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微专题Ⅰ 静电场及其综合应用问题
知识点一、两等量电荷的电场线的特点
等量异种点电荷与等量同种点电荷的电场比较
电荷种类 等量异种点电荷 等量同种(正)点电荷
电场线分布图
连线上的场强大小 O点最小，从O点沿连线向两边逐渐变大 O点为零，从O点沿连线向两边逐渐变大
中垂线上的场强大小 O点最大，从O点沿中垂线向两边逐渐变小 O点为零，从O点沿中垂线向两边先变大后变小
关于O点对称的点A与A′、B与B′的场强 等大同向 等大反向
（多选）A，B两个点电荷在真空中所形成电场的电场线（方向未标出）如图所示。图中C点为两点电荷连线的中点，MN为两点电荷连线的中垂线，D为中垂线上的一点，电场线的分布关于MN左右对称。则（　　）
A．这两个点电荷一定是等量同种电荷
B．这两个点电荷一定是等量异种电荷
C．C点的电场强度比D点的电场强度大
D．C，D两点的电势一定不相等
【解答】解：A、B、根据电场线的特点，从正电荷出发到负电荷终止可以判断，A、B是两个异种电荷。由于电场线的分布关于MN左右对称，可知两个电荷的电量相等，所以这两个点电荷一定是等量异种电荷，故A错误，B正确。
C、在两等量异号电荷连线的中垂线上，C点电场线最密，电场强度最大，所以C点的电场强度比D点的电场强度大，故C正确。
D、MN是两点电荷连线的中垂线，中垂线上每点的电场方向都水平向右，中垂线和电场线垂直，所以中垂线为一条等势线，所以C点的电势等于D点的电势，故D错误。
故选：BC。
如图所示是两个等量点电荷的电场线分布，虚线是某带电体在电场中仅受电场力的运动轨迹，图中A、B是轨迹上其中两点，则（　　）
A．该带电体应带的是正电荷
B．题中等量点电荷左边为正电荷，而右边应为负电荷
C．该带电体在A处的加速度比在B处的加速度要大
D．该带电体在A处的电势能比B处的电势能大
【解答】解：A、电场线始于正电荷（或无穷远），终于负电荷，可知左边的点电荷带正电，由带电体的轨迹可知，带电体受到左侧点电荷的吸引力，根据异种电荷相互吸引可知，该带电体带负电，故A错误；
B、由图，由带电体的轨迹可知，带电体受到右侧点电荷的吸引力，根据异种电荷相互吸引可知，右侧点电荷带正电，所以两个点电荷是等量同种点电荷，故B错误；
C、电场线的疏密表示电场的强弱，由图可知B处电场线密，则B处的电场强度大，根据：a可知带电体在B处的加速度大，故C错误；
D、A点到点电荷的距离远，B到点电荷的距离近，根据等量同种正点电荷的电场的特点可知，B处的电势高，由Ep＝qφ，可知带负电的带电体在电势较低的A处的电势能大，故D正确。
故选：D。
用电场线能很直观、很方便地比较电场中各点场强的强弱。如图甲是等量异种点电荷形成电场的电场线，图乙是场中的一些点：O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上相对O对称的两点，B、C和A、D也相对O对称。则（　　）
A．B、C两点场强大小和方向都相同
B．A、D两点场强大小相等，方向相反
C．E、O、F三点比较，O点场强最弱
D．B、O、C三点比较，O点场强最强
【解答】解：A、根据对称性看出，B、C两处电场线疏密程度相同，则B、C两点场强大小相同。这两点场强的方向均由B→C，方向相同。故A正确。
B、根据对称性看出，A、D两处电场线疏密程度相同，则A、D两点场强大小相同。由图看出，A、D两点场强方向相同。故B错误。
C、由图看出，E、O、F三点比较，O点场强最强，故C错误。
D、由图看出，B、O、C三点比较，O处电场线最疏，O点场强最弱。故D错误。
故选：A。
如图甲中O是等量同种电荷两点电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上相对于O点对称的两个点，B、C和A、D也相对于O点对称。则下列说法正确的是（　　）
A．B、C两点电场强度不同
B．A、D两点电场强度相同
C．E、F、O相比，O点电场强度最强
D．从O到E电场强度大小一定一直增大
【解答】解：A、根据等量同种点电荷形成电场的对称性可知，B、C两点电场强度大小相等，但这两点场强的方向相反，故A正确；
B、根据等量同种点电荷形成电场的对称性可知，A、D两处电场强度大小相等，但方向相反，故B错误；
C、根据等量同种点电荷形成电场的特点可知，E、O、F三点中，O处电场强度最小，为零，故C错误；
D、根据等量同种点电荷形成电场的特点可知，从O到F点电场强度可能一直增大，也可能先增大后减小，故D错误。
故选：A。
知识点二、带电粒子在电场中运动问题的分析
1.带电粒子做曲线运动时，合力指向轨迹曲线的内侧，速度方向沿轨迹的切线方向。
2.方法
(1)根据带电粒子运动轨迹的弯曲方向，判断带电粒子所受静电力的方向。
(2)把电场线方向、静电力方向与电性相联系进行分析。
(3)把电场线的疏密和静电力大小、加速度大小相联系进行分析。
(4)把静电力做的功与能量的变化相联系进行分析。
如图所示为某一带电粒子从a到b通过一电场区域时速率随时间变化的v﹣t图像。该带电粒子只受电场力作用，用虚线表示该带电粒子的运动轨迹，则粒子运动轨迹和电场线分布情况可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由v﹣t图像结合数学知识可知带电粒子加速度减小，带电粒子只受电场力作用，根据牛顿第二定律有F＝ma＝qE，可知，电场强度E减小，电场线越疏的场强越小，可知带电粒子应该从电场线密的地方向电场线疏的地方运动；带电粒子从a到b运动时，轨迹切线方向表速度方向，力指向轨迹的凹侧面，且带电粒子速度减小，所以力和速度夹角成钝角。故ABC错误，D正确。
故选：D。
如图所示，实线是电场线，一带电粒子只在电场力的作用下沿虚线由A运动到B的过程中，其速率﹣时间图象是选项中的（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：电场线的疏密程度表示场强大小，A点电场线密集，故电场强度大，电场力大，故加速度大，所以粒子的加速度一直减小，由粒子的运动轨迹弯曲方向可知，带电粒子受电场力的方向大致斜向左下方，与电场强度方向相反，故粒子带负电，电场力做负功，速度慢慢减小，所以粒子做加速度减小的减速运动，故B正确。
故选：B。
如图中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点。带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可作出正确判断的是（　　）
A．该粒子带负电
B．该电场强度的方向向左
C．a、b两点的电场强度b处较大
D．该粒子在a、b两点的加速度a处较大
【解答】解：AB．粒子的运动轨迹向左弯曲，说明粒子在a、b两点受到的电场力沿电场线向左，由于电场线方向不明，所以无法确定粒子的电性，也无法确定电场强度的方向，故AB错误；
C．由图可知，a点的电场线比b点的更密，根据电场线越密，电场强度越大，可知a、b两点的电场强度a处较大，故C错误；
D．根据电场线的疏密与电场强度的强弱的关系，判断出a点的电场强度大，故带电粒子在a点受到的电场力大，根据牛顿第二定律可知，带电粒子在a点的加速度比b点的加速度大，故D正确。
故选：D。
如图所示为电场中某条电场线的示意图，则下列说法中正确的是（　　）
A．电场线是电场中实际存在的线
B．电场线上每点的切线方向表示电场中该点的电场强度方向
C．电场线在电场中可以相交
D．把一带正电的粒子从A点静止释放，仅考虑电场力的作用，它将沿电场线运动
【解答】解：A、电场线是假想的，电场中实际不存在的电场线，故A错误；
BC、电场中某点的方向等于该点沿电场线的切线方向，若电场线相交，则相交处场强方向有两个，和电场方向是唯一的相矛盾，故电场线不相交，故B正确，C错误；
D、一带正电的粒子从A点静止释放，所受电场力方向沿电场线的切线方向，所以粒子不会将沿电场线运动，故D错误。
故选：B。
知识点三、电场中的平衡问题
带电体在多个力作用下处于平衡状态，物体所受合外力为零，因此可用共点力平衡的知识分析，常用的方法有正交分解法、合成法等。
如图所示，绝缘光滑圆环竖直固定放置，a、b、c为三个套在圆环上可自由滑动的带电小球，所带电荷量的大小均为q（电性未知），圆环半径为R，当小球b位于圆环最低点时，a、c两球恰好可以静止于与圆心等高的位置上，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．a、c小球可能带异种电荷
B．a、b小球可能带异种电荷
C．a球质量应满足
D．c球质量应满足
【解答】解：AB、对b小球受力分析可知，受到重力、环的支持力以及a与c的库仑力，其中重力与支持力的方向在竖直方向上，由水平方向受力平衡可知，a与c的电性必定是相同的；对a分析，受到重力、环的支持力以及b、c对a的库仑力，重力竖直向下，c对a的库仑力和环的支持力都是水平方向，若a要平衡，则b对a的库仑力沿竖直方向的分力必须向上，所以b对a的作用力必须是斥力，所以b与a的电性一定相同。即a、b、c小球带同种电荷，故AB错误；
CD、根据共点力平衡条件可知，b对a的库仑力 Fba 沿竖直方向的分力与a的重力平衡，
则mag
同理可对c球有，故C正确，D错误。
故选：C。
如图所示，两条等长细线的A点悬挂一质量为0.1kg，电量为2×10﹣6C的带电小球，细线与天花板的夹角为30°，A离地面h＝0.3m，在MA的延长线上用一不计高度和质量的绝缘支架固定一质量为0.2kg，电量与小球电量相等的异性带电小球B，则以下选项错误的是（　　）
A．支架对地面的压力大小为1.95N
B．当B球带上异性电荷后，A球会向右偏离原来的位置
C．NA线的拉力大小为1N
D．MA线的拉力大小为1.1N
【解答】解：由于细线与天花板的夹角为30°，故AB之间的距离为r
A和B之间的库仑力F库＝k
解得F库＝0.1N
A、以B为研究对象，竖直方向根据平衡条件可得B受到地面的支持力为FN＝mBg﹣F库sin30°
解得FN＝1.95N，根据牛顿第三定律可知支架对地面的压力大小为1.95N，故A正确；
B、当B球带上异性电荷后，A和B之间的相互作用力沿细线MA方向，A球不会向右偏离原来的位置，故B错误；
CD、如果没有电荷B，悬挂A的两根细线拉力为T，根据平衡条件可得2Tcos60°＝mAg
解得T＝1N；
由于A和B之间的库仑力沿细线MA方向，所以库仑力的大小不影响NA细线的拉力，故NA细线拉力为1N；
由于库仑力的存在，使得MA线的拉力增大0.1N，MA线的拉力大小为1.1N，故CD正确。
本题选择错误选项；
故选：B。
如图所示水平面上，固定的装置是由半径为R的绝缘圆环和沿半径方向的绝缘细杆组成，空间中的匀强电场平行于细杆向左。圆环上套有一带正电小球A，细杆上套有一带正电小球B。初始时A静止在离P点较近处，A、B间距为R，现用外力使B缓慢向P点移动，则A沿圆环缓慢右移。在这过程中，若两小球所带电量不改变且不计一切摩擦，则下列说法中正确的是（　　）
A．圆环对A的弹力一直减小
B．A、B间的库仑力先增大后减小
C．B对A的库仑力可能大于圆环对A的弹力
D．B对A的库仑力小于匀强电场对A的作用力
【解答】解：对A水平方向受力分析如图
设OB＝x，AB＝y，由三角形关系可知
开始时y＝R，当B右移时，则x减小，则FN变大，圆环对A的弹力一直变大，故A错误；
y减小，即此时y＜R，则根据
可知A、B间的库仑力逐渐变大，故B错误；
B对A的库仑力小于圆环对A的弹力，故C错误；
因x＞R，而y＜R，可知qE＞F库
即B对A的库仑力小于匀强电场对A的作用力，故D正确。
故选：D。
某学习小组通过实验用共点力平衡的方法来测量带电体之间静电力的大小，实验装置示意图如图所示。一个质量为m带正电的小球B用绝缘细丝线悬挂于C点，O点在C点正下方h处，以O点为坐标原点，沿水平方向建立一维坐标系。将另一个带正电的小球D靠近B，B受到静电力F作用而发生偏移。调整D的位置，使B、D球心在同一高度，且始终与坐标轴在同一竖直平面内，记录小球B静止时细丝线与坐标轴交点A的坐标x。已知重力加速度为g。
（1）画出小球B的受力示意图。
（2）推导静电力F与坐标x的关系式。
（3）定义单位静电力变化引起的坐标x变化为测量的灵敏度δ，即，请说明提高灵敏度δ的办法。
【解答】解：（1）小球B的受力示意如图1。
图1
（2）沿水平和竖直方向建立直角坐标系，如图2所示，正交分解力FT，小球B静止，由平衡条件
FTsinθ＝F
FTcosθ＝mg
图2
由几何关系
解得
（3）由（2）的结论得，由此可知，提高灵敏度δ的办法：增大h，减小m。
答：（1）小球B的受力示意图见解析。
（2）静电力F与坐标x的关系式为。
（3）提高灵敏度δ的办法：增大h，减小m。
如图所示，在倾角为α的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A、B、C三小球的质量均为M，qA＝q0＞0，qB＝﹣q0，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为k，求：
（1）弹簧伸长量Δx；
（2）C球的电荷量qC和相邻小球间距离L。
【解答】解：（1）以 A、B、C整体为研究对象可得F弹＝3Mgsinα
由胡克定律可知弹簧伸长量
（2）设相邻小球间距为 L，根据平衡可知小球C带正电，由平衡条件有
对B球有
解得
答：（1）弹簧伸长量Δx为；
（2）C球的电荷量qC为，相邻小球间距离L为。
知识点四、电场中的动力学问题
如图所示，带电小球M固定在光滑绝缘水平面上，与M带同种电荷的小球N以速度v0从P点沿直线远离M，M、N均可视为质点且带电量保持不变，则小球N的速度v随时间t变化图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题可知，两带电小球间的库仑力为
根据牛顿第二定律可知
随着距离的增加，小球的带电荷量不变，加速度逐渐减小，故小球N做加速度逐渐减小的加速运动。AB图加速度不变，C图加速度变大，D图加速度变小，故ABC错误；D正确。
故选：D。
如图所示，质量为m的小球A放在绝缘斜面上，斜面的倾角为α。小球A带正电，电荷量为q。在斜面上B点处固定一个电荷量为Q的正电荷，将小球A由距B点竖直高度为H处无初速度释放。小球A下滑过程中电荷量不变。不计A与斜面间的摩擦，整个装置处在真空中。已知静电力常量k和重力加速度g。
（1）A球刚释放时的加速度是多大？
（2）当A球的动能最大时，求此时A球与B点的距离。
【解答】解：（1）A球刚释放时，受到重力、沿细杆向上的库仑力和细杆的支持力，根据牛顿第二定律得：
mgsinαma；
得：a＝gsinαsin2α；
（2）到达平衡位置时，速度最大，根据平衡条件，有：
mgsinα0
得：x
答：（1）A物块刚释放时的加速度是gsinαsin2α；
（2）当A物块的动能最大时，此时A物块与B点的距离为。
如图所示，用一条长度为L的绝缘轻绳悬挂一个带正电的小球，小球质量为m，所带电荷量为q。现在水平地面上方整个空间加一水平向右的匀强电场，小球静止时绝缘轻绳与竖直方向成37°角，小球离地的竖直高度为h，重力加速度大小为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
（1）匀强电场的电场强度大小；
（2）轻绳的拉力大小；
（3）若突然剪断轻绳，小球落地时的速度大小。
【解答】解：（1）对小球受力分析，如图所示。
由平衡条件可得
Eq＝mgtan37°
解得：
（2）由平衡知识可得
解得：
（3）剪断轻绳后，小球受到重力和电场力的作用，合力为F合
根据牛顿第二定律可得
F合＝ma
由几何知识可知
由运动学公式可知
v2＝2ax
联立解得：
如图，水平面上有一带电量为+Q的均匀带电圆环，其圆心为O，O点正上方h处有一点P，P和圆环上任一点的连线与圆环面的夹角均为θ。已知静电力常量为k，则P点场强大小为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：将圆环分为n等分（n很大，每一份可以认为是一个点电荷），则每份的电荷量为 q
每份在P点的电场强度大小为：E0
根据对称性可知，水平方向的合场强为零，P点的电场强度方向竖直向上，其大小为：E＝nE0sinθ，故ABC错误，D正确。
故选：D。
如图所示，小球A、C均带正电，B球带负电，A球在绝缘的粗糙水平地面上，B球由绝缘的细线拉着，C球处在与B球等高的位置，A、B、C三球均静止且三者所在位置构成一个等边三角形。若细线与竖直方向的夹角为60°，mC＝6mB，则A、B、C三球所带电荷量大小之比为（　　）
A．2：1：4 B．1：2：4 C． D．
【解答】解：对B、C两球进行受力分析，如图所示，
对C球，由力的平衡条件可得：
对B球，由力的平衡条件有：FT sin60°＝FAB sin30°+FCB＝FAB sin30°
FT cos60°＝FAB cos30°+mBg
由题设条件有：
联立各式解得：
由上述结论：，以及库仑定律：
可得：qA：qB：qC＝2：1：4，故BCD错误，A正确。
故选：A。
如图所示，原来不带电的金属导体MN，在其两端下面都悬挂着金属验电箔；若使带负电的金属球A靠近导体的M端，可能看到的现象是（　　）
A．只有M端验电箔张开，且M端带正电
B．只有N端验电箔张开，且N端带正电
C．两端的验电箔都张开，且N端带负电，M端带正电
D．两端的验电箔都张开，且两端都带正电
【解答】解：金属导体处在负电荷的电场中，由于静电感应现象，弹头导体的右端要感应出正电荷，在导体的左端会出现负电荷，所以导体两端的验电箔都张开，且左端带负电，右端带正电，所以C正确。
故选：C。
如图所示，甲、乙两个带电金属小球（均视为质点）的质量均为m，甲用长度为3L的轻质绝缘细线悬挂在O点，乙用长度为5L的轻质绝缘细线也悬挂在O点，甲靠在光滑绝缘的竖直墙壁上，甲、乙静止时两条细线之间的夹角正好为53°，重力加速度为g，静电引力常量为k，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两球的高度不相同
B．甲、乙两球一定带等量的同种电荷
C．甲、乙两球带电量的乘积等于
D．细线对甲球的拉力大于 mg
【解答】解：A．乙用长度为5L的轻质绝缘细线也悬挂在O点，甲用长度为3L的轻质绝缘细线悬挂在O点，由于甲、乙静止时两条细线之间的夹角正好为53°，可根据几何关系可判断甲、乙两球的高度一定相同，所受库仑力方向水平，若不等高，二者夹角不可能为53°，故A错误；
B．根据牛顿第三定律可知，甲、乙两球之间的作用力为相互作用力，大小相同方向相反，由图中可见两球相互排斥，两球带同种电荷，但不一定等量，故B错误；
C．根据平衡关系可知
解得
故C正确；
D．根据平衡条件可知，甲球所受绳子的拉力
T＝mg
故D错误。
故选：C。
如图所示，Q是真空中固定的点电荷，a、b，c是以Q所在位置为圆心，半径分别为r或2r球面上的三点，电荷量为﹣q的试探电荷在a点受到的库仑力方向指向Q。则（　　）
A．Q带负电
B．b、c两点电场强度相同
C．a、b两点的电场强度大小之比为4：1
D．将a处试探电荷电荷量变为+2q，该处电场强度变为原来两倍
【解答】解：A、电量为﹣q的试探电荷受到的库仑力指向Q，则Q带整点，故A错误；
B、根据点电荷的电场强度计算公式
可知，bc两点的电场强度大小相等，方向不同，故B错误；
C、根据场强的计算公式可知，因为ab两点与Q点的距离之比为1：2，所以电场强度之比为4：1，故C正确；
D、电场强度与试探电荷无关，所以当电荷量变为原来的2倍时，电场强度依旧保持不变，故D错误；
故选：C。
如图所示，真空中有三个带正电的点电荷，它们固定在边长为a的等边三角形的三个顶点上，每个点电荷的电荷量都是q（q＞0）。若引入一个点电荷P，放在等边三角形的中心，使三角形顶点处的电荷所受静电力合力为零，则下列说法正确的是（　　）
A．未引入点电荷P之前，顶点上的每个点电荷所受的库仑力的大小为
B．未引入点电荷P之前，顶点上的每个点电荷所受的库仑力的大小为
C．引入的点电荷P带负电，所带电荷量为
D．引入的点电荷P带正电，所带电荷量为
【解答】解：AB、三角形顶点每个点电荷都受到其他两个点电荷的斥力，对右下角的电荷进行分析，受力示意图如下图所示：
根据平行四边形定则，顶点上的每个点电荷受到的库仑力为：，故AB错误；
CD、要使三角形顶点处场强为零，则该处点电荷所受静电力为零，则引入的电荷量必须是负的点电荷，由平衡条件得：
又有几何关系得：2rcos30°＝a
解得：，故C正确，D错误；
故选：C。
金属球甲所带的电荷量为﹣2Q，完全相同的金属球乙所带的电荷量为+6Q，当两球之间的距离为r时，两球之间的库仑力为F1；现将两球充分接触后并放回到原来的位置，则两球之间的库仑力为F2，两球可视为点电荷，则下列说法正确的是（　　）
A．+2Q的正电荷从乙转移到甲
B．﹣4Q的负电荷从甲转移到乙
C．F1＝F2
D．
【解答】解：AB．由电荷守恒定律可知，两球接触后电荷量重新分配，即两球分别带有2Q的电荷，两球接触的过程中，自由电子发生定向移动，即有﹣4Q的负电荷从甲转移到乙，故A错误，B正确；
CD．开始两球之间的库仑力为
接触放回原位置时，两球之间的库仑力为
显然F1＝3F2
故CD错误。
故选：B。
如图所示，光滑绝缘杆弯成直角，直角处固定在水平地面上，质量为3m、带电荷量+3Q小圆环A穿在右边杆上，质量为m、带电荷量+Q小圆环B穿在左边杆上，静止时两圆环的连线与地面平行，右边杆与水平面夹角为α，重力加速度为g。则（　　）
A．右边杆与水平面夹角为α＝30°
B．A环对B环库仑力大小为3mg
C．左边杆对B环支持力大小为
D．右边杆对A环支持力大小为
【解答】解：A、分别对小圆环A、B受力分析，如图所示。
对小圆环A，根据平衡条件，有：3mgsinα＝Fcosα
对小圆环B，有：mgcosα＝F′sinα
由牛顿第三定律有：F′＝F
联立解得：α＝30°，故A正确；
BD、对小圆环A，据平衡条件可得：
Ncosα＝3mg
F＝3mgtanα
解得A环所受支持力为：
A、B间的库仑力为：，故BD错误；
C、对小圆环B，据平衡条件可得杆对B环支持力大小为：，故C错误。
故选：A。
为了描述空间中某点的电场强度，我们可以描绘一系列“矢量线段”，其长度表示电场强度的大小、箭头表示场强的方向。如图所示，点O为两个等量异种点电荷+Q、﹣Q之间连线的中点，在两个电荷连线的垂直平分线上有A、B两点，OA＞OB，其中O点处的电场强度EO已画出，若以EO的长度和方向为参考，则下列各图中关于点A、B处的电场强度“矢量线段”描绘可能正确的选项是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：如下图所示，先分别画出两个点电荷各自在A、B两点处的电场强度矢量线段，由于OA＞OB，单个点电荷在B点产生的场强大小大于在A点产生的场强大小，且在A点两个分场强方向的夹角较大，则合场强较小，由等量异种点电荷中垂线上的场强特点可知，+Q和﹣Q在这3个点产生的电场强度“矢量”的方向相同，大小关系满足Eo＞EB＞EA。故B正确，ACD错误。
故选：B。
带电量分别为+2q、﹣2q的等量异种电荷A、B固定在同一水平线上，相距6x，在它们连线的中点P上方2x处有一悬点O，用绝缘细绳挂着一个质量为m的带电小球C，OP＝2x，绳长，如图所示，平衡时小球刚好静止在两电荷连线上。重力加速度为g，问：
（1）小球所受电场力大小为？
（2）小球所在处AB产生的电场总场强为多少？
（3）小球所带电荷量是正是负？电荷量为多少？
【解答】解：（1）设OC与OP的夹角为θ，根据几何关系可得：CPx。
小球的受力情况如图所示：
则小球受到的电场力为：F电＝mgtanθ，其中tanθ
所以：F电mg；
（2）小球所在处AB产生的电场总场强为：E，方向向右；
（3）由于小球受到的电场力方向向左，所以小球带负电。
根据F电＝QE可得小球所带电荷量为：Q。
如图所示，一带电荷量为q＝﹣5×10﹣3C，质量为m＝0.1kg的小物块处于一倾角为θ＝37°的光滑绝缘斜面上，当整个装置处于一水平向左的匀强电场中时，小物块恰好处于静止状态。（g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）求：
（1）匀强电场电场强度的大小；
（2）若从某时刻开始，电场强度减小为原来的，物块下滑距离L＝1.5m时的速度大小为多少？
【解答】解：（1）小物块受力如图
由受力平衡得：
qE﹣FNsinθ＝0，
mg﹣FNcosθ＝0，
代入数据解得：
E＝150N/C。
（2）由牛顿第二定律得：
mgsinθcosθ＝ma
由运动学规律得：
v2＝2aL，
代入数据解得：
v＝3m/s。
答：（1）电场强度为150N/C；
（2）若从某时刻开始，电场强度减小为原来的，物块下滑距离L＝1.5m时的速度大小为3m/s。
如图所示，在倾角为α的足够长的光滑斜面上放置两个质量分别为2m和m的带电小球A和B（均可视为质点），它们相距L。两球同时由静止开始释放，释放的瞬间，B球的加速度恰好等于零。经过一段时间后，当两球距离为L′时，A、B的加速度大小之比为a1：a2＝11：5。静电力常量为k。
（1）若B球带正电荷且电荷量为q，求A球所带电荷量Q及电性。
（2）在（1）的条件下求L′与L的比值。
【解答】解：（1）对B球分析有，A球带正电荷，初始时B球沿斜面方向合力为零，则
F﹣mgsinα＝0，
又F＝k，
解得Q；
（2）初始时B球受力平衡，两球相互排斥运动一段距离后，两球间距离增大，库仑力一定减小，小于mgsinα。
A球加速度a1方向应沿斜面向下，根据牛顿第二定律，有
F'+2mgsinα＝2ma1，
B球加速度a2方向应沿斜面向下，根据牛顿第二定律，有
mgsinα﹣F'＝ma2
依题意a1：a2＝11：5
解得F'mgsina
又F'＝k，
解得：L'：L＝3：2。
答：（1）若B球带正电荷且电荷量为q，A球带正电，电荷量Q为；
（2）在（1）的条件下求L′与L的比值为3：2。微专题Ⅰ 静电场及其综合应用问题
知识点一、两等量电荷的电场线的特点
等量异种点电荷与等量同种点电荷的电场比较
电荷种类 等量异种点电荷 等量同种(正)点电荷
电场线分布图
连线上的场强大小 O点最小，从O点沿连线向两边逐渐变大 O点为零，从O点沿连线向两边逐渐变大
中垂线上的场强大小 O点最大，从O点沿中垂线向两边逐渐变小 O点为零，从O点沿中垂线向两边先变大后变小
关于O点对称的点A与A′、B与B′的场强 等大同向 等大反向
（多选）A，B两个点电荷在真空中所形成电场的电场线（方向未标出）如图所示。图中C点为两点电荷连线的中点，MN为两点电荷连线的中垂线，D为中垂线上的一点，电场线的分布关于MN左右对称。则（　　）
A．这两个点电荷一定是等量同种电荷
B．这两个点电荷一定是等量异种电荷
C．C点的电场强度比D点的电场强度大
D．C，D两点的电势一定不相等
如图所示是两个等量点电荷的电场线分布，虚线是某带电体在电场中仅受电场力的运动轨迹，图中A、B是轨迹上其中两点，则（　　）
A．该带电体应带的是正电荷
B．题中等量点电荷左边为正电荷，而右边应为负电荷
C．该带电体在A处的加速度比在B处的加速度要大
D．该带电体在A处的电势能比B处的电势能大
用电场线能很直观、很方便地比较电场中各点场强的强弱。如图甲是等量异种点电荷形成电场的电场线，图乙是场中的一些点：O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上相对O对称的两点，B、C和A、D也相对O对称。则（　　）
A．B、C两点场强大小和方向都相同
B．A、D两点场强大小相等，方向相反
C．E、O、F三点比较，O点场强最弱
D．B、O、C三点比较，O点场强最强
如图甲中O是等量同种电荷两点电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上相对于O点对称的两个点，B、C和A、D也相对于O点对称。则下列说法正确的是（　　）
A．B、C两点电场强度不同
B．A、D两点电场强度相同
C．E、F、O相比，O点电场强度最强
D．从O到E电场强度大小一定一直增大
知识点二、带电粒子在电场中运动问题的分析
1.带电粒子做曲线运动时，合力指向轨迹曲线的内侧，速度方向沿轨迹的切线方向。
2.方法
(1)根据带电粒子运动轨迹的弯曲方向，判断带电粒子所受静电力的方向。
(2)把电场线方向、静电力方向与电性相联系进行分析。
(3)把电场线的疏密和静电力大小、加速度大小相联系进行分析。
(4)把静电力做的功与能量的变化相联系进行分析。
如图所示为某一带电粒子从a到b通过一电场区域时速率随时间变化的v﹣t图像。该带电粒子只受电场力作用，用虚线表示该带电粒子的运动轨迹，则粒子运动轨迹和电场线分布情况可能是（　　）
A． B．
C． D．
如图所示，实线是电场线，一带电粒子只在电场力的作用下沿虚线由A运动到B的过程中，其速率﹣时间图象是选项中的（　　）
A． B．
C． D．
如图中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点。带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可作出正确判断的是（　　）
A．该粒子带负电
B．该电场强度的方向向左
C．a、b两点的电场强度b处较大
D．该粒子在a、b两点的加速度a处较大
如图所示为电场中某条电场线的示意图，则下列说法中正确的是（　　）
A．电场线是电场中实际存在的线
B．电场线上每点的切线方向表示电场中该点的电场强度方向
C．电场线在电场中可以相交
D．把一带正电的粒子从A点静止释放，仅考虑电场力的作用，它将沿电场线运动
知识点三、电场中的平衡问题
带电体在多个力作用下处于平衡状态，物体所受合外力为零，因此可用共点力平衡的知识分析，常用的方法有正交分解法、合成法等。
如图所示，绝缘光滑圆环竖直固定放置，a、b、c为三个套在圆环上可自由滑动的带电小球，所带电荷量的大小均为q（电性未知），圆环半径为R，当小球b位于圆环最低点时，a、c两球恰好可以静止于与圆心等高的位置上，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．a、c小球可能带异种电荷
B．a、b小球可能带异种电荷
C．a球质量应满足
D．c球质量应满足
如图所示，两条等长细线的A点悬挂一质量为0.1kg，电量为2×10﹣6C的带电小球，细线与天花板的夹角为30°，A离地面h＝0.3m，在MA的延长线上用一不计高度和质量的绝缘支架固定一质量为0.2kg，电量与小球电量相等的异性带电小球B，则以下选项错误的是（　　）
A．支架对地面的压力大小为1.95N
B．当B球带上异性电荷后，A球会向右偏离原来的位置
C．NA线的拉力大小为1N
D．MA线的拉力大小为1.1N
如图所示水平面上，固定的装置是由半径为R的绝缘圆环和沿半径方向的绝缘细杆组成，空间中的匀强电场平行于细杆向左。圆环上套有一带正电小球A，细杆上套有一带正电小球B。初始时A静止在离P点较近处，A、B间距为R，现用外力使B缓慢向P点移动，则A沿圆环缓慢右移。在这过程中，若两小球所带电量不改变且不计一切摩擦，则下列说法中正确的是（　　）
A．圆环对A的弹力一直减小
B．A、B间的库仑力先增大后减小
C．B对A的库仑力可能大于圆环对A的弹力
D．B对A的库仑力小于匀强电场对A的作用力
某学习小组通过实验用共点力平衡的方法来测量带电体之间静电力的大小，实验装置示意图如图所示。一个质量为m带正电的小球B用绝缘细丝线悬挂于C点，O点在C点正下方h处，以O点为坐标原点，沿水平方向建立一维坐标系。将另一个带正电的小球D靠近B，B受到静电力F作用而发生偏移。调整D的位置，使B、D球心在同一高度，且始终与坐标轴在同一竖直平面内，记录小球B静止时细丝线与坐标轴交点A的坐标x。已知重力加速度为g。
（1）画出小球B的受力示意图。
（2）推导静电力F与坐标x的关系式。
（3）定义单位静电力变化引起的坐标x变化为测量的灵敏度δ，即，请说明提高灵敏度δ的办法。
如图所示，在倾角为α的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A、B、C三小球的质量均为M，qA＝q0＞0，qB＝﹣q0，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为k，求：
（1）弹簧伸长量Δx；
（2）C球的电荷量qC和相邻小球间距离L。
知识点四、电场中的动力学问题
如图所示，带电小球M固定在光滑绝缘水平面上，与M带同种电荷的小球N以速度v0从P点沿直线远离M，M、N均可视为质点且带电量保持不变，则小球N的速度v随时间t变化图像可能是（　　）
A． B．
如图所示，质量为m的小球A放在绝缘斜面上，斜面的倾角为α。小球A带正电，电荷量为q。在斜面上B点处固定一个电荷量为Q的正电荷，将小球A由距B点竖直高度为H处无初速度释放。小球A下滑过程中电荷量不变。不计A与斜面间的摩擦，整个装置处在真空中。已知静电力常量k和重力加速度g。
（1）A球刚释放时的加速度是多大？
（2）当A球的动能最大时，求此时A球与B点的距离。
如图所示，用一条长度为L的绝缘轻绳悬挂一个带正电的小球，小球质量为m，所带电荷量为q。现在水平地面上方整个空间加一水平向右的匀强电场，小球静止时绝缘轻绳与竖直方向成37°角，小球离地的竖直高度为h，重力加速度大小为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
（1）匀强电场的电场强度大小；
（2）轻绳的拉力大小；
（3）若突然剪断轻绳，小球落地时的速度大小。
如图，水平面上有一带电量为+Q的均匀带电圆环，其圆心为O，O点正上方h处有一点P，P和圆环上任一点的连线与圆环面的夹角均为θ。已知静电力常量为k，则P点场强大小为（　　）
A． B．
C． D．
如图所示，小球A、C均带正电，B球带负电，A球在绝缘的粗糙水平地面上，B球由绝缘的细线拉着，C球处在与B球等高的位置，A、B、C三球均静止且三者所在位置构成一个等边三角形。若细线与竖直方向的夹角为60°，mC＝6mB，则A、B、C三球所带电荷量大小之比为（　　）
A．2：1：4 B．1：2：4 C． D．
如图所示，原来不带电的金属导体MN，在其两端下面都悬挂着金属验电箔；若使带负电的金属球A靠近导体的M端，可能看到的现象是（　　）
A．只有M端验电箔张开，且M端带正电
B．只有N端验电箔张开，且N端带正电
C．两端的验电箔都张开，且N端带负电，M端带正电
D．两端的验电箔都张开，且两端都带正电
如图所示，甲、乙两个带电金属小球（均视为质点）的质量均为m，甲用长度为3L的轻质绝缘细线悬挂在O点，乙用长度为5L的轻质绝缘细线也悬挂在O点，甲靠在光滑绝缘的竖直墙壁上，甲、乙静止时两条细线之间的夹角正好为53°，重力加速度为g，静电引力常量为k，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两球的高度不相同
B．甲、乙两球一定带等量的同种电荷
C．甲、乙两球带电量的乘积等于
D．细线对甲球的拉力大于 mg
如图所示，Q是真空中固定的点电荷，a、b，c是以Q所在位置为圆心，半径分别为r或2r球面上的三点，电荷量为﹣q的试探电荷在a点受到的库仑力方向指向Q。则（　　）
A．Q带负电
B．b、c两点电场强度相同
C．a、b两点的电场强度大小之比为4：1
D．将a处试探电荷电荷量变为+2q，该处电场强度变为原来两倍
如图所示，真空中有三个带正电的点电荷，它们固定在边长为a的等边三角形的三个顶点上，每个点电荷的电荷量都是q（q＞0）。若引入一个点电荷P，放在等边三角形的中心，使三角形顶点处的电荷所受静电力合力为零，则下列说法正确的是（　　）
A．未引入点电荷P之前，顶点上的每个点电荷所受的库仑力的大小为
B．未引入点电荷P之前，顶点上的每个点电荷所受的库仑力的大小为
C．引入的点电荷P带负电，所带电荷量为
D．引入的点电荷P带正电，所带电荷量为
金属球甲所带的电荷量为﹣2Q，完全相同的金属球乙所带的电荷量为+6Q，当两球之间的距离为r时，两球之间的库仑力为F1；现将两球充分接触后并放回到原来的位置，则两球之间的库仑力为F2，两球可视为点电荷，则下列说法正确的是（　　）
A．+2Q的正电荷从乙转移到甲
B．﹣4Q的负电荷从甲转移到乙
C．F1＝F2
D．
如图所示，光滑绝缘杆弯成直角，直角处固定在水平地面上，质量为3m、带电荷量+3Q小圆环A穿在右边杆上，质量为m、带电荷量+Q小圆环B穿在左边杆上，静止时两圆环的连线与地面平行，右边杆与水平面夹角为α，重力加速度为g。则（　　）
A．右边杆与水平面夹角为α＝30°
B．A环对B环库仑力大小为3mg
C．左边杆对B环支持力大小为
D．右边杆对A环支持力大小为
为了描述空间中某点的电场强度，我们可以描绘一系列“矢量线段”，其长度表示电场强度的大小、箭头表示场强的方向。如图所示，点O为两个等量异种点电荷+Q、﹣Q之间连线的中点，在两个电荷连线的垂直平分线上有A、B两点，OA＞OB，其中O点处的电场强度EO已画出，若以EO的长度和方向为参考，则下列各图中关于点A、B处的电场强度“矢量线段”描绘可能正确的选项是（　　）
A． B．
C． D．
带电量分别为+2q、﹣2q的等量异种电荷A、B固定在同一水平线上，相距6x，在它们连线的中点P上方2x处有一悬点O，用绝缘细绳挂着一个质量为m的带电小球C，OP＝2x，绳长，如图所示，平衡时小球刚好静止在两电荷连线上。重力加速度为g，问：
（1）小球所受电场力大小为？
（2）小球所在处AB产生的电场总场强为多少？
（3）小球所带电荷量是正是负？电荷量为多少？
如图所示，一带电荷量为q＝﹣5×10﹣3C，质量为m＝0.1kg的小物块处于一倾角为θ＝37°的光滑绝缘斜面上，当整个装置处于一水平向左的匀强电场中时，小物块恰好处于静止状态。（g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）求：
（1）匀强电场电场强度的大小；
（2）若从某时刻开始，电场强度减小为原来的，物块下滑距离L＝1.5m时的速度大小为多少？
如图所示，在倾角为α的足够长的光滑斜面上放置两个质量分别为2m和m的带电小球A和B（均可视为质点），它们相距L。两球同时由静止开始释放，释放的瞬间，B球的加速度恰好等于零。经过一段时间后，当两球距离为L′时，A、B的加速度大小之比为a1：a2＝11：5。静电力常量为k。
（1）若B球带正电荷且电荷量为q，求A球所带电荷量Q及电性。
（2）在（1）的条件下求L′与L的比值。

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