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§1.5 充要条件
复习
全集：一般地，如果我们所研究的集合涉及的全部
元素都属于集合U，那么这个集合U叫做全
集。
补集：如果A是全集U的一个子集，由U中不属于A
的所有元素组成的集合叫做集合A在全集U
中的补集. 记作 UA，读作“A在U中的补集”.
U
A
复习提问
1、已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，
A={2，4}， B={1，2，5}，
则 UA= ，
UB= .
{1，3，5，6，7，8}
{3，4， 6，7，8}
命题的概念
命题：判断一件事情的语句叫做命题。
这说明了命题是一个判断句，判断“是”或“非”。
如: (1) 长度相等的两条线段是相等的两条线段.
(2) 画两条长度相等的线段.
(3) 长度相等的两条线段相等吗？
∵是判断句，∴是命题
∵是描述句，∴不是命题
∵是疑问句，∴不是命题
命题的结构
一个命题都是由其“题设”和“结论”两部分构成的.
(1)题设：是已知事项，常写为：“如果······”
(2)结论：由题设推出的事项，常写为：“那么······”
例如：
①对顶角相等，可写为：
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
②同角的补角相等，可写为：
如果两个角是同一个角的补角, 那么这两个角
相等.
命题的真假性
命题有真有假。
正确的命题叫真命题。
错误的命题叫假命题。
例如：
1、凡是猫都是四足动物。
凡是四足动物都是猫。
2、是人就有两条腿。
有两条腿的是人。
3、对顶角相等。
相等的角是对顶角。
真命题
假命题
真命题
假命题
真命题
假命题
充分条件、必要条件
1、充分条件：一般地，若命题“如果p, 那么q”是正确的,
即p q, 那么我们就说p是q的充分条件.
2、必要条件：一般地，若命题“如果p, 那么q”是正确的,
即p q, 那么我们就说q是p的必要条件.
例如：命题“如果x=1, 那么x2=1”是正确的,即x=1 x2=1,
因此， “x=1”是“x2=1”的充分条件;
“x2=1”是“x=1”的必要条件.
例题1
例1、用“充分条件”或“必要条件”填空：
(1)、由于命题“如果a是有理数，那么a是实数”是正
确的，因此“a是有理数”是“a是实数”的 ,
“a是实数”是“a是有理数”的 .
(2)、由于命题“梯形一组对边平行”是正确的，因此
“四边形一组对边平行”是“四边形是梯形”的 ,
“四边形是梯形”是“四边形一组对边平行”的 .
充分条件
必要条件
必要条件
充分条件
练习1
1、用“充分条件”或“必要条件”填空：
(1)、由于命题“如果x＞5，那么x＞3”是正确的，因
此“x＞5”是“x＞3”的 , “x＞3”是“x＞5”
的 .
(2)、由于命题“正方形是平行四边形”是正确的, 因此
“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的 ,
“四边形是正方形”是“四边形是平行四边形”的 .
充分条件
必要条件
必要条件
充分条件
例题2
例2、根据下列各组条件，判断命题“如果p, 那么q”是否是真命题，若是真命题，请指出p是q的什么条件, q是p的什么条件.
(1) p: a=b; q: |a| = |b|.
(2) p: 三角形的三条边相等; q: 三角形的三个角相等.
解: 命题“如果a=b，那么|a| = |b| ”是正确的，所以“如
果p, 那么q”是真命题, 即p q, 因此 p是q充分
条件, q是p的必要条件.
解: 命题“如果三角形的三条边相等，那么三角形的
三个角相等”是正确的，所以“如果p, 那么q”是真
命题, 即p q, 因此 p是q充分条件, q是p的必
要条件.
练习2
1、下列各组条件中, “如果p, 那么q”是否是真命题 若是
真命题，请指出p是q的什么条件, q是p的什么条件.
(1) p: a=2, b=3; q: a+b = 5
(2) p: x－1=0; q: x2－1=0.
解: 命题“如果a=2, b=3, 那么a+b=5 ”是正确的, 所以
“如果p, 那么q”是真命题, 即p q, 因此 p是q充
分条件, q是p的必要条件.
解: 命题“如果x－1=0, 那么x2－1=0 ”是正确的, 所以
“如果p, 那么q”是真命题, 即p q, 因此 p是q充
分条件, q是p的必要条件.
练习3
(3) p: a和b都是偶数; q: a+b 是偶数.
(4) p: x是2的倍数; q: x是6的倍数.
解: 命题“如果a和b都是偶数, 那么a+b 是偶数”是正确的,
所以 “如果p, 那么q”是真命题, 即p q, 因此 p是q
充分条件, q是p的必要条件.
解: 命题“如果x是2的倍数, 那么x是6的倍数”是不正确的,
所以 “如果p, 那么q”是假命题,
探究
1、“如果两条直线平行，那么同位角相等”是否是
真命题？
2、“如果同位角相等，那么两条直线平行”是否是
真命题？
真命题
真命题
对于这样的两个命题，如果把其中的一个命题作为原命题，那么原命题是真命题，逆命题也是真命题。
充要条件
一般地，如果p既是q的充分条件，又是q的必要条件,我们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件，也称p与q是等价的，或称p等价于q，记作p q.
例如：“三角形的三条边相等” 是“ 三角形的三个角相等”的充要条件.
例题3
例3、下列各组条件中, p是q的什么条件？
(1) p: x－2=0; q: (x－2)(x－3)=0.
(2) p: a=b; q: a－b=0.
(3) p: x＞3; q: x＞5.
(4) p: △ABC中, ∠C=90°; q: △ABC中, a2+b2=c2.
解: (1) p q, 但q p, 故p是q的充分而不必要条件.
解: (2) p q, 但q p, 故p是q的充要条件.
解: (3) p q, 但q p, 故p是q的必要而不充分条件.
解: (4) p q, 但q p, 故p是q的充要条件.
练习4
1、用符号“ ”、“ ”或“ ”.
(1) x＞0且y＞0 xy＞0;
(2) ab=0 a=0;
(3) x2=4 x=±2.
2、下列各组条件中, p是q的什么条件？
(1) p: 四边形四边相等; q: 四边形为正方形.
(2) p: m为无理数; q: m为实数.
(3) p: A∪B=A; q: B A.
解: (1)q p, p是q的必要而不充分条件.
解: (2) p q, p是q的充分而不必要条件.
解: (3) p q, p是q的充分而不必要条件.
练习5
1、设p是q的充要条件，r是q的充分而不必要条件，则p是
r的( )
A、充分而不必要条件
B、必要而不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
B
练习6
1、下列各组条件中, p是q的什么条件？
(1) p: a=2; q: a＞－1.
(2) p: 整数a能够被5整除;
q: 整数a的末位数字是0或5.
(3) p: 两个角相等; q: 两个角是对顶角.
(4) p: |x| = |y|; q: x2=y2.
解: (1) p是q的充分而不必要条件.
解: (2) p是q的充要条件.
解: (3) p是q的必要而不充分条件.
解: (4) p是q的充要条件.
练习7
1、用“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”填空:
(1) “a和b是偶数”是“a+b是偶数”的 ;
(2) “两个角是对顶角”是“两个角相等”的
(3) “两个三角形三条边对应相等”是“两个三角
形全等”的
(4) “x－1=0”是“x2－1=0”的
(5) “a+b=5”是“a=2, b=3”的
(6) “x≠3”是“ |x| ≠3”的
(7) “x=0且y=0”是“x2+y2=0”的
充分条件
充分条件
充要条件
充分条件
必要条件
必要条件
充要条件
练习8
1、下列各组条件中, p是q的什么条件？
(1) p: (x－2)(x－3)=0 ; q: x－2=0.
(2) p: 同位角相等; q: 两直线平行.
(3) p: x=3; q: x2=9.
(4) p: 四边形的对角线相等; q: 四边形是平行四边形.
解: (1) p是q的必要条件.
解: (2) p是q的充要条件.
解: (3) p是q的充分条件.
解: (4) 假命题, 既不充分也不必要.
练习9
1、“m＜0.25”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”
的( )
A、充分而非必要条件
B、必要而非充分条件
C、充要条件
D、既非充分也非必要条件
A
练习10
1、三个实数a, b, c不全为0的充要条件是( )
A、a, b, c都不是0
B、 a, b, c中至多有一个是0
C、 a, b, c中只有一个是0
D、 a, b, c中至少有一个不是0
2、a, b为实数，则a2 ＞b2的充分必要条件为( )
A、|a|＞|b| B、a＞b
C、a＜b D、a＞－b
D
A
练习11
1、在△ABC中“cosA=0.5”是“A=60°”的( )
A、充分而非必要条件
B、必要而非充分条件
C、充要条件
D、既非充分也非必要条件
2、集合A={x | x＞1}, B={x | x＜2}, 则“x∈A或x∈B”是“x
∈A∩B”的 .
C
必要条件

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