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河北区2023—2024学年度九年级总复习质量检测（一）
数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷（选择题共36分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必先将自己的姓名、考生号等，用蓝、黑色墨水的钢笔（签字笔）或圆珠笔填在“答题卡”上；用2B铅笔将考生号对应的信息点涂黑．
2．答案答在试卷上无效．每小题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号的信息点．
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．计算的结果等于
A．8 B．-8 C．6 D．-6
2．估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
3．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下图是一个由四个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．将用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
6．的值等于（ ）
A． B． C． D．
7．计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
8．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．若是方程的两根，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
10．如图，在中，，任取一点O，使点O和点A在直线的两侧，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P，连接，所在直线交于点D．若的长为3，则的长为（ ）
A．3 B． C．6 D．
11．如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点E，F，，连接，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，是一块菱形新型平面材料，，，点E在上，且垂直于，先沿着切开材料，然后在四边形内切割出一块矩形，且矩形相邻两边落在，上，一个顶点落在边上．设边上矩形的边长为，矩形的面积为．有下列结论：①y与x之间的函数关系式为：；②当时，切割出矩形后，四边形剩余的面积为；③若切割出的矩形材料用于某种生产时，售价为元/，则当时，出售此块矩形材料的总价最大，最大值为元．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
第Ⅱ卷（非选择题共84分）
注意事项：
第Ⅱ卷共5页，用蓝、黑色墨水的钢笔（签字笔）或圆珠笔答在试卷后面的答题纸上，答案答在试卷上无效．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
13．不透明的袋子中装有10个球，其中有5个红球、3个绿球、2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为 ．
14．计算： ．
15．计算的结果为 ．
16．若直线向上平移3个单位长度后经过点，则m值为 ．
17．如图，在边长为6的正方形中，点M为的中点，点E在上，，等腰三角形中，．
（1）的面积为 ；
（2）若N为的中点，则的值为 ．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点M和点N是格点，内接于圆，且直角顶点A在格点上，顶点B在线段上，且．
（1）线段的长为 ；
（2）若点P在圆上，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点Q，使圆周角，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ．
三、解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
19．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得______；
(2)解不等式②，得______；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为______．
20．4月23日是世界读书日，某学校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了一部分八年级学生最近一周的读书时间，并进行了统计，绘制出如下统计图①和图②．
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生人数为______，图①中m的值为______；
(2)求本次调查的这组数据的平均数、众数和中位数；
(3)若学校有3000名学生，试估计读书时间不少于9小时的学生有多少人？
21．在中，点A，点B，点P在圆上，．
(1)如图①，P为弦所对的优弧上一点，半径经过弦的中点M，求和的大小；
(2)如图②，P为弦所对的劣弧上一点，，过点B作的切线，与的延长线相交于点D，若，求的长．
22．某校综合与实践活动中，要利用测角仪测量一建筑物的高度．如图，在建筑物与教学楼之间的操场上取一观测点C，点E，点C，建筑物底部A在同一条水平直线上，已知观测点C至教学楼出口E的距离．某组同学在观测点C处分别测得建筑物楼顶B的仰角为，教学楼顶D的仰角为，在教学楼顶D处测得建筑物底部A的俯角为．
(1)求教学楼的高；
(2)设建筑物的高度为h（单位：m）．
①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）；
②求建筑物的高度（取，取，取，结果取整数）．
23．已知小王家、图书馆、体育场依次在同一条直线上，体育场离小王家，图书馆离小王家．小王从家出发，先用了匀速骑共享单车去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到图书馆读书，在图书馆读书后，用了匀速散步回家．下面图中x表示时间，y表示小王离家的距离．图象反映了这个过程中小王离家的距离y与时间x之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
小王离家的时间 10 20 40 160
小王离家的距离 3.6
②填空：小王从体育场到图书馆的速度为______ ；
③当时，请直接写出小王离家的距离y关于时间x的函数解析式；
(2)当小王离开图书馆时，小王的哥哥从体育场出发匀速骑共享单车直接回他们的家，如果小王的哥哥的速度为，那么小王的哥哥在回家的途中遇到小王时离他们家的距离是多少？（直接写出结果即可）
24．在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，，；等边的顶点，点E是的中点．
(1)填空：如图①，点C的坐标为______，点Q的坐标为______；
(2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点E，P，Q的对应点分别为，设，等边与矩形重叠部分面积记为S．
①如图②，当边与相交于点M，边与相交于点N，点在点的左侧且矩形与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
25．已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，若C点坐标为，对称轴为
(1)求抛物线顶点P和点A的坐标；
(2)点D为y轴上一点，连接，，若将沿所在直线翻折，点B的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求D点坐标；
(3)抛物线上点M在直线上方，过M作的垂线交线段于点N，过N点向y轴作垂线，垂足为Q，求的最小值．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据有理数乘法法则直接计算即可．
【详解】解：原式．
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是有理数的运算，属于容易题.失分的原因是没有掌握有理数的乘法法则．
2．D
【分析】估算的近似值，即可得到在哪两个整数之间．
【详解】解：∵，即 ，
∴在整数4与整数5之间．
故选：D．
【点睛】本题考查无理数的估算能力，理解算术平方根的意义是解决问题的关键．
3．A
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键．
根据轴对称图形的定义求解作答即可．
【详解】解：由题意知，A是轴对称图形，故符合要求；
B、C、D不是轴对称图形，故不符合要求；
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握主视图是从正面看到的图形是解题的关键．
根据主视图是从正面看到的图，即可解答．
【详解】解：该立体图形的主视图为：
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值．
根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1．
【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，，
∴用科学记数法表示为，
故选：C．
6．B
【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，根据60度和30度角的正切值分别为和进行求解即可．
【详解】解：．
故选：B．
7．D
【分析】本题考查分式的加减法，掌握分式加减的计算方法是解题的关键．
利用平方差公式，将原式通分并化简即可．
【详解】解：
故选：D．
8．B
【分析】本题考查了反比例函数的性质，把代入，分别算出的值，即可作答．
【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上，
∴把分别代入
∴
∴
故选：B
9．A
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．熟练掌握：是的两根，则，是解题的关键．
由题意知，，，然后代值求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：A．
10．D
【分析】本题考查了作垂直平分线，正切等知识．熟练掌握作垂直平分线，正切是解题的关键．
由作图可知，是的垂直平分线，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
故选：D．
11．C
【分析】若得到，进而判定A选项；证明出，得到，进而判定B选项；证明出，得到，进而判定C选项；若，在中，得到，进而判断D选项．
【详解】解：由题知，
若，
根据可得出，
所以旋转的角度为，
而旋转的角度是不确定的．
故A选项不符合题意．
由旋转可知，，
又因为，
所以可得出，．
若，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以四边形是平行四边形，
又因为，
所以四边形是菱形，
所以，
而与不一定相等．
故B选项不符合题意．
由旋转可知，，，
因为，
所以．
在和中，
，
所以，
所以．
故C选项符合题意．
若，
则．
因为，
所以．
在中，
，
所以，
则，
所以是等边三角形，
则，
所以，
而的度数不确定．
故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查旋转的性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定，菱形的性质和判定等知识，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
12．C
【分析】本题考查函数模型的实际应用，熟练掌握根据题意得到函数的解析式是解题的关键，设，，易得，在中，，即可得到的取值范围；由①得， 易得，，故当时，，即可得到裁剪矩形后四边形为剩余的面积；③设此块布料的出售总价为元，由题可得，由于，故当时，取最大值，即可得到③的答案．
【详解】解：①如图，设剪下来的矩形为，
∵四边形为矩形，
∴，
∵四边形为菱形，，
∴，
∴，
∴，
由题意得，设，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴的取值范围为；故①正确；
②：由①得，
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴
当时，
∴裁剪矩形后四边形为剩余的面积为平方厘米，故②错误；
③设此块布料的出售总价为元，
∵此块布料的出售为元/平方厘米，
∴，
∵，
∴当时，取最大值，
∴此块矩形布料出售总价的最大值为元，故③正确．
故选C．
13．
【分析】本题考查了概率公式，根据红球数量除以总球数，即可得出红球的概率进行作答．
【详解】解：∵装有10个球，其中有5个红球
∴红球的概率为
故答案为：
14．##
【分析】本题考查了积的乘方，根据积的乘方法则“先把积中的每一个因数分别乘方,再把所得的幂相乘”计算即可求解．
【详解】解：．
故答案为：．
15．5
【分析】本题考查平方差公式，二次根式的性质．先套用平方差公式，再依据二次根式的性质进一步计算可得．
【详解】解：
，
故答案为：5．
16．##
【分析】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得的值．
【详解】解：直线向上平移3个单位长度，
平移后的直线解析式为：，
平移后经过，
∴，
解得：．
故答案为：．
17． ##
【分析】（1）如图1，作的延长线于，则，，由，可得，则，根据，计算求解即可；
（2）如图2，连接交的延长线于，作的延长线于，连接，则四边形是矩形，则，，，证明，则，，，是的中点，是的中位线，则，由勾股定理得，，进而可求．
【详解】（1）解：如图1，作的延长线于，
∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图2，连接交的延长线于，作的延长线于，连接，则四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，是的中点，
又∵N为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴由勾股定理得，；
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，正弦，全等三角形的判定与性质，中位线，勾股定理，矩形的判定与性质等知识．熟练掌握正方形的性质，正弦，全等三角形的判定与性质，中位线，勾股定理，矩形的判定与性质是解题的关键．
18． 见解析
【分析】（1）根据勾股定理求解即可；
（2）取格点R，格点，格点，连接，，线段交于点T，线段交于点S，直线交于点Q，连接，，则点Q即为所求．
【详解】解：（1）；
（2）如图，点Q即为所求．
故答案为：（1）；（2）见解析．
【点睛】本题考查了勾股定理，圆周角定理，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键．
19．(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握求一元一次不等式组解集的方法是解题的关键．
（1）先去括号，再移项、合并解不等式①即可得答案；
（2）移项、把系数化为1，解不等式②即可得答案；
（3）将①②的解集表示在数轴上即可；
（4）根据数轴上的解集的公共部分即可求解．
【详解】（1）解：
去括号得：，
移项、合并得：，
故答案为：
（2）
移项得：，
系数化为1得：，
故答案为：
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示，如图所示：
（4）由数轴可知：原不等式组的解集为．
20．(1)50，24
(2)这组数据的平均数为8.34，众数为9，中位数是8.5
(3)读书时间不少于9小时的学生大约有1500人
【分析】考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，条形统计图的意义和制作方法，理解统计图中各个数据之间的关系是正确解答的前题．
（1）由6小时人数及其所占百分比可得总人数，用8小时人数除以总人数即可得出的值；
（2）根据平均数、中位数和众数的定义求解即可；
（3）总人数乘以样本中读书时间不少于9小时的学生人数所占比例即可．
【详解】（1）解：本次调查的学生人数为人，
故答案为：50人，24；
（2）观察条形统计图，
小时，
这组数据的平均数为小时．
在这组数据中，9出现了15次，出现的次数最多，
这组数据的众数为9小时．
将这组数据挍从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数是8和9，
有小时，因此这组数据的中位数是小时．
（3）（人），
答：读书时间不少于9小时的学生大约有1500人．
21．(1)，
(2)
【分析】（1）由半径经过弦的中点．可得，则，，由，可得，根据，计算求解即可；
（2）由题意得，由切线的性质可知，则，由，可得，则为等边三角形，，，由勾股定理求即可．
【详解】（1）解：∵半径经过弦的中点．
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，．
（2）解：∵，
∴，
∵切于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，
由勾股定理得，，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，切线的性质，正切，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，切线的性质，正切，等边三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
22．(1)教学楼的高为
(2)①的长为；②建筑物的高度约为
【分析】（1）由题意知，，则，然后求解作答即可；
（2）①由题意知，根据，求解作答即可；②如图，过点作，垂足为．则四边形是矩形，，由，可得，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∴，
∴教学楼的高为．
（2）①解：∵，
∴，
∴，
∴的长为．
②解：如图，过点作，垂足为．则四边形是矩形，
∴，
∴，即，
∴，
∴建筑物的高度约为．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等角对等边，正切，矩形的判定与性质．熟练掌握三角形内角和定理，等角对等边，正切，矩形的判定与性质是解题的关键．
23．(1)①1.8，3.6，0；②0.09；③
(2)
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）①根据图象作答即可；
②根据图象，由小王从体育场到图书馆的距离除以时间求解即可；
③当时，设y与x的函数解析式为，利用待定系数法求函数解析式即可；当时，直接根据图象写出解析式即可；
（2）由题意可知小王离开图书馆后匀速散步回家的速度为，设经过分钟小王的哥哥在回家的途中遇到小王，可列方程，解得，即可求解．
【详解】（1）解：①，
由图填表：
小王离家的时间 10 20 40 160
小王离家的距离 1.8 3.6 3.6 0
故答案为：1.8，3.6，0；
②小王从体育场到图书馆的速度为，
故答案为：0.09；
③当时，设y与x的函数解析式为，
把，代入得，，解得：，
∴；
当时，，
∴小王离家的距离y关于时间x的函数解析式为：；
（2）小王离开图书馆后匀速散步回家的速度为，
设经过分钟小王的哥哥在回家的途中遇到小王，
则，解得：，
此时离他们家的距离为．
24．(1)
(2)①；②
【分析】（1）由，点E是的中点，可得，由等边的顶点，可求；
（2）①如图1，连接交轴于，则四边形是矩形， 则，由题意知，，，当重合时，是等边三角形，，，则，当矩形与重叠部分为五边形时，，由平移的性质可知，，根据计算求解即可；②如图2，当时，重合部分为等边，，，则，由平移可知，此时重合部分面积最小，；由平移可知，如图3，当重合部分为五边形时，面积最大，，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，点E是的中点，
∴，
∵等边的顶点，
∴；
故答案为：；
（2）①解：如图1，连接交轴于，则四边形是矩形，
∴，
由题意知，，，
当重合时，是等边三角形，，，
∴，
∴当矩形与重叠部分为五边形时，，即，
由平移的性质可知，，
∴；
∴；
②解：如图2，
当时，重合部分为等边，，，
∴，
由平移可知，此时重合部分面积最小，；
由平移可知，如图3，当重合部分为五边形时，面积最大，
∵，，
∴，
由①可知，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了坐标与图形，等边三角形的判定与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，正切，余弦等知识．熟练掌握坐标与图形，等边三角形的判定与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，正切，余弦是解题的关键．
25．(1)，
(2)点的坐标为或
(3)的最小值为
【分析】（1）把点的坐标代入，结果对称轴公式建立方程组求出二次函数的解析式，再根据顶点坐标公式求顶点坐标，令，解一元二次方程求与轴交点的坐标；
（2）分两种情况：点在轴正半轴上或点在轴负半轴上，利用直角三角形的性质求解即可；
（3）先求直线、和的解析式，联立求出点的坐标，再求的最大值，最后求的最小值．
【详解】（1）将，对称轴代入，
得
解得，
∴，
顶点，即，
令，得，解得，，
∴，；
（2）如图，当点在轴正半轴上时，连接，
沿所在直线翻折得到，
，对称抽与轴交于点，有，
在中，，
有，则，
在中，，
∴点的坐标为；
同理，当点在轴负半轴上时，点的坐标为；
点的坐标为或
（3）由，，得：，
设直线的解析式为，则有
，
解得，
即的解析式为：，同理的解析式为：，
点在抛物线上且在直线(即)上方，设横坐标为，
有，,
，得直线的解析式为：，
交于，联立，
得，则，有
即当时，有最大值，
即当时，有最小值．
【点睛】本题考查求一次函数的解析式，二次函数的解析式，二元一次方程组与一次函数的关系，二次函数的最值，属于常见的中考试题，解题的关键是构建二次函数求最值．

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