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南宁市武鸣区2023-2024学年高一下学期3月月考
数学
一、单项选择题 (本题共8小题，每题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，若∥，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知平面向量与的夹角为，若，，则（ ）
A．2 B．3 C． D．4
4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．若，，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
7．在中，，,若O为内部的一点，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．中，，，，点为的外心，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题 (本题共3小题，每题6分，共18分）
9．已知，是正数，且，下列叙述正确的是（ ）
A．最大值为1 B．有最大值4
C．的最大值为2 D．的最小值为9
10．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1，E为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
11．关于函数，下列命题中为真命题的是（ ）
A．函数的周期为π
B．直线是的一条对称轴
C．点是的图案的一个对称中心
D．将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象
三、填空题 (本题共3小题，每题5分，共15分）
12．函数的定义域是 .
13．在中，点D，E，F分别是边，，的中点，则 .
14．若函数是上的单调递增函数，则实数a的取值范围是 .
四、解答题 (本题共5小题，共77分）
15．在中，，设（、为实数）.
（1）求，的值；
（2）若，，求.
16．已知平面向量，，，且，
(1)求和；
(2)若，，求向量在向量的投影向量的坐标．
17．已知中，，且边上的中线交于点.
(1)求的长;
(2)求的值.
18．已知三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．
(1)求角B；
(2)若b＝2，求的取值范围．
(3)若b＝2，求三角形ABC面积的最大值．
19．世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2024年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
(2)2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
南宁市武鸣区2023-2024学年高一下学期3月月考
数学答案
一、单项选择题 (本题共8小题，每题5分，共40分）
1．C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以 ．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以 ．
故选：C．
2．C
【分析】直接利用平面向量共线的性质求解即可..
【详解】由已知得，，
∵∥，
∴，解得，
故选：.
3．D
【分析】由两边平方化简可求得答案
【详解】由平方可得，
因为，平面向量与的夹角为，
所以即，
解得或（舍去），
故选：D
4．B
【分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值0，1，分析判断即可.
【详解】由题意可得：，
，且，则，
因为，则，
故选：B
5．A
【分析】借助向量模长与数量积的关系以及夹角公式计算即可得.
【详解】
由，，，
则，
而，即得，
所以，又，
所以.
故选：A.
6．B
【分析】由已知可得.联立方程组，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，，所以，.
由可得，.
故选：B.
7．C
【详解】因为，所以 是的重心；所以 又 故选C
8．A
【分析】在中，利用余弦定理求出，再在两边同时乘以向量和，利用投影的定义计算出和的值，代入方程中计算，解出和，可得出答案．
【详解】中，，，，
则，
， ，
又 ，同理可得：，代入上式，
，解得：，
故选：A.
二、多项选择题 (本题共3小题，每题6分，共18分）
9．AC
【分析】根据题意，由基本不等式对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】，是正数，，当且仅当时取等号，此时，故A正确；
，当且仅当时取等号，有最小值4，故B错误；
因为，则，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，，当且仅当时取等号，故D错误．
故选：AC．
10．ABC
【分析】A.根据小正方形的边长为1，E为的中点，得到，大正方形的边长为求解判断；B.利用向量的求模公式求解判断；C.延长交于点G，得到为的中点，G为的中点求解判断； D.利用向量的数量积运算求解判断.
【详解】因为小正方形的边长为1，E为的中点，所以，大正方形的边长为，所以，A正确；
，B正确；
如图：，
延长交于点G，则为的中点，可得G为的中点，，
所以，
， C正确；
，D错误．
故选：ABC
11．ACD
【分析】利用辅助角公式先化简函数式，再结合三角函数的图象与性质即可.
【详解】由，
显然的周期为，所以A正确；
当时，，显然，
由三角函数的图象与性质可知B错误，C正确；
将的图象向左平移个单位长度，
可得到的图象，故D正确.
故选：ACD
三、填空题 (本题共3小题，每题5分，共15分）
12．
【分析】利用对数函数的定义，列出不等式求解即得.
【详解】函数有意义，则，解得或，
所以函数的定义域是.
故答案为：
13．
【分析】根据平面向量的加法法则运算可得，由题意得
，进而求得.
【详解】如图所示，在中，，
又点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
所以，
所以.
故答案为：
14．
【分析】运用分段函数在上单调递增性质、一次函数、二次函数的单调性列式可求得a的值.
【详解】由题意知，，
所以a的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题 (本题共5小题，共77分）
15．（1），；（2）6.
【分析】（1）利用向量的减法法则可得，化简即可求得结果；
（2）由（1）求得，，利用数量积公式计算即可.
【详解】（1），
∴,则，
，.
（2）由（1）得，，
.
16．(1)， (2)
【分析】（1）根据平面向量共线的坐标表示及向量垂直的坐标表示得到方程，解得即可；
（2）首先求出、的坐标，即可求出，，最后根据求出向量在向量的投影向量的坐标．
【详解】（1）解：，，，由，得到解得，由，所以，解得，因此，；
（2）解：，，
所以，
向量在向量的投影向量为
17．(1)； (2).
【分析】（1）利用余弦定理直接求解；
（2）易知，根据重心的性质求出与，利用余弦定理即可求解.
【详解】（1）由余弦定理得,
而，于是,
即，解得.
（2）易知，如图，为的重心，
可得,
，
∴.
18．(1) (2) (3)略
【分析】（1）由正弦定理把已知等式边化角，再由，得，则角B可求；
（2）由余弦定理及重要不等式得，利用两边之和大于第三边可得，即可得的范围．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵ ，
∴；
（2）由，
可得：,
又，
∴即，当且仅当时取等，
又，
∴的取值范围为．
19．(1);
(2)100（百辆），2300万元.
【分析】（1）根据利润收入-总成本，即可求得（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）分段求得函数的最大值，比较大小可得答案.
【详解】（1）由题意知利润收入-总成本，
所以利润
,
故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 .
（2）当时，，
故当时，；
当时，,
当且仅当， 即时取得等号；
综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．

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