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2024年初中学业水平学科素养调研卷（一）
数学
（全卷满分120分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上．
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效．
3．不能使用计算器．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）
1．2024年2月1日，某地记录到四个时刻的气温（单位：℃）分别为，0，1，，其中最低的气温是（ ）
A． B．0 C．1 D．
2．如图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体搭成，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．截至2023年底，中国新能源汽车保有量已达辆，此数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．在一个不透明的袋子里装有5个小球，这些小球除颜色外无其他差别，其中红球2个，白球3个，摇匀后，从这个袋子中任意摸出一个球，则这个球是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．一元二次方程的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
8．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在绿地内建一个休息点，使它到，，三边的距离相等，下列作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．根据物理学知识，作用于物体上的压力所产生的压强与物体受力面积三者之间满足关系式，如果压力为，压强要大于，则下列关于的说法正确的是（ ）
A．小于 B．大于 C．小于 D．大于
11．如图，在□中，平分，交边于点，过点作于点，交于点．若，则的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
12．我们知道，小明同学据此画出了函数的大致图象，你认为小明同学所作图象正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）
13．的相反数是 ．
14．分解因式： ．
15．李校医对九（1）班50名学生的血型作了统计，列出如下边的统计表，则九（1）班型血的人数是 ．
血型 型 型 型 型
频率
16．已知是方程的解，则的值为 ．
17．如图，当一个摆钟的钟摆从最左侧处摆到最右侧处时，摆角，点是弧的中点，连接交于点，若，则的长为 cm．（结果用含的式子表示）
18．如图，将一个边长为4的菱形沿着直线折叠，使点落在延长线上的点处，若，则的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中，．
21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)在图中画出关于轴对称的；
(2)将先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，画出平移后的；
(3)在中有一点，则经过以上两次变换后点的对应点的坐标为______．
22．2023年12月14日，一股冷空气开始影响我市，我市连续7天的天气情况如下：
上述天气情况包括了每天的天气状况（如阴转小雨，小雨转多云等），气温（如“4／”指当天最低和最高气温分别是和），风向和风级．
(1)这7天最高气温的众数是______，中位数是______；
(2)计算这7天最低气温的平均数；
(3)阅读冷空气等级标准表：
序号 等级 冷空气来临的48小时内气温变化情况
① 弱冷空气 降温幅度小于6
② 中等强度冷空气 降温幅度大于或等于6，但小于8
③ 较强冷空气 降温幅度大于或等于8，且日最低气温超过8
④ 强冷空气 降温幅度大于或等于8，且日最低气温不超过8
⑤ 寒潮 降温幅度大于或等于10，且日最低气温不超过4
本次来临的冷空气的等级是______．（填序号）
23．我国第一届全国学生（青年）运动会于2023年11月5日在广西南宁开幕，吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具在市场出现热销，已知“壮壮”比“美美”每个便宜40元，某商场用6400元购买“壮壮”的数量是用4800元购买“美美”数量的2倍．
(1)求购买一个“美美”和一个“壮壮”各需多少元？
(2)为满足顾客需求，商场从厂家一次性购买“壮壮”和“美美”共100个，要求购买的总费用不超过11020元，求最多可以购买“美美”多少个？
24．如图，已知，以为直径作交于点，连接，，作的平分线，交于点，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：．
25．综合与实践
中国旅游研究院2024年1月5日发布的“2024年冰雪旅游十佳城市”中，哈尔滨位列榜首，火爆出圈，其中帽儿山的滑雪运动深受欢迎．滑雪爱好者小李为了得出滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系，以便更好地享受此项运动所带来的乐趣，他在滑道A上设置了若干个观测点，收集一些数据，如下表所示：
点位1 点位2 点位3 点位4 点位5 点位6 点位7
滑行时间 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 …
滑行距离 0 1.625 4.5 8.625 14 20.625 28.5
(1)请你在平面直角坐标系中描出表中数据所对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们；
(2)观察由（1）所得的图象，请你依图象选用一个函数近似地表示与之间的函数关系，并求出这个近似函数的关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)若另一名滑雪爱好者小张在小李出发5秒后沿着滑道B滑行（两条滑道互相平行，且起点在同一直线上），他的滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）可近似地看成二次函数，当小李滑行距离为384m时，他比小张多滑行的距离不超过160m，求的最小值．（参考数据：）
26．应用与探究
【情境呈现】
在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放，其中，，．他把三角板固定好后，将三角板从图1所示的位置开始绕点按顺时针方向旋转，每秒转动，设转动时间为秒．

【问题应用】（1）请直接写出图1中线段的值；
（2）如图2，在三角板旋转的过程中，连接，当四边形是矩形时，求值；
【问题探究】（3）如图3，在三角板旋转的过程中，取的中点，连接，是否存在最大值？若存在，请求出的最大值，并直接写出此时的值：若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】
本题考查有理数比较大小的实际应用，根据负数小于0小于正数，两个负数相比较，绝对值大的反而小，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴最低的气温是℃；
故选A．
2．D
【分析】从正面看：共有2列，从左往右分别有2，1个小正方形；据此可画出图形．
【详解】解：如图所示的几何体的主视图是
．
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
3．D
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可．
【详解】解：∵
故选：D
4．C
【分析】
本题主要考查了圆内接四边形的性质，解题的关键是根据圆内接四边形，两对角互补，求出的度数即可．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴．
故选：C．
5．C
【分析】
本题考查了概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 出现种可能，那么事件的概率，用白球的个数除以球的总数即可求得答案．
【详解】解：∵从这个袋子中任意摸出一个球共有种等可能的情况，这个球是白球的有种可能，
∴从这个袋子中任意摸出一个球，则这个球是白球的概率，
故选：C．
6．D
【分析】
根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答即可．
【详解】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，熟记关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数是解题的关键．
7．A
【分析】
先计算出根的判别式的值，根据判别式的值就可以判断根的情况．
【详解】
解：∵在方程中，，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1） 方程有两个不相等的实数根；（2） 方程有两个相等的实数；（3） 方程没有实数根，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
8．C
【分析】
本题考查整数的运算，利用同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，幂的乘方逐一计算，判断即可．
【详解】解：A、，选项计算错误；
B、，选项计算错误；
C、，选项计算正确；
D、，选项计算错误；
故选：C．
9．D
【分析】
本题考查作图-基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，读懂图象信息．
根据三角形内心的性质判断即可．
【详解】解：∵点O到三边的距离相等，
∴点O是的内心，即点O是角平分线的交点，
故选：D．
10．A
【分析】
本题考查了反比例的应用，根据已知条件利用压强公式推导即可得到答案，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵产生的压强要大于，
∴小于，
故选：A．
11．C
【分析】
本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论是解题关键．根据题意可得、，据此即可求解．
【详解】解：∵平分，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
∴，
∴
∵
∴，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故选：C
12．B
【分析】
本题考查函数的图象和性质，根据时，，得到图象一定过点，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴当时，，
∴图象一定过点，
故满足题意的只有选项B，
故选：B．
13．5
【分析】
本题主要考查相反数的定义，根据相反数的概念求出相反数即可，解题的关键是掌握只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
【详解】
∵的相反数是5，
故答案为：5．
14．
【分析】
根据提取公因式法因式分解进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
15．
【分析】
本题考查了频数和频率，根据频数频率数据总数求解，解答本题的关键是掌握频数频率数据总数．
【详解】解：由题意可知，九（1）班型血的人数是（人），
故答案为：．
16．
【分析】
本题考查了二元一次方程的解，把方程组的解代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可，把方程组的解代入方程，得到关于的一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用，圆的性质，全等三角形的判定与性质，由点是弧的中点，得出，，已知的长，用正弦公式可表示， 即可求解，关键是掌握正弦的定义．
【详解】解：∵点是弧的中点，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵
∴
∴
故答案为：．
18．
【分析】
本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，由菱形得到，，由折叠得：，，再由勾股定理求出即可求解，掌握相关性质是解题的关键．
【详解】
解：如图：
在菱形中，，，
∴，
由折叠得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
19．
【分析】
本题考查有理数的混合运算，根据混合运算的法则，进行计算即可．
【详解】解：原式．
20．
【分析】
本题考查整式的混合运算及因式分解的应用，熟知乘法公式、整式的四则运算法则和因式分解的方法是正确解决本题的关键．
按整式运算法则或先运用因式分解化简再代入计算即可．
【详解】解：
化简方法一：
化简方法二：
当，时，
原式．
21．(1)图见解析
(2)图见解析
(3)
【分析】
本题考查坐标与图形变换：
（1）根据轴对称的性质，画出即可；
（2）根据平移的性质，画出；
（3）根据轴对称和平移规则，求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）点关于轴的对称点为，再将先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到：；
故；
故答案为：．
22．(1)，；
(2)；
(3)①．
【分析】
本题考查了众数，中位数，平均数，掌握相关的定义是解题的关键．
（1）直接用众数，中位数的定义即可求解；
（2）根据平均数的定义列式计算即可求解；
（3）参照天气情况图可得答案．
【详解】（1）解：这7天的最高气温分别是：，
∴这7天最高气温的众数是，中位数是．
（2）解：这7天最低气温的平均数为
．
（3）解：周四周五的温差为，降温幅度小于6
∴本次来临的冷空气的等级是①．
23．(1)购买一个“美美”和一个“壮壮”分别需120元，80元
(2)75个
【分析】
本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设购买一个“美美”需要元，根据“壮壮”比“美美”每个便宜40元，某商场用6400元购买“壮壮”的数量是用4800元购买“美美”数量的2倍，列出分式方程进行求解即可；
（2）设购买“美美”个，根据题意，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设购买一个“美美”需要元，则购买一个“壮壮”需要元，由题意，得：
，
解得：，经检验是原方程的解，
∴；
答：购买一个“美美”和一个“壮壮”分别需120元，80元；
（2）设购买“美美”个，则购买“壮壮”个，由题意，得：
，解得：，
又为整数，
∴最多可以购买“美美”75个．
24．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】
本题考查了切线的判定，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键．
（1）由是直径，得到，由，进而得到即可求证；
（2）作，交于点，分别求证，即可得出结论．
【详解】（1）
证明：∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是切线．
（2）
证明：作，交于点，如图：
∵是的角平分线，，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
综上，．
25．(1)图见解析
(2)
(3)11
【分析】
本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键．
（1）描点，连线画出图象即可；
（2）设函数解析式为，待定系数法求出函数解析式即可；
（3）求出小李滑行距离为384m时，所用的时间，进而求出小张滑行的距离，根据小李比小张多滑行的距离不超过160m，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：根据表格数据，描点，连线如图：
（2）由图象可知，图象近似为二次函数的图象，
∴设解析式为，将表格中的点位1，点位3，点位5的坐标代入得：
，解得：，
∴；
（3）∵，
∴当时，，解得：（负值已舍去）；
∴小张的滑行时间为，
∵，
∴当时，，
由题意，得：，解得：，
∴的最小值为：11．
26．（1）；（2）；（3）存在，最大值为，此时的值为．
【分析】
本题考查了旋转的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系，掌握相关性质是解题的关键．
（1）由，，得到，即可求解；
（2）当四边形是矩形时，，求出旋转角，即可求解；
（3）取中点，连接，当三点共线时，最大值，可求出最大值为，此时的值为．
【详解】
解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）如图：

当四边形是矩形时，
∴，
∵，
∴旋转角，
∴（秒），
∴的值为；
（3）取中点，连接，如图：

∵是中点，
∴中位线，
在中，，
∴，
∴ ，
∵是斜边上中线，
∴，
当不在同一直线上时， ，
当在线段上时， ，
，
∴三点共线时，最大值，
此时，如图，

，，
∴，
∵，
∴，
∴旋转角为，
∴（秒），
综上，存在最大值为，此时的值为．

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