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2024年北师大版数学八（下）期中专项复习7 图形的旋转与中心对称
一、选择题
1．（2023八下·顺德期中）把图中的五角星图案，绕着它的中心点进行旋转，若旋转后与自身重合，则至少旋转（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：五角星能被从中心发出的射线平分为五等份，
∴最小的旋转度数为：
故答案为：C.
【分析】五角星能被从中心发出的射线平分为五等份，再由周角为360°，即可求出最小的旋转度数.
2．（2023八下·顺德期中）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．直角三角形
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、B、D、均找不到一个点，使它能绕着该点旋转180°，能够与原图形重合，故图形不是中心对称图形；
C、能找到一个点，使它能绕着该点旋转180°，能够与原图形重合，故该图形是中心对称图形；
故答案为：C.
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形叫作中心对称图形，逐项判断即可.
3．（2023八下·龙岗期中）如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了80°，小孩的位置也从A点运动到了B点，则∠OAB的度数为 （　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ 秋千绕点O旋转了80°，小孩的位置也从A点运动到了B点 ，
∴∠AOB=80°，OB=AO，
∴∠OBA=∠OAB，
∴∠OAB=（180°-∠AOB）=50°；
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质可得∠AOB=80°，OB=AO，利用等边对等角可得∠OBA=∠OAB，根据三角形内角和定理即可求解.
4．（2023八下·惠来期中）下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、即是中心对称图形又是轴对称图形，A错误；
B、是中心对称图形但不是轴对称图形，B正确；
C、是中心对称图形又是轴对称图形，C错误；
D、是中心对称图形又是轴对称图形，D错误；
故答案为：B.
【分析】考查中心对称图形及轴对称图形的基本概念：中心对称图形是绕着某一点旋转180°可以与原图形重合的图形；轴对称图形为沿着某条直线翻折，直线两侧图形可以完全重合的图形.
5．（2023八下·佛冈期中）如图，要使此图形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心旋转的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正六边形被平分成六部分，则每部分被分成的圆心角是60°，于是旋转60度的整数倍，就可以与自身重合，则α最小值为60度.
故答案为：B.
【分析】根据旋转对称图形的旋转角的概念即可求解.
6．（2023八下·清新期中）如图，为正方形内一点，，将绕点逆时针旋转得到，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：在正方形中，∠BCD=90°，
由旋转知△CBE≌△CDP，
∴∠BCE=∠PCD，CE=PC=2，
∴∠PCE=∠PCB+∠BCE=∠PCD+∠BCE=∠BCD=90°，
∴PE=PC=2；
故答案为：D.
【分析】根据旋转的性质及正方形的性质可得△PCE为等腰直角三角形，可得PE=PC，据此即可求解.
7．（2023八下·龙岗期中）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、属于中心对称图形，不属于轴对称图形，故不符合题意；
B、属于轴对称图形，不属于中心对称图形，故不符合题意；
C、属于轴对称图形，不属于中心对称图形，故不符合题意；
D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
8．（2023八下·龙岗期中）如图，是正内的一点，若将绕点旋转到，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°.
∵将△PBC绕点B旋转到△P′BA，
∴∠PBC=∠P′BA，
∴∠PBP′=∠P′BP+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°.
故答案为：B.
【分析】由等边三角形的性质可得∠ABC=60°，根据旋转的性质可得∠PBC=∠P′BA，则∠PBP′=∠P′BP+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC，据此解答.
9．（2023八下·河源期中）教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标是中心对称图形的是（　　）
A．注意安全 B．急救中心
C．水深危险 D．禁止攀爬
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图标不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、此图标是中心对称图形，故B符合题意；
C、此图标不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、此图标不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，再对各选项逐一判断.
10．（2023八下·河源期中）如图，在中，，，为的中点，将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在边上，点落在的延长线上，连接，，，若，则下列结论错误的是（　　）
A． B．
C．是等边三角形 D．垂直平分
【答案】A
【知识点】旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：∵AB=AC，将△ABC绕着点O顺时针旋转得到△DEF，
∴∠CAB=∠EDF=120°，DE=AC，EF=BC=2OC，
∵点O为BC的中点
∴AO⊥BC，DO⊥EF，
∴∠OAD=∠BAC=60°，∠ADO=∠EDF=60°，
∴∠OAD=∠ADO=∠AOD=60°，
∴△ADO是等边三角形，故C不符合题意；
∴AD=AO=3，
∵∠ACO=90°-60°=30°，
∴AC=2AO=6，
∴，故B不符合题意；
∴，故A符合题意；
∵∠CDF=180°-∠EDF=180°-120°=60°，
∴∠CAO=∠CDF=60°，
∴AO∥DF，
∵AO⊥BC，
∴DF⊥OC，
∵∠DOC=90°-60°=30°，
∴∠DOC=∠DCO=30°，
∴DO=DC，
∴DF平分OC，
∴DF垂直平分OC，故D不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用等腰三角形的性质和旋转的性质可证得∠CAB=∠EDF=120°，DE=AC，EF=BC=2OC，同时可证得AO⊥BC，DO⊥EF，可求出∠OAD=∠ADO=∠AOD=60°，可证得△AOD是等边三角形，可对C作出判断；利用等边三角形的性质和30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AC的长，利用勾股定理求出OC的长，可得到EF的长，可对B、A作出判断；再证明AO∥DF，可推出DF⊥OC，可推出∠DOC=∠DCO=30°，利用等角对等边，可证得DO=DC，利用等腰三角形的性质可证得DF平分OC，可对D作出判断.
二、填空题
11．（2023八下·顺德期中）如图，绕点逆时针旋转得到，则　 　．
【答案】
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点O逆时针旋转得到，
∴
故答案为：.
【分析】根据旋转的性质，即可得出答案.
12．（2023八下·惠来期中）如图，一个含有30°角的三角板ABC，绕点B顺时针旋转到的位置，使A，B，在同一条直线上，则旋转角的度数为　 　.
【答案】120°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转性质可知：AB与A'B为旋转的对应边，旋转角为∠ABA'，∠ABC=A'BC'
∵ABC为含30°的直角三角形
∴∠ABC=60°=A'BC'
又∵A、B、C'三点共线
∴∠ABA'=180°-A'BC'=120°；
故答案为：120°.
【分析】根据旋转性质和含30°直角三角板即可解决问题.
13．（2023八下·清新期中）如图，在中，，，将绕点逆时针方向旋转到的位置，则图中阴影部分的面积是　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
∴AB=BC=2，
由旋转知△AB'C'≌△ABC，∠BAB'=60°，AB=AB'，
∴△ABB'是等边三角形，S△AB'C'≌S△ABC，
∴ 图中阴影部分的面积=△ABB'的面积+△AB'C'的面积-△ABC的面积=△ABB'的面积=·AB2=×22=；
故答案为：.
【分析】由旋转的性质可得△ABB'是等边三角形，S△AB'C'≌S△ABC，从而得出图中阴影部分的面积=△ABB'的面积+△AB'C'的面积-△ABC的面积=△ABB'的面积，据此即可求解.
14．（2023八下·深圳期中）如图，在中，，，，点P为边上任意一点，连接，以C为中心将按逆时针方向旋转得，连接，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】旋转的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】以AC为边作出等边三角形，并连接PH，如图：
∵∠ACB=90°，∠B=60°， BC=1，
∴∠BAC=30°，
∴AC=NC=，
∵△ACH是等边三角形，
∴AC=AH=CH=，∠ACH=∠CAH=60°，
∴∠BAH=30°，
∵以C为中心将按逆时针方向旋转得，
∴CP=CQ，∠PCQ=60°=∠ACB，
∴∠ACQ=∠PCH，
在△ACQ和△HCP中，
，
∴△ACQ≌△HCP（SAS），
∴AQ=PH，
当PH有最小值时，AQ有最小值，当PH⊥AB时，PH有最小值，
∵∠HAP=30°，
∴PH=AH=，
∴AQ的最小值为，
故答案为：.
【分析】以AC为边作出等边三角形，并连接PH，先证出△ACQ≌△HCP（SAS），可得AQ=PH，当PH有最小值时，AQ有最小值，当PH⊥AB时，PH有最小值，再求出PH=AH=，即可得到AQ的最小值为。
15．（2023八下·揭东期中）如图，等边三角形绕点旋转到的位置，且则旋转了　 　度．
【答案】150
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】在等边三角形中，有，
∵，
∴，
∴旋转角，
故答案为：150．
【分析】根据等边三角形的性质和垂直的定义可求得旋转角的度数。
三、作图题
16．（2023八下·龙岗期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出将△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）将△DEF绕点E逆时针旋转90°得到△D1EF1，画出△D1EF1；
（3）若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 　 　．
【答案】（1）作图如下：
（2）作图如下：
（3）（0，1）
【知识点】旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（2）根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； 故旋转中心在线段BE、CF的中垂线上； 由图象可知，该点的坐标为（0，1）．
【分析】（1）根据中心对称的性质分别确定点A、B、C关于原点O对称的点A1、B1、C1，再顺次连接即可 ；
（2）根据旋转的性质分别确定点D、F绕点E逆时针旋转90°后的对应点△D1、F1， 然后顺次连接即可；
（3）分别作出线段BE、CF的垂直平分线，两直线的交点即为旋转中心，根据位置写出坐标即可.
17．（2023八下·深圳期中）如图，在平面直角坐标中，的顶点坐标分别是．
（1）将以O为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
（2）将平移后得到，若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的；
（3）求线段的长度．
【答案】（1）解：图中 为所在图形：
（2）解：图中 为所在图形：
（3）解：由（1）与（2）可得 ， ，作 轴于点H，则 ， ， ，
根据勾股定理，得 ．
【知识点】勾股定理；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）利用勾股定理求出即可。
18．（2023八下·珠海期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）．
（ 1 ）先将竖直向上平移6个单位，再水平向右平移1个单位得到，请画出；
（ 2 ）将绕点顺时针旋转，得，请画出；
（ 3 ）求（2）中点旋转到点所经过的弧长（结果保留π）．
【答案】解：（ 1 ）如图， 为所作；
（ 2 ）如图， 为所作；
（ 3 ） ，
（2）中点 旋转到点 所经过的弧长 ．
【知识点】弧长的计算；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接标即可；
（2）利用旋转的性质找出点A1、B1、C1的对应点，再连接即可；
（3）利用弧长公式求出的长即可。
四、解答题
19．（2020八下·广州期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，∠DAE=45°，且BD=3，CE=4 ，求DE的长.
【答案】如图，因为 为等腰直角三角形，所以 .
所以把 绕点 旋转到 ，则 .
所以 .连结 .
所以 为直角三角形.
由勾股定理，得 .所以 .
因为 所以 .
所以 .
所以 .
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】把 绕点 顺时针旋转到 ，连接 ，根据等腰三角形的性质结合旋转的性质可得出 ， ，利用勾股定理可求出 的长度，由 ，结合 ， 即可证出 ，再根据等腰三角形的性质即可求出 的长度.
20．（2018八下·深圳期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，AC上，CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF. 若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°.
【答案】解：由旋转的性质得：∠DCF=90°∠DCE+∠ECF=90°∵∠ACB=90°∴∠DCE+∠BCD=90°∴∠ECF=∠BCD∵EF|DC，∴，∠EFC+∠DCF=180°∴，∠EFC=90°在△BDC和△EFC中∴△BDC≌△EFC(SAS)∴∠BDC=∠EFC=90°
【知识点】余角、补角及其性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】根据旋转的性质可得出∠DCE+∠ECF=90°，再根据同角的余角相等，可证得∠ECF=∠BCD，从而可证得∠EFC=90°，然后证明△BDC≌△EFC，利用全等三角形的性质，可证得结论。
21．（2019八下·合浦期中）如图，△ABC与△DEF关于点O对称，请你写出两个三角形中的对称点，相等的线段，相等的角．
【答案】解：对称点为：A和D、B和E、C和F；
相等的线段有AC=DF、AB=DE、BC=EF；
相等的角有：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F．
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】利用中心对称的定义及性质直接写出即可．
五、实践探究题
22．（2023八下·顺德期中）在几何学习过程中要善于抓住基本图形，将复杂问题转化为基本问题来研究．
（1）性质探究：如图，在中，，．
求证：．
（2）性质应用：在(1)中，将线段绕点逆时针旋转，使得点落在边的点，过点作交于点，若，连接，求的长．
（3）解决问题：如图，一艘船从观测点以海里时的速度航行小时到达灯塔处，在的正北方向有另一观测点，若测得，，求灯塔到观测点的距离．
【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接，
，，点是的中点，
，，
是等边三角形，
，
；
（2）解：如图，连接，
将线段绕点逆时针旋转，使得点落在边的点，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点作于，
海里，，，
海里，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
海里，
灯塔到观测点的距离为海里．
【知识点】旋转的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到：进而判断出是等边三角形，得到：即可得证；
（2）连接，根据旋转的性质得：，进而判断出是等边三角形，
（3）过点作于，根据题意求出AC的长度、的度数，进而求得CF的长度，根据角的数量关系求得：进而证明是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可求出灯塔到观测点的距离.
六、综合题
23．（2023八下·南海期中）如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，。
（1）求的度数；
（2）若，，求的长。
【答案】（1）解：∵将△BOC绕点C旋转得到△ADC，
∴OC=CD，∠OCB=∠DCA，
∴∠OCB+∠ACO=∠DCA+∠ACO，即∠ACB=∠DCO.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠DCO=60°，
∴△ODC为等边三角形，
∴∠ODC=60°.
（2）解：∵将△BOC绕点C旋转得到△ADC，OB=4，OC=5，
∴AD=OB=4，∠ADC=∠BOC=150°.
∵△OCD为等边三角形，
∴∠OD=OC=5.
∵∠ADC=150°，∠ODC=60°，
∴∠ADO=90°，
∴AO=.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得：OC=CD，∠OCB=∠DCA，结合角的和差关系可得∠ACB=∠DCO，由等边三角形的性质可得∠ACB=∠DCO=60°，推出△ODC为等边三角形，据此求解；
（2）由旋转的性质可得AD=OB=4，∠ADC=∠BOC=150°，根据等边三角形的性质可得∠OD=OC=5，由角的和差关系可得∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，然后利用勾股定理计算即可.
1 / 12024年北师大版数学八（下）期中专项复习7 图形的旋转与中心对称
一、选择题
1．（2023八下·顺德期中）把图中的五角星图案，绕着它的中心点进行旋转，若旋转后与自身重合，则至少旋转（　　）
A． B． C． D．
2．（2023八下·顺德期中）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．直角三角形
3．（2023八下·龙岗期中）如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了80°，小孩的位置也从A点运动到了B点，则∠OAB的度数为 （　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
4．（2023八下·惠来期中）下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023八下·佛冈期中）如图，要使此图形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心旋转的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2023八下·清新期中）如图，为正方形内一点，，将绕点逆时针旋转得到，则的长是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023八下·龙岗期中）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2023八下·龙岗期中）如图，是正内的一点，若将绕点旋转到，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．（2023八下·河源期中）教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标是中心对称图形的是（　　）
A．注意安全 B．急救中心
C．水深危险 D．禁止攀爬
10．（2023八下·河源期中）如图，在中，，，为的中点，将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在边上，点落在的延长线上，连接，，，若，则下列结论错误的是（　　）
A． B．
C．是等边三角形 D．垂直平分
二、填空题
11．（2023八下·顺德期中）如图，绕点逆时针旋转得到，则　 　．
12．（2023八下·惠来期中）如图，一个含有30°角的三角板ABC，绕点B顺时针旋转到的位置，使A，B，在同一条直线上，则旋转角的度数为　 　.
13．（2023八下·清新期中）如图，在中，，，将绕点逆时针方向旋转到的位置，则图中阴影部分的面积是　 　．
14．（2023八下·深圳期中）如图，在中，，，，点P为边上任意一点，连接，以C为中心将按逆时针方向旋转得，连接，则的最小值为　 　．
15．（2023八下·揭东期中）如图，等边三角形绕点旋转到的位置，且则旋转了　 　度．
三、作图题
16．（2023八下·龙岗期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出将△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）将△DEF绕点E逆时针旋转90°得到△D1EF1，画出△D1EF1；
（3）若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 　 　．
17．（2023八下·深圳期中）如图，在平面直角坐标中，的顶点坐标分别是．
（1）将以O为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
（2）将平移后得到，若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的；
（3）求线段的长度．
18．（2023八下·珠海期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）．
（ 1 ）先将竖直向上平移6个单位，再水平向右平移1个单位得到，请画出；
（ 2 ）将绕点顺时针旋转，得，请画出；
（ 3 ）求（2）中点旋转到点所经过的弧长（结果保留π）．
四、解答题
19．（2020八下·广州期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，∠DAE=45°，且BD=3，CE=4 ，求DE的长.
20．（2018八下·深圳期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，AC上，CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF. 若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°.
21．（2019八下·合浦期中）如图，△ABC与△DEF关于点O对称，请你写出两个三角形中的对称点，相等的线段，相等的角．
五、实践探究题
22．（2023八下·顺德期中）在几何学习过程中要善于抓住基本图形，将复杂问题转化为基本问题来研究．
（1）性质探究：如图，在中，，．
求证：．
（2）性质应用：在(1)中，将线段绕点逆时针旋转，使得点落在边的点，过点作交于点，若，连接，求的长．
（3）解决问题：如图，一艘船从观测点以海里时的速度航行小时到达灯塔处，在的正北方向有另一观测点，若测得，，求灯塔到观测点的距离．
六、综合题
23．（2023八下·南海期中）如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，。
（1）求的度数；
（2）若，，求的长。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：五角星能被从中心发出的射线平分为五等份，
∴最小的旋转度数为：
故答案为：C.
【分析】五角星能被从中心发出的射线平分为五等份，再由周角为360°，即可求出最小的旋转度数.
2．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、B、D、均找不到一个点，使它能绕着该点旋转180°，能够与原图形重合，故图形不是中心对称图形；
C、能找到一个点，使它能绕着该点旋转180°，能够与原图形重合，故该图形是中心对称图形；
故答案为：C.
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形叫作中心对称图形，逐项判断即可.
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ 秋千绕点O旋转了80°，小孩的位置也从A点运动到了B点 ，
∴∠AOB=80°，OB=AO，
∴∠OBA=∠OAB，
∴∠OAB=（180°-∠AOB）=50°；
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质可得∠AOB=80°，OB=AO，利用等边对等角可得∠OBA=∠OAB，根据三角形内角和定理即可求解.
4．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、即是中心对称图形又是轴对称图形，A错误；
B、是中心对称图形但不是轴对称图形，B正确；
C、是中心对称图形又是轴对称图形，C错误；
D、是中心对称图形又是轴对称图形，D错误；
故答案为：B.
【分析】考查中心对称图形及轴对称图形的基本概念：中心对称图形是绕着某一点旋转180°可以与原图形重合的图形；轴对称图形为沿着某条直线翻折，直线两侧图形可以完全重合的图形.
5．【答案】B
【知识点】旋转的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正六边形被平分成六部分，则每部分被分成的圆心角是60°，于是旋转60度的整数倍，就可以与自身重合，则α最小值为60度.
故答案为：B.
【分析】根据旋转对称图形的旋转角的概念即可求解.
6．【答案】D
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：在正方形中，∠BCD=90°，
由旋转知△CBE≌△CDP，
∴∠BCE=∠PCD，CE=PC=2，
∴∠PCE=∠PCB+∠BCE=∠PCD+∠BCE=∠BCD=90°，
∴PE=PC=2；
故答案为：D.
【分析】根据旋转的性质及正方形的性质可得△PCE为等腰直角三角形，可得PE=PC，据此即可求解.
7．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、属于中心对称图形，不属于轴对称图形，故不符合题意；
B、属于轴对称图形，不属于中心对称图形，故不符合题意；
C、属于轴对称图形，不属于中心对称图形，故不符合题意；
D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°.
∵将△PBC绕点B旋转到△P′BA，
∴∠PBC=∠P′BA，
∴∠PBP′=∠P′BP+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°.
故答案为：B.
【分析】由等边三角形的性质可得∠ABC=60°，根据旋转的性质可得∠PBC=∠P′BA，则∠PBP′=∠P′BP+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC，据此解答.
9．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图标不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、此图标是中心对称图形，故B符合题意；
C、此图标不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、此图标不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，再对各选项逐一判断.
10．【答案】A
【知识点】旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：∵AB=AC，将△ABC绕着点O顺时针旋转得到△DEF，
∴∠CAB=∠EDF=120°，DE=AC，EF=BC=2OC，
∵点O为BC的中点
∴AO⊥BC，DO⊥EF，
∴∠OAD=∠BAC=60°，∠ADO=∠EDF=60°，
∴∠OAD=∠ADO=∠AOD=60°，
∴△ADO是等边三角形，故C不符合题意；
∴AD=AO=3，
∵∠ACO=90°-60°=30°，
∴AC=2AO=6，
∴，故B不符合题意；
∴，故A符合题意；
∵∠CDF=180°-∠EDF=180°-120°=60°，
∴∠CAO=∠CDF=60°，
∴AO∥DF，
∵AO⊥BC，
∴DF⊥OC，
∵∠DOC=90°-60°=30°，
∴∠DOC=∠DCO=30°，
∴DO=DC，
∴DF平分OC，
∴DF垂直平分OC，故D不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用等腰三角形的性质和旋转的性质可证得∠CAB=∠EDF=120°，DE=AC，EF=BC=2OC，同时可证得AO⊥BC，DO⊥EF，可求出∠OAD=∠ADO=∠AOD=60°，可证得△AOD是等边三角形，可对C作出判断；利用等边三角形的性质和30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AC的长，利用勾股定理求出OC的长，可得到EF的长，可对B、A作出判断；再证明AO∥DF，可推出DF⊥OC，可推出∠DOC=∠DCO=30°，利用等角对等边，可证得DO=DC，利用等腰三角形的性质可证得DF平分OC，可对D作出判断.
11．【答案】
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点O逆时针旋转得到，
∴
故答案为：.
【分析】根据旋转的性质，即可得出答案.
12．【答案】120°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转性质可知：AB与A'B为旋转的对应边，旋转角为∠ABA'，∠ABC=A'BC'
∵ABC为含30°的直角三角形
∴∠ABC=60°=A'BC'
又∵A、B、C'三点共线
∴∠ABA'=180°-A'BC'=120°；
故答案为：120°.
【分析】根据旋转性质和含30°直角三角板即可解决问题.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
∴AB=BC=2，
由旋转知△AB'C'≌△ABC，∠BAB'=60°，AB=AB'，
∴△ABB'是等边三角形，S△AB'C'≌S△ABC，
∴ 图中阴影部分的面积=△ABB'的面积+△AB'C'的面积-△ABC的面积=△ABB'的面积=·AB2=×22=；
故答案为：.
【分析】由旋转的性质可得△ABB'是等边三角形，S△AB'C'≌S△ABC，从而得出图中阴影部分的面积=△ABB'的面积+△AB'C'的面积-△ABC的面积=△ABB'的面积，据此即可求解.
14．【答案】
【知识点】旋转的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】以AC为边作出等边三角形，并连接PH，如图：
∵∠ACB=90°，∠B=60°， BC=1，
∴∠BAC=30°，
∴AC=NC=，
∵△ACH是等边三角形，
∴AC=AH=CH=，∠ACH=∠CAH=60°，
∴∠BAH=30°，
∵以C为中心将按逆时针方向旋转得，
∴CP=CQ，∠PCQ=60°=∠ACB，
∴∠ACQ=∠PCH，
在△ACQ和△HCP中，
，
∴△ACQ≌△HCP（SAS），
∴AQ=PH，
当PH有最小值时，AQ有最小值，当PH⊥AB时，PH有最小值，
∵∠HAP=30°，
∴PH=AH=，
∴AQ的最小值为，
故答案为：.
【分析】以AC为边作出等边三角形，并连接PH，先证出△ACQ≌△HCP（SAS），可得AQ=PH，当PH有最小值时，AQ有最小值，当PH⊥AB时，PH有最小值，再求出PH=AH=，即可得到AQ的最小值为。
15．【答案】150
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】在等边三角形中，有，
∵，
∴，
∴旋转角，
故答案为：150．
【分析】根据等边三角形的性质和垂直的定义可求得旋转角的度数。
16．【答案】（1）作图如下：
（2）作图如下：
（3）（0，1）
【知识点】旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（2）根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； 故旋转中心在线段BE、CF的中垂线上； 由图象可知，该点的坐标为（0，1）．
【分析】（1）根据中心对称的性质分别确定点A、B、C关于原点O对称的点A1、B1、C1，再顺次连接即可 ；
（2）根据旋转的性质分别确定点D、F绕点E逆时针旋转90°后的对应点△D1、F1， 然后顺次连接即可；
（3）分别作出线段BE、CF的垂直平分线，两直线的交点即为旋转中心，根据位置写出坐标即可.
17．【答案】（1）解：图中 为所在图形：
（2）解：图中 为所在图形：
（3）解：由（1）与（2）可得 ， ，作 轴于点H，则 ， ， ，
根据勾股定理，得 ．
【知识点】勾股定理；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）利用勾股定理求出即可。
18．【答案】解：（ 1 ）如图， 为所作；
（ 2 ）如图， 为所作；
（ 3 ） ，
（2）中点 旋转到点 所经过的弧长 ．
【知识点】弧长的计算；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接标即可；
（2）利用旋转的性质找出点A1、B1、C1的对应点，再连接即可；
（3）利用弧长公式求出的长即可。
19．【答案】如图，因为 为等腰直角三角形，所以 .
所以把 绕点 旋转到 ，则 .
所以 .连结 .
所以 为直角三角形.
由勾股定理，得 .所以 .
因为 所以 .
所以 .
所以 .
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】把 绕点 顺时针旋转到 ，连接 ，根据等腰三角形的性质结合旋转的性质可得出 ， ，利用勾股定理可求出 的长度，由 ，结合 ， 即可证出 ，再根据等腰三角形的性质即可求出 的长度.
20．【答案】解：由旋转的性质得：∠DCF=90°∠DCE+∠ECF=90°∵∠ACB=90°∴∠DCE+∠BCD=90°∴∠ECF=∠BCD∵EF|DC，∴，∠EFC+∠DCF=180°∴，∠EFC=90°在△BDC和△EFC中∴△BDC≌△EFC(SAS)∴∠BDC=∠EFC=90°
【知识点】余角、补角及其性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】根据旋转的性质可得出∠DCE+∠ECF=90°，再根据同角的余角相等，可证得∠ECF=∠BCD，从而可证得∠EFC=90°，然后证明△BDC≌△EFC，利用全等三角形的性质，可证得结论。
21．【答案】解：对称点为：A和D、B和E、C和F；
相等的线段有AC=DF、AB=DE、BC=EF；
相等的角有：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F．
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】利用中心对称的定义及性质直接写出即可．
22．【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接，
，，点是的中点，
，，
是等边三角形，
，
；
（2）解：如图，连接，
将线段绕点逆时针旋转，使得点落在边的点，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点作于，
海里，，，
海里，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
海里，
灯塔到观测点的距离为海里．
【知识点】旋转的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到：进而判断出是等边三角形，得到：即可得证；
（2）连接，根据旋转的性质得：，进而判断出是等边三角形，
（3）过点作于，根据题意求出AC的长度、的度数，进而求得CF的长度，根据角的数量关系求得：进而证明是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可求出灯塔到观测点的距离.
23．【答案】（1）解：∵将△BOC绕点C旋转得到△ADC，
∴OC=CD，∠OCB=∠DCA，
∴∠OCB+∠ACO=∠DCA+∠ACO，即∠ACB=∠DCO.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠DCO=60°，
∴△ODC为等边三角形，
∴∠ODC=60°.
（2）解：∵将△BOC绕点C旋转得到△ADC，OB=4，OC=5，
∴AD=OB=4，∠ADC=∠BOC=150°.
∵△OCD为等边三角形，
∴∠OD=OC=5.
∵∠ADC=150°，∠ODC=60°，
∴∠ADO=90°，
∴AO=.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得：OC=CD，∠OCB=∠DCA，结合角的和差关系可得∠ACB=∠DCO，由等边三角形的性质可得∠ACB=∠DCO=60°，推出△ODC为等边三角形，据此求解；
（2）由旋转的性质可得AD=OB=4，∠ADC=∠BOC=150°，根据等边三角形的性质可得∠OD=OC=5，由角的和差关系可得∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，然后利用勾股定理计算即可.
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