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第二单元 比例
一、比例的认识
1、意义:表示两个比相等的式子，叫作比例。比例表示两个比相等的关系，是一股额等式。
2、比例的基本性质。
（1）在比例里，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。
（2）比例的基本性质。
在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。
二、比例的应用
1、解比例。
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫作解比例。
2、比例的应用。
根据比例的意义和基本性质，设未知数、解比例、解决实际问题。
三、比例尺
1、意义。
一副图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。
比例尺是一个比，它表示图上距离和实际距离的倍比关系，因此不能带有计量单位。
2、比例尺的应用。
（1）应用比例尺画图时，要先根据比例尺求出图上距离，再根据图上距离画图；
（2）图上距离∶实际距离=比例尺。
（3）实际距离=图上距离÷比例尺。
（4）图上距离=实际距离×比例尺。
3、比例尺的分类。
比例尺根据表现形式的不同，可分为线段比例尺和数值比例尺；根据世纪距离是缩小还是方法，还可分为缩小比例尺和放大比例尺。
四、图形的放大和缩小
1、保持图形原来的形状不变，和原图相比，图形变大了，叫做图形的放大；保持图形原来的形状不变，和原图相比，图形变小了，叫做图形的缩小。
2、图形的放大与缩小的意义。
（1）使图形按一定的比变大，叫作图形的放大。
（2）使图形按一定的比变小，叫作图形的缩小。
（3）把一个图形放大或缩小后得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。
3、图形放大或缩小的方格。
在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小，分为三步；
一看：看原图形每边各占几格；
二算：计算按给定的比将图形的各边长放大或缩小后得到的新图形每边各占几格；
三画：按计算出的边长画出原图形的放大图或缩小图。
一、选择题
1．芯片相当于电子科技产品的大脑，在当今信息科技时代扮演着极为关键的角色。一个长方形芯片的长是1.5毫米，宽是0.9毫米，画在图纸上长是6厘米，宽是3.6厘米，这张图纸的比例尺是（ ）。
A．1∶4 B．4∶1 C．1∶40 D．40∶1
2．在比例里，两个内项分别是最小的质数和最小的合数，一个外项是最小的两位数，另一个外项是（ ）。
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1.0
3．下面几个比，可以和组成比例的是（ ）。
A．0.25∶0.2 B． C．8∶10 D．5∶4
4．已知一个比例两个内项的积是30，则两个外项不可能是下面的（ ）。
A．30和1 B．1.2和25 C．15和4 D．和40
5．有甲、乙两筐苹果，甲筐卖出35%，乙筐卖出，两筐苹果卖出的质量正好相等，甲、乙两筐苹果原来的质量比是（ ）。
A．7∶5 B．5∶7 C．3∶4 D．4∶3
6．张叔叔绘制平面图时，选择下面的比例尺（ ），绘制成的平面图最大。

A．1∶400 B．1∶200 C．1∶500 D．1∶1000
7．将如图图形按1∶2的比缩小后的图形是（ ）。

A． B． C． D．
8．一个圆的面积是40平方米，按2∶1放大后的面积是（ ）平方米。
A．40 B．80 C．160
二、填空题
9．我国首艘国产航母山东舰的长度约是315m，相当于三个足球场的长度，其宽度约为75m。在一幅平面图上量得它的长度是63cm，这幅平面图的比例尺是( )。
10．一个圆的周长是50.24cm，把它按1∶2的比缩小后，圆的半径是( )cm，面积是( )cm2。
11．一个三角形的底是4厘米，高2.5厘米，把它按5∶1放大后高是( )厘米，放大后的三角形与原三角形的面积比是( )。
12．学校图书馆有科技书和文学书各360本，要使科技书和文学书的本数的比达到2∶3，还要添置( )本文学书。
13．木兰溪被称为莆田人民的母亲河。在一幅比例尺为的莆田地图上，量得木兰溪全长是4.2厘米，木兰溪的实际长度是( )千米，这幅地图的数值比例尺是( )。
14．蚂蚁是常见的昆虫之一，目前发现最小蚂蚁是贼蚁，生物老师按照20∶1的比例尺画在图纸上是3。贼蚁的实际长度是( )。
15．在一个比例中，两个内项互为倒数，其中一个外项是0.4，另一个外项是( )。
16．在比例尺1∶50000000的地图上量得A、B两个城市之间的距离是2.4cm，一列火车从A城市出发；平均每时行驶125km，需要( )小时到达B城市。
三、判断题
17．一幅图的比例尺是1∶2000000表示图上1cm的距离相当于实际20km的距离。( )
18．甲的和乙的相等，甲与乙的比是10∶9。( )
19．淘气和爷爷的今年年龄的岁数比是，淘气今年的年龄是4岁，爷爷今年的年龄是58岁。( )
20．将一个长方形按4∶1放大后，现在的面积与原来的面积比是4∶1。( )
四、计算题
21．解比例。
（1） （2） （3）
五、作图题
22．下面B、C、D中哪个图是由图A按照2∶1放大得到的？请你找一找，并说明理由。
六、解答题
23．一辆汽车两次行驶的路程与耗油量如下表：
行驶路程/km 24 96
耗油量/L 2 8
（1）分别写出每次行驶路程与耗油量的比值，判断这两个比能否组成比例。
（2）分别写出两次耗油量与对应行驶路程的比值，看看这两个比能否组成比例。
24．淘气模仿“曹冲称象”来称体重。淘气站在船上，船下沉2厘米；爸爸站在船上，船下沉4厘米。淘气的体重是35.7千克，爸爸的体重是多少千克？
25．二维码支付因其简便、安全、快捷的性能，在生活中很受大家欢迎。卖早餐的王阿姨根据需求，在摊位边上贴了收款二维码，某天早上，通过二维码收款和现金收款的比是3∶2，其中通过二维码收款219元，这天早上通过现金收款多少元？（用比例解答）
26．向阳小学食堂买来1000千克大米，6天吃了240千克，照这样计算，这些大米一共能吃多少天？（用比例的知识解答）
27．学校长方形操场长120米，宽80米，将它按1∶1000的比例尺画在图纸上，图纸上操场的面积是多少？
28．在比例尺1∶4000000的地图上，量得A、B两地的公路长是6厘米。甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，1.5小时相遇。已知甲、乙两车的速度比是41∶39，甲车每小时行多少千米？
29．如图，已知育才小学到图书馆的实际距离是1000米，图上距离是2.5厘米，从小雪家到育才小学的图上距离是4厘米。

（1）这幅图的比例尺是多少？
（2）从小雪家出发经过育才小学到图书馆，一共要走多少米？
（3）已知博物馆在育才小学的西偏北30°方向上、距育才小学的实际距离是1200米，在图中标出博物馆的位置。
参考答案
1．D
【分析】图上距离与实际距离的比叫做比例尺。由题意可知，图上距离6厘米，表示实际距离1.5毫米，所以这张图纸的比例尺是6厘米∶1.5毫米，再将比化为最简整数比即可。
【详解】6厘米∶1.5毫米
＝60毫米∶1.5毫米
＝60∶1.5
＝（60÷1.5）∶（1.5÷1.5）
＝40∶1
所以这张图纸的比例尺是40∶1；
故答案为：D
2．C
【分析】最小的质数是2，最小的合数是4，最小的两位数是10，根据比例的基本性质，10×另一个外项＝2×4，所以另一个外项＝，据此解答。
【详解】
所以另一个外项是0.8；
故答案为：C
3．C
【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，求出及各选项的比值，找出比值相等的即可。
【详解】＝＝＝
A．因为0.25∶0.2＝0.25÷0.2＝，≠，所以不能组成比例；
B．因为＝＝＝，≠，所以不能组成比例；
C．因为8∶10＝8÷10＝，＝，所以能组成比例；
D．因为5∶4＝5÷4＝，≠，所以不能组成比例；
故答案为：C
【分析】本题主要考查比例的意义，求出比值是解题的关键。
4．C
【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积；比例的两个内项之积是30，两个外项之积也是30，据此逐项分析，据此解答。
【详解】A．30和1；30×1＝30；30＝30；两个外项可能是30和1，不符合题意；
B．1.2和25；1.2×25＝30；30＝30；两个外项可能是1.2和25，不符合题意；
C．15和4；15×4＝60；60≠30，两个外项不可能是15和4，符合题意；
D．和40；×40＝30；30＝30，两个外项可能是和40，不符合题意。
已知一个比例两个内项的积是30，则两个外项不可能是下面的15和4。
故答案为：C
【分析】熟练掌握比例的基本性质是解答本题的关键。
5．B
【分析】已知甲筐苹果重量的35%和乙筐苹果重量的一样重，百分数、分数乘法的意义，得出甲筐苹果的重量×35%＝乙筐苹果的重量×；根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，即可求出甲、乙两筐苹果的质量之比，再化简即可。
【详解】因为甲筐苹果的重量×35%＝乙筐苹果的重量×，
所以甲筐苹果的重量∶乙筐苹果的重量
＝∶35%
＝（×20）∶（35%×20）
＝5∶7
甲、乙两筐苹果的质量之比是5∶7。
故答案为：B
【分析】本题考查了分数、百分数和比的混合应用，可利用比例的基本性质以及比的化简进行解答。
6．B
【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，所以比例尺越大，绘制成的平面图最大。
【详解】＞＞＞，选择比例尺1∶200，绘制成的平面图最大。
张叔叔绘制平面图时，选择下面的比例尺1∶200，绘制成的平面图最大。

故答案为：B
【分析】熟练掌握比例尺的意义是解答本题的关键。
7．C
【分析】把圆按1∶2缩小，就是将圆的半径缩小到原来的，缩小后圆的半径与原来圆的半径比是1∶2，据此按缩小后的半径画圆，据此解答。
【详解】A．，不是按照1∶2的比缩小后的图形，不符合题意；
B．，不是按照1∶2的比缩小后的图形，不符合题意。
C．，是按照1∶2的比缩小后的图形，符合题意；
D．，不是按照1∶2缩小后的图形，不符合题意。
将图形按1∶2的比缩小后的图形是。
故答案为：C
【分析】本题考查的目的是理解掌握图形放大、缩小的方法以及应用。
8．C
【分析】根据圆的面积公式：面积＝π×半径2；把一个圆的面积是40平方米，按2∶1放大，也就是圆的半径扩大2倍，扩大后圆的面积＝π×（2×原来半径）2；即扩大后的面积＝π×4×原来半径2，扩大后圆的面积＝4×原来圆的面积，据此求出扩大后的面积。
【详解】根据分析可知，扩大后的面积：4×40＝160（平方米）
一个圆的面积是40平方米，按2∶1放大后的面积是160平方米。
故答案为：C
【分析】熟练掌握圆的面积公式以及比的应用是解答本题的关键。
9．1∶500
【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，计算时，先将单位统一，然后再化简比，结果要是最简整数比；据此解答。
【详解】315m＝31500cm
63∶31500
＝（63÷63）∶（31500÷63）
＝1∶500
这幅平面图的比例尺是1∶500。
10． 4 50.24
【分析】（1）根据圆的周长=2×π×r可知，r=周长÷π÷2即可得出原来圆的半径，按1∶2的比缩小后半径变为原来半径的一半，即可得解；
（2）由上得出缩小后圆的半径，再根据圆的面积=πr2，代入数据即可计算出此时圆的面积。
【详解】（1）50.24÷3.14÷2
=16÷2
=8（厘米）
8÷2=4（厘米）
即按1∶2的比缩小后，圆的半径是4厘米；
（2）3.14×42
=3.14×16
=50.24（平方厘米）
则此时圆的面积是50.24平方厘米。
【分析】
11． 12.5 25∶1
【分析】（1）按5∶1放大后底和高均扩大到原来的5倍，根据求一个数的几倍用乘法即可得解；
（2）按5∶1放大后底和高均扩大到原来的5倍，那么面积就扩大到原来的25倍，据此得出面积比。
【详解】（1）2.5×5=12.5（厘米），则放大后的高是12.5厘米；
（2）
则放大后的三角形与原三角形的面积比是25∶1。
12．180
【分析】
可以设当科技书和文学书的本数的比是2∶3时，现在文学书的本数是x本，科技数的本数不变是360本，利用科技书和文学书的本数之比是2∶3，列出比例，解比例即可求出现在文学书的本数，用现在文学书的本数减去360，所得结果即为需要添置文学书的本数，据此解答。
【详解】解：设现在文学书的本数是x本。
360∶x＝2∶3
2×x＝360×3
2x＝1080
2x÷2＝1080÷2
x＝540
540－360＝180（本）
因此要使科技书和文学书的本数的比达到2∶3，还要添置180本文学书。
13． 168 1∶4000000
【分析】由线段比例尺可知，图上1厘米相当于实际距离40千米，已知地图上量得木兰溪全长是4.2厘米，那么木兰溪的实际长度是（40×4.2）千米。
根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，以及进率“1千米＝100000厘米”，即可将线段比例尺改写成数值比例尺。
【详解】40×4.2＝168（千米）
1厘米∶40千米
＝1厘米∶（40×100000）厘米
＝1∶4000000
木兰溪的实际长度是168千米，这幅地图的数值比例尺是1∶4000000。
14．1.5
【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离；实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，即可解答。
【详解】3cm＝30mm
30÷
＝30÷20
＝1.5（mm）
蚂蚁是常见的昆虫之一，目前发现最小蚂蚁是贼蚁，生物老师按照20∶1的比例尺画在图纸上是3。贼蚁的实际长度是1.5mm。
【分析】熟练掌握图上距离和实际距离的换算是解答本题的关键，注意单位名数统一。
15．2.5
【分析】互为倒数的两个数的积是1，两个内项互为倒数，即两个内项的积是1，根据比例的基本性质可知，外项之积等于内项之积，所以两个外项的积也是1，据此计算即可。
【详解】由分析可得：
1÷0.4＝2.5
综上所述：在一个比例中，两个内项互为倒数，其中一个外项是0.4，另一个外项是2.5。
【分析】本题考查了倒数和比例的概念，解答本题的关键是掌握比例的基本性质，明确外项之积等于内项之积。
16．9.6
【分析】先根据图上距离÷比例尺＝实际距离，求出实际距离，再根据路程÷速度＝时间进行解答即可。
【详解】2.4÷
＝2.4×50000000
＝120000000（cm）
120000000 cm＝1200 km
1200÷125＝9.6（小时）
需要9.6小时到达B城市。
【分析】此题考查的目的是理解比例尺的意义及应用，掌握路程、速度、时间三者之间的关系。
17．√
【分析】根据比例尺的意义可知，比例尺是1∶2000000表示图上1cm相当于实际2000000cm，根据进率1km＝100000cm换算单位即可。
【详解】2000000cm＝20km
一幅图的比例尺是1∶2000000，也就是图上1cm表示实际距离20km，原题说法正确。
故答案为：√
18．×
【分析】甲的和乙的相等，即甲×＝乙×，根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，据此逆推导出甲与乙的比，据此解答。
【详解】甲×＝乙×
甲∶乙＝∶
＝（×15）∶（×15）
＝9∶10
甲的和乙的相等，甲与乙的比是9∶10。
原题干说法错误。
故答案为：×
【分析】熟练掌握比例的基本性质是解答本题的额关键。
19．√
【分析】可设爷爷今年的年龄是x岁，根据题意，可列出比例式：2∶29＝4∶x，解此比例即可知爷爷今年的年龄。再进行判断即可。
【详解】解：设爷爷今年的年龄是x岁。
2∶29＝4∶x
2x＝29×4
2x÷2＝29×4÷2
x＝58
原题说法正确。
故答案为：√
【分析】本题考查了比例的应用，列出比例式2∶29＝4∶x是解答的关键。
20．×
【分析】把一个长方形按照一定的比放大，放大的是这个图形的长和宽；假设原长方形的长为2cm，宽为1cm，则放大后的长为8cm，宽为4cm，原长方形面积为：2×1＝2（cm ），现长方形面积为：8×4＝32（cm ），现在的面积与原来的面积比是：32∶2＝16∶1，据此可判断正误。
【详解】由分析可知：假设原长方形的长为2cm，宽为1cm，则放大后的长为：2×4＝8（cm），宽为：1×4＝4（cm）
原长方形面积为：2×1＝2（cm ），
现长方形面积为：8×4＝32（cm ），
现在的面积与原来的面积比是：32∶2＝16∶1，所以判断错误。
【分析】本题考查图形的放大与缩小的相关知识点，若把图形按照m：n来放大或缩小，则现在的面积与原来的面积比为：m ∶n 。
21．（1）；（2）x＝9.6；（3）
【分析】
（1）根据比例的基本性质，把式子转化为，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以即可；
（2）根据比例的基本性质，把式子转化为5x＝4×12，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以5即可；
（3）先化简比例，根据比例的基本性质，把式子转化为，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以即可。
【详解】
（1）
解：
（2）
解：5x＝4×12
5x＝48
5x÷5＝48÷5
x＝9.6
（3）
解：
22．D图；因为该图长和宽都是图A的2倍。
【分析】通过对图A的观察，该图是一个长方形，长为3格，宽为2格，按照2∶1放大，即把该长方形的长和宽分别乘2，求出放大后的图片的长和宽的格子数量，对比选项即可。
【详解】由分析可得：
3×2＝6（格）
2×2＝4（格）
放大后的图片也是长方形，长为6格，宽为4格，所以是D。
答：D图是由图A按照2∶1放大得到的；理由：因为该图长和宽都是图A的2倍。
【分析】本题考查了比的意义，按照2∶1放大也就是扩大到原来图片的2倍。
23．（1）12；12；能组成比例
（2）；；能组成比例
【分析】（1）根据题意，先写出两次行驶路程与对应耗油数量的比，然后分别求出比值，通过比较比值判断出两次行驶路程与耗油数量的比能否组成比例。如果比值相等，能组成比例，反之则不能。
（2）先写出两次耗油量与对应两次行驶的路程的比，然后分别求出比值，通过比较比值判断出两次耗油量程与行驶路程的比能否组成比例。如果比值相等，能组成比例，反之则不能。
【详解】（1）行驶路程与耗油数量的比分别是：
24∶2
96∶8
24∶2＝12
96∶8＝12
12＝12
这两个比能成比例
答：这两个比能组成比例。
（2）两次耗油量与对应行驶路程的比分别是：
2∶24
8∶96
2∶24＝
8∶96＝
＝
所以这两个比能组成比例
答：这两个比能组成比例
【分析】解答此题的关键是明确比例的判定方法，即两个比的比值相同就能组成比例，然后再进一步解答。
24．71.4千克
【分析】
由题意可知，设爸爸的体重是x千克，根据体重与船下沉的高度的比值一定，可确定体重与下沉的高度成正比例，据此可列比例解答即可。
【详解】解：设爸爸的体重是x千克。
35.7∶2＝x∶4
2x＝35.7×4
2x＝142.8
2x÷2＝142.8÷2
x＝71.4
答：爸爸的体重是71.4千克。
25．146元
【分析】根据题意可知，二维码收款和现金收款的比是3∶2，即二维码收款∶现金收款＝3∶2；设这天早上通过现价收款x元，二维码收款219元，列比例：219∶x＝3∶2，解比例，即可解答。
【详解】解：设这天早上通过现金收款x元。
219∶x＝3∶2
3x＝219×2
3x＝438
x＝438÷3
x＝146
答：这天早上通过现金收款146元。
【分析】根据二维码收款与现金收款的比不变，设出未知数。找出相关的量，列比例，解比例。
26．25天
【分析】设这些大米一共能吃x天，根据题意可知，吃的千克数与它对应的天数成正比例，所以据此列出比例即可解答。
【详解】解：设这些大米一共能吃x天。
1000∶x＝240∶6
240x＝1000×6
240x÷240＝1000×6÷240
x＝6000÷240
x＝25
答：这些大米一共能吃25天。
【分析】解答此题的关键是先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可。
27．96平方厘米
【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，分别求出图上长方形的长和宽，再根据长方形面积＝长×宽，求出图纸上操场的面积。
【详解】120×＝0.12（米）＝12厘米
80×＝0.08（米）＝8厘米
12×8＝96（平方厘米）
答：图纸上操场的面积是96平方厘米。
28．82千米
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，求出A、B两地的实际距离；再根据速度＝路程÷时间，用A、B两地的距离÷1.5，求出甲、乙两车的速度和，再根据按比例分配的方法，用甲、乙两车的速度和×，即可解答。
【详解】6÷
＝6×4000000
＝24000000（厘米）
24000000厘米＝240千米
240÷1.5×
＝160×
＝160×
＝82（千米）
答：甲车每小时行82千米。
【分析】本题主要考查图上距离、实际距离和比例尺之间的关系，相遇问题中的基本数量关系“速度和＝路程÷相遇时间”的灵活应用以及按比例分配的计算方法进行解答。
29．（1）1∶40000；
（2）2600米；
（3）见详解
【分析】（1）育才小学到图书馆的实际距离是1000米，图上距离是2.5厘米，根据图上距离∶实际距离＝比例尺，代入数据即可求出比例尺；
（2）要求小雪家出发经过育才小学到图书馆，一共要走多少米，利用图上距离4厘米除以比例尺即可求出小雪家到育才小学的距离，然后加上从育才小学到图书馆的距离即可解答；注意单位的换算；
（3）根据图上距离＝实际距离×比例尺，求出图上距离，再结合上北下南，左西右东及方向角绘图即可。
【详解】（1）1000m＝100000cm
2.5∶100000＝1∶40000
答：这幅图的比例尺是1∶40000。
（2）1.5＋2.5＝4（厘米）
＝4×40000
＝160000（厘米）
＝1600（米）
1600＋1000＝2600（米）
答：一共要走2600米。
（3）1200米＝120000厘米
120000×＝3（厘米）
如图：

【分析】此题主要考查比例尺的计算方法及应用，解答时要注意单位的换算。

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