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江阴市两校2023-2024学年高二下学期3月联考
数学试卷 2024年3月
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.教育局的小王准备在今年的五月十日上午乘坐汽车或火车到某地进行调研，已知该天上午开往某地的汽车有个班次，火车有个班次，那么他不同的乘坐方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.设函数在处存在导数为，则( )
A. B. C. D.
3.函数的单调递增区间是( )
A. 和 B. C. D.
4.已知函数，为的导函数，则的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若函数在时取得极小值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
8.若函数有两个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 函数在处的导数为
B. 一个做直线运动的物体从时间到的位移为，那么表示时刻该物体的瞬时速度
C. 物体做直线运动时，它的运动规律可以用函数表示，其中表示瞬时速度，表示时间，则该物体在时刻的加速度为
D. 函数在处的导数的几何意义是点与点连线的斜率
10.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 有且仅有两个极值点
B. 在区间上单调递增
C. 可能有四个零点
D. 若在区间上单调递减，则的最大值为
11.下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，从有________种不同的走法．
13.若直线与函数的图象相切，则 ．
14.若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某大学组织学生无偿献血．在一个班级体检合格的学生中，型血有人，型血有人，型血有人，型血有人．
从中任选名学生去献血，有多少种不同的选法？
从四种血型的学生中各选名学生去献血，有多少种不同的选法？
从中任选名具有不同血型的学生去献血，有多少种不同的选法？
16.本小题分
“既要金山银山，又要绿水青山”某风景区在一个直径为米的半圆形花圆中设计一条观光线路．打算在半圆弧上任选一点与，不重合，沿修一条直线段小路，在路的两侧注意是两侧种植绿化带；再沿弧修一条弧形小路，在小路的一侧注意是一侧种植绿化带，小路与绿化带的宽度忽略不计．
设弧度，将绿化带的总长度表示为的函数；
求绿化带的总长度的最大值．
17.本小题分
已知函数，．
Ⅰ求函数在处的切线方程；
Ⅱ求函数的单调区间和极值．
18.本小题分
已知函数在处取得极小值．
Ⅰ求实数，的值；
Ⅱ若，，都有成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数有两个极值点，．
求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．江阴市两校2023-2024学年高二下学期3月联考
数学试卷 2024年3月
解析版
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.教育局的小王准备在今年的五月十日上午乘坐汽车或火车到某地进行调研，已知该天上午开往某地的汽车有个班次，火车有个班次，那么他不同的乘坐方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查分类计数原理的应用，属于容易题．
根据题意，依次分析乘汽车、乘火车的方法，进而求得结论．
【解答】
解：根据分类加法计数原理，不同的乘坐方法有种．
故选C．
2.设函数在处存在导数为，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查导数的定义，属于基础题．
根据题意，由导数的定义可得，据此分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数在处存在导数为，即，
则，
故选：．
3.函数的单调递增区间是
( )
A. 和 B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，属基础题．
对求导，然后令导数函数，解不等式，确定的单调递增区间．
【解答】
解：因为函数，
所以，．
由，解得，
所以函数的单调递增区间是
故选B．
4.已知函数，为的导函数，则的大致图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数图象的识别，同时考查导数的运算，属于基础题．
由题意得到，由奇函数的定义可知为奇函数，即其图象关于原点对称，可排除、，再取可知，可排除，由此即得本题答案．
【解答】
解：由于，
则，且定义域为，
则，
所以为奇函数，故排除，，
且，故排除．
故选B．
5.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用导数由函数的单调性求参，属于中档题．
求导，根据在上单调递减得 在 时恒成立，再由二次函数的性质求解即可．
【解答】
解：由于函数在上单调递减，
所以，
即对恒成立，
当时，取得最大值，
所以，即．
故选C．
6.若函数在时取得极小值，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用导数根据极值或极值点求参，属于基础题．
先求，讨论导数的正负，即可解决．
【解答】
解：由于，
令，得或，
当时，
由得，；由得，或，
所以是函数的极小值点，满足题意；
当时，，不存在极值点，不合题意；
当时，
由得，；由得，或，
此时是函数的极大值点，不合题意．
综上可得，实数的取值范围是．
故选A．
7.若定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查利用函数的单调性解不等式，利用导数判断或证明已知函数的单调性，属于中档题．
构造函数，利用导数研究函数的单调性，即可得到结论．
【解答】
解：构造函数，
则，
，
，
所以在上单调递减，
，
，
则不等式，等价为，
即，
则，
即不等式的解集为，
故选：．
8.若函数有两个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的零点问题，属于一般题．
由函数有两个零点，则时，判断不可能有两个零点，时，确定和在上的单调性，判断可得结论．
【解答】
解：，，．
当时，，所以在定义域内单调递增，不可能有两个零点，所以．
易知在区间上单调递增，在上单调递减，
当且时，，当时，．
若有两个零点，只需，
由于在上是增函数，且时，，所以．
故选A．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是
( )
A. 函数在处的导数为
B. 一个做直线运动的物体从时间到的位移为，那么表示时刻该物体的瞬时速度
C. 物体做直线运动时，它的运动规律可以用函数表示，其中表示瞬时速度，表示时间，则该物体在时刻的加速度为
D. 函数在处的导数的几何意义是点与点连线的斜率
【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查导数的运算及导数的基本概念．
根据导数的计算中，所以在处的导数为故A错误；根据导数的概念及几何意义一一判断即可．
【解答】
解：中，所以在处的导数为故A错误；
一个做直线运动的物体从时间到的位移为，那么表示时该物体的瞬时速度；正确；
物体做直线运动时，它的运动规律可以用函数表示，其中表示瞬时速度，表示时间，
则该物体在时刻的加速度为正确．
中的几何意义是处切线的斜率，故D错误．
故选BC．
10.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 有且仅有两个极值点
B. 在区间上单调递增
C. 可能有四个零点
D. 若在区间上单调递减，则的最大值为
【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查导函数图象与原函数图象的关系，是中档题．
根据导函数图象，还原原函数的性质，即可判断各选项．
【解答】
解：由的图象可知有且仅有两个极值点和，故A正确；
在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以至多有三个零点，故B，C错误
因为的单调递减区间为，若在区间上单调递减，所以的最大值为，故D正确．
故选AD．
11.下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查利用导数比较大小，属于较难题．
构造函数，求出导数研究单调性即可比较大小．
【解答】
解：令，则，
由得，；由得，．
所以在区间上单调递增，在上单调递减，
所以，，
即，，
整理得，，故A错，B正确
令，，
则，
，
，，
，
所以在区间上单调递减．
故，
即，
整理得，，故C，D正确．
故选BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，从有________种不同的走法．
【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了分类加法的计数原理和分步乘法计数原理的基础知识，关键在于分类讨论且不遗漏某种情况，观察图形，从到走法可分为两类，经过和不经过，据此试着进一步解题；由上步提示可，利用分步乘法计数原理从到到有种走法，同理可计算从至的走法，利用加法原理即可得出答案．
【解答】
解：到分两类；
第一类：到到分两步：
第一步：到有两种走法；
第二步：到有两种走法．
到到有种走法．
第二类：到有种走法．
所以共有种走法．
故答案为．
13.若直线与函数的图象相切，则 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查导数的运算及其几何意义，利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于基础题．
设出切点坐标，求导函数，结合切线斜率，利用直线与曲线相切，从而可得切点坐标，代入，可求得的值．
【解答】
解：，设切点为，则，则切点为，又
切点在直线上，故有．
故答案为．
14.若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数根据函数最值求参，属于基础题．
利用导数研究函数的单调性，根据最值列关于的不等式组，解之即可．
【解答】
解：，
由，得或；由，得．
则在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
．
若函数在区间上存在最大值，
则，
故实数的取值范围是．
故答案为．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某大学组织学生无偿献血．在一个班级体检合格的学生中，型血有人，型血有人，型血有人，型血有人．
从中任选名学生去献血，有多少种不同的选法？（4分）
从四种血型的学生中各选名学生去献血，有多少种不同的选法？（4分）
从中任选名具有不同血型的学生去献血，有多少种不同的选法？（5分）
【答案】解：在一个班级体检合格的学生中，型血有人，型血有人，型血有人，型血有人，
从中任选名学生去献血，有种不同的选法；
从四种血型的学生中各选名学生去献血，有种不同的选法；
从中任选名具有不同血型的学生去献血，有种不同的选法．

【解析】此题考查分类加法计数原理，考查分步乘法计数原理，注意分类要不重不漏．
由分类加法计数原理，有种不同的选法；
由分步乘法计数原理，有种不同的选法；
由分类加法计数原理及分步乘法计数原理，有种不同的选法．
16.本小题分
“既要金山银山，又要绿水青山”某风景区在一个直径为米的半圆形花圆中设计一条观光线路．打算在半圆弧上任选一点与，不重合，沿修一条直线段小路，在路的两侧注意是两侧种植绿化带；再沿弧修一条弧形小路，在小路的一侧注意是一侧种植绿化带，小路与绿化带的宽度忽略不计．
设弧度，将绿化带的总长度表示为的函数；
求绿化带的总长度的最大值．
【答案】解：设圆心为，连结，．
在直角中，，的弧长；
所以绿化带的总长度为，其中；------------------------分
对求导数，得，，
令，可得，所以；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
所以绿化带的总长度的最大值为米．------------------------分
【解析】设圆心为，连结、，利用直角三角形的边角关系和弧长公式，求出绿化带的总长度；
对求导数，利用导数判断的单调性，再求出它的最大值．
本题考查了三角函数模型的实际应用问题，也考查了利用导数求函数的单调性与最值问题，是中档题．
17.本小题分
已知函数，．
Ⅰ求函数在处的切线方程；
Ⅱ求函数的单调区间和极值．
【答案】解：Ⅰ因为，所以，，
所以在处的切线方程为．（7分）
Ⅱ因为，所以，．
所以或，，
则的单调递增区间为，，单调递减区间为
则当时，取得极大值，极大值为，
当时取得极小值，极小值为． （15分）
【解析】本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性与极值，属于中档题．
Ⅰ求出，从而求得在处的切线斜率，进而利用点斜式写出即可；
Ⅱ求导后，根据导数与函数单调性的关系，即可求得的单调区间和极值．
18.本小题分
已知函数在处取得极小值．
Ⅰ求实数，的值；
Ⅱ若，，都有成立，求实数的取值范围．
【答案】解：Ⅰ，由题意知，
解得，．
此时，
由得，由得或．
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
从而在处取得极小值，
所以，．（7分）
Ⅱ由Ⅰ得，．
且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，，，
所以在上的最小值为，最大值为，
故，
即实数的取值范围是 （17分）
【解析】本题考查了导数的应用：函数在某点存在极值的性质，函数恒成立问题，属于中档题．
Ⅰ依题意有，，求解即可；
Ⅱ由Ⅰ得的单调区间，求出在上的最小值、最大值，进一步求的取值范围．
19.本小题分
已知函数有两个极值点，．
求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
【答案】解：，．
由有两个极值点，得，，是方程的两个不同的正根．
则解得，
所以实数的取值范围是（7分）
由得
，
由于，则．
令，，
则，
所以在上单调递增，
又，
则的解为，
所以实数的取值范围是． （17分）
【解析】本题考查了利用导数求函数的极值，利用导数根据极值或极值点求参，利用导数由函数的单调性求参，是中档题．
对函数求导，得，是方程的两个不同的正根，进而求解即可，
结合题意将表示为的式子，再根据单调性即可得解．

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