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(共20张PPT)
4.1.2 实数指数幂
幂函数
整数指数幂，当时，an= ；
规定当时，a0 = ；a-n = ；
分数指数幂：= ； 时，= ．
其中 且n＞1．当n为奇数时，；当n为偶数时，a＞1．
知识再现
知识再现
问题
1.将下列各根式写成分数指数幂：
(1) ； （2）．
2． 将下列各分数指数幂写成根式：
(1) ； （2）．
拓展
整数指数幂的运算法则为：
（1）
（2）
（3）
其中（ ）
动脑筋
归纳 运算法则同样适用于有理数指数幂的情况．
学习新知
概念
当p、q为有理数时，有
；
；
．
运算法则成立的条件是，出现的每个有理数指数幂都有意义．
说明 可以证明，当p、q为实数时，上述指数幂运算法则也成立．
练习
1．计算下列各式的值:
(2) ；
(1)
分析 （1）题中的底为小数，需要首先将其化为分数，有利于运算法则的利用；
解 （1）====
练习
1．计算下列各式的值:
(2) ；
(1)
分析 （2）题中，首先要把根式化成分数指数幂，然后再进行化简与计算．
解 =====
说明 （2）题中，将9写成，将6写成，使得式子中只出现两种底，方便于化简及运算．这种尽可能将底的化同的做法，体现了数学中非常重要的“化同”思想．
练习
2． 化简下列各式：
(1) ; (2) ;
(3);
分析 化简要依据运算的顺序进行，一般为“先括号内，再括号外；先乘方，再乘除，最后加减”，也可以利用乘法公式．
练习
2． 化简下列各式：
(1) ; (2) ;
(3);
练习
2． 化简下列各式：
(1) ; (2) ;
(3);
说明 作为运算的结果，一般不能同时含有根号和分数指数幂．（3）题的结果也可以写成 ，但是不能写成 ，本章中一般不要求将结果中的分数指数幂化为根式．
强化练习
1．计算下列各式：
(1) ;
(2) ;
2．化简下列各式：
(1) ;
(2);
(3)
知识再现
问题
观察函数 、 、，回忆三个函数的图像和相关性质．
探究
由于 ，，故这三个函数都可以写成（）的形式．
学习新知
概念
一般地，形如（）的函数叫做幂函数．其中指数为常数，底为自变量．
练习
分析 首先分别确定各函数的定义域，然后再利用“描点法”分别作出它们的图像．
1． 指出幂函数和的定义域，并在同一个坐标系中作出它们的图像．
解 函数的定义域为，函数的定义域为．分别设值列表如下：
… 2 1 0 1 2 …
… 8 1 0 1 8 …
0 1 4 9 …
0 1 2 3 …
练习
1． 指出幂函数和的定义域，并在同一个坐标系中作出它们的图像．
解（续上页） 以表中的每组的值为坐标，描出相应的点，再用光滑的曲线依次联结这些点，分别得到函数和函数的图像，如右图所示.
总结 这两个函数的定义域不同,在定义域内它们都是增函数．两个函数的图像都经过坐标原点和点(1,1)．
练习
解 .由分析过程知道函数为偶函数．在区间内，设值列表如下：
x … 1 2 …
y … 4 1 …
分析 考虑到=，因此定义域为，由于，故函数为偶函数．其图像关于y轴对称，可以先作出区间内的图像，然后再利用对称性作出函数在区间内的图像．
练习
解（续上页）
总结 这个函数在内是减函数；函数的图像不经过坐标原点，但是经过点(1,1)．
一般地，幂函数具有如下特征：
(1) 随着指数取不同值，函数的定义域、单调性和奇偶性会发生变化；
(2) 当时，函数图像经过原点(0,0)与点(1,1)；当时，函数图像不经过原点(0,0)，但经过(1,1)点．
思维延伸
强化练习
1．用描点法作出幂函数的图像
并指出图像具有怎样的对称性
2．用描点法作出幂函数的图像
并指出图像具有怎样的对称性
小结
本次课学了哪些内容？
重点和难点各是什么？
作业：(1)书面作业：；
(2)实践调查：了解常见幂函数的性质特点．

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