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八年级下册第一次月考数学
姓名：___________班级：___________ 考号：___________
一、单选题（本大题共10题，每小题3分，共30分）
1．以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．8，12，17 B．2，3，4 C．6，8，9 D．5，12，13
2．如果三角形内的一点到三边的距离相等，则这点是（　　）
A．三角形三条边垂直平分线的交点
B．三角形三条边中线的交点
C．三角形三个内角平分线的交点
D．三角形三条边上高的交点
3．下列各组数是三角形的三边，不能组成直角三角形的一组数是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．下列各组数中为勾股数的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
5．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则ABC≌DCB的依据是（　　）
A．HL B．ASA C．AAS D．SAS
6．把直角三角形的两直角边均扩大到原来的两倍，则斜边扩大到原来的( )
A．8倍 B．4倍 C．2倍 D．6倍
7．如图在Rt△ABC中，，AB=8，AC=10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（ ）
A． B． C．2 D．
8．由下列三条线段组成的三角形，不能构成直角三角形的是（ ）．
A．1，，2 B．1，1， C．7，24，25 D．5，11，12
9．如图，将三角形ABC绕着点A旋转到三角形ADE，且点C在DE上,若AB=,AC=1,BC=2，则CE为（ ）
A． B．1 C．2 D．
10．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线、相交于点．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④点、分别在线段、上，且，则，其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（本大题共8题，每小题3分，共24分）
11．如图，在中，，为的中点．若，则 ．
12．如图，，于点C，若，则点E到OA的距离为 ．
13．如图，已知点，点分别是等边三角形中，边的中点，，点是由动点，则的最小值 ．
14．如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ．
15．如图，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，∠AOC=3∠COE，则∠AOF等于 ．
16．如图，在中，，，，将以B为中心逆时针方向旋转，得到，当点C的对应点E落在边AB上时，线段AD的长度值是 ．
17．如图，，与的平分线交于点，过作于，交于，，则点到的距离为 .
18．如图，在中，，，，是的角平分线，于点E，则的长是 ．

三、解答题（本大题共7题，共66分）
19．如图，有一公路AB和一铁路CD在点A处交汇，且∠BAD=30°，在公路的点P处有一所学校（学校看作点P，点P与公路AB的距离忽略不计），AP=320米，火车行驶时，火车周围200米以内会受到噪音的影响，现有一列动车在铁路CD上沿AD方向行驶，该动车车身长200米，动车的速度为180千米/时，那么在该动车行驶过程中．
（1）学校P是否会受到噪声的影响？说明理由；
（2）如果受噪声影响，那么学校P受影响的时间为多少秒？
20．在△ABC中AB＝17，BC＝15，AC＝8，求△ABC的面积．
21．如图所示，圆柱形玻璃容器，高，底面周长为，在外侧距下底，点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度．（画出相应图形，并解答）

22．如图，有两只猴子在一棵树高的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？树顶D到池塘A的距离有多少米？

23．如图，在△ABC中，AE为∠BAC的角平分线，点D为BC的中点，DE⊥BC交AE于点E，EG⊥AC于点G．
（1）求证： AB+AC=2AG．
（2）若BC=8cm，AG=5cm，求△ABC的周长．
24．如图，将绕点B逆时针旋转后得到，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF，若，点E在线段AB上，．
（1）求证：；
（2）若，求AC的长．
25．已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD为边AB上的中线，若E是射线CA上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，连接CG并延长交直线AB于点H．
（1）如图①，若E在边AC上．试说明：①AE=CF；②CG=GD；
（2）如图②，若E在边CA的延长线上．（1）中的两个结论是否仍成立？（直接写出成立结论的序号，不要说明理由）
（3）若AE=3，CH=5，求边AC的长．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据勾股定理的逆定理，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可
【详解】解：A、∵82+122≠172，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵62+82≠92，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵52+122=132，∴能够构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
2．C
【分析】根据角平分线的性质可得，三角形内到三边的距离相等的点是三个内角平分线的交点．
【详解】解：三角形内到三边的距离相等的点是三个内角平分线的交点．
故选：C．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质，注意区别三角形三条边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等．
3．C
【分析】根据勾股定理的逆定理两条较短边的平方和是否等于最长边的平方逐项判断即可解答．
【详解】解： A：∵，∴能构成直角三角形，不符合题意；
B：∵，∴能构成直角三角形，不符合题意；
C：∵，∴不能构成直角三角形，符合题意；
D：∵，∴能构成直角三角形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查勾股定理的逆定理，若一个三角形中两条较短边的平方和等于最长边的平方，这个三角形就是直角三角形．
4．D
【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，解题的关键是掌握：“满足的三个正整数、、称为勾股数，勾股数即三角形的三边长是满足勾股定理的逆定理，且三边长都是正整数的一组数”．根据勾股数的定义求解即可．
【详解】解：A、，，，不是勾股数，不符合题意；
B、，，，不是勾股数，不符合题意；
C、、、，不是正整数，，，不是勾股数，不符合题意；
D、，，，是勾股数，符合题意．
故选：D．
5．A
【分析】已知∠A=∠D=90°，题中隐含BC=BC，根据HL即可推出△ABC≌△DCB．
【详解】解：∵∠A=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，注意：判定两直角三角形的全等方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
6．C
【详解】试题分析：设两直角边分别为a、b，利用勾股定理表示出斜边，再表示出扩大后的直角三角形的斜边，即可得解．
解：设两直角边分别为a、b，
由勾股定理得，斜边=，
扩大后的直角三角形的斜边==2．
故选C．
考点：勾股定理的性质．
7．B
【分析】利用勾股定理求出BC=6，根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD，故AB=BD+AD=BD+CD，设CD=x，则BD=8-x，在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可解答．
【详解】解：∵，AB=8，AC=10，
∴BC=6，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
∴AB=BD+AD=BD+CD=8，
设CD=x，则BD=8-x，
在Rt△BCD中，，
即，
解得．
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理和线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
8．D
【分析】根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴以1，，2为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴以1，1，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴以7，24，25为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴以5，11，12为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查利用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
9．B
【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠BAC=90°，根据三角函数的定义得到∠ACB=60°，然后又等边三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵AB=,AC=1,BC=2，
∴AB2+AC2= =BC2，
∴∠BAC=90°，
∴cos∠ACB= ，
∴∠ACB=60°，
∵将△ABC绕着点A旋转到△ADE，
∴∠E=∠ACB=60°，AC=AE，
∴△ACE等边三角形，
∴CE=AC=1，
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理的逆定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
10．C
【分析】由“筝形”的性质可得，，根据等边三角形的判定即可得出结论，故可判定①；证明，根据全等三角形的性质可得，，由直角三角形的性质即可得出与的数量关系，故可判定②；由面积关系可求出四边形的面积，故可判定③；延长到，使，连接，证明，可得，，，可得，由线段和差关系可得结论，故可判断④．
【详解】解：∵四边形是“筝形”四边形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，故结论①正确；
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
，
∴，故结论②正确；
∵，
∴，
∵，故结论③错误；
如图所示，延长到，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故结论④正确；
∴正确的结论有个．
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角的直角三角形，三角形的面积等知识点．理解“筝形”的性质和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此即可求解．
【详解】解：∵是直角三角形，，为的中点，
∴是斜边上的中线，且，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
12．2
【分析】作于点G，根据角平分线的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，作EG⊥AO于点G，
∵，于点C，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握这一性质．
13．
【分析】根据已知条件得出等边三角形的边长为，连接，， 根据轴对称的性质，得出，当在线段上时，取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵点，点分别是等边三角形中，边的中点，，
∴，
又
∴是等边三角形，
∴，
∴,，
如图，连接，， 则，当在线段上时，取得最小值，最小值为的长，
∵为的中点，
∴
∴
即的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，轴对称的性质，含度角的直角三角形的性质等知识点的综合运用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理；作关于的对称点，则，当时，取得最小值，过点作于点，则的长，即为的最小值，勾股定理求得斜边长，然后根据等面积法，即可求解．
【详解】解：如图所示，作关于的对称点，
∵是是的平分线，
∴在上，
∴，
当时，取得最小值，
过点作于点，则的长，即为的最小值，
∵在中，，，，
∴，
∵
∴，
故答案为：．
15．126°
【分析】先设∠COE=α，再表示出∠AOC=3α，∠BOE=α，建立方程求出α，最用利用对顶角相等，角之间的和差关系进行计算即可．
【详解】解：设∠COE=α，
∵OE平分∠BOC，∠AOC=3∠COE，
∴∠AOC=3α，∠BOE=α，
∵∠AOC+∠COE+∠BOE=180°，
∴3α+α+α=180°，
∴α=36°，
∴∠AOC=∠BOD=3α=108°，
∴∠AOD=72°，
∵OF平分∠DOB，
∴∠DOF=∠BOD=54°，
∴∠AOF=∠AOD+∠DOF=72°+54°=126°，
故答案为126°．
【点睛】本题是对顶角，邻补角题，还考查了角平分线的意义，解本题的关键是找到角与角之间的关系，用方程的思想解决几何问题是初中阶段常用的方法．
16．
【分析】先根据勾股定理计算出,根据旋转的性质求得，从而计算出，最后根据勾股定理即可计算出．
【详解】解：∵，
∴，
根据旋转的性质得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的相关知识．
17．5
【分析】作PH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到PE=PH，PF=PH，根据题意计算即可．
【详解】解：作PH⊥AC于H，
∵AP平分∠BAC，PE⊥AB，PH⊥AC，
∴PE=PH，
∵AB∥CD，PE⊥AB，
∴PF⊥CD，
∵CP平分∠ACD，PF⊥CD，PH⊥AC，
∴PF=PH，
∴PH=PE=PF=EF=5，即点P到AC的距离为5，
故答案为5．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
18．
【分析】本题考查角平分线性质．根据题意过点作，再利用三角形面积公式即可解出．
【详解】解：过点作，
，
∵是的角平分线，于点E，
∴，
∵中，，，，
∴，
∴，解得：cm，
故答案为：．
19．（1）学校P会受到噪声的影响；（2）学校P受影响的时间为8.8秒．
【分析】(1) 作PH⊥CD于H, 由∠PAH=30°，PA=320m，可得PH=PA=160m，故学校P会受到噪声的影响；
(2) 当PE=PF=200时，动车在线段EF上时，受噪声影响，可得EF=2FH==240m，可得学校P受影响的时间.
【详解】解：（1）如图作PH⊥CD于H．
在Rt△APH中，∵∠PAH=30°，PA=320m，
∴PH=PA=160m，
∵160＜200，
∴学校P会受到噪声的影响．
（2）当PE=PF=200时，动车在线段EF上时，受噪声影响，
∵EF=2FH==240m，
180千米/时=50米/秒
∵=8.8秒，
答：学校P受影响的时间为8.8秒．
【点睛】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质及勾股定理的应用.
20．60
【分析】先由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，再根据直角三角形面积公式计算即可．
【详解】解：由题可知，
∵AB＝17，BC＝15，AC＝8
，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°
∴ ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，熟练掌握知识点、准确计算是解题的关键．
21．蜘蛛所走的最短路线的长度为
【分析】把立体图形展开为平面图形，根据两点之间线段最短，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图是圆柱的侧面展开图，线段就是蜘蛛走的最短路线，
由题意可得，在中，
，，
∴蜘蛛所走的最短路线的长度为．

【点睛】本题考查平面展开图形、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是把立体图形转化为平面图形解决．
22．树高7.5米，树顶D到池塘A的距离有12.5米
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出的等量关系并根据直角求是解题的关键．已知，要求求即可，可以设为，找到两只猴子经过路程相等的等量关系，即，根据此等量关系列出方程即可求解．
【详解】解：设为米，且存在，
即，，
在直角中，为斜边，
则，
即
解得，
米，
米米米，
答：树高7.5米，树顶D到池塘A的距离有12.5米
23．（1）见解析；（2）18cm
【分析】(1)连接BE、EC,只要证明Rt△BFE≌Rt△CGE，得BF=CG,再证明Rt△AFE≌Rt△AGE得：AF=AG，根据线段和差定义即可解决.
（2由AG=5cm可得AB+AC=10cm即可得出△ABC的周长.
【详解】(1)延长AB至点M，过点E作EF⊥BM于点F
∵AE平分∠BAC
EG⊥AC于点G
∴EG=EF,∠EFB=∠EGC=90°
连接BE，EC
∵点D是BC的中点，DE⊥BC
∴BE=EC
在Rt△BFE与Rt△CGE中
∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL）
∴BF=GC
∵AB+AC=AB+AG+GC
∴AB+AC =AB+BF+AG
=AF+AG
在Rt△AFE与Rt△AGE中
∴Rt△AFE≌Rt△AGE(HL）
∴AF=AG
∴AB+AC=2AG
(2)∵AG=5cm, AB+AC=2AG
∴AB+AC=10cm
又∵BC=8cm
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=8+10=18cm．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，需要熟练掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型.
24．（1）见解析（2）
【分析】（1）根据旋转的性质可得，进而求得，根据同旁内角互补，两直线平行即可得证；
（2）根据已知条件和等边三角形的性质可得，，根据垂直平分线的判定可得，进而由旋转的性质可得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求得的长．
【详解】（1）绕点B逆时针旋转后得到，
是等边三角形
（2），
垂直平分
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等的性质，勾股定理，垂直平分线的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
25．(1)证明见解析；（2）①②还成立．（3）7或1．
【详解】试题分析：（1）①通过全等三角形（△AED≌△CFD）的对应边相等证得AE=CF；
②根据Rt△ECF和Rt△EDF斜边上中线的性质来证明CG=GD；
（2）①②都成立．思路同（1）；
（3）求出EF的长是5，在Rt△ECF中，CF=3，根据勾股定理求出EC，即可求出AC．
试题解析：（1）①如图①．
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°．
∵CD为边AB上的中线，
∴CD⊥AB，AD=CD=BD，
∴∠DCB=∠B=45°，
∴∠A=∠DCB，
即∠A=∠DCF．
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠EDC=90°，∠CDF+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△AED与△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF；
②∵在△ABC中，∠ACB=90°，G为EF的中点，
∴CG=EF．
∵DF⊥DE，G为EF的中点，
∴GD=EF．
∴CG=GD；
（2）①②还成立．
①AE=CF，证明如下：
如图②，∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°．
∵CD为边AB上的中线，
∴CD⊥AB，AD=CD=BD，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠EAD=∠180°-∠CAD=135°，∠FCD=180°-∠BCD=135°，
∴∠EAD=∠FCD．
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠HDF=∠CDF+∠HDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△AED与△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF；
②CG=GD．证明如下：
Rt△EFC中，点G是EF边的中点，则CG=EF．
在Rt△EFD中，点G是EF边的中点，则GD=EF．
则CG=GD；
（3）AC=7或1，理由是：
∵AC=BC，CD是AB边上的中线，
∴CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CHD+∠DCH=90°，∠CDG+∠HDG=90°，
∵由（1）知DG=CG，
∴∠CDG=∠GCD，
∴∠GDH=∠GHD，
∴DG=GH，
∴CG=GH=CH=×5=2．5，
∵∠EDF=90°，G为EF中点，
∴DG=EF，
∴EF=5，
∵AE=3，
∴由（1）知AE=CF，
∴CF=3，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：EC==4，
∴AC=AE+CE=3+4=7；
如图②，同理求出EF=5，CF=3，
在Rt△ECF中，根据勾股定理求出CE=4，
则AC=CE-AE=4-3=1，
综合上述：AC=7或1．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．直角三角形斜边上的中线；3．等腰直角三角形．

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