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第19章 一次函数 单元重点综合测试
（考试时间：120分钟；满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（本题3分）（23-24八年级上-广东梅州-期中）下列函数中，一次函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的定义；掌握一次函数的解析式是解题的关键．形如的函数叫作一次函数，根据定义进行判断即可．
【详解】解：A、不是整式函数，即不是一次函数，故本选项错误；
B、是二次函数，故本选项错误；
C、是一次函数，故本选项正确；
D、是反比例函数，故本选项错误．
故选：C．
2．（本题3分）（23-24八年级上-江苏南京-阶段练习）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数图像的平移变换，掌握函数图像的平移规则是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为；
故选：C．
3．（本题3分）（19-20九年级下·江苏宿迁·阶段练习）下列关于一次函数的图像性质说法中，不正确的是（ ）
A．直线与x轴交点的坐标是 B．直线经过第一、二、四象限
C．y随x的增大而减小 D．与两坐标轴围成的三角形面积为4
【答案】A
【分析】根据题意由题目中的函数解析式利用一次函数图象的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：A、直线与 x 轴交点的坐标是，故符合题意；
B、一次函数的图象中，，故直线经过第一、二、四象限，故不符合题意；
C.、一次函数的图象中 ，有y 随 x 的增大而减小，故不符合题意；
D、由一次函数 可知与坐标轴的交点坐标分别为和，∴与坐标轴围成的三角形面积为4，故不符合题意；
故选：A．
4．（本题3分）（23-24八年级上·广东梅州·期中）已知一次函数的图象过原点，则m的值为（　　）
A．0 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数中，当时函数图象经过原点是解答此题的关键．先根据一次函数的图象经过原点得出关于m的不等式组，求出m的值即可．
【详解】解：∵一次函数的图象经过原点，
∴，
解得：．
故选：B．
5．（本题3分）（23-24八年级上-广东梅州-期中）已知一次函数的图象与y轴交于，且y随x值的增大而增大，则m的值为（　　）
A．2 B． C．或4 D．2或
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的增减性质，牢记：，y随x值的增大而增大；反之，y随x值的增大而减小．
把代入一次函数中，解得或，又y随x值的增大而增大，故．
【详解】解：把代入一次函数中，可得，
解得：或，
又y随x值的增大而增大，故（舍去负值）．
故选：A．
6．（本题3分）（23-24八年级上-河南郑州-期末）如图，已知函数和的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程（组）的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．将代入，可求得a的值，再根据一次函数与二元一次方程（组）的关系即可解答．
【详解】解：把点代入得：，
所以关于x，y的方程组的解是．
故选A．
7．（本题3分）（21-22八年级上-四川雅安-期中）一次函数与在同一坐标系的图象正确的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】先确定一个函数图象的位置得到a、b的符合，则利用a、b的符合判定另一个图象是否正确即可．
【详解】解：当的图象在一、二、四象限时，则，，所以的图象在一、三、四象限，所以A、B选项错误；
当的图象在一、二、三象限时，则，，所以的图象在一、二、三象限，所以C选项错误；
当的图象在一、三、四象限时，则，，所以的图象在一、二、四象限，所以D选项错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与系数的关系：对于一次函数，当时，在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当时，在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．当，的图象在一、二、三象限；，的图象在一、三、四象限；，的图象在一、二、四象限；，的图象在二、三、四象限．
8．（本题3分）（2024九年级下·山东·专题练习）甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间 之间的函数关系如图所示，给出下列结论：
①A，B之间的距离为；
②乙行走的速度是甲的倍；
③，．
其中正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意观察函数图象结合数量关系逐一分析四个说法的正误是解题的关键．由题意根据甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系图对各个结论依次进行分析判断即可．
【详解】解：①当时，，
∴A、B之间的距离为，结论①正确；
②乙的速度为，
甲的速度为，
，
∴乙行走的速度是甲的1.5倍，结论②正确；
③，，结论③正确；
故结论正确的有①②③．
故选：D．
9．（本题3分）（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）如图，在中，，顶点A的坐标为，P是上一点，将点P绕点逆时针旋转，点P的对应点落在边上，在y轴上有动点Q，当最小时，Q点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式，作轴对于点D，利用旋转证明，进而求出点和点P的坐标，作点关于y轴的对称点E，由轴对称的性质可得，可推出当最小时，点Q为与y轴的交点，因此求出直线的解析式即可．
【详解】解：，，
，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
直线的解析式为．
如图，作轴对于点D，
点P绕点逆时针旋转，点P的对应点落在边上，
，，，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
点的横坐标为2，
将代入，得，
，
，
，
；
如图，作点关于y轴的对称点E，则，
由轴对称的性质可得，
，当点Q为与y轴的交点时，等号成立，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
直线的解析式为．
当时，，
，
故选C．
10．（本题3分）（23-24八年级上·河南周口·期末）正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，则点的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与几何综合和正方形性质，由题意可得出、的纵坐标相同，根据点，，，…在直线上和正方形性质，推出点，，，的坐标，根据坐标找出点的坐标规律为的坐标为，利用规律表示出的坐标，即可解题．
【详解】解：由题知，四边形为正方形，
轴，即、的纵坐标相同，
当时，，即，
，则，
当时，，
的坐标为，
同理可得的坐标为，的坐标为，
的坐标为，
的坐标为，
点的纵坐标是，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（本题3分）（23-24八年级上·江苏盐城·期末）函数中自变量的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于，分母不等于，可以求出的范围．本题考查了函数自变量的取值范围．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
12．（本题3分）（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）若直线l与直线平行，且l过点，则直线l的表达式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了两直线平行的问题，熟记两平行直线的解析式的k值相等是解题的关键．
根据两平行直线的解析式的k值相等可设直线的函数表达式为，再把经过的点的坐标代入函数解析式计算求出b即可解答．
【详解】∵直线l与直线平行，
∴设直线l的函数表达式为，
把点代入得：，解得：，
∴直线的函数表达式为．
故答案为：．
13．（本题3分）（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知，是一次函数的图象上的两个点，则a b（填“”“”“=”号）．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的增减性，解题的关键是掌握一次函数，当时，y随x的增大而增大，反之，y随x的增大而减小．据此即可解答．
【详解】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
∵，是一次函数的图象上的两个点，，
∴，
故答案为：．
14．（本题3分）（23-24八年级上·安徽淮北·期中）已知为整数，且一次函数的图象不经过第二象限，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，时，函数的图象不经过第二象限是解答此题的关键．由于一次函数的图象不过第二象限，则得到不等式组，然后解不等式即可得m的值．
【详解】解：∵一次函数的图象不过第二象限，
∴，
解得：，而m是整数，
则或．
故答案为：或．
15．（本题3分）（22-23九年级下·辽宁本溪·阶段练习）直线是由直线平移得到的，且经过点，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换的知识，两直线平行，则函数解析式的一次项系数相同，可确定的值；把点代入求出的值，即可求出答案．
【详解】直线是由直线平移得到的，
中，解得，
直线，
直线经过点，
当时，，将其代入得，
解得：．
则．
故答案为：．
16．（本题3分）（22-23八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．已知在轴上存在一点，使得的面积为，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，三角形的面积，熟练掌握求一次函数与坐标轴的交点坐标方法是解题的关键．
先求出点和点的坐标，根据三角形的面积公式可求得，结合题意即可求解．
【详解】解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
令，则，
故；
令，则，
解得：，
故；
∵的面积为，
即，
∵，
故，
又∵点在轴上，，
∴或．
故答案为：或．
17．（本题3分）（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止已知两车距甲地的距离（）与所用的时间()的关系如图所示当两车相距时，两车出发了 小时．
【答案】4或或
【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象解决某个问题．要分三种情况讨论：当时，当时，当时．根据数量关系即可求解，该题解答过程比较复杂，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：由图象可知：
小轿车的速度为：，
大客车的速度为：．
设两车出发后两车相距．
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得．
当两车相距时，两车出发了小时或小时或小时．
故答案为：或或．
18．（本题3分）（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图1，中，是边上的动点．设两点之间的距离为两点之间的距离为，表示与的函数关系的图像如图2所示，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了从函数图象获取信息的能力，等腰三角形的性质，勾股定理；
根据函数图象判断出，时，，作于E，先利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求出．
【详解】解：由函数图象得：当时，，即时，，
当时，，即时，点D，C重合，，
当时，如图，作于E，，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题6分）（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）已知与成正比，且当时，．
(1)写出与之间的函数表达式；
(2)求当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、已知函数值求自变量、解一元一次方程．
（1）由题意，设，利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案；
（2）由（1）中求得的函数表达式，令，解一元一次方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由与成正比，可设，
把，代入得，解得，
，即；
（2）解：由（1）中得到的，
当时，，解得．
20．（本题6分）（23-24八年级上·浙江杭州·期末）已知y是x的一次函数，当时，；当时，
(1)求一次函数的表达式．
(2)若点在该一次函数图象上，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数的解析式求解以及图象上的点，掌握待定系数法是解题关键．
（1）设一次函数的解析式为：，根据题意建立方程组即可求解；
（2）把代入得，即可求解；
【详解】（1）解：设一次函数的解析式为：，
则，
解得：，
∴一次函数的解析式为：，
（2）解：把代入得：
∴，
∴
21．（本题8分）（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与正比例函数的图象交于点C，且点C的横坐标为2．

(1)求一次函数的表达式．
(2)观察图象，请直接写出满足时x的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
【分析】（1）本题考查求一次函数解析式，将代入求出点C的坐标，将A，C代入求解即可得到答案；
（2）本题考查根据函数图像求不等式，根据函数图像在下方的小在上方的大即可得到答案；
【详解】（1）解：∵点C的横坐标为2，
∴，
∴，
将，代入得，
，
解得：，
∴；
（2）解：由图像可得，
在的右边的图像在图像的上方，
∴时足．
22．（本题8分）（22-23八年级上·江苏苏州·期末）如图在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动．
(1)求直线的函数关系式；
(2)求的面积；
(3)是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，根据三角形的面积推得点的横坐标为或是解题的关键．
（1）根据待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）根据三角形的面积公式即可求解；
（3）根据待定系数法求直线的解析式，根据面积公式求得的横坐标，然后代入解析式即可求得的坐标．
【详解】（1）解：设直线的解析式是，
根据题意得：，
解得：，
则直线的解析式是：．
（2）解：令时，，
∴，
∴，
∴的面积．
（3）解：存在点，使的面积与的面积相等，理由如下：
如图：
设的解析式是，
根据题意，得：，
解得：；
则直线的解析式是：；
∵点，
∴，
∴，
∵的面积与的面积相等，
∴到轴的距离点的纵坐标，
∴点的横坐标为或；
当的横坐标为时，
在中，当时，，即的坐标是，
在中，当时，，则的坐标是，
则的坐标为或．
当的横坐标为时，
在中，当时，，则的坐标是，
综上所述：点的坐标为或或．
23．（本题9分）（23-24八年级上·四川成都·期末）七中育才学校数学组组织学生举行“数学计算大赛”，需购买甲、乙两种奖品．若购买甲奖品3个和乙奖品4个，需160元；购买甲奖品4个和乙奖品5个，需205元．
(1)甲、乙两种奖品的单价各是多少元？
(2)学校计划购买奖品200个，设购买甲奖品个，购买这200个奖品的总费用为元．
①求关于的函数关系式；
②若购买甲奖品的数量不少于30个，同时又不超过80个，则该学校购进甲奖品、乙奖品各多少个，才能使总费用最少？
【答案】(1)甲种奖品的单价是20元，乙种奖品的单价是25元
(2)①；②该学校购买甲奖品80个，乙奖品120个，才能使总费用最少
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，正确建立方程组和熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
（1）设甲种奖品的单价是元，乙种奖品的单价是元，根据两种购买方式的费用建立方程组，解方程组即可得；
（2）①先求出购买乙奖品为个，再根据（1）的结果即可得；
②利用一次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：设甲种奖品的单价是元，乙种奖品的单价是元，
由题意得：，
解得，
答：甲种奖品的单价是20元，乙种奖品的单价是25元．
（2）解：①由题意可知，购买乙奖品为个，
则，
即关于的函数关系式为；
②∵购买甲奖品的数量不少于30个，同时又不超过80个，
，
∵，，
∴在内，随的增大而减小，
∴当时，取得最小值，此时，
答：该学校购买甲奖品80个，乙奖品120个，才能使总费用最少．
24．（本题9分）（23-24八年级上·河南郑州·期末）“低碳环保、绿色出行”的理念得到了广大群众的认可，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行、出游的交通工具．元旦假期，李明和姐姐在同时从家出发骑自行车去绿博园，李明先以的速度骑行了一段时间，休息了5分钟后再以的速度到达绿博园，姐姐则始终以同一速度骑行，两人骑行的路程与时间的关系如图所示．请结合图象，解答下列问题：
(1) ， ， ；
(2)若姐姐的速度是，求线段的函数表达式，和姐弟两人第二次相遇时距绿博园的距离；
(3)在（2）的条件下，请直接写出李明自第二次出发至到达绿博园时，何时与姐姐相距？
【答案】(1)260；10；15
(2)李明与姐姐第二次相遇时，距绿博园
(3)李明自第二次出发至到达绿博园前，在或时，李明与姐姐相距
【分析】本题考查了一次函数的应用、解含绝对值符号的一元一次方程以及解二元一次方程组，解题的关键是：
（1）根据时间路程速度，即可求出b值，结合休息的时间为5分钟，即可得出c值，再根据速度路程时间，即可求出a的值；
（2）根据数量关系找出线段、所在直线的函数解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点的坐标，再用5100去减交点的纵坐标，即可得出结论；
（3）根据（2）结论结合二者之间相距，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出x的值即可．
【详解】（1）由题意得：（分钟），
∴（分钟）．
．
故答案为：260；10；15；
（2）解：设线段的函数表达式是，
把点和点代入，
得：，
解得：，
∴线段的函数表达式是．
根据题意：线段的函数表达式是：．
解方程组：，得：，
∴．
∴李明与姐姐第二次相遇时，距绿博园．
（3）解：由题意得：，
∴或．
∵李明和姐姐在同时从家出发骑自行车去绿博园，
∴李明自第二次出发至到达绿博园前，在或时，李明与姐姐 相距．
25．（本题10分）（22-23八年级下·云南昆明·期末）【学习材料】
求直线向右平移个单位长度后的解析式． 第一步，在直线上任意取两点和； 第二步，将点和向右平移个单位长度得到点和，则直线就是直线向右平移个单位长度后得到的直线； 第三步，设直线的解析式为：，将和代入得到：解得，所以直线的解析式为：．
【类比思考】
若将直线向左平移个单位长度，则平移后的直线解析式为______；
若先将直线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到直线，则直线的解析式为______．
【拓展应用】
已知一次函数的图象与直线关于轴对称，求一次函数的解析式；
若一次函数的图象绕点逆时针旋转后得到直线，则直线的解析式为______．
【答案】【类比思考】①；②；【拓展应用】①；②．
【分析】（1）【类比思考】和均按照【学习材料】中的方法取点平移，利用待定系数法求解析式解答即可；
（2）【拓展应用】直线上的点关于轴对称点的坐标为，故将坐标代入整理即可；设直线的解析式为，点和在直线上，代入得到和直线与轴交点坐标为，可利用勾股定理求得即可求得a．
【详解】解：【类比思考】根据【学习材料】中的方法：
第一步，在直线上任意取两点和；
第二步，将点和向左平移个单位长度，得到点和，则直线就是直线向左平移个单位长度后得到的直线；
第三步，设直线的解析式为：，将和代入，
得到，解得．
直线的解析式为．
故答案为：．
根据【学习材料】中的方法：
第一步，在直线上任意取两点和；
第二步，将点和向右平移个单位长度，得到点和；再将点和向下平移个单位长度，得到点和，则直线就是所要求的直线．
第三步，设直线的解析式为，将和代入，
得到，解得．
直线的解析式为．
故答案为：．
【拓展应用】①设直线上的点的坐标为x,y，它们对应的关于x轴对称点的坐标为x,-y，
∴直线关于x轴对称的直线为，即．
②设直线m的解析式为．
∵的图象绕点逆时针旋转90°后得到直线m，
∴点在直线m上．
将代入，
得．
当时，，
∴与y轴交点坐标为．
由几何关系，利用勾股定理，
得，解得．
∴．
∴．
故答案为：．
26．（本题10分）（23-24八年级上·浙江金华·期末）定义：我们把形如（）的函数称为一次函数的“相反函数”．比如：函数是一次函数的“相反函数”．
(1)如图1，一次函数的图象交轴、轴于点、，请在图中画出该一次函数的“相反函数”的图象；
(2)写出一次函数与“相反函数”（）之间的性质（至少两条）；
(3)在（1）中，如果函数、的图象交点为，、与轴分别交于点、．求的角平分线与对边的交点坐标．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)的角平分线与对边的交点坐标为或或．
【分析】（1）依据题意，设一次函数的解析式为，从而，即可求得一次函数的解析式为，故可得该一次函数的“相反函数”为的解析式，从而可以作图；
（2）依据题意，结合（1）图象，可以发现一次函数与“相反函数”之间的性质，进而判断得解；
（3）依据题意，根据图形先可得平分的角平分线与对边的交点坐标为，再求出当平分时，的坐标，最后由对称性可得另外一点，进而得解．
【详解】（1）解：由题意，设一次函数的解析式为，
，
．
一次函数的解析式为．
该一次函数的“相反函数”为．
作图如下．
；
（2）解：由题意，结合（1）图象，可以发现一次函数与“相反函数”之间的性质：
①两个函数的图象关于轴对称；
②两个函数的图象都过点．（答案不唯一）
（3）解：由题意，作图如下．
由题意，是等腰三角形．
平分．
此时角平分线与对边的交点坐标为．
当平分时，作于，
又，
．
．
．
．
设，
．
又在中，，
．
．
．
直线为：．
又为，
．
过的角平分线与对边交点坐标为．
又根据对称性，
过的角平分线与对边交点坐标为．
综上，的角平分线与对边的交点坐标为或或．中小学教育资源及组卷应用平台
第19章 一次函数 单元重点综合测试
（考试时间：120分钟；满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（本题3分）（23-24八年级上-广东梅州-期中）下列函数中，一次函数是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）（23-24八年级上-江苏南京-阶段练习）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为（　　）
A． B． C． D．
3．（本题3分）（19-20九年级下·江苏宿迁·阶段练习）下列关于一次函数的图像性质说法中，不正确的是（ ）
A．直线与x轴交点的坐标是 B．直线经过第一、二、四象限
C．y随x的增大而减小 D．与两坐标轴围成的三角形面积为4
4．（本题3分）（23-24八年级上·广东梅州·期中）已知一次函数的图象过原点，则m的值为（　　）
A．0 B．2 C． D．
5．（本题3分）（23-24八年级上-广东梅州-期中）已知一次函数的图象与y轴交于，且y随x值的增大而增大，则m的值为（　　）
A．2 B． C．或4 D．2或
6．（本题3分）（23-24八年级上-河南郑州-期末）如图，已知函数和的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（　　）．
A． B． C． D．
7．（本题3分）（21-22八年级上-四川雅安-期中）一次函数与在同一坐标系的图象正确的是（ ）
A．B． C． D．
8．（本题3分）（2024九年级下·山东·专题练习）甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间 之间的函数关系如图所示，给出下列结论：
①A，B之间的距离为；
②乙行走的速度是甲的倍；
③，．
其中正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．（本题3分）（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）如图，在中，，顶点A的坐标为，P是上一点，将点P绕点逆时针旋转，点P的对应点落在边上，在y轴上有动点Q，当最小时，Q点坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）（23-24八年级上·河南周口·期末）正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，则点的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（本题3分）（23-24八年级上·江苏盐城·期末）函数中自变量的取值范围是 ．
12．（本题3分）（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）若直线l与直线平行，且l过点，则直线l的表达式为 ．
13．（本题3分）（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知，是一次函数的图象上的两个点，则a b（填“”“”“=”号）．
14．（本题3分）（23-24八年级上·安徽淮北·期中）已知为整数，且一次函数的图象不经过第二象限，则的值为 ．
15．（本题3分）（22-23九年级下·辽宁本溪·阶段练习）直线是由直线平移得到的，且经过点，则的值为 ．
16．（本题3分）（22-23八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．已知在轴上存在一点，使得的面积为，则点的坐标为 ．
17．（本题3分）（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止已知两车距甲地的距离（）与所用的时间()的关系如图所示当两车相距时，两车出发了 小时．
18．（本题3分）（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图1，中，是边上的动点．设两点之间的距离为两点之间的距离为，表示与的函数关系的图像如图2所示，则线段的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题6分）（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）已知与成正比，且当时，．
(1)写出与之间的函数表达式；
(2)求当时，求的值．
20．（本题6分）（23-24八年级上·浙江杭州·期末）已知y是x的一次函数，当时，；当时，
(1)求一次函数的表达式．
(2)若点在该一次函数图象上，求代数式的值．
21．（本题8分）（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与正比例函数的图象交于点C，且点C的横坐标为2．

(1)求一次函数的表达式．
(2)观察图象，请直接写出满足时x的取值范围．
22．（本题8分）（22-23八年级上·江苏苏州·期末）如图在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动．
(1)求直线的函数关系式；
(2)求的面积；
(3)是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由．
23．（本题9分）（23-24八年级上·四川成都·期末）七中育才学校数学组组织学生举行“数学计算大赛”，需购买甲、乙两种奖品．若购买甲奖品3个和乙奖品4个，需160元；购买甲奖品4个和乙奖品5个，需205元．
(1)甲、乙两种奖品的单价各是多少元？
(2)学校计划购买奖品200个，设购买甲奖品个，购买这200个奖品的总费用为元．
①求关于的函数关系式；
②若购买甲奖品的数量不少于30个，同时又不超过80个，则该学校购进甲奖品、乙奖品各多少个，才能使总费用最少？
24．（本题9分）（23-24八年级上·河南郑州·期末）“低碳环保、绿色出行”的理念得到了广大群众的认可，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行、出游的交通工具．元旦假期，李明和姐姐在同时从家出发骑自行车去绿博园，李明先以的速度骑行了一段时间，休息了5分钟后再以的速度到达绿博园，姐姐则始终以同一速度骑行，两人骑行的路程与时间的关系如图所示．请结合图象，解答下列问题：
(1) ， ， ；
(2)若姐姐的速度是，求线段的函数表达式，和姐弟两人第二次相遇时距绿博园的距离；
(3)在（2）的条件下，请直接写出李明自第二次出发至到达绿博园时，何时与姐姐相距？
25．（本题10分）（22-23八年级下·云南昆明·期末）【学习材料】
求直线向右平移个单位长度后的解析式． 第一步，在直线上任意取两点和； 第二步，将点和向右平移个单位长度得到点和，则直线就是直线向右平移个单位长度后得到的直线； 第三步，设直线的解析式为：，将和代入得到：解得，所以直线的解析式为：．
【类比思考】
若将直线向左平移个单位长度，则平移后的直线解析式为______；
若先将直线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到直线，则直线的解析式为______．
【拓展应用】
已知一次函数的图象与直线关于轴对称，求一次函数的解析式；
若一次函数的图象绕点逆时针旋转后得到直线，则直线的解析式为______．
26．（本题10分）（23-24八年级上·浙江金华·期末）定义：我们把形如（）的函数称为一次函数的“相反函数”．比如：函数是一次函数的“相反函数”．
(1)如图1，一次函数的图象交轴、轴于点、，请在图中画出该一次函数的“相反函数”的图象；
(2)写出一次函数与“相反函数”（）之间的性质（至少两条）；
(3)在（1）中，如果函数、的图象交点为，、与轴分别交于点、．求的角平分线与对边的交点坐标．

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