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2023—2024学年下期期中考试
七年级数学
（时间：100分钟，满分：120分）
一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟990．而麒麟990的晶体管栅极的宽度达到了毫米，将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，直线、交于点平分，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
4．已知一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．下列图形中，由，能得到的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列四种割拼方法，其中能够验证平方差公式的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．下列说法：①两点之间线段最短；②同角的余角相等；③相等的角是对顶角；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．一年365天，天安门广场的升旗仪式与太阳的节奏同步，唤醒一座城市的梦，唤醒一个国家的清晨．当升旗手匀速升旗时，旗子的高度（米）与时间（分）这两个变量之间的关系用图象可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，将长方形的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为24，面积之和为12，则长方形的面积为（ ）
A．4 B． C．5 D．6
10．如图1，四边形是长方形，点P从边上点E出发，沿直线运动到长方形内部一点处，再从该点沿直线运动到顶点B，最后沿运动到点C，设点P运动的路程为x，的面积为y，图2是y关于x变化的函数图象．根据图象下列判断不正确的是（ ）

A．
B．点E为的中点
C．当时，的面积为6
D．当时，长度的最小值为1
二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．若式子无意义，则实数x的值为 ．
12．计算 ．
13．计算：(－ab2)3÷(－0.5a2b) = .
14．若中不含的一次项，则的值为
15．如图，直角和直角中，，，，点D在边上，将绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边恰好与边平行．
三．解答题（本大题共8小题，共75分）
16．计算：
(1)；
(2)．（用乘法公式计算）
17．先化简，再求值：，其中，
18．已知：如图，点E在上，，，垂足分别为D、F，点M、G在上，，．
求证：．
小勇在做上面这道题时用了以下推理过程．请帮他在横线上填写结论，在括号内填写推理依据．
证明：∵，，垂足分别为D、F（已知）．
∴，（____________）．
∴（等量代换）．
∴____________（同位角相等，两直线平行）．
∴（________________________）．
∵（已知）．
∴（____________）．
∴____________（________________________）．
∵（已知）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（____________）．
∴（________________________）．
19．苏老师非常喜欢自驾游，他为了了解新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到了下表中的数据：
行驶的路程 0 100 200 300 400 …
油箱中的剩余油量 50 42 34 26 18 …
(1)在这个问题中，自变量是______，因变量是______；
(2)该轿车油箱的容量为______L，行驶时，油箱中的剩余油量为______L；
(3)苏老师将油箱加满后驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时油箱中的剩余油量为，请求出A，B两地之间的距离．
20．如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横两竖，宽度均为b米的通道．
(1)通道的面积共有多少平方米？
(2)若，剩余草坪的面积是216平方米，求出通道的宽度．
21．微专题探究学习：《面积与完全平方公式》
如图1，阴影部分是一个边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形和两个宽为b的长方形之后所剩余的部分．

(1)①图1中剪去的长方形的长为________，宽为________．
②用两种方式表示阴影部分的面积为________或________．
由此可以验证的公式为________________．
(2)如图2，分别表示边长为a，b的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，若，求图中阴影部分的面积．
22．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为s（km）与甲行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示．
(1)以下是点M、点N、点P所代表的实际意义，请将M、N、P填入对应的括号里．
①甲到达终点 ②甲乙两人相遇 ③乙到达终点
(2)AB两地之间的路程为 千米：
(3)求甲、乙各自的速度；
(4)甲出发多长时间后，甲、乙两人相距180千米？
23．如图1，已知点D是内部一点，交于点E．

(1)尺规作图；作出射线，使得，交直线于点F；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)请你直接写出与的数量关系：____________．
(3)如图2，定理：在直角三角形中，，如果，那么它所对的边等于的一半．请同学们借助上述定理内容完成下面的任务：
如图1，若，，，点P从点F出发，沿的路线运动，到点D停止，点P的速度为，运动时间为t秒，当的面积为时，请求出t的值．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：．
故选：B
2．C
【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂除法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A．，原式计算错误，不符合题意；
B．，原式计算错误，不符合题意；
C．，原式计算正确，符合题意；
D．，原式计算错误，不符合题意．
故选：C．
3．D
【分析】本题考查的是邻补角的概念、角平分线的定义．根据邻补角的概念求出，根据角平分线的定义求出，再根据邻补角的概念计算，得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查补角、余角的概念，运用补角、余角概念列方程是解决问题的关键．设这个角为，依据题意列方程求解．
【详解】解：设这个角为，则它的余角为，补角为据题意得方程：
；
解得；
故选：C．
5．D
【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可得出答案．
【详解】解：A. 由，不能得到，此选项不符合题意；
B. 由，得到，不能得出，此选项不符合题意；
C. 由，不能得到，此选项不符合题意；
D. 由，能得到，此选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
6．A
【分析】图①：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为、宽为）的面积即可得；图②：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得；图③：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为、宽为）的面积即可得；图④：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得．
【详解】解：图①：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分面积为，
则有；
图②：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分是一边长为，这条边上的高为的平行四边形，其面积为，
则有；
图③：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分面积为，
则有；
图④：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分是一边长为，这条边上的高为的平行四边形，其面积为，
则有；
综上，能够验证平方差公式的有4个，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握各图形的面积之间的联系是解题关键．
7．C
【分析】本题考查了两点之间线段最短，同角的余角相等，对顶角，垂线段最短，是基础概念题．熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：①两点之间线段最短，正确，
②同角的余角相等，正确，
③相等的角是对顶角，错误，
④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确，
故选：C
8．B
【分析】利用用图像表示变量间关系的方法解答即可．
【详解】解∶∵升旗手匀速升旗，
∴高度h将随时间t的增大而变增大，且变化快慢相同，
∴应当用上升趋势的直线型表示，
∴只有B符合题意，
故选∶B．
【点睛】本题考查了用图象表示的变量间关系，根据题意明确因变量随自变量变化的趋势是解题的关键．
9．B
【分析】本题考查了完全平方公式的意义和应用，将完全平方公式变形得，即可求出答案．
【详解】设长方形ABCD的边，，
根据题意可知，，
即，，
，
即长方形ABCD的面积为，
故选：B．
10．D
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，三角形面积的相关计算，垂线段最短，在解题时根据函数的图象求出有关的线段的长度，分析各个选项即可得到答案．
【详解】解：由题意知，当P与B重合时，，最大，
当点P在上运动，逐渐减小，直至P与C重合时，则，
，的最大值，
，A正确；
由函数图象可知，当时，的面积始终为12，
设边的高为h，
此时，
如图，点P在上，
，，
，
点E是的中点，B正确；
点E是的中点，，
，
当时，，C正确；
点P从的中点出发，作，，连接，

则，，
，
，
当时，长度的最小值为，
D错误．
故选：D．
11．2
【分析】本题考查了零指数幂，掌握中是解题关键．根据零指数幂的意义可得时，无意义，即可求解．
【详解】解：式子无意义，
，
，
故答案为：2．
12．1
【分析】把原式变形为，再利用平方差公式计算即可得到答案，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【详解】解：
故答案为：1
13．
【分析】先计算积的乘方，再计算单项式除单项式即可.
【详解】(－ab2)3÷(－0.5a2b)
故答案为：
【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握积的乘方、同底数幂的除法的运算法则是解题的关键.
14．－8
【分析】首先利用多项式乘法法则计算出（x2﹣x+m）（x﹣8），再根据积不含x的一次项，可得含x的一次项的系数等于零，即可求出m的值．
【详解】解：（x2﹣x+m）（x﹣8）
=x3﹣8x2﹣x2+8x+mx﹣8m
=x3﹣9x2+（8+m）x﹣8m，
∵不含x的一次项，
∴8+m=0，
解得：m=﹣8．
故答案为﹣8．
【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，注意不含某一项就是说含此项的系数等于0．
15．20或56
【分析】本题考查了平行线的判定，平行线的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
作出图形，分①两三角形在点O的同侧时，设与相交于点E，根据两直线平行，同位角相等可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，然后求出旋转角，再根据每秒旋转列式计算即可得解；②两三角形在点O的异侧时，延长与相交于点E，根据两直线平行，内错角相等可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，然后求出旋转角度数，再根据每秒旋转列式计算即可得解．
【详解】解：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设与相交于点E，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴旋转角，
∵每秒旋转，
∴时间为秒；
②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长与相交于点E，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴旋转角为，
∵每秒旋转，
∴时间为秒；
综上所述，在第20或56秒时，边恰好与边平行．
故答案为：20或56．
16．(1)6
(2)400
【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方，完全平方公式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方进行计算即可求解；
（2）根据完全平方公式进行计算即可求解；
【详解】（1）
；
（2）
．
17．；
【分析】此题考查了整式的混合运算 化简求值，原式括号中利用完全平方公式，平方差公式计算，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
；
当，时，原式
18．见解析
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
根据平行线的判定得到，等量代换得到，根据平行线的判定定理得到，证得，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】证明：∵，，垂足分别为D、F（已知）．
∴，（垂直的定义）．
∴（等量代换）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
∵（已知）．
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
∵（已知）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
19．(1)；
(2)50，38
(3)A、B两地之间的距离为
【分析】（1）通过观察统计表可知：轿车行驶的路程是自变量，油箱剩余油量是因变量;
（2）由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，据此可得答案；
（3）由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，据此可得Q与s的关系式，把代入函数关系式求得相应的s值即可.
【详解】（1）解：上表反映了轿车行驶的路程和油箱剩余油量之间的关系，其中轿车行驶的路程是自变量，油箱剩余油量是因变量;答：A，B两地之间的距离为.
（2）解：由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，
据此可得Q与s的关系式为，
当时，
，
故答案是：50，38;
（3）解：（3）由（2）得,
当时，得，
解得.
答：A、B两地之间的距离为.
【点睛】此题考查了函数的有关概念，解决问题的关键是能够根据统计表提供的信息，解决有关的实际问题.
20．(1)
(2)2米
【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，平移的性质，把通道都平移到一个顶点附近，使剩余的面积为一个长方形是解题的关键．
（1）先把通道都平移到一个顶点附近，使剩余的面积为一个长方形，再根据长方形的面积公式求得剩余草坪的面积，
（2）根据，剩余草坪的面积是216平方米，列出方程求解即可．
【详解】（1）
；
（2）∵，剩余草坪的面积是216平方米，
∴，
即，
解得：（负值舍去），
即通道的宽度是2米．
21．(1)①，b；②；；
(2)12
【分析】（1）①根据题意结合图形即可得到答案；②根据阴影部分面积是一个边长为的正方形面积，阴影部分面积等于大正方形面积减去两个长方形面积再减去一个小正方形面积，据此表示出阴影部分面积即可得到答案；
（2）根据题意可得，进而根据完全平方公式的变形求出，进而求出阴影部分面积即可．
【详解】（1）解：①由题意得，图1中剪去的长方形的长为，宽为b，
故答案为：，b；
②阴影部分面积是一个边长为的正方形面积，即，
阴影部分面积等于大正方形面积减去两个长方形面积再减去一个小正方形面积，即，
∵两种表示方法的面积相等，
∴，
故答案为：；；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解题意并熟知完全平方公式是解题的关键．
22．(1)P；②M；③N．
(2)240．
(3)甲的速度是40千米/时，乙的速度是80千米/时．
(4)h或
【分析】（1）甲到达终点时S应该最大，因为甲的速度小；甲乙两人相遇时S为0；乙到达终点时S不算最大，因为此时甲还没有到达终点．据此三点可得答案．
（2）（1）中S的最大值即为AB两地之间的路程．
（3）由（1）可得甲、乙的行驶时间，再根据速度=路程÷时间可以得到求解．
（4）根据路程差÷速度=时间差可以得解．
【详解】（1）由分析可知P为甲到达终点时，M为甲乙两人相遇时，N为乙到达终点时．
故答案为：①P；②M；③N；
（2）根据函数图象和图象中的数据可知甲、乙两人间的最大距离为240千米，所以AB两地之间路程为240千米．
故答案为：240；
（3）由（1）可得甲、乙的行驶时间分别为6h和3h，
所以甲的速度是：240÷6=40 km/h，乙的速度是：240÷3=80km/h；
（4）①相遇之前：（240﹣180）÷（40+80）=（小时）
②相遇之后：3+(180-120)÷40=（小时）．
故答案为： h或
【点睛】本题考查函数图象在实际问题中的应用，正确理解图象各点意义、熟练把握行程问题各量的等量关系是解题关键．
23．(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）尺规作即可；
（2）由可得，再结合（1）即可推得结论；
（3）根据题意分两种情况讨论：当点P在线段上时和点P在线段上，过点P作于点Q，根据题意求出，然后利用勾股定理和含角直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）如图，作，射线即为所求；

（2）∵，
∴，
∵，
∴；
（3）如图所示，当点P在线段上时，过点P作于点Q

∵的面积为
∴，即
解得
∵
∴
∴
∴；
当点P在线段上时，

同理可得，
∴点P运动的路程为
∴．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了基本的尺规作图以及平行线的判定和性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键．

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