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20232024学年度第一次调研考试
九年级数学试题
一、选择题（共30分，10题）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约400000000千米，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”．其中数字400000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个球，则两次取出的小球标号相同的概率是( )
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，将先向左平移3个单位，再作出其关于x轴的对称图形，则A点的对应点的坐标为( )

A． B． C． D．
5．若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，的平分线交于点D，DE//AB，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（ ）

A．或 B．或
C．或 D．或
8．如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（共18分，共6题）
11．若，则 ．
12．因式分解： ．
13．若关于的分式方程有增根，则的值是 ．
14．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为 ．
15．如图，点在函数的图象上运动，为坐标原点，点为的中点，以点为圆心，为半径作，则当与坐标轴相切时，点的坐标为 ．
16．在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点An（506，﹣505），则n的值为 ．
三、解答题（满分72分）
17．计算：
18．先化简，再求值：，其中．
19．市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表：
甲队成绩统计表
成绩 7分 8分 9分 10分
人数 0 1 m 7

请根据图表信息解答下列问题：
(1)填空：__________，_________；
(2)补齐乙队成绩条形统计图；
(3)①甲队成绩的中位数为_________，乙队成绩的中位数为___________；
②分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好．
20．如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，，．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，求点C的坐标．
21．创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．
(1)求两种型号垃圾桶的单价；
(2)若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
22．如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．

(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若的半径为3，求的长．
23．（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
24．如图，二次函数的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为，对称轴是直线，点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点P在线段上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．C
【分析】分别根据积的乘方、合并同类项、乘法公式逐项求解判断即可．
【详解】解：A、，故原计算错误，不符合题意；
B、，故原计算错误，不符合题意；
C、，故原计算正确，符合题意；
D、，故原计算错误，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查积的乘方、合并同类项、乘法公式，熟记完全平方公式和平方差公式，正确判断是解答的关键．
2．A
【分析】用科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
【详解】解：400000000用科学记数法表示为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
3．A
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次取出的小球标号相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：列表如下：
由上表可知，一共有9种等可能性的情况，其中两次取出的小球标号相同的情况：共3种，
∴两次取出的小球标号相同的概率是．
故选：A．
【点睛】本题考查了树状图法与列表法求概率，解题的关键是用表格列出所有等可能的结果以及熟记概率=所求情况数与总情况数之比．
4．D
【分析】先根据平移的性质画出平移后的三角形，再根据关于x轴的点的坐标特点描出各点，把各点连接起来，得出A点坐标即可．
【详解】解：如图所示：
为平移后的三角形；
为关于轴的对称图形．
由图可知，点的对应点．
故选：D．
【点睛】本题考查的是坐标与图形变化，熟知关于x轴对称的图形与图形平移的性质是解答此题的关键．
5．D
【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组的解集是求出a的取值范围即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于的不等式组的解集为，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．A
【分析】根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF∽△DEC，求出BF，故A错误．
【详解】解：在中，的平分线交于点D，，
∴CD=DF=3，故B正确；
∵DE=5，
∴CE=4，
∵DE//AB，
∴∠ADE=∠DAF，
∵∠CAD=∠BAD，
∴∠CAD=∠ADE，
∴AE=DE=5，故C正确；
∴AC=AE+CE=9，故D正确；
∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，
∴△BDF∽△DEC，
∴,
∴，故A错误；
故选：A．
【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，相似三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．
7．A
【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可．
【详解】解：∵在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵在反比例函数图象上，
∴，
∴，
由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，
∴关于x的不等式的解集为或，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题的关键是正确求出点B的坐标．
8．B
【分析】由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为，得到，即可判断②；可知时和时的y值相等可判断③正确；由图知时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图像可判断⑤正确．
【详解】①∵抛物线的开口向上，
∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上，
由得，，
，
故①正确；
②抛物线的对称轴为，
，
，
，故②正确；
③由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等．
由图知时，，
∴时，．
即．
故③错误；
④由图知时二次函数有最小值，
，
，
，
故④错误；
⑤由抛物线的对称轴为可得，
，
∴，
当时，．
由图知时
故⑤正确．
综上所述：正确的是①②⑤，有3个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键．
9．D
【分析】根据网格的特点作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据，进行计算即可解答．
【详解】解：如图：作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心，

由题意得：，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴
，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．C
【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解：四边形是边长为6的正方形，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
又，
，
设，则，，
，
解得，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键．
11．
【分析】根据绝对值的非负性，平方的非负性求得的值进而求得的算术平方根即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握绝对值的非负性，平方的非负性求得的值是解题的关键．
12．
【分析】本题考查分解因式，先提公因式a，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
13．1
【分析】先把分式方程去分母变为整式方程，然后把代入计算，即可求出的值．
【详解】解：∵，
去分母，得：；
∵分式方程有增根，
∴，
把代入，则
，
解得：；
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14．##0.5
【分析】根据题意和图形，可以求得、和的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，然后即可求得的正弦值．
【详解】解：由图可得，，，．
∴，
∴是直角三角形，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．，或
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式以及切线的性质，解题的关键是分圆与（或轴相切分类讨论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出点的坐标，根据切线的性质，找出点坐标与半径之间的关系是关键．结合点在反比例函数图象上，设出点的坐标，由两点间的距离公式求出的长度，由点为的中点，即可找出的长度，再根据相切的两种不同形式分类，结合点的坐标以及圆的半径即可得出关于点横坐标的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：点为函数的图象上的点，
设点的坐标为，．
．
点为的中点，
．
与坐标轴相切分两种情况：
①与轴相切，此时有，
整理得：，解得：，或（舍去），
解，得：，（舍去），
此时点的坐标为，；
②与轴相切，此时有，
整理得：，解得：，或（舍去），
解，得：，（舍去），
此时点的坐标为．
综上可知：点的坐标为，或．
故答案为：，或．
16．2022
【分析】终点在第四象限，寻找序号与坐标之间的关系可求n的值．
【详解】解：∵是第四象限的点，
∴落在第四象限．
∴在第四象限的点为
∵
∴
故答案为：2022
【点睛】本题考查了点坐标的位置及坐标变化规律的知识点，善于观察并寻找题目中蕴含的规律是解题的关键．
17．
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，先进行零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，去绝对值，二次根式的化简运算，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式
．
18．
【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．
【详解】
；
当时，
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
19．(1)
(2)见解析
(3)①9分，8分②，，中位数角度看甲队成绩较好，从平均数角度看甲队成绩较好
【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分比，结合圆心角的计算解答即可．
（2）根据样本容量，求得7分的人数补图即可．
（3）①根据有序数据的中间数据或中间两个数据的平均数为中位数计算即可．
②根据加权平均数公式计算即可．
【详解】（1）解：本次抽样调查的样本容量是（人），
∴（人），，
故答案为：；12．
（2）∵（人），
∴补图如下：

（3）①∵甲队的第10个，11个数据都是9分，
∴中位数是（分）；
∵乙队的第10个，11个数据都是8分，
∴中位数是（分）；
故答案为：9分，8分．
②②（分），
（分），
故从中位数角度看甲队成绩较好，从平均数角度看甲队成绩较好．
【点睛】本题考查了中位数，条形统计图，扇形统计图，熟练掌握中位数，平均数，扇形统计图，条形统计图的基本计算是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用正切值，求出，进而得到，即可求出反比例函数的解析式；
（2）过点A作轴于点E，易证四边形是矩形，得到，，再证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，联立反比例函数和一次函数，即可求出点C的坐标．
【详解】（1）解：轴，
，
，
，
，
，
，
点A在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
（2）解：如图，过点A作轴于点E，
，
四边形是矩形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，
点A、C是反比例函数和一次函数的交点，
联立，解得：或，
，
．

【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了锐角三角函数值，矩形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题等知识，求出直线的解析式是解题关键．
21．(1)A，B两种型号的单价分别为60元和100元
(2)至少需购买A型垃圾桶125个
【分析】（1）设两种型号的单价分别为元和元，然后根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购买A型垃圾桶个，则购买A型垃圾桶个，根据题意列出一元一次不等式并求解即可．
【详解】（1）解：设A，B两种型号的单价分别为元和元，
由题意：，
解得：，
∴A，B两种型号的单价分别为60元和100元；
（2）设购买A型垃圾桶个，则购买B型垃圾桶个，
由题意：，
解得：，
∴至少需购买A型垃圾桶125个．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，理解题意，找准数量关系，准确建立相应方程和不等式并求解是解题关键．
22．(1)直线与相切，理由见解析
(2)6
【分析】（1）连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，即可得出与相切；
（2）解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再解直角三角形，求出的长即可．
【详解】（1）解：直线与相切，理由如下：
连接，则：，

∵，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴直线与相切；
（2）解：∵，的半径为3，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设：，
则：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，正弦的定义，是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）见解析；（3）3
【分析】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
（1）由矩形的性质得，再证，即可得出结论；
（2）证，得，再证，得，然后由平行线的性质得，即可得出结论；
（3）延长至点，使，连接，，得，，再证是等边三角形，得，即可解决问题．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
点在的延长线上，
，
又，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，延长至点，使，连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
即的长为3．
24．(1)
(2)，
(3)或或
【分析】（1）待定系数法结合二次函数的对称轴公式进行求解即可；
（2）设，可得的长，利用分割法将四边形的面积转化为二次函数求最值即可；
（3）分和两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
又抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵抛物线的对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∵，当时，，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
把，代入，得：，
∴直线的解析式为，
设点，则：，，
∴，
∴，
∴四边形面积，
∴当时，四边形面积最大为，此时点．
（3）存在：设点，则：，，
∵，
∴，，，
∵轴，
∵轴，
∴，
∴为菱形的边，
当时，则：，
解得：（不合题意，舍去），或，
∵
∴
∴或
∴或；
当时，则：，
解得：（舍去）或；
∴，
∴；
综上或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，分割法求面积，菱形的性质等知识点，综合性强，属于中考压轴题，解题的关键是正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．

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