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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
专题05 几何最值问题-5.6 瓜豆模型
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型和曲线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。古人云：种瓜得瓜，种豆得豆。“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
1、运动轨迹为直线
1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？
解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？
解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。
理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。
3）确定动点轨迹的方法（重点）
①当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线；
②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；
③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；
④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；
⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为其他已知轨迹的线段求最值。
2、运动轨迹为曲线
1）如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？
如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
2）如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
考向一　瓜豆模型（直线轨迹）-已知轨迹
例1．（2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（　　）

A．24 B．22 C．20 D．18
【答案】B
【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解．
【详解】∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中点，∴BM＝CM，
在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AB＝6，AC＝8，∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，
∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四边形ACGH为矩形，∴GH＝8，
∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，故选：B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定GH的值是解题的关键．
例2．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF则EF的最大值与最小值的差为__________．
【答案】
【分析】取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N；再证明∠ACD=90°，求出AC=2、AN=；然后由三角形中位线定理，可得EF=AG，最后求出AG的最大值和最小值即可．
【详解】解：如图：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD= 120°∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2
∴AM=DM=DC=2∴△CDM是等边三角形∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC
∴∠MAC=∠MCA=30° ∴∠ACD=90° ∴AC=2
在Rt△ACN中，AC=2,∠ACN=∠DAC=30° ∴AN=AC=
∵AE=EH，GF=FH∴EF=AG∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长
∵AG的最大值为2，最小值为 ∴EF的最大值为，最小值为
∴EF的最大值与最小值的差为-=．故答案为．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，正确添加辅助线和证得∠ACD=90是解答本题的关键．
例3．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在中，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】解：如图，连接，∵，∴，

∵于点D，于点E，，∴四边形是矩形，∴，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，此时线段的值最小，
此时，，代入数据：，
∴，∴的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键．
例4．（2023·广东·二模）如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一动点，连接DE，以DE为边作等边，连接AF，则AF的最小值为__________．
【答案】5
【分析】以AD为边作等边三角形△ADH，连接EH，由“SAS”可证△EDH≌△FDA，可得AF＝EH，由垂线段最短可得当EH⊥AB时，EH有最小值，即AF有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，以AD为边作等边三角形△ADH，连接EH，∴HD＝AD＝AH＝10，∠HDA＝60°，
∵△DEF是等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝60°＝∠HDA，∴∠EDH＝∠FDA，
在△EDH和△FDA中，，∴△EDH≌△FDA（SAS），∴AF＝EH，
∴当EH⊥AB时，EH有最小值，即AF有最小值，
∵∠EAH＝90° ∠HAD＝30°，EH⊥AB，∴EH＝AH＝5，∴AF的最小值为5，故答案为：5．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，含30°直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
考向二　瓜豆模型（直线轨迹）-未知轨迹
例1．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．

【答案】/
【分析】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解．
【详解】解：∵为高上的动点．∴
∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形，
∴∴
∴，∴点在射线上运动，如图所示，

作点关于的对称点，连接，设交于点，则
在中，，则，
则当三点共线时，取得最小值，即
∵，，∴∴
在中，,
∴周长的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键．
例2．（2023·江苏·一模）如图，正方形ABCD的边长为7，E为BC上一点，且BE＝，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为_____．
【答案】
【分析】根据等边△EFG，EF＝EG，把△EBF绕点E顺时针旋转60°得到△EHG，延长HG交CD于M，过C点作CQ⊥HM，过E点作EP⊥CQ，从而得出矩形HEPQ，从而找到最短CG，再利用30°角所对直角边为斜边一半，从而得解．
【详解】∵△EFG为等边三角形，∴EF＝EG，把△EBF绕点E顺时针旋转60°得到△EHG，如图，延长HG交CD于M，过C点作CQ⊥HM，过E点作EP⊥CQ，∴∠BEH＝60°，EB＝EH＝，∠EHG＝∠EBF＝90°，即G点在过H点且垂直于EH的线段HM上，
易得四边形HEPQ为矩形，∴PQ＝EH＝，∠HEP＝90°，
∵∠CEP＝90°﹣∠BEH＝30°，∴CP＝CE＝，
∴CQ＝CP+PQ＝+＝．∴CG的最小值为．故答案为．
【点睛】本题考查了等边三角形性质，旋转图形的性质，全等三角形的性质，30°角所对直角边为斜边一半，牢固掌握几何相关知识点，灵活添加辅助线构造矩形是解题关键
例3．（2022·山东泰安·统考二模）如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3，
∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，
∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA，
又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1，
∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，
∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3，
∴CG的最小值＝，故选B．
【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键．
例4．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：方法一：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，
设Q(，)，则PM=，QM=，
∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N，
在△PQM和△Q′PN中，，∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，
∴PN=QM=，Q′N=PM=，∴ON=1+PN=，∴Q′(，)，
∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，
当m=2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′的最小值为，故选：B．
方法二：由方法一知：Q′(，)，故得到点Q′的运动轨迹为直线l：y=2x-5.
∴当OQ′垂直于直线l时，OQ′取的最小值。
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
考向三　瓜豆模型（曲线轨迹）
例1.（2023.重庆九年级期末）如图，点P（3，4），圆P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．
【答案】1.5
【解析】由题意可知M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．
∵C是BM中点，可知C点轨迹为取BP中点F，以F为圆心，FC为半径作圆，
即为点C轨迹，如图所示：由题中数据可知OP＝5，
又∵点A、F分别是OB、BP的中点，∴AF是△BPO的中位线，∴AF＝2.5，
当M运动到如图位置时，AC的值最小，此时A、C、O三点共线，∴AC＝2.5－1＝1.5.
例2．（2023·四川广元·统考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ．
【答案】/
【分析】作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，点在半径为1的上，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作，使得，，则，，，
，，，，，
，即（定长），
点是定点，是定长，点在半径为1的上，
，的最大值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
例3．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解．
【详解】解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，

的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，
如图，当、、三点共线时，的值最小，
四边形是正方形，，，
是的中点，，，
由旋转得：，，
，的值最小为．故答案：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．
例4．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）

A．3 B． C． D．2
【答案】A
【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，
∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为，
∴，∴，∴，
∵点M为中点，点A为中点，∴是的中位线，∴；
在中，，∴，
∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，
∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，
∵，∴的最小值为，∴的最小值为3，故选A．

另解：取BO的中点为Q（-3,0），根据中位线可确定，
故点M为以Q为圆心，MQ为半径的圆上运动，故AM的最小值为AQ-MQ=3
【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
一、选择题
1．（2023春·山东八年级期末）如图，已知点，，，，为直线上一动点，则的对角线的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】A
【分析】连接，设交于点，根据平行四边形的性质得出点，进而根据点到直线的距离，垂线段最短，可知当时，取得最小值，勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，设交于点，如图所示，
∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，
∴当取得最小值时，取得最小值，∴当时，取得最小值，
∵，，∴，,∴是等腰直角三角形，
∴此时是直角三角形，且是斜边，
∵,∴，∴的对角线的最小值是，故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，勾股定理，点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
2．（2023·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】A
【分析】以为边向上作等边三角形，连接，证明得到，分析出点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，在求出点D到线段的最大距离，即可求出面积的最大值．
【详解】解：如图，以为边向上作等边三角形，连接，
∵，∴，即，
在和中，，∴，∴，
∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，要使的面积最大，则求出点D到线段的最大距离，∵是边长为4的等边三角形，∴点M到的距离为，
∴点D到的最大距离为，∴的面积最大值是，故选A．
【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点D的轨迹圆，再求出圆上一点到定线段距离的最大值．
3．（2023·湖北·鄂州市三模）如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边上的一个动点不与重合，以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接AM，在点运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，所以当AM⊥PM时，PM取得最小值，据等边三角形的性质得到AM⊥EF，∠EAM=30°，求得∠PAM=60°，进而即可得PM最小值．
【详解】解：∵P是边AD的中点，AD=6，∴AP=3，如图，连接AM，
∵等边，是边的中点，∴AM平分∠EAF，
∴在点运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，∴当AM⊥PM时，PM取得最小值，
∵是等边的边的中点，∴PM⊥AM， ∠EAM=30°，
∴∠PAM=60°，∴PM=AP=，故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，等边三角形的性质，推出在点E运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，是解题的关键．
4．（2023·安徽·合肥三模）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在BC，AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，则AF的长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接BF交ED于点0，设EF与AC交于点G．根据菱形的性质可得点F在∠ABC的平分线上运动，从而得到当AF⊥BF时，AF的长最小．再证明△BEO∽△BAF，可得，再证明△AGE∽△ACB，，从而得到GF=1，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接BF交ED于点O，设EF与AC交于点G．
∵四边形BEFD是菱形，∴BF平分∠ABC，∴点F在∠ABC的平分线上运动，
∴当AF⊥BF时，AF的长最小．在菱形BEFD中，BF⊥ED，OB=OF，EF∥BC，
∴EO∥AF，∴△BEO∽△BAF，∴，∴，
在中，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴BE=AE=2.5，
∵AF⊥BF，∴EF=2.5，∵EF∥BC，∴△AGE∽△ACB，
∴，∴，∴GF=EF-EG=1，
∵∠AGF=∠AGE=90°，∴．故选：A
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，准确得到点F在∠ABC的平分线上运动是解题的关键．
5．（2023上·河南新乡·九年级校考期中）如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　）
A．2 B．2.5 C． D．
【答案】B
【分析】取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H，在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答．
【详解】解：取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H，∴，
∵，，，∴，
∵点D是的中点，∴，∴，
由旋转得：，，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，
当时，即当点E和点H重合时，有最小值，且最小值为2.5，
∴长的最小值是2.5，故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．（2021·四川广元·中考真题）如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，由题意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，进而可得△PCD≌△QED，则有∠PCD=∠QED=90°，然后可得点Q是在QE所在直线上运动，所以CQ的最小值为CQ⊥QE时，最后问题可求解．
【详解】解：以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示：
∵是等边三角形，∴，
∵∠CDQ是公共角，∴∠PDC=∠QDE，∴△PCD≌△QED（SAS），
∵，，点D是边的中点，
∴∠PCD=∠QED=90°，，∴点Q是在QE所在直线上运动，
∴当CQ⊥QE时，CQ取的最小值，∴，∴；故选B．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键．
7.（2023上·江苏扬州·九年级校联考期中）如图，正方形的边长为4，点是正方形对角线所在直线上的一个动点，连接，以为斜边作等腰（点，，按逆时针排序），则长的最小值为（　　）

A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】根据正方形的性质和题干给定的是以为斜边作等腰直角三角形，证明，得到进一步证明，得到，由正方形的性质得点H为的中点，有点F在的垂直平分线上运动，当点F与点H重合时，的值最小．
【详解】解：连接交于点G，连接并延长交于点H，如图，

∵四边形是正方形，∴，，，
∵是以为斜边作等腰直角三角形，∴，，，
∵，∴，∵，∴，∴，则，
∵，∴，∴，
∴，则，∴，
∵点G为正方形对角线的交点，∴点H为的中点，∴点F在的垂直平分线上运动，
∵，∴当点F与点H重合时，的值最小，此时．
即长的最小值为2．故答案选：D．
【点睛】此题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质和垂线段最短，利用相似的边长比证明对应三角形边长的相似比，并找到点的运动轨迹是解题的关键．
8．（2023上·山西临汾·九年级统考期中）如图，在中，，，点，分别是，边上的动点，连结，，分别是，的中点，则的最小值为（ ）

A．12 B．10 C．9.6 D．4.8
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，垂线段最短的性质．连接，作于点H．由三角形中位线的性质得，由垂线段最短可知当最小，即点E与点H重合时的值最小，然后利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：连接，作于点H．

∵点，分别是，边上的动点，∴是的中位线，∴，
∴当最小，即点E与点H重合时的值最小．设，则，
∵，∴，∴，∴的最小值为4.8．故选D．
二、填空题
9．（2023·广东·珠海市三模）如图正方形的边长为3，E是上一点且，F是线段上的动点．连接，将线段绕点C逆时针旋转 90°得到，连接，则的最小值是_____．
【答案】
【分析】如图，连接BG．由△CBG≌△CDF，推出∠CBG＝∠CDF，因为∠CDF是定值，推出点G在射线BG上运动，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，根据垂线段最短可知，当EG⊥BG时，EG的长最短．
【详解】解：如图，作射线BG．
∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∵∠FCG＝∠DCB＝90°，∴∠BCG+∠BCF=90°，∠DCF+∠BCF=90°，∴∠BCG＝∠DCF，
在△CBG和△CDF中，∴△CBG≌△CDF，∴∠CBG＝∠CDF，
∵∠CDF是定值，∴点G在射线BG上运动，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，
根据垂线段最短可知，当EG⊥BG时，EG的长最短，
此时tan∠EBG＝＝，设EG＝m，则BG＝3m，
在Rt△BEG中，∵BE2＝BG2+EG2，∴4＝m2+9m2，
∴m＝（负根已经舍弃），∴EG的最小值为，故答案为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂线段最短是解答本题的关键．
10．（2023·河南洛阳·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，，，，点E在线段BC上运动（含B、C两点）．连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转60°得到AF，连接DF，则线段DF长度的最小值为______．
【答案】
【分析】以AB为边向右作等边△ABG，作射线GF交AD于点H，过点D作DM⊥GH于M．利用全等三角形的性质证明∠AGF＝60°，得出点F在平行于AB的射线GH上运动，求出DM即可．
【详解】解：如图，以AB为边向右作等边△ABG，作射线GF交AD于点H，过点D作DM⊥GH于M．∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°，
∵△ABG是等边三角形，∴∠BAG＝∠EAF＝60°，BA＝GA，EA＝FA，
∴∠BAE＝∠FAG，∴△BAE≌△GAF（SAS），∴∠B＝∠AGF＝60°，
∴点F在平行于AB的射线GH上运动，∵∠HAG＝∠AGF＝60°，∴△AHG是等边三角形，
∴AB＝AG＝AH＝6，∴DH＝AD﹣AH＝4，
∵∠DHM＝∠AHG＝60°，∴DM＝DH sin60°，
根据垂线段最短可知，当点F与M重合时，DF的值最小，最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点F的在射线GH上运动，属于中考填空题中的压轴题．
11．（2023江苏扬州·三模）如图，在等边△ABC和等边△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是______．
【答案】
【分析】过点F作GF∥CD，过点C作GC∥DF，二线交于点G，根据平行四边形的性质，得到点F在以G为圆心，以CD长为半径的圆上，利用圆的性质，确定最小值即可．
【详解】如图，过点F作GF∥CD，过点C作GC∥DF，二线交于点G，
∴ 四边形DFGC是平行四边形，∴GF=CD=4,
∴点F在以G为圆心，以CD长为半径的圆上，∴当A、F、G三点共线时，AF最小，
∵四边形DFGC是平行四边形，四边形ABFD是平行四边形，
∴AB∥DF∥CG，AB=DF=CG，∴四边形ABGC是平行四边形，
∵AB=AC，∴四边形ABGC是菱形，∴AG，BC互相垂直平分，设交点为H，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴AH=ABsin60°=，
∴AG=2AH=，∴AF=AG-FG=故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，圆的最值性，特殊角的三角函数值，熟练菱形的判定和性质，圆的性质是解题的关键．
12．（2023上·湖北武汉·九年级校联考期中）如图，已知，B为上一点，于A，四边形为正方形，P为射线上一动点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得，连接，若，则的最小值为 ．

【答案】/
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等以及垂线段最短进行解答．连接，依据构造全等三角形，即，将的长转化为的长，再依据垂线段最短得到当最短时，亦最短，根据，，即可求得的长的最小值．
【详解】解：如图，连接，

由题意可得，∴ ，
在和中，， ∴，∴，
当时，最短，此时也最短，
∵， ，∴，∴ ∴，
∴当时， ，∴的最小值为．故答案为：．
13．（2023上·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点C是y轴上一动点，设其坐标为，线段绕点C逆时针旋转至线段，则点B的坐标为 ，连接，则的最小值是 ．

【答案】
【分析】本题考查坐标与图形变化一旋转，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型．
设，过点作轴，垂足为点，证明，推出，可得点的坐标为，推出点的运动轨迹是直线，根据垂线段最短解决问题即可．
【详解】设，过点作轴，垂足为点，

∵线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，
∵点，点，∴点的坐标为，∴点的运动轨迹是直线，
∵直线交轴于，交轴于，
过点作于．则，
根据垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为，
故答案为：；．
14．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为______．
【答案】##2.4
【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明利用对应线段的比得到的长度，继而得到PQ的长度．
【详解】解：∵，∴，
∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线，
∵,∴,
∴，∴，∴，∴则PQ的最小值为，故答案为：．
【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题．
15．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）如图在菱形中，为对角线与的交点，点为边上的任一点（不与、重合），过点分别作，，、为垂足，则可以判断四边形的形状为______．若菱形的边长为，，则的最小值为____．（用含的式子表示）
【答案】 矩形 /
【分析】根据菱形的性质即可得到，根据，即可得到，根据矩形的判定方法即可判断出四边形是矩形；根据菱形的边长为，即可求出，，的长度，根据四边形是矩形即可得到，即可判断出当时，取得最小值，也取得最小值，根
据三角形的面积计算方法，即可求出的最小值，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接
∵四边形是菱形，∴，
∵，，∴，∴四边形是矩形；
∵菱形的边长为，，∴，，
∴是等边三角形．∴，∴，∴，
∵四边形是矩形，∴，
∴当时，取得最小值，也取得最小值，此时，
∴，∴的最小值为，故答案为：矩形，．
【点睛】本题考查矩形的判定及性质、垂线段最短以及菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
16．（2023·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以点B为圆心，BD长为半径作圆，点E为上的动点，连结EC，作FC⊥CE，垂足为C，点F在直线BC的上方，且满足，连结BF．当点E与点D重合时，BF的值为 ．点E在上运动过程中，BF存在最大值为 ．
【答案】 /
【分析】根据题意可知当点E与点D重合时，点F在AC上，且可求出的长，从而可求出CF的长，即在中，利用勾股定理求出BF的长即可；连接AF、BE，由题意即可求出．再根据，，可得出，即证明，得出．从而可求出AF的长，即说明点F在以点A为圆心，半径为1的圆上运动．则可知当点F在BA的延长线上时BF最大，最大值为．在中，利用勾股定理求出AB的值，即得出答案．
【详解】根据题意可知，当点E与点D重合时，点F在AC上，如图，
∵，∴．
∴在中，；如图，连接AF、BE
∵，，∴．
∵，，∴，
∴，∴．
∵，∴，即AF的长为定值．∴点F在以点A为圆心，半径为1的圆上运动．∴当点F在BA的延长线上时BF最大，且值为．
在中，，∴．故答案为：，．
【点睛】本题考查勾股定理，三角形相似的判定和性质，较难．利用数形结合的思想是解答本题的关键．在解决第二个空时，证明出点F在以点A为圆心，半径为1的圆上运动是关键．
17．（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，点是正方形的内部一个动点（含边界），且，点在上，，则以下结论：①的最小值为；②的最小值为；③；④的最小值为；正确的是 ．

【答案】①②④
【分析】由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，点在以为圆心，为半径的圆上运动，则当点在上时，有最小值为，当点在上时，有最小值为，故①②正确；由“”可证≌，可得，则当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，由勾股定理可求的长，可判断④正确；即可求解．
【详解】解：在上截取，连接，，，如图所示：
四边形是正方形，，，，
，，，，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，点在以为圆心，为半径的圆上运动，
当点在上时，有最小值为，当点在上时，有最小值为，故①②正确；

在和中，，≌，，
当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
，故DE的最小值为，故④正确；
当点在上时，有最小值为，此时，与不一定相等，故③不一定正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，点与圆上点距离最值问题等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题
18．（2023江西九江九年级期末）（1）回归教材：北师大七年级下册P44，如图1所示，点P是直线m外一点，，点O是垂足，点A、B、C在直线m上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？
最短线段是______，于是，小明这样总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，______．
（2）小试牛刀：如图2所示，中，，，．则点P为AB边上一动点，则CP的最小值为______．（3）尝试应用：如图3所示是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE．
①请直接写出DE的最小值．②在①的条件下求的面积．
（4）拓展提高：如图4，顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE．
．，，请求出AE的最小值．
【答案】（1）PO，垂线段最短；（2）；（3）①DE的最小值是1；②△BPE的面积为；（4）AE的最小值为．
【分析】（1）根据垂线段的性质即可解答；（2）由（1）知当PC⊥AB时，PC取得最小值，利用面积法即可求解；（3）①根据旋转的性质，旋转前后的图形对应线段、对应角相等，可证得△ABP≌△CBE，得到∠BCE=30°．得到点E在射线CE上，根据“垂线段最短”这一定理，当∠DEC=90°时，DE最短，据此求解即可；②利用勾股定理求得EC=，即AP=，再利用勾股定理先后求得AD、PD、BP的长，即可求解；（4）作出如图的辅助线，先判断出点E在直线GH上运动，根据“垂线段最短”这一定理，当AE⊥GH时，AE最短，利用相似三角形的判定和性质、勾股定理以及三角形面积公式即可求解．
【详解】解：（1）∵PO⊥直线m，∴从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．
故答案为：PO，垂线段最短；
（2）由（1）知当PC⊥AB时，PC取得最小值，S△ABC=ACBC=ABPC，
∴PC=，即CP的最小值为，故答案为：；
（3）①由旋转知∠PBE=60°，BP=BE，∴△PBE是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，边长为4，
∴AB=BC，∠ABC=60°，∠ABD=∠CBD=30°，BD=CD=2，
∴∠ABP=∠CBE，∴△ABP≌△CBE（SAS），∴∠BCE=∠BAD=30°；
∵点P为高AD上的一个动点，∴点E在射线CE上，
根据“垂线段最短”可知，当DE⊥CE时，DE最短．
∵∠BCE=30°，CD=2，∴DE=CD=1，即DE的最小值是1；
②由①得CD=2，DE=1，∴CE=，∵△ABP≌△CBE，∴AP=CE，
在Rt△BDA中，AB=4，BD=2，∴AD=，∴PD=AD-AP=，∴PB=，
∴等边三角形△PBE的高为，∴△BPE的面积为=；
（4）过点B作BH⊥AC于点H，则∠BHC=90°，
∴∠HBC+∠HCB=90°，∠ACD+∠HCB=90°，∴∠HBC=∠ACD，
∵∠EBF=∠ACD，∴∠HBC=∠EBF，此时点F与点C重合，点E与点H重合，
∵AB=3，BC=4，∴AC=，
∵S△ABC=ABBC=ACBH，∴BH=，∴AH=，
取AB中点G，过点G作GI⊥AB交AC于点I，则∠BGI=90°，∴∠GBI=∠BAC，
∵∠EBF=∠ACD=∠BAC，∴∠GBI=∠EBF，此时点F与点I重合，点E与点G重合，
顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，且，
四点共圆，
∴点E在直线GH上运动，
根据“垂线段最短”这一定理，当AE⊥GH时，AE最短，过点H作HP⊥AB于点P，
∴△APH△ABC，∴，即，
∴PH=，AP=，∴PG=AG-AP=，∴GH=，
∵S△AGH=AGPH=GHAE，∴AE=，∴AE的最小值为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，勾股定理，等边三角形的判定和性质，四点共圆的判定等知识，解决本题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
19．（2022·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．
(1)当点E在上时，作，垂足为M，求证；(2)当时，求的长；
(3)连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值．
【答案】(1)见详解(2)或(3)
【分析】（1）证明即可得证．（2）分情况讨论，当点E在BC上时，借助，在中求解；当点E在CD上时，过点E作EG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，借助并利用勾股定理求解即可．（3）分别讨论当点E在BC和CD上时，点F所在位置不同，DF的最小值也不同，综合比较取最小即可．
（1）如图所示，由题意可知，，，
，由旋转性质知：AE=AF，
在和中，，，．
（2）当点E在BC上时，在中，，，则，
在中，，，则，由（1）可得，，
在中，，，则，
当点E在CD上时，如图，过点E作EG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，同（1）可得，
，由勾股定理得；
故CF的长为或．
（3）如图1所示，当点E在BC边上时，过点D作于点H，由（1）知，，
故点F在射线MF上运动，且点F与点H重合时，DH的值最小．
在与中，，，
，即，，，，
在与中，，，
，即，，故的最小值；
如图2所示，当点E在线段CD上时，将线段AD绕点A顺时针旋转的度数，得到线段AR，连接FR，过点D作，，由题意可知，，
在与中，，，，
故点F在RF上运动，当点F与点K重合时，DF的值最小；
由于，，，故四边形DQRK是矩形；
，，
，，
故此时DF的最小值为；由于，故DF的最小值为．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是各性质定理的综合应用．
20．（2023上·福建厦门·八年级校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点B在x轴上，且，点D是y轴上的一点，以为边向下作等边．
(1)如图2，当点D在线段 上，且时，求证：平分；(2)如图3，当点E落在y轴上时，求点E的坐标；(3)若点D从点A出发沿着y轴向下滑动，点E到原点的距离存在最小值吗？若存在，证明并求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见详解(2)(3)
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明；（2）设，根据直角三角形的性质求出，得到答案；（3）在轴上取点，使，连接，证明，得到，得到答案．
【详解】（1）证明：，，，，
是等边三角形，，
在和中，，，，即平分；
（2）解：是等边三角形，，
，设，则，，，
，，，
，解得，；
（3）证明：如图，在轴上取点，使，连接，
∴是等边三角形∴
，，
在和中，，，，
当在上滑动时，点总在与轴夹角为的直线上滑动．
当时，最短，在中，
【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
21．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
(1)如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”．
①在图中画出点；②连接交线段于点求证：(2)的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）①先根据定义和求出点的坐标，再根据点关于点的对称点为求出点Q的坐标；②延长ON至点，连接AQ，利用AAS证明，得到，再计算出OA，OM，ON，即可求出；（2）连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使，结合对称的性质得出NM为的中位线，推出，得出，则．
(1)解：①点Q如下图所示．
∵点，∴点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，∴，
∵点关于点的对称点为，，∴点的横坐标为：，纵坐标为：，
∴点，在坐标系内找出该点即可；
②证明：如图延长ON至点，连接AQ，
∵ ，∴，在与中，
，∴，∴，
∵ ，，，∴，，，
∴，∴，∴；
(2)解：如图所示，连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使，
∵，点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，∴，
∵点关于点的对称点为，∴，又∵，∴OM∥ST，
∴NM为的中位线，∴，，
∵，∴，∴，
在中，，结合题意，，，
∴，即长的最大值与最小值的差为．
【点睛】本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题，第2问难度较大，根据题意，画出点Q和点的轨迹是解题的关键．
22．（2023·重庆·统考中考真题）在中，，，点为线段上一动点，连接．(1)如图1，若，，求线段的长．(2)如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点． 若，求证：．(3)在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到． 连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值．

【答案】(1)(2)见解析(3)
【分析】（1）解，求得，根据即可求解；
（2）延长使得，连接，可得，根据，得出四点共圆，则，，得出，结合已知条件得出，可得，即可得证；（3）在取得最小值的条件下，即，设，则，，根据题意得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，取的中点，连接，则是的中位线，在半径为的上运动，当取最大值时，即三点共线时，此时如图，过点作于点，过点作于点，连接，交于点，则四边形是矩形，得出是的中位线，同理可得是的中位线，是等边三角形，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，则，在中，勾股定理求得，进而即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，∴，
∵，∴；
（2）证明：如图所示，延长使得，连接，

∵是的中点则，，，
∴，∴，∴，∴
∵是等边三角形，∴，
∵，∴四点共圆，
∴，，∴，
∵，∴，
∴，∴；
（3）解：如图所示，

在取得最小值的条件下，即，设，则，，
∴，，
∵将沿所在直线翻折至所在平面内得到．
∴∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，
取的中点，连接，则是的中位线，∴在半径为的上运动，
当取最大值时，即三点共线时，此时如图，过点作于点，过点作于点，∵是的中点，∴，
∴是等边三角形，则，∴，
∵，，∴，
∴，，
∵，∴，如图所示，连接，交于点，则四边形是矩形，

∴，是的中点，∴
即是的中位线，同理可得是的中位线，
∴，
∵是等边三角形，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，
∴∴
则
在中， ∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，折叠的性质，圆外一点到圆上距离的最值问题，垂线段最短，矩形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
专题05 几何最值问题-5.6 瓜豆模型
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型和曲线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。古人云：种瓜得瓜，种豆得豆。“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
1、运动轨迹为直线
1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？
解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？
解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。
理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。
3）确定动点轨迹的方法（重点）
①当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线；
②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；
③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；
④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；
⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为其他已知轨迹的线段求最值。
2、运动轨迹为曲线
1）如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？
如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
2）如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
考向一　瓜豆模型（直线轨迹）-已知轨迹
例1．（2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（　　）

A．24 B．22 C．20 D．18
例2．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF则EF的最大值与最小值的差为__________．
例3．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在中，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 ．

例4．（2023·广东·二模）如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一动点，连接DE，以DE为边作等边，连接AF，则AF的最小值为__________．
考向二　瓜豆模型（直线轨迹）-未知轨迹
例1．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．

例2．（2023·江苏·一模）如图，正方形ABCD的边长为7，E为BC上一点，且BE＝，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为_____．
例3．（2022·山东泰安·统考二模）如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
例4．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　)
A． B． C． D．
考向三　瓜豆模型（曲线轨迹）
例1.（2023.重庆九年级期末）如图，点P（3，4），圆P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．
例2．（2023·四川广元·统考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ．
例3．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．

例4．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）

A．3 B． C． D．2
一、选择题
1．（2023春·山东八年级期末）如图，已知点，，，，为直线上一动点，则的对角线的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．
2．（2023·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．6
3．（2023·湖北·鄂州市三模）如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边上的一个动点不与重合，以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·安徽·合肥三模）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在BC，AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，则AF的长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·河南新乡·九年级校考期中）如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　）
A．2 B．2.5 C． D．
6．（2021·四川广元·中考真题）如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
7.（2023上·江苏扬州·九年级校联考期中）如图，正方形的边长为4，点是正方形对角线所在直线上的一个动点，连接，以为斜边作等腰（点，，按逆时针排序），则长的最小值为（　　）

A． B． C．4 D．
8．（2023上·山西临汾·九年级统考期中）如图，在中，，，点，分别是，边上的动点，连结，，分别是，的中点，则的最小值为（ ）

A．12 B．10 C．9.6 D．4.8
二、填空题
9．（2023·广东·珠海市三模）如图正方形的边长为3，E是上一点且，F是线段上的动点．连接，将线段绕点C逆时针旋转 90°得到，连接，则的最小值是_____．
10．（2023·河南洛阳·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，，，，点E在线段BC上运动（含B、C两点）．连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转60°得到AF，连接DF，则线段DF长度的最小值为______．
11．（2023江苏扬州·三模）如图，在等边△ABC和等边△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是______．
12．（2023上·湖北武汉·九年级校联考期中）如图，已知，B为上一点，于A，四边形为正方形，P为射线上一动点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得，连接，若，则的最小值为 ．

13．（2023上·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点C是y轴上一动点，设其坐标为，线段绕点C逆时针旋转至线段，则点B的坐标为 ，连接，则的最小值是 ．

14．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为______．
15．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）如图在菱形中，为对角线与的交点，点为边上的任一点（不与、重合），过点分别作，，、为垂足，则可以判断四边形的形状为______．若菱形的边长为，，则的最小值为____．（用含的式子表示）
16．（2023·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以点B为圆心，BD长为半径作圆，点E为上的动点，连结EC，作FC⊥CE，垂足为C，点F在直线BC的上方，且满足，连结BF．当点E与点D重合时，BF的值为 ．点E在上运动过程中，BF存在最大值为 ．
17．（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，点是正方形的内部一个动点（含边界），且，点在上，，则以下结论：①的最小值为；②的最小值为；③；④的最小值为；正确的是 ．

三、解答题
18．（2023江西九江九年级期末）（1）回归教材：北师大七年级下册P44，如图1所示，点P是直线m外一点，，点O是垂足，点A、B、C在直线m上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？
最短线段是______，于是，小明这样总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，______．
（2）小试牛刀：如图2所示，中，，，．则点P为AB边上一动点，则CP的最小值为______．（3）尝试应用：如图3所示是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE．
①请直接写出DE的最小值．②在①的条件下求的面积．
（4）拓展提高：如图4，顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE．
．，，请求出AE的最小值．
19．（2022·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．
(1)当点E在上时，作，垂足为M，求证；(2)当时，求的长；
(3)连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值．
20．（2023上·福建厦门·八年级校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点B在x轴上，且，点D是y轴上的一点，以为边向下作等边．
(1)如图2，当点D在线段 上，且时，求证：平分；(2)如图3，当点E落在y轴上时，求点E的坐标；(3)若点D从点A出发沿着y轴向下滑动，点E到原点的距离存在最小值吗？若存在，证明并求出最小值；若不存在，请说明理由．
21．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
(1)如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”．
①在图中画出点；②连接交线段于点求证：(2)的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）
22．（2023·重庆·统考中考真题）在中，，，点为线段上一动点，连接．(1)如图1，若，，求线段的长．(2)如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点． 若，求证：．(3)在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到． 连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值．

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