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相交线与平行线 压轴题专练
一、选择题
1．（21-22七年级下·浙江温州·期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角，则反射光束GH与天花板所形成的角不可能取到的度数为（ ）
A．129° B．72° C．51° D．18°
【答案】C
【分析】分当时，如图1所示，当时，如图2所示，两种情况，利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：当时，如图1所示，过点G作，
∵，
∴，
∴∠PGQ =∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，
∴∠PGB=∠PGQ+∠BGQ=30°+∠ABM，
由反射定理可知，∠AGH=∠PGB=30°+∠ABM，
∴∠PGH=180°-∠AGH-∠PGB=120°-2∠ABM，
∴∠HGQ=∠PGH+∠PGQ=150°-2∠ABM，
∴∠PHG=180°-∠HGQ=30°+2∠ABM，
∴
当时，如图2所示，过点G作，
同理可得∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∠PHG=∠HGQ，
∴∠AGP=∠HGB=∠HGQ+∠QGB=∠PHG+∠ABM，
∴∠PGH=180°-∠AGP-∠HGB=180°-2∠PHG-2∠ABM，
∴∠HGP=∠PGQ-∠PGH=2∠PHG+2∠ABM-150°，
∴∠PHG=150°-2∠ABM，
∴，
综上所述，或，
故选C．
2．（21-22七年级下·湖北武汉·期中）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①；②GK平分∠AGC；③；④∠MGK＝16°．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理得到，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据平行线同旁内角互补得，再根据题目已知∠CKG＝∠CGK，得，又根据，得，但根据现有条件无法证明GD=GC，故③错误；设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，
∴∠EAD=∠B，
∴，故①正确；
∴∠AGK=∠CKG，
∵∠CKG=∠CGK，
∴∠AGK=∠CGK，
∴GK平分∠AGC；故②正确；
∵，
∴，
∵∠CKG＝∠CGK，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
要使，就要使且，
∴就要GD=GC，
但题目没给出这个条件且利用现有条件也无法证明GD=GC，
∴故③错误；
设∠AGM=α，∠MGK=β，
∴∠AGK=α+β，
∵GK平分∠AGC，
∴∠CGK=∠AGK=α+β，
∵GM平分∠FGC，
∴∠FGM=∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，
∴37°+α=β+α+β，
∴β=18.5°，
∴∠MGK=18.5°，故④错误，
故选：C．
3．（21-22七年级下·浙江温州·期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（　　）
A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106°
【答案】D
【分析】分两种情况讨论，①当在上方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，求出的度数，再根据即可求解；②当在下方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，再根据即可求解．
【详解】解：①当在上方时，延长、相交于点，如图所示
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∵翻折
∴
∴
∴
∵
∴
②当在下方时，延长、相交于点，如图所示
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∵翻折
∴
∴
∴
∵
∴
故选D．
4．（20-21七年级下·河北沧州·期中）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（　　）
A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒
【答案】C
【分析】设灯旋转的时间为秒，求出的取值范围为，再分①，②和③三种情况，先分别求出和的度数，再根据平行线的性质可得，由此建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设灯旋转的时间为秒，
灯光束第一次到达所需时间为秒，灯光束第一次到达所需时间为秒，
灯先转动2秒，灯才开始转动，
，即，
由题意，分以下三种情况：
①如图，当时，，
，
，
，
，即，
解得，符合题设；
②如图，当时，，
，
，
，
，即，
解得符合题设；
③如图，当时，，
，
同理可得：，即，
解得，不符题设，舍去；
综上，灯旋转的时间为1秒或秒，
故选：C．
5．（20-21七年级下·重庆北碚·期末）如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】①过点F作FH∥AB，利用平行线的性质以及已知即可证明；
②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，结合①的结论即可证明；
③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，结合①的结论即可证明；
④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，结合①的结论即可证明．
【详解】解：①过点F作FH∥AB，如图：
∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，
∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，
∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，
∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正确；
②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，
∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，
∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2，
∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°，
即2∠1=180°-2∠2-∠CGF，
∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF，
∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)，
∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)= 360°-(180°-∠CGF)= 180°+∠CGF，
∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正确；
③∵∠MGF＝2∠CGF，
∴∠MGC＝3∠CGF，
∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)= 390°＝270°；
3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正确；
④∵∠MGF＝n∠CGF，
∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC，
∵∠AEF+∠CGF=90°，
∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正确．
综上，①②③④都正确，共4个，
故选：A．
6．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，点为长方形边上的一点，连接，，与分别交于点和点，四边形的面积为，的面积为，的面积为，图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线间距问题，三角形的面积等，根据平行线间间距处处相等结合三角形面积公式证明是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
故选：．
7．（23-24七年级上·四川宜宾·阶段练习）如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得，即，联立可求得结果；③根据以及，可求得结果；④根据即以及，可求得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，即，
①∵，，
∴，
故①正确；
②∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
即，
故②正确；
③由①可得，
∴，
∴，即，
又，
∴，
即，
将代入，
化简可得：，
故③正确；
④∵，，
∴，
∵，
∴，
故④正确；
正确的个数共有4个，
故选：D．
8．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，直线，． 其中，，则的最大整数值是（　 　）

A．109° B．110° C． D．
【答案】A
【分析】先添加辅助线，再根据平行线的性质和三角形外角性质，求出与的关系式，最后由，即可求出范围，得出答案．
【详解】如图，延长，分别交和于点，，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，整理得：，
∴，
解得：，
∴的最大整数值是．
故选：．
9．（21-22七年级下·江苏南通·阶段练习）方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（ ）
A．105° B．120° C．130° D．145°
【答案】A
【分析】由矩形的性质可知，由此可得出∠BFE=∠DEF=25°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数．
【详解】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴，
∴∠BFE＝∠DEF＝25°．
由翻折的性质可知：图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°，
∴图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°．
故选：A．
二、填空题
10．（2024七年级·全国·竞赛）如图，已知，，，则 ．

【答案】/360度
【分析】本题考查了平行公理的推理，平行线的性质等知识．过作，再证明，先证明，，再证明，，分别代入原式即可得到一个周角，问题得解．
【详解】解：如图，过作．

∵，
∴．
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
11．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，点是上方一点，点分别在直线、上，连结、，平分，交的反向延长线于点，若，且，则度数为 ．

【答案】/52度
【分析】本题考查了平行线的性质与判定的综合运用，过点作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义即可得出结论，解题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．
【详解】如图，过点作，过作，

设，，
∵，交于，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图， ，点，在直线上（在的左侧），点在直线上，，垂足为，为线段上的一动点，连接，，与的角平分线交于点，且点在直线，之间的区域，下列结论：
①；
②；
③若，则；
④若，则，其中为正整数．
上述说法正确的是 （写出所有正确结论的序号）．

【答案】①③④
【分析】过点H作，利用平行线的性质可得，即可判断①；根据角平分的定义可得，，再根据三角形内角和定理，根据，利用平行线的性质即可判断②；设，则，利用①的结论即可判断③，同上可判断④．
【详解】解：如图，过点H作，

，
，
，，
，
，
，故①正确；
与的角平分线交于点，
，
，
根据①中的结论，可得,
，
，
，
，
，
，故②错误；
设，则，
，
根据①中结论可得，
，故③正确；
设，则，
，
，
根据①中结论可得，故④正确．
故答案为：①③④．
13．（22-23七年级下·福建宁德·期中）如图，，E为上一点，且垂足为F，，平分，且，则下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的有 ．（请填写序号）
【答案】①②③④
【分析】
根据平行线的性质，角平分线和垂线的定义逐个分析计算即可．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∴，
即平分，
故②正确；
∵，，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确；
∵，，
∴，
故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
14．（20-21七年级下·贵州铜仁·期末）如图①，已知，，的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为第次操作，分别作和的平分线，交点为．如图②，若，则的度数是 ．
【答案】
【分析】先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，进而得到；先根据和的平分线交点为，运用（1）中的结论，得出；同理可得；根据和的平分线，交点为，得出；据此得到规律，最后求得的度数．
【详解】解：如图①，过作，
，
，
，，
，
；
如图②，和的平分线交点为，
．
和的平分线交点为，
；
如图②，和的平分线，交点为，
；
以此类推，，
当时，等于．
故答案为：
15．（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知直线，点、分别在、上，如图所示，射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向每秒旋转至停止．此时射线也停止旋转，若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为 秒时，．

【答案】或或
【分析】分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出的方程便可求得旋转时间．
【详解】解：①当时，如图，则，
∵，
∴，
即，
解得，（）；

②当时，如图，则，
∵，
∴，
即，
解得，（）；

③当时，如图，则，

∵，
∴，
即，
解得，（）；
综上，当射线旋转的时间为秒或秒或秒时，．
故答案为：或或．
16．（22-23七年级下·河南新乡·期末）如图，直线，点E，F分别在直线，上，点P为直线与间一动点，连接，，且，的平分线与的平分线交于点Q，则的度数为 ．

【答案】或
【分析】
分两种情况讨论，当点，在同侧或异侧时，利用角平分线的定义和平行线的性质，分别求解即可．
【详解】
解：分两种情况讨论：
①如图1，过点，分别作，，
，
．
，．
．
的平分线与的平分线交于点，
，．
，
，
同理可得；
②如图2，过点，分别作，，
，
．
，．
，
．
的平分线与的平分线交于点，
，．
．
，同①可得．

综上所述，的度数为或．
故答案为：或
17．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过 秒边与三角板的一条直角边（边，）平行．

【答案】或或或
【分析】延长交于点，可求，进行分类讨论，画图可得在各个不同位置或时，所旋转的度数，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点，

，，
，
，
，
①如图，

当时，，
此时旋转的度数为，
()；
②如图

当时，，
，
此时旋转的度数为，
()；
③如图

当时，，
，
此时旋转的度数为，
()；
④如图

当时，，
，
此时旋转的度数为，
()；
综上所述：或或或．
三、解答题
18．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，，，，．

(1)若三角板如图1摆放时，则__________，__________
(2)现固定位置不变，将沿方向平移至点正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点，求的度数；
(3)将（2）中的固定，在绕点以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，请画出当和时的图形，并求此时的值．
【答案】(1)15，150
(2)
(3)8，11
【分析】
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是作出正确的辅助线，熟练掌握平行线的性质，拐点模型．
（1）过E作，证明，进而求解即可；
（2）根据（1）证明，利用角平分线的定义求出，，可得结论；
（3）当时，由平行的性质得，进而求解即可；当时，，进而求解即可．
【详解】（1）
解：过E作，如图1，

，
，
，
，
，
，
，
故答案为：15；150．
（2）
利用（1）可证，，
，
，
，
，
，
分别平分和，
，
．
（3）
当时，如图2，

延长，交于点J，
， ，
，
，
，
过点A作，则，
，
，
，
，
；
当时，如图3，

，
，
，
，
，
综上所述，当时，，当时，．
19．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知：如图1，直线、被直线所截，；
(1)求证：
(2)如图2，点E在直线上，且在直线、之间，P、Q分别在直线、上，且均在直线右侧，连接、，平分，平分，则和之间有什么数量关系，请直接写出你的结论
(3)如图3，在（2）的条件下，过P点作交于点H，连接．若平分，，求的度数
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析；
(3)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理的应用，角平分线的定义等知识．能正确作出辅助线，找到角度之间的关系是解题的关键．
（1）首先证明，易证得；
（2）如图，作．利用平行线的性质即可证明；
（3）如图，设，．，则，想办法构建方程即可解决问题；
【详解】（1）解：如图，
∵，，
∴，
∴．
（2）结论：如图，．
理由：作．
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
同法可证：，
∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，
即，
∴．
（3）如图，∵
设，．，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，点M，N分别为和上两点，点E在直线和之间．
(1)点G为延长线上一点，平分平分．
①如图1，当点E在线段上时，试判断与的位置关系，并说明理由；
②当点E不在线段上时，直线，交于点P．直接写出与的数量关系为 ；
(2)如图2，以每秒30°的速度绕E点逆时针方向旋转到，同时以每秒20°的速度绕N点顺时针方向旋转到，经过多少秒，？（旋转360°时，和同时停止）
【答案】(1)①，理由见详解；②
(2)；；
【分析】
本题考查了角平分线的定义、平行线的性质与判定，平行线探究角的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义、即可作答．
（2）先由角平分线的定义得，结合平行线的性质，得，结合三角形的外角性质，得，再进行角的等量代换，即可作答．
（3）先表示，，再分别作图，运用数形结合思想，结合平行线的性质，列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：①，理由如下：
如图：
∵
∴
∵平分平分
∴
∴
∴；
②如图：过点作直线
∵平分平分
∴
∵，
∴
∴
即
∵
∴
则
∴
则
（2）解：过点E作
∵
∴
∵
∴
如图：设时间为，则，
当时，如图
∴
即
解得；
如图：∵，
∴
解得
如图：∵，
∴
解得
如图：∵，
∴
解得，故舍去
综上：；；
21．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，如图，平分，平分，
(1)如图1，探究与的数量关系并证明．
(2)如图2，在（1）的条件下，过A作交于点H，平分，延长交于G，，求的度数．
【答案】(1)，见解析
(2)40°
【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．
（1）过点F作，过点E作，根据角平分线的定义结合，计算即可求解；
（2）设，，求得，推出，利用平行线的性质列方程，即可求解．
【详解】（1）解：过点F作，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
∴
∴；
（2）解：∵，
∴设，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴．
22．（23-24七年级上·四川眉山·期末）（1）【问题解决】如图1，已知，，，求的度数；
（2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由；
（3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含的式子表示）．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解；
（2）过点作，则，根据平行线的性质可得，即可得，结合可求解；
（3）过点作．由平行线的性质可得，，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解．
【详解】解：（1）如图1，过点作，
∵，
∴，
∵，
∴．
，而，
∴，
，
（2），
理由：如图2，过点作，
∵，，
∴，
，
，
，
∵，
，
；
（3）如图3，过点作．
∵，，
∴，
，，
又的平分线和的平分线交于点，
，，
由（2）得，，
∵，
，
．
23．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图1，，为之间任意一点．
(1)若平分平分．求证：；
(2)如图2，若，且的延长线交的角平分线于点的延长线交的角平分线于点，猜想的运算结果并且证明你的结论；
(3)如图3，若点是射线之间一动点，平分平分，过点作于点，请猜想与的关系，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析；
(2)，理由见解析；
(3)，理由见解析．
【分析】（）根据平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可求解，进而证明结论；
（）分别过,作，，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的性质和，即可求解；
（）根据垂线的定义可求得，再根据角平分线的定义可求解；
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，灵活运用平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键．
【详解】（1）∵，
∴，
∵平分,平分，
∴，，
∴，即；
（2）如图，分别过,作，，
∵，
∴，
∴， ， ，，
∴，，
同理：，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴
∵，
∴，
（3），理由：
∵，
∴ ，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
24．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图1，直线，将一把直角三角尺的直角顶点P放在两平行线之间，两直角边分别交于点E，F．
(1)请你判断与之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若和的平分线相交于点G，求的度数；
(3)如图2，若，请用含n的式子表示∠G．
【答案】(1)，理由见详解；
(2)
(3)
【分析】(1)过P点作，利用平行线的性质定理可得结论；
(2) 由(1)的计算可得出(2)的结论；
(3) 探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】（1）解：，
理由：过点P作，如图所示：
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：如下图中，
和的平分线相交于点G，
，
，
∴同理可得．
（3）解：，
，
由（2）可知，
25．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：直线平行直线，点N、点E在直线上，点H、点M在直线上，，直线交直线于点P．
(1)如图，求证：．

(2)如图，以点N为圆心顺时针旋转直线交直线于点G，以点M为圆心顺时针旋转直线交直线于点F，，当时，求的度数．

(3)在（2）的条件下，如图，直线交直线于点R，直线交直线于点S，的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点K，若，当点N在线段上移动时，求的度数．

【答案】(1)见解析
(2)30°
(3)或
【分析】（1）过点作，得到，根据平行线的性质，结合，即可得出结论；
（2），得到，推出，，得到，推出，设，推出，，根据，求解即可；
（3）分点在直线的上方和下方，两种情况进行讨论求解．
【详解】（1）证明：过点作，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
由（1）知：，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
设：，则：，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）①当点在下方时，如图：

∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
过点作，则：，
∴，
∴；
②当点在上方时，如图：

同理可得：，
过点作，则：，
∴，
∴，
∴；
综上：或．
26．（22-23七年级下·贵州遵义·阶段练习）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见，在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图，灯A射线自开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若转动的速度是/秒，转动的速度是/秒，且、满足，假定主道路是平行的，即，且．

(1)求和的值，并求的度数．
(2)若灯先转动30秒，灯A才开始转动，在灯到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束第一次互相平行？
(3)如图，两灯同时转动，在灯A到达之前，若射出的光束交于点，过作交于点，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)秒时，两灯的光束互相平行
(3)和关系不会变化，理由见解析
【分析】（1）根据的非负性求a，b；根据，，即可得到的度数；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，易证，即可列出，可得；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据，，即可得出，据此可得和关系不会变化．
【详解】（1）解：∵，
，
解得，
，
，
∵，
；
（2）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，

，
，
，
，
，
，
解得，
答：当秒时，两灯的光束互相平行；
（3）解：和关系不会变化．
理由：设灯A射线转动时间为t秒，

，
，
又，
，而，
，
，
∴和关系不会变化．
27．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）如图，，点E在上，点G在上．

(1)如图1，在、上分别取点M、N，连接，点F在上，已知平分，平分，若，，求，的度数．
(2)如图2，平分，平分，反向延长交于K，设，请通过计算，用含x的代数式表示．
(3)如图3，已知，，平分，平分，请直接写出与的数量关系_________________
【答案】(1)；
(2)
(3)（或）
【分析】（1）作，可得，再利用角平分线求出结果；
（2）设，求出，再利用角平分线及平行的性质求得，最后根据即可求解；
（3）过点作，由角平分线求得、，最后利用整理式子即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，作，
，
，
，
，
，
平分，
，
平分，
，
；

（2）如图，设交于点M，
平分，
设，则，
由（1）得，，
，
平分，
，
，
，
，
在中，；

（3）如图，过点作，
，
，
，，
，，
，
平分，平分，
，
，
，
，
，
．

28．（22-23七年级下·山东济宁·期末）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，如图1，灯A发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，且a、b满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且．

(1)求a、b的值；
(2)若灯B发出的射线先转动45秒，灯A发出的射线才开始转动，当灯B发出的射线第一次到达时运动停止，设灯A转动了t秒．，问A灯转动多少秒，两灯的光束互相平行？
(3)如图2，两灯同时转动，在灯A发出的射线到达之前．若射出的两光束交于点C，过C作交于点D，则在转动过程中，与的比值是否发生变化？若不变，请直接写出其比值；若改变，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当A灯转动15或63秒时，两灯的光束互相平行
(3)与的比值不变，
【分析】（1）利用非负数的性质解决问题即可；
（2）分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题；
（3）由参数t表示即可判断；
【详解】（1）由题意得，
故，
∴；
（2）设A灯转动x秒，两灯的光束互相平行，
①当时，，解得：；
②当时，，解得：；
③当时，，解得：，（不合题意，舍去）；
故当或63秒时，两灯的光束互相平行；
（3）不变．
设A灯转动t秒．
∵，
∴，
过C作，

又∵，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴与的比值不变．中小学教育资源及组卷应用平台
相交线与平行线 压轴题专练
一、选择题
1．（21-22七年级下·浙江温州·期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角，则反射光束GH与天花板所形成的角不可能取到的度数为（ ）
A．129° B．72° C．51° D．18°
2．（21-22七年级下·湖北武汉·期中）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①；②GK平分∠AGC；③；④∠MGK＝16°．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（21-22七年级下·浙江温州·期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（　　）
A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106°
4．（20-21七年级下·河北沧州·期中）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（　　）
A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒
5．（20-21七年级下·重庆北碚·期末）如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，点为长方形边上的一点，连接，，与分别交于点和点，四边形的面积为，的面积为，的面积为，图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
7．（23-24七年级上·四川宜宾·阶段练习）如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，直线，． 其中，，则的最大整数值是（　 　）

A．109° B．110° C． D．
9．（21-22七年级下·江苏南通·阶段练习）方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（ ）
A．105° B．120° C．130° D．145°
二、填空题
10．（2024七年级·全国·竞赛）如图，已知，，，则 ．

11．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，点是上方一点，点分别在直线、上，连结、，平分，交的反向延长线于点，若，且，则度数为 ．

12．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图， ，点，在直线上（在的左侧），点在直线上，，垂足为，为线段上的一动点，连接，，与的角平分线交于点，且点在直线，之间的区域，下列结论：
①；
②；
③若，则；
④若，则，其中为正整数．
上述说法正确的是 （写出所有正确结论的序号）．

13．（22-23七年级下·福建宁德·期中）如图，，E为上一点，且垂足为F，，平分，且，则下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的有 ．（请填写序号）
14．（20-21七年级下·贵州铜仁·期末）如图①，已知，，的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为第次操作，分别作和的平分线，交点为．如图②，若，则的度数是 ．
15．（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知直线，点、分别在、上，如图所示，射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向每秒旋转至停止．此时射线也停止旋转，若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为 秒时，．

16．（22-23七年级下·河南新乡·期末）如图，直线，点E，F分别在直线，上，点P为直线与间一动点，连接，，且，的平分线与的平分线交于点Q，则的度数为 ．

17．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过 秒边与三角板的一条直角边（边，）平行．

三、解答题
18．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，，，，．

(1)若三角板如图1摆放时，则__________，__________
(2)现固定位置不变，将沿方向平移至点正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点，求的度数；
(3)将（2）中的固定，在绕点以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，请画出当和时的图形，并求此时的值．
19．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知：如图1，直线、被直线所截，；
(1)求证：
(2)如图2，点E在直线上，且在直线、之间，P、Q分别在直线、上，且均在直线右侧，连接、，平分，平分，则和之间有什么数量关系，请直接写出你的结论
(3)如图3，在（2）的条件下，过P点作交于点H，连接．若平分，，求的度数
20．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，点M，N分别为和上两点，点E在直线和之间．
(1)点G为延长线上一点，平分平分．
①如图1，当点E在线段上时，试判断与的位置关系，并说明理由；
②当点E不在线段上时，直线，交于点P．直接写出与的数量关系为 ；
(2)如图2，以每秒30°的速度绕E点逆时针方向旋转到，同时以每秒20°的速度绕N点顺时针方向旋转到，经过多少秒，？（旋转360°时，和同时停止）
21．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，如图，平分，平分，
(1)如图1，探究与的数量关系并证明．
(2)如图2，在（1）的条件下，过A作交于点H，平分，延长交于G，，求的度数．
22．（23-24七年级上·四川眉山·期末）（1）【问题解决】如图1，已知，，，求的度数；
（2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由；
（3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含的式子表示）．
23．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图1，，为之间任意一点．
(1)若平分平分．求证：；
(2)如图2，若，且的延长线交的角平分线于点的延长线交的角平分线于点，猜想的运算结果并且证明你的结论；
(3)如图3，若点是射线之间一动点，平分平分，过点作于点，请猜想与的关系，并证明你的结论．
24．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图1，直线，将一把直角三角尺的直角顶点P放在两平行线之间，两直角边分别交于点E，F．
(1)请你判断与之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若和的平分线相交于点G，求的度数；
(3)如图2，若，请用含n的式子表示∠G．
25．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：直线平行直线，点N、点E在直线上，点H、点M在直线上，，直线交直线于点P．
(1)如图，求证：．

(2)如图，以点N为圆心顺时针旋转直线交直线于点G，以点M为圆心顺时针旋转直线交直线于点F，，当时，求的度数．

(3)在（2）的条件下，如图，直线交直线于点R，直线交直线于点S，的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点K，若，当点N在线段上移动时，求的度数．

26．（22-23七年级下·贵州遵义·阶段练习）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见，在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图，灯A射线自开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若转动的速度是/秒，转动的速度是/秒，且、满足，假定主道路是平行的，即，且．

(1)求和的值，并求的度数．
(2)若灯先转动30秒，灯A才开始转动，在灯到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束第一次互相平行？
(3)如图，两灯同时转动，在灯A到达之前，若射出的光束交于点，过作交于点，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
27．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）如图，，点E在上，点G在上．

(1)如图1，在、上分别取点M、N，连接，点F在上，已知平分，平分，若，，求，的度数．
(2)如图2，平分，平分，反向延长交于K，设，请通过计算，用含x的代数式表示．
(3)如图3，已知，，平分，平分，请直接写出与的数量关系_________________
28．（22-23七年级下·山东济宁·期末）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，如图1，灯A发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，且a、b满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且．

(1)求a、b的值；
(2)若灯B发出的射线先转动45秒，灯A发出的射线才开始转动，当灯B发出的射线第一次到达时运动停止，设灯A转动了t秒．，问A灯转动多少秒，两灯的光束互相平行？
(3)如图2，两灯同时转动，在灯A发出的射线到达之前．若射出的两光束交于点C，过C作交于点D，则在转动过程中，与的比值是否发生变化？若不变，请直接写出其比值；若改变，请说明理由．

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