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第二单元 认识三角形和四边形
一、图形分类
1、平面图形是图形所表示的各个部分都在同一平面内。如圆（曲线）和三角形、四边形（由线段组成）。
2、立体图形是图形各部分不在同一平面内的几何图形，由一个或多个面围成的可以存在于现实生活中的三维图形。
3、三角形具有稳定性，平行四边形具有不稳定性。
二、三角形分类
1、三角形按角分，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
锐角三角形的三个角都是锐角；直角三角形中有一个角是直角；钝角三角形中有一个角是钝角。
2、三角形按边，可以分为不等边三角形、等边三角形和等腰三角形。
等边三角形的三条边相等，三个角相等;等腰三角形的两条腰相等，两个底角相等。
三、探索与发现：三角形的内角和
1、三角形的内角和是180°。
2、三角形的内角和的应用。
已知三角形的两个角的度数，可以根据三角形的内角和计算出第三个角的度数，从而判断出该三角形是什么三角形。
3、多边形的内角和＝（n-2)×180°
四、探索与发现：三角形边的关系
1、三角形任意两边之和大于第三边。
2、判断三条线段是否能围成三角形，只要把较短的两条边相加与最长边比较即可。
五、四边形分类
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；只有一组对边平行的四边形是梯形。
2、正方形、长方形和平行四边形的关系:
正方形是特殊的长方形;正方形、长方形是特殊的平行四边形。
一、选择题
1．如图，斜拉桥是现代大跨度桥梁的重要结构形式，斜拉桥的外观设计中，运用了三角形的知识，是因为三角形具有（ ）。
A．灵活性 B．不稳定性 C．稳定性
2．在下面的图形上只剪一刀，可以得到两个钝角三角形的是（ ）。
A． B．
C． D．
3．一个等腰三角形其中一个角是56度，那么另外两个角可能是（ ）。
A．56°，68° B．62°，62°
C．90°，34° D．56°，68°或62°，62°
4．我们佩戴的红领巾是中国少年先锋队队员的标志，也是红旗的一角。它的顶角是，底角是（ ）。
A． B． C． D．不能确定
5．一个三角形三条边总长96毫米，三条边长度相等，每条边长（ ）毫米。
A．90 B．288 C．32
6．如图是小亮用5根小棒搭成的小房子，现在我们用这些材料中任意三根来首尾相连搭成三角形，能搭成（ ）种不同的三角形。
A．2 B．3 C．4 D．5
7．淘气家、笑笑家和学校的位置在地图上可构成一个三角形，其中淘气家距离学校3千米，笑笑家距离学校15千米，那么淘气家和笑笑家的距离（ ）。
A．可能是13千米 B．可能小于12千米
C．一定大于15千米 D．可能大于18千米
8．下面说法中错误的是（ ）。
A．正方形是特殊的长方形
B．等边三角形都是等腰三角形
C．等腰三角形都是锐角三角形
D．长方形和正方形是特殊的平行四边形
二、填空题
9．奇思的课桌松动了，可以在桌子脚的位置钉一根木条，因为( )具有( )。
10．
图中有( )个三角形。
11．找一找，填一填。
锐角三角形有( ) 直角三角形有( ) 钝角三角形有( )
12．如果将一根81分米长的铁丝围成一个最大的等边三角形，那么这个等边三角形的边长是( )分米；如果将这根铁丝改围成一个底边长为17分米的等腰三角形，那么这个等腰三角形的腰长是( )分米。
13．仔细观察，找找规律：
图形 ……
内角和 180° 360° 540° ……
(1)第四个图形（六边形）的内角和是( )°。
(2)内角和是1260°的图形是( )边形。
14．淘气有一根7厘米和一根9厘米长的小棒，他想再找一根小棒围成三角形，他找的这根小棒最长可以是( )厘米，最短可以是( )厘米。（填整数）
15．笑笑家的太阳能热水器支架损坏了，需要更换一根新的钢条，钢条的长度可能是( )。（填序号）
①2.7米 ②0.3米 ③0.9米
太阳能热水器的支架采用了三角形具有( )这一特点，生活中( )也是运用了这一特性。
16．下图是一个平面图形，由大小两个长方形和连接对应顶点的两条线组成。连接两个长方形的对应顶点而成。数一数，下图中共有( )个梯形。

三、判断题
17．一个等腰三角形的一个底角是45°，这个三角形一定是等腰直角三角形。( )
18．一个三角形中最多有一个角是直角或钝角。( )
19．在一个直角三角形中，如果其中一个锐角是34°，那么另一个锐角是66°。( )
20．长度为10厘米、5厘米、4厘米的三根小棒，能围成三角形。( )
四、计算题
21．根据条件，求出三角形未知内角的度数。
五、作图题
22．按要求在点子图上画图。
平行四边形 等腰梯形 钝角三角形 等腰直角三角形
六、解答题
23．如图所示，用火柴棒摆了五个三角形。
（1）拿走两根，剩下2个三角形，应该怎么拿？
（2）拿走两根，剩下3个三角形，应该怎么拿？
24．用一条60厘米长的铁丝围成一个底为10厘米的等腰三角形，如果接头处忽略不计，那么腰是多少厘米？
25．一个等边三角形的周长与一个边长为21厘米的正方形周长相等，这个等边三角形的边长是多少厘米？
26．学校举行风筝比赛，奇思做了一个风筝，风筝的造型是等腰三角形。其中有一个角是40°，其它两个角各是多少度？
27．我们佩戴的红领巾的颜色是国旗红，可用布、绸、缎等材料按照标准制作。分为小号、大号两个规格。小号：底边长100厘米、腰边长60厘米。大号：底边长120厘米、腰边长72厘米。红领巾中最大的角是120°。
（1）算式“100＋60×2”解决的问题是：
（2）红领巾中另外两个的角分别是多少度？
28．淘气为了估测学校喷泉两边A、B之间的距离（如图），在喷泉的一侧选取一点O，测得OA＝9米，OB＝6米。根据以上信息，淘气说：“A、B之间的距离不可能是16米。”你认为淘气说得对吗？请写出你的理由。
29．在下图中，AB与AE互相垂直。
（1）请画出点C到直线AE的距离CD，并量出CD＝（ ）毫米。
（2）线段AB与CD互相（ ）。
（3）连接BC，发现四边形ABCD是一个（ ）形。
（4）以点E为角的顶点，AE为角的一边，用你喜欢的方法画一个135°的角。
参考答案
1．C
【分析】
三角形是由三条线段首尾顺次相连围成的封闭图形，这种结构使得三角形在承受力时不易变形，具有稳固、坚定、耐压的特点，据此解答。
【详解】三角形具有稳定性，斜拉桥设计成三角形样式可使建筑更稳定。
故答案为：C
2．D
【分析】钝角三角形中最大的角是钝角，要大于90度，长方形里没有钝角，等边三角形也没有钝角；梯形的上面有2个钝角，平行四边形有2个钝角，据此画一画解答。
【详解】解：如图：可以得到两个钝角三角形。
A．根据分析可得，长方形剪一刀要想剪出两个三角形，只能沿着对角线剪，而这不能剪出两个钝角三角形。
B．根据分析可得，正三角形剪一刀要想剪出两个三角形，只能沿着高来剪，而这不能剪出两个钝角三角形。
C．根据分析可得，等腰梯形要想剪一刀要想剪出两个三角形，只能沿着对角线剪，而这不能剪出两个钝角三角形。
D．如图：可以得到两个钝角三角形。
故答案选：D。
【分析】本题考查了钝角三角形的特征及图形的划分。
3．D
【分析】等腰三角形的两个底角相等，根据三角形的内角和为180°可知，当这个角是底角时，则它的另外两个角的度数是：一个是56°，另一个是180°－56°×2。当这个角是顶角时，它的另外两个角的度数都是（180°－56°）÷2。
【详解】（1）当这个角是底角时，则它的另外两个角的度数是：一个是56°，另一个是：
180°－56°×2
＝180°－112°
＝68°
（2）当这个角是顶角时，则它的另外两个角的度数都是：
（180°－56°）÷2
＝124°÷2
＝62°
另外两个角可能是56°，68°或62°，62°。
故答案为：D
【分析】本题考查等腰三角形的特征和三角形的内角和定理，关键是按照这个角是顶角或者底角两种情况进行分析解答。
4．B
【分析】
红领巾是一个等腰三角形，两个底角相等，因此用三角形的内角和180°减顶角的度数后，再除以2即可，依此解答。
【详解】（180°－110°）÷2
＝70°÷2
＝35°
底角是35°。
故答案为：B
5．C
【分析】三角形的周长等于三边之和，如果一个三角形的三条边长度相等，则这个三角形是等边三角形，等边三角形的边长＝等边三角形的周长÷3，据此列式解答。
【详解】96÷3＝32（毫米）。
故答案为：C
【分析】解答此题的关键是明白等边三角形的三条边相等。
6．C
【分析】
从这5根小棒选出3根来组成三角形，只需要满足三角形三边的关系即可（较短两边之和大于第三边）。
【详解】如果选的3根小棒长度分别为4cm，4cm和6cm。因为4＋4＞6，所以这三根小棒可组成三角形；
如果选的3根小棒长度分别为4cm，4cm和8cm。因为4＋4＝8，所以这三根小棒不可组成三角形；
如果选的3根小棒长度分别为4cm，6cm和8cm。因为4＋6＞8，所以这三根小棒可组成三角形；
如果选的3根小棒长度分别为4cm，8cm和8cm。因为4＋8＞8，所以这三根小棒可组成三角形；
如果选的3根小棒长度分别为6cm，8cm和8cm。因为6＋8＞8，所以这三根小棒可组成三角形；
所以一共能搭成4种不同的三角形。
故答案为：C
7．A
【分析】由于淘气家、笑笑家和学校的位置在地图上可构成一个三角形，已知淘气家距离学校3千米，笑笑家距离学校15千米，根据在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出淘气家和笑笑家的距离的取值范围，再解答即可。
【详解】15＋3＝18（千米）
15－3＝12（千米）
所以淘气家和笑笑家的距离大于12千米小于18千米；
A．18＜13＜12；此选项符合题意；
B．淘气家和笑笑家的距离大于12千米小于18千米，因此此选项不符合题意；
C．淘气家和笑笑家的距离大于12千米小于18千米，因此可能大于15千米，也可能小于15千米；此选项不符合题意；
D．淘气家和笑笑家的距离大于12千米小于18千米，因此此选项不符合题意；
故答案为：A
8．C
【分析】（1）正方形的有4个直角，4条边相等。长方形有4个直角，两组对边相等。则正方形是特殊的长方形。
（2）等腰三角形的两条腰相等，等边三角形的三条边相等，则等边三角形是特殊的等腰三角形。
（3）等腰三角形的顶角是直角时，这个三角形是直角三角形。顶角是钝角，这个三角形是钝角三角形。顶角是锐角，这个三角形是锐角三角形。
（4）平行四边形的两组对边平行且相等，有4个角。则长方形是特殊的平行四边形。正方形是特殊的长方形，那么长方形和正方形是特殊的平行四边形。
【详解】A．正方形是特殊的长方形，说法正确；
B．等边三角形是特殊的等腰三角形，说法正确；
C．等腰三角形可以是锐角三角形，可以是直角三角形，可以是锐角三角形，说法错误；
D．长方形和正方形都是特殊的平行四边形，说法正确。
故答案为：C
【分析】本题考查四边形的关系、三角形的分类以及等腰三角形和等边三角形的关系，需熟练掌握。等腰三角形的两条腰相等，顶角的类型不确定，三角形按角分的类型也就不确定。
9． 三角形 稳定性
【分析】
三角形具有稳定性，不易变形，人们在生活中经常来利用三角形的稳定性加固物件，例如自行车的三角形，自行车的三角形车架、三角形房架、矩形门框的斜拉条、起重机的三角形吊臂车架，都是利用了三角形的稳定性，起到加固作用，据此即可解答。
【详解】根据分析可知，奇思的课桌松动了，可以在桌子脚的位置钉一根木条，因为三角形具有稳定性。
10．12
【分析】
要数出图中一共有多少个三角形，需做到不重复不遗漏。
【详解】由图可知：三角形内部第一层有3个三角形，2个小三角形和由2个小三角形组合而成的1个大三角形（如下图）。
三角形内部第二层有5个三角形，如下图：
还可将三角形两层联合一起来找三角形，有4个三角形，如下图。
所以图中有12个三角形。
【分析】本题数三角形时，需有一定的步骤和方法，要做到不重不漏。
11． ①④⑥⑨ ③⑤⑦ ②⑧
【分析】有些三角形的三个角都是锐角，这类三角形就是锐角三角形；有些三角形有一个直角，这类三角形就是直角三角形；有些三角形有一个钝角，这类三角形就是钝角三角形。
【详解】锐角三角形有①④⑥⑨ 直角三角形有③⑤⑦ 钝角三角形有②⑧
【分析】熟练掌握三角形的分类知识是解答的关键。
12． 27 32
【分析】围成最大的等边三角形，即铁丝没有剩余，那么三角形的周长是81分米，81除以3即可求出三角形的边长；围成等腰三角形，即等腰三角形的周长是81分米，等腰三角形的两腰相等，81减17可以求出两腰的和，再用和除以2即可求出其腰长。
【详解】81÷3＝27（分米），等边三角形的边长是27分米。
（81－17）÷2
＝64÷2
＝32（分米）
等腰三角形的腰长是32分米。
【分析】等边三角形三条边相等，三个角都是60°。等腰三角形两腰相等，两底角相等。
13．(1)720
(2)九
【分析】（1）三角形内角和180°，多边形边数－2＝三角形个数，三角形个数×三角形内角和＝多边形内角和，据此列式计算；
（2）多边形内角和÷180°＋2＝多边形边数，据此分析。
【详解】（1）（6－2）×180°
＝4×180°
＝720°
第四个图形（六边形）的内角和是720°。
（2）1260÷180°＋2
＝7＋2
＝9（条）
内角和是1260°的图形是九边形。
【分析】关键是掌握三角形内角和，通过将多边形分割成三角形可以求出多边形内角和。
14． 15 3
【分析】
三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答即可。
【详解】
7＋9＝16（厘米）
9－7＝2（厘米）
第三根小棒的长度应比16厘米短，比2厘米长，最长可以是15厘米，最短可以是3厘米。
15． ③ 稳定性 自行车三角架
【分析】
三角形任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边；
只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这个性质叫做三角形的稳定性；依此解答即可。
【详解】1.2＋1.5＝2.7（米），1.5－1.2＝0.3（米）
①2.7米＝2.7米，即钢条的长度不可能是2.7米；
②0.3米＝0.3米，即钢条的长度不可能是0.3米；
③0.3米＜0.9米＜2.7米，即钢条的长度可能是0.9米；
钢条的长度可能是③，太阳能热水器的支架采用了三角形具有稳定性这一特点；
生活中自行车三角架（答案不唯一）也是运用了这一特性。
16．2
【分析】如下图，图中共有2个梯形，据此即可解答。

【详解】根据分析可知，图中共有2个梯形。
【分析】本题主要考查学生对梯形定义和特征的掌握。
17．√
【分析】
已知一个等腰三角形的一个底角是45°，根据等腰三角形的特征“等腰三角形的两个底角相等”可知，另一个底角也是45°；
用三角形的内角和180°减去两个底角的度数，即是顶角的度数，再根据三角形按角的分类，确定这个三角形的类型。
【详解】180°－45°×2
＝180°－90°
＝90°
这个三角形一定是等腰直角三角形。
原题说法正确。
故答案为：√
18．√
【分析】
锐角三角形有3个锐角，直角三角形有1个直角和2个锐角，钝角三角形有1个钝角和2个锐角。一个三角形中最少有2个角是锐角，最多有一个角是直角或钝角。
【详解】一个三角形中最多有一个角是直角或钝角。
故答案为：√
19．×
【分析】直角三角形的两个锐角的和是90°，90°减34°即可求出另一个锐角的度数。
【详解】90°－34°＝56°
另一个锐角是56°，原说法错误。
故答案为：×
【分析】本题考查了三角形的内角和以及直角三角形的特征，注意直角三角形中的直角是90度。
20．×
【分析】三角形任意两边之和大于第三边，所以较小的两根小棒长度和大于最长的小棒，则三根小棒能围成三角形，否则不能围成三角形，据此即可解答。
【详解】5厘米＋4厘米＜10厘米，这三根小棒不能围成三角形，原说法错误。
故答案为：×
【分析】熟练掌握三角形三边间的关系是解答本题的关键。
21．∠B＝150°；∠C＝70°，∠A＝40°；∠C＝40°
【分析】（1）180°减两个已知角的度数即等于∠B的度数；
（2）等腰三角形的两个底角相等，所以∠C等于∠B，180°减∠C、∠B的度数等于∠A的度数；
（3）直角三角形两锐角和等于90°，90°减∠A等于∠C。
【详解】（1）∠B＝180°－10°－20°
＝170°－20°
＝150°
（2）∠C＝∠B＝70°
∠A＝180°－70°×2
＝180°－140°
＝40°
（3）∠C＝90°－50°＝40°
22．见详解
【分析】两组对边分别平行且相等的四边形叫做平行四边形。只有一组对边平行的四边形叫做梯形，两腰相等的梯形叫等腰梯形。有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。有一个角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形，
【详解】
【分析】熟记常见平面图形的特征是解题关键。
23．（1）拿走中间小三角形的两根火柴棒。
（2）拿走大三角形三个角上（任意一个角）的小三角形最外面的两根火柴棒。
【分析】
（1）拿走两根火柴棒，剩下2个三角形。如果同时拿大三角形三个角上（任意一个角）的小三角形最外面的两根火柴棒，都会剩下3个三角形。所以只能拿中间小三角形的两根火柴棒，这时剩下一个小三角形和一个大三角形，满足题意；
（2）如果拿走大三角形三个角上（任意一个角）的小三角形最外面的两根火柴棒，这时剩下3个小三角形，满足题意。
【详解】
（1）拿走中间小三角形的两根火柴棒后，如图：
这时剩下一个小三角形和一个大三角形，满足题意。
答：拿走中间小三角形的两根火柴棒。
（2）拿走大三角形三个角上（任意一个角）的小三角形最外面的两根火柴棒后，如图：
这时还剩下3个小三角形，满足题意。
答：拿走大三角形三个角上（任意一个角）的小三角形最外面的两根火柴棒。
24．25厘米
【分析】用一条60厘米长的铁丝围成一个等腰三角形，铁丝长度就是这个等腰三角形的周长。等腰三角形两腰相等，这根铁丝的长度减去这个等腰三角形的底再除以2，即可算出腰是多少厘米。
【详解】（60－10）÷2
＝50÷2
＝25（厘米）
答：腰是25厘米。
【分析】熟记等腰三角形的特征是解题关键。
25．28厘米
【分析】用21乘4，求出正方形的周长；因为等边三角形的三条边都相等，用正方形的周长除以3，求出这个等边三角形的边长是多少厘米。
【详解】21×4÷3
＝84÷3
＝28（厘米）
答：这个等边三角形的边长是28厘米。
【分析】解答此题的关键是明确等边三角形的三条边都相等，再进一步解答。
26．70°，70°或40°，100°
【分析】三角形的内角和等于180°，等腰三角形的两个底角相等，该题主要分两种情况，一种情况是顶角是40°，用180°减去顶角的度数，再除以2即可求出底角的度数；另一种情况是当底角是40°，用180°减去两个底角的度数，即可求出顶角的度数，据此解答即可。
【详解】当顶角是40°时：
（180°－40°）÷2
＝140°÷2
＝70°
当底角是40°时：
180°－40°－40°
＝140°－40°
＝100°
答：其它两个角都是70°或一个角是40°，另一个角是100°。
【分析】解答此题的关键是熟练掌握三角形的内角和的知识以及等腰三角形的性质。
27．（1）小号红领巾的周长是多少厘米？
（2）30度
【分析】（1）红领巾是等腰三角形，两条腰的长度相等，在小号红领巾中100厘米是底边的长度，60厘米是腰的长度，100＋60×2表示小号红领巾的周长是多少厘米。
（2）三角形的内角和是180度，等腰三角形的两个底角相等，先用三角形的内角和减去顶角的度数，求出两个底角的和，再除以2，即可求出红领巾的另外两个的角分别是多少度。
【详解】（1）算式“100＋60×2”解决的问题是：小号红领巾的周长是多少厘米？
（2）（180－120）÷2
＝60÷2
＝30（度）
答：红领巾中另外两个的角都是30度。
【分析】解决本题的关键是熟知等腰三角形的特点，以及三角形的内角和定理。
28．说得对；理由见解析
【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。
【详解】9－6＜A、B之间的距离＜9＋6，
3＜A、B之间的距离＜15，
即A、B之间的距离取值大于3米，小于15米之间。
所以A、B之间的距离不可能是16米，淘气说得对。
答：淘气说得对。
【分析】解答本题的关键是根据三角形三边关系进行分析、解答即可。
29．（1）图示见详解，CD＝13毫米；
（2）平行；
（3）梯；
（4）见详解
【分析】（1）画出点C到AE的距离，即作点C到AE的垂线，垂足为D，然后用直尺量出点C到点D的长度即可。
（2）两直线垂直于同一条直线，则这两条直线互相平行，据此解答。
（3）连接BC，画出图形，观察图形类型。
（4）先让AE与量角器的零刻度线重合，点E与量角器中心重合；在量角器135°刻度线处点一个点，将这个点与点E相连，即可画出135°的角。
【详解】（1）作图如下，利用直尺测得CD＝13毫米。
（2）由分析可知，AB⊥AE，CD⊥AE，所以AB∥CD，即线段AB与CD互相平行。
（3）连接BC，得到图示如下，发现四边形ABCD是一个梯形。
（4）作图如下：

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