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九年级数学独立作业
一、选择题：（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
1．不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个球，下列事件中是必然事件的是（ ）
A．3个球都是白球 B．至少有1个黑球
C．3个球都是黑球 D．有1个白球2个黑球
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．．
3．“石阡苔茶”是贵州十大名茶之一，在我国传统节日清明节前后，某茶叶经销商对甲、乙、丙、丁四种包装的苔茶（售价、利润均相同）在一段时间内的销售情况统计如下表，最终决定增加乙种包装苔茶的进货数量，影响经销商决策的统计量是（ ）
包装 甲 乙 丙 丁
销售量（盒）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
4．图①是2023年6月11日吉林市全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，为的直径，弦交于点，．若，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
6．一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水和出水是两个常数．从某时刻开始内只进水不出水，从第到第内既进水又出水，从第开始只出水不进水，容器内水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则图中的值是（ ）

A．32 B．34 C．36 D．38
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
7．使有意义的x的取值范围是 ．
8．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为 ．
9．随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占．将用科学记数法表示为 ．
10．垃圾分类（Refuse sorting），是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的湿垃圾总量为 吨．
11．如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示）．
12．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线（为不为0的常数）与轴正半轴，轴负半轴分别交于点，，则的值是 ．
13．某校组织了一次知识竞赛，共有25道题，规定答对一题得10分，答错（或不答）一题扣5分．若小明同学的成绩超过100分，则他至少答对 题．
14．如图，在菱形中，，，为的中点，点在的延长线上，且，，分别为，的中点，则的面积为 ．
15．如图，在边长为的正方形中，将绕点按逆时针方向旋转，使点落在点的位置，连接，则的长为 ．
16．在平面直角坐标系中，点坐标为，点在第一象限，连接，在下方作等腰，使，则面积的最小值为 ．
三、解答题：（本大题共有10小题，共102分）
17．（1）；
（2）先化简，再求值：，其中，为方程的两个实数根．
18．为庆祝建党100周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取1张，按照卡片上的曲目演唱．
（1）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，抽到C卡片的概率为 　　；
（2）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率．
19．为了从甲、乙两位同学中选拔一人参加知识竞赛，举行了次选拔赛，根据两位同学次选拔赛的成绩，分别绘制了如图统计图．
(1)填写下列表格：
平均数分 中位数分 众数分
甲 ① _____
乙 ② ______
(2)分别求出甲、乙两位同学次成绩的方差．
(3)你认为选择哪一位同学参加知识竞赛比较好？请说明理由．
20．已知关于的方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求的值．
21．某数学小组要测量学校路灯的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下：
测量项目 测量数据
从处测得路灯顶部的仰角
从处测得路灯顶部的仰角
测角仪到地面的距离
两次测量时测角仪之间的水平距离
计算路灯顶部到地面的距离约为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：，，，）
22．如图，矩形，以为圆心，长为半径画弧交于．

(1)用无刻度的直尺和圆规在上作出点，使与的面积相等．（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接并延长交延长线于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由．
23．某校计划购买，两种型号教学设备，已知型设备价格比型设备价格每台高，用元购买型设备的数量比用元购买型设备的数量多台．
(1)求，型设备单价分别是多少元；
(2)该校计划购买两种设备（两种设备均需购买）共台，要求型设备数量不少于型设备数量的，请为学校设计出购买这两种设备所需费用最小的方案，并说明理由．
24．如图，内接于，是的直径，是上的一点，与相交于点，点为射线上一点，给出如下信息：①平分；②；③是的切线．
(1)在信息①②③中选择其中两个作为条件，另一个作为结论，并加以证明．你选择的条件是______，结论是______．
(2)在（1）中，当的半径为5，时，求的长．
25．在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．
(1)当，时，求抛物线与轴的交点坐标；
(2)当时，设抛物线与轴交于点，顶点为，过点作轴的平行线交抛物线另一点，能否是直角三角形？若能，求出的值，若不能，请说明理由．
(3)若，点也在抛物线上，若，求的取值范围及的取值范围．
26．如图1，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，，点为线段上一动点．
(1)若动点在的平分线上时，求此时点的坐标；
(2)如图2，若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，当时，求折痕的长；
(3)如图3，若为线段上一点，且，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得线段，连接，直接写出周长的最小值及此时点的坐标．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查必然事件，涉及事件的分类与概念，熟记事件分类及相应概念是解决问题的关键．
【详解】解：不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个球，则
A、“3个球都是白球”是不可能事件，不符合题意；
B、“至少有1个黑球”是必然事件，符合题意；
C、“3个球都是黑球”是随机事件，不符合题意；
D、“有1个白球2个黑球”是随机事件，不符合题意；
故选：B．
2．D
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式法则，进行计算后判断即可．
【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
3．C
【分析】根据众数的意义结合题意即可得到乙的销量最好，要多进即可得到答案．
【详解】解：由表格可得，
，众数是乙，
故乙的销量最好，要多进，
故选C．
【点睛】本题考查众数的意义，根据众数最多销量最好多进货．
4．C
【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据俯视图是从几何体的上面观察得到的视图进行判断即可．
【详解】解：领奖台从上面看，是由三个等宽的长方形组成的，
故选：C．
5．D
【分析】由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形两锐角互余得到，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到，再由圆周角定理即可得到答案．
【详解】解：为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理、直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余、等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
6．C
【分析】设每分钟的进水量为，出水量为，先根据函数图象分别求出b、c的值，再求出时，y的值，然后根据每分钟的出水量列出等式求解即可．
【详解】设每分钟的进水量为，出水量为
由第一段函数图象可知，
由第二段函数图象可知，
即
解得
则当时，
因此，
解得
故选：C．
【点睛】本题考查了函数图象的应用，理解题意，从函数图象中正确获取信息，从而求出每分钟的进水量和出水量是解题关键．
7．
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解即可．
【详解】解：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式得：
x+1≥0，
解得x≥﹣1．
故答案为x≥﹣1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，比较简单．
8．
【分析】本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【详解】解：点关于原点的对称点坐标为，
故答案为：．
9．
【分析】绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了用科学记数法表示较小的数，解题的关键是正确理解科学记数法的一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
10．870
【分析】本题主要考查扇形统计图，熟练掌握扇形统计图是解题的关键．由题意易得试点区域的垃圾收集总量为300吨，然后问题可求解．
【详解】解：由扇形统计图可得试点区域的垃圾收集总量为（吨），
∴全市可收集的湿垃圾总量为（吨）；
故答案为870．
11．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，利用证明得， 根据三角形的外角定理推出， 进而根据三角形内角和定理即可求解，解题的关键是利用证明．
【详解】解：∵平分，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】题目主要考查一次函数与坐标轴的交点及求代数式的值，根据一次函数解析式得出，，然后代入化简即可．
【详解】解：，
∴当时，，当时，，
∴，，
∴，
故答案为：．
13．16
【分析】设小明至少答对x道题，根据小明得分要超过100分列不等式求解即可．
【详解】解：设小明至少答对x道题，由题意得
，
解得．
所以设小明至少答对16道题．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，正确列出不等式是解答本题的关键．
14．3
【分析】由菱形的性质得出，过B点作于K，证明点k，点G重合，由勾股定理得出，由正弦值求出，再用勾股定理求出，进而求出，再证明 ，由相似的性质得出，进而可求出答案．
【详解】解：∵为菱形，，为的中点，
∴，
过B点作于K，
在菱形中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点K，点G重合，
即，
∴
又∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，分别为，的中点，
∴，
由∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定以及性质，以及解直角三角形等知识点， 过B点作于K，证明点k，点G重合是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，过点作于，于，则得四边形为矩形，可得，，又由旋转的性质可得，，得到，得到，，进而得到，再利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，于，则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵将绕点按逆时针方向旋转，使点落在点的位置，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查二次函数与解直角三角形综合问题，熟练掌握勾股定理和二次函数的最值问题是解题的关键，由于点在第一象限，可得，根据题意过点作延长线的垂线，垂足为点，由，，可得，，由勾股定理可得，，，从而得到，即当时，即可得到取最小值．
【详解】解：∵点在第一象限，
∴，
∴，
如图，过点作延长线的垂线，垂足为点，
∵，，
∴，，
∴
∴，
∴，
∴
当时，取最小值，
∴．
故答案为：．
17．（1）；（2）．
【分析】本题考查了零次幂，负指数幂，化简求值问题，考查了乘法公式，单项式乘以多项式法则，积的乘方的逆用．根据乘法公式、单项式乘以多项式法则进行展开，再加减运算，代值计算即可．
（1）直接根据了零次幂，负指数幂，开根号求值即可．
（2）根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式法则求值即可．
【详解】解：（1）
（2）∵，为方程的两个实数根，
∴
把代入上式得
18．（1）；（2）图表见解析，
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得．
【详解】解：（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为C的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果数，其中两个班恰好选择一首歌曲的有3种结果，
所以两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率为＝．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法，解题的关键是理解列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．
19．(1)，
(2)甲同学的方差是：，乙同学的方差是：
(3)选择甲同学，理由见解析
【分析】（1）根据中位数、平均数的计算方法求解即可；
（2）根据方差公式即可得出答案；
（3）通过比较甲、乙二人的平均数、方差得出答案．
【详解】（1）解：将甲的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝91，
因此甲的中位数是91分；
乙的成绩的平均数为＝90（分），
故答案为：91，90；
（2）解：甲同学的方差是：
，
乙同学的方差是：
．
（3）解：选择甲同学．
因为两人的平均数相同，说明两人实力相当，但甲的方差小于乙的方差，说明甲同学发挥更稳定，因此甲同学成绩更优秀，可以选择甲同学参加竞赛．
【点睛】本题考查平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数、方差的计算方法，理解平均数、中位数、众数、方差的意义是正确解答的前提．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据方程的根的判别式即可．
（2）根据根的判别式，结合根的整数性质，根与系数关系定理，解答即可，熟练掌握根的判别式和根与系数关系定理是解题的关键．
【详解】（1）∵方程，，
∴，
∴，
解得．
（2）∵的两个实数根分别是，，且，
∴，
∵，
∴，
∵为符合条件的最小整数，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴或，
∴或（舍去），
故．
21．3.4米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
延长，交于点F，则，设先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：如图：延长，交于点F，
则，
设，
，
在中，，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的解，
，
路灯顶部到地面的距离约为3.4米．
22．(1)见解析
(2)四边形是菱形，理由见解析
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，尺规作图．
（1）作的平分线交于点，得到，则与的面积相等；
（2）由矩形的性质求得，得到，推出，得到，又，得到四边形是平行四边形，据此即可证明结论成立．
【详解】（1）解：点如图所示，

（2）解：四边形是菱形，理由如下，
证明：∵矩形，
∴，即，
∴，
由作图得，
∴，
∴，
∵以为圆心，长为半径画弧交于，
∴，
∴，又，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
23．(1)设备单价元；设备单价元；
(2)购买设备台，购买设备台费用最小．
【分析】（）设每台型设备的价格为万元，则每台型号设备的价格为万元，根据题意列出分式方程，解分式方程即可求解；
（）根据总费用购买型设备的费用购买型设备的费用，可得出与的函数关系式，并根据两种设备的数量关系得出的取值范围，根据一次函数的性质即可求解；
本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，正确列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设每台型设备的价格为万元，则每台型号设备的价格为万元，
根据题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：每台型设备的价格为元，每台型号设备的价格为元；
（2）解：设购买台型设备，则购买台型设备， 购买这两种设备所需费用为元，
则，
∵，
解得且为整数，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取最小值，
∴，
∴购买设备台，购买设备台费用最小．
24．(1)（1）①②；③（答案不唯一），证明见详解；
(2)．
【分析】（1）根据“过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明；
（2）设，先通过求出，再通过求出，最后再通过求．
【详解】（1）解：由①②作为条件，③作为结论
证明：，
，
平分，
，
，
∵，
∴，
，
，
，
是圆的半径，
是的切线；
（2）解：，
∴，
∴，设，
则，解得，
∵，，
∴，
∴，即，
∴
∴,
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
25．(1)，；
(2)能，，；
(3)，．
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积问题；
（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解；
（2）当能否是直角三角形时，由函数的对称性，则为等腰直角三角形，则，即可求解；
（3）由＜得到＜则＜，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线过点、、，
则，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
令，
则，
即抛物线与轴的交点坐标为：，；
（2）能，理由：
当时，则抛物线的对称轴为直线，
当时，如下图，
当能否是直角三角形时，
由函数的对称性，则为等腰直角三角形，
则，
即，则，
即，
解得：；
当时，
同理可得：；
综上，；
（3），
即
则，
即，
当时，，
则，
同理可得：当时，，
即．
26．(1)点的坐标为；
(2)；
(3)周长的最小值为，点的坐标为．．
【分析】（1）利用正切函数的定义求得和的长，如图1中，过点作于点．利用角平分线定理以及三角形的面积公式求出即可；
（2）如图2中，设交于点．利用相似三角形的性质求出，再求出，得到点的坐标，再利用勾股定理可得结论；
（3）如图，以为边向右作等边，连接，延长交轴于点，过点作于点．于点，延长交于点，连接．证明，推出，推出点在直线上运动，当点共线时，的值最小，即的周长有最小值，最小值为的长，据此求解即可．
【详解】（1）解：在中，，，，
∴，
∴，，
；
如图1中，过点作于点．
∵点在的平分线上，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
（2）解：如图2中，设交于点．
，，
，点的坐标为，
，
由翻折的性质可知，
，
，
，
∴，
，
，
，，
，
，
，
，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴；
（3）解：如图，以为边向右作等边，连接，延长交轴于点，过点作于点．于点，延长交于点，连接．
，
，
，，
，
，
∵，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴点在直线上运动，当点共线时，的值最小，即的周长有最小值，最小值为的长，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，，，，
，，，
，
，
，
，
∴，，，
∴周长的最小值为，
设直线的解析式为，
则，
解得，，
∴直线的解析式为，
同理直线的解析式为，
联立得，
解得，
，
∴点的坐标为．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

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