解：根据等面积法知：，
即，
∴，
即的距离为
五．解答题（共2题，每题9分，满分18分）
23．（22-23八年级下·河北沧州·阶段练习）今日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240千米的B处，以每时12千米的速度向北偏东60度方向移动，距沙尘暴中心150千米的范围为受影响区域．

(1)A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？
(2)若A城受这次沙尘暴的影响，遭受影响的时间有多长？
【答案】(1)受影响，理由见解析
(2)15小时
【分析】（1）过点作，垂足为，在中，由题意可知，由此可以求出的长度，然后和150比较大小即可判断城是否受到这次沙尘暴的影响；
（2）如图，设点，是以为圆心，为半径的圆与的交点，根据勾股定理可以求出的长度，也就求出了的长度，然后除以沙尘暴的速度即可求出遭受影响的时间．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，
在中，由题意可知，
，
，
城将受这次沙尘暴的影响；

（2）设点，是以为圆心，为半径的圆与的交点，连接，，
由题意得，
，
城受沙尘暴影响的时间为：（小时），
答：城将受到这次沙尘暴的影响，影响的时间为15小时．
【点睛】此题考查了直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理的应用，当然首先正确理解题意，把握好题目的数量关系是解决问题的前提．
24．（23-24八年级上·山西运城·阶段练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形的地毯上爬行，地毯上堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个等腰直角三角形，且，斜边上的高为，求这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程．

(1)如图1，______________，______________．
(2)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接．
(3)在图②中，线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是____________________________．
(4)问题解决：在图②中，求这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程．
【答案】(1)　　
(2)见解析
(3)两点之间线段最短
(4)
【分析】（1）过点作的垂线，交于点，根据等腰三角形的判定，可求得，，结合勾股定理可求得的长度．
（2）结合（1）的计算结果，根据几何体展开图作图方法作图即可．
（3）根据线段的性质即可求得答案．
（4）在侧面展开图中，可求得，根据勾股定理即可求得答案．
【详解】（1）如图所示，过点作的垂线，交于点．

∵为等腰直角三角形，且，
∴．
又，
∴．
∴，．
∴，．
∴．
∴．
∴．
故答案为：　　
（2）
（3）线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是：两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
（4）在侧面展开图中
．
根据勾股定理可知
．
所以，这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程为．
【点睛】本题主要考查等腰三角形、勾股定理，牢记等腰三角形的判定及性质、勾股定理的定义是解题的关键．
六．解答题（满分12分）
25．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图1，已知，，，分别以、为边向外作与，且，，，连接交于点．
(1)探究：与的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．
(2)如图2，若，，题目中的其他条件不变，（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
(3)如图3，若，题目中的其他条件不变，使得（1）中得到的结论仍然成立，请直接写出的值．
【答案】(1)．理由见解析
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】
（1）作于，证明，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）仿照（1）的证明方法证明；
（3）作于，要使得结论成立，则有，可得，可得．
【详解】（1）
解：结论：．
理由：如图1，过点作于，则，
，，
，
，
，
，，
，
在中，，，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）
解：猜想：．
证明：如图2中，过点作于，则．
，．
，是等边三角形．
．
，，
．
．
．
，，
是等边三角形．
，．
，．
，，
在和中，
，
．
，
故；
（3）
结论：，
理由：如图3中，过点作于，则．
要使得结论成立，则有，
，
，
．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查的是等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

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