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专题02 方程（组）与不等式（组）
易错点一：解一元一次方程相关问题
解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．
易错提醒：（1）移项要变号；
（2）括号前是负数时，去括号时要让括号内的各项变号．
（3）分子是多项式时，去分母后要加括号；
（4）去分母时，不要漏乘不含分母的项．
例 1．（2023·安徽六安·校考二模）
1．方程的解为（　　）
A．x＝﹣ B．x＝ C．x＝ D．x＝1
例 2．（2017·安徽安庆·统考一模）
2．方程+x=1的解为 .
例 3．（2023·安徽阜阳·一模）
3．为了提高动手操作能力，安徽某学校九年级学生利用课后服务时间进行拼图大赛，他们用边长相同的正方形和正三角形进行拼接，赛后整理发现一组有规律的图案，如图所示．
【观察思考】
第1个图案有4个正三角形，第2个图案有7个正三角形，第3个图案有10个正三角形，…依此类推
【规律总结】
(1)第5个图案有______个正三角形
(2)第个图案中有______个正三角形，（用含的代数式表示）
【问题解决】
(3)现有2023个正三角形，若按此规律拼第个图案，要求正三角形一次用完，则该图案需要正方形多少个？
（2023·安徽滁州·校考三模）
4．若，则 ．
（2017·安徽蚌埠·统考二模）
5．方程的解是 .
（2022·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考三模）
6．解方程：．
（2022·安徽马鞍山·安徽省马鞍山市第七中学校联考二模）
7．观察下图：
下列每一副图都是由一些单位长度均为1的黑方格和白方格按一定的规律组成（下面所有方格均指的单位为1的小方格）
(1)根据规律，第4个图中共有_______个方格，其中黑方格_______块．
(2)第n个图形中，白方格共有_______个（用n表示，n为正整数）
(3)有没有可能黑方格比白方格恰好少2022个，如果有，求出是第几个图形；如果没有，请说明理由．
易错点二：一元二次方程相关问题
一、一元二次方程的一般形式 ：，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项
二、求解方程过程中需满足等式的性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．
易错提醒：（1）解一元二次方程时有实数根时，不得丢根．（2）在解有参数的一元二次方程时，要注意二次项系数不为0；（3）当方程的未确定其属性时，要进行分类讨论．
例1．（2023·安徽阜阳·统考三模）
8．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
例2．（2023·安徽安庆·安庆市第四中学校考二模）
9．关于的方程有实数根，则的值不可能是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
例3．（2020·安徽·九年级统考学业考试）
10．解方程：
（2022·安徽·一模）
11．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为（ ）
A．且 B．且 C． D．
（2022·安徽·模拟预测）
12．若一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
（2021·安徽合肥·合肥市第四十八中学校考模拟预测）
13．已知，为一元二次方程的两根，那么的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
（2022·安徽·统考中考真题）
14．若一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
（2023·安徽蚌埠·校考一模）
15．若关于x的一元二次方程无实数根，则整数k的最小值为 ．
（2019·安徽·统考中考真题）
16．解方程：
（2023·安徽·统考中考真题）
17．【观察思考】
【规律发现】
请用含的式子填空：
(1)第个图案中“”的个数为 ；
(2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________．
【规律应用】
(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍．
易错点三：分式方程相关问题
分式方程的解法：①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；
②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）；
③检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．
易错提醒：（1）解分式方程中检验根是解题步骤的一部分，不可忽略，验根要代入最简公分母中，若最简公分母为0，则该方程的根为增根；（2）分式方程的应用中既要检验方程的根，又要检验是否符合实际意义．常见的问题有行程问题、工程问题、营销问题等．
例1．（2023·安徽·模拟预测）
18．解方程：．
例2．（2022·安徽宣城·校考二模）
19．对于非零实数a、b，规定．若，则x的值为 ；若关于x的方程无解，则m的值为 ．
例3．（2022·安徽·模拟预测）
20．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
例4．（2022·安徽·模拟预测）
21．面对全球疫情蔓延、芯片短缺等不利影响，新能源汽车销量仍大幅增长，因此，2022年的新能源汽车补贴标准在2021年基础上退坡30%．某新能源汽车销售公司去年二月份的销售额为300万元，今年受补贴标准的影响，二月份A型汽车的售价比去年同期每辆涨价1万元，在卖出相同数量的A型汽车的前提下，二月份的销售额为320万元．
(1)求今年二月份每辆A型汽车的售价．
(2)经过一段时间后，该销售公司发现，A型汽车的售价在二月份的基础上每涨1万元，销售量会减少2辆，已知A型汽车的进价不变，每辆12万元，那么如何确定售价才可以获得最大利润？
（2023·安徽六安·统考一模）
22．解方程：
（2022·安徽·合肥38中校考模拟预测）
23．若分式和的值互为相反数，则的值为（ ）
A．3 B．7 C． D．
（2020·安徽·统考模拟预测）
24．若关于的方程无解，则的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．-1
（2013·安徽·中考真题）
25．某校为了进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍费贵20元，购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000元要多，多出部分能购买25副乒乓球拍．
（1）若每副乒乓球拍的价格为x元,请你用含x的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用．
（2）若购买的两种球拍数一样，求x．
（2022·安徽合肥·校联考模拟预测）
26．为了响应“保护环境，低碳生活”的号召，张老师决定将上班的交通方式由开汽车改为骑自行车．张老师家距学校6千米，由于汽车的平均速度是自行车平均速度的4倍，所以张老师每天比原来提前30分钟出发，才能按原来的时间到校，求张老师骑自行车的平均速度是每小时多少千米．
（2023·安徽·校联考模拟预测）
27．为进一步推进美丽乡村建设，某县准备修建一条县级公路．开工时政府部门要求工程队每天的平均进度要比原计划提高20%，结果提前20天完成了任务．
平均每天修建公路/km 完成全部工程所需天数/天
原计划 x
实际
(1)设这条县级公路长为，该工程队原计划平均每天修建公路，请用含a，x的代数式填表；
(2)若这条要修建的公路长度为50km，该工程队实际平均每天修建公路多少千米？
易错点四：二元一次方程相关问题
一、二元一次方程组概念：由两个一次方程组成的含两个未知数的方程组，思想是消元．
二、解法：代入消元法和加减消元法．
易错提醒：（1）解较为复杂的二元一次方程时，运用整体思想更简单；（2）我们常用二元一次方程解决方案问题．
例1．（2023·安徽蚌埠·校考一模）
28．我国民间流传的一道数学名题：“只闻隔壁人分银，不知多少银和人．每人7两少7两，每人半斤多半斤．试问各位善算者，多少人分多少银？”若设x个人分y两银子（1斤=10两），根据题意，列方程组为( )
A． B． C． D．
例2．（2018·安徽淮南·七年级校联考阶段练习）
29．对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法．
如解方程组：
解：把②代入①，得x＋2×1＝3，解得x＝1.
把x＝1代入②，得y＝0.
所以方程组的解为
请用同样的方法解方程组：
.
例3．（2023·安徽·统考中考真题）
30．根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨，乙地降价元，已知销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．
（2023·安徽合肥·统考三模）
31．年某地区参加养老保险的妇女人数共万人，比年增加人，其中参加城镇职工养老保险和城乡居民养老保险的人数分别是年的倍和倍，设年参加城镇职工养老保险和城乡居民养老保险的人数分别为万人和万人，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023·安徽·一模）
32．已知关于，的方程组．
(1)当时，方程组的解为______．
(2)若与互为相反数，求的值．
（2022·安徽·统考中考真题）
33．某地区2020年进出口总额为520亿元．2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%．注：进出口总额＝进口额＋出口额．
(1)设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表：
年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元
2020 x y 520
2021 1.25x 1.3y
(2)已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额度分别是多少亿元？
（2023·安徽·校联考二模）
34．为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元．
(1)购进A、B两种纪念品每件各需多少钱？
(2)若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店有哪些进货方案？
（2022下·安徽阜阳·七年级统考期末）
35．先阅读，再解方程组.
解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，解得，从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”.
请用上述方法解方程组
易错点五：解不等式（组）相关问题
一、不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
二、不等式组的解集：几个不等式的解集的公共部分，当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解
易错提醒：（1）当不等式两边同乘或除一个负数时不等号方向要改变；（2）利用函数图解求不等式解集时，要运用图象交点，进行划分区间．（3）利用不等式求最值．
例1．（2023·安徽·统考中考真题）
36．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·安徽·模拟预测）
37．已知点在直线上，且，则（ ）
A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值
例3．（2022·安徽·校联考模拟预测）
38．年北京冬奥会前夕，某网络经销商以元/件的价格购进了一批以冬奥会为主题的饰品进行销售，该饰品的日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间有如表所示的关系：
… …
… …
(1)已知上表数据满足我们初中所学函数中的一种，请判断是何种函数并求出关于的函数表达式；
(2)当该饰品的销售单价定为多少时，日销售利润最大？
(3)销售一段时间后，物价部门出台新的规定：单件利润不得超过．在新的规定下，求该饰品的最大日利润．
（2022·安徽·统考中考真题）
39．不等式的解集为 ．
（2021·安徽·统考中考真题）
40．解不等式：．
（2023·安徽·模拟预测）
41．解不等式组：．
（2022·安徽淮北·淮北一中校联考模拟预测）
42．解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来．

（2023·安徽·模拟预测）
43．已知实数满足，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2021·安徽淮南·统考一模）
44．华盛公司有甲、乙两个销售团队，同时销售同种产品，12个月后统计得出如下信息：甲销售团队第x个月销售量y1（万件）与x之间的函数关系为y1＝a（x﹣4）2+；乙销售团队第x个月销售量y2（万件）与x之间的函数关系为y2＝kx+1（1≤x≤12，x为整数）．甲、乙两个销售团队在第1个月的销售量相同，均为（万件）
（1）分别求y1、y2的函数解析式；
（2）探求有几个月乙销售团队比甲销售团队的销量高，并求当月最多高出多少万件？
（3）直接写出共有多少个月甲、乙两个销售团队的销售量均不低于万件．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】方程去分母去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：去分母得：6-（x+3）=3x，
去括号得：6-x-3=3x，
移项合并得：4x=3，
解得：x=，
故选B.
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．x=1
【详解】分析：根据解一元一次方程的步骤解方程即可.
详解：去分母，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
故答案为
点睛：考查解一元一次方程，一般步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1.
3．(1)16
(2)
(3)该图案需要正方形674个
【分析】（1）利用正三角形的数量依次增加3的规律即可求解．
（2）根据第1个图案有4个正三角形，正三角形的数量依次增加3，即可求解．
（3）先求出n的值，再确定正方形的个数．
【详解】（1）解：第1个图案有4个正三角形，第2个图案有7个正三角形，第3个图案有10个正三角形，…依此类推，发现正三角形的数量依次增加3，
∴第5个图案有16个正三角形．
（2）依据第1个图案有4个正三角形，正三角形的数量依次增加3，
可得第个图案中有个正三角形．
（3）令，
解得，
由图形可以发现第n个图形中有n个正方形，
∴该图案需要正方形674个．
【点睛】本题考查了整式——图形规律问题，涉及到了列一元一次方程并求解，解题关键是发现规律并能利用整式正确表示．
4．
【分析】按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】解：，
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：
系数化为1得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．
5．##
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，先移项，合并同类项后化系数为，即可求出答案．
【详解】解：移项得
合并同类项得
解得：
故答案为．
6．
【分析】通过去分母、移项、合并同类项、系数化为解方程即可．
【详解】解：，
去分母，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为，得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的正确步骤．
7．(1)45；12
(2)7n+5
(3)没有可能，理由见解析
【分析】（1）由前面3个图形的白方格与黑方格的规律，可得第4个图形所有方格数及其中黑方格数；
（3）由（2）可得关于n的方程，解方程即可，若n是整数，则有，否则没有．
【详解】（1）第1个图形中，共有3×5=15（个）方格，其中黑方格有3个；第2个图形中，共有5×5=25（个）方格，其中黑方格有2×3=6（个）；第3个图形中，共有7×5=35（个）方格，其中黑方格有3×3=9（个）；则第4个图形中，共有9×5=45（个）方格，其中黑方格有4×3=12（个）；
故答案为：45；12
（2）由（1）得出规律：第n个图形中，共有方格：5(2n+1)个方格，其中黑方格有：3n个，则白方格有：个；
故答案为：7n+5
（3）没有可能，理由如下：
由（2）知，黑方格有：3n个，白方格有：(7n+5)个，
7n+5-3n=2022，
解得：，
由于n不是整数，所以没有可能黑方格比白方格恰好少2022个．
【点睛】本题是规律探索问题，考查了列代数式，解一元一次方程等知识，由特殊到一般是解决本题的关键．
8．C
【分析】利用一元二次方程根的定义，确定出的值即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为，
∴且，
解得：．
故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为为常数且，理解一元二次方程的定义是解题的关键．
9．D
【分析】由于方程有实数根，当方程为一元二次方程时，令，即可求出的取值范围，要注意，．再令方程为一元一次方程，进行解答．
【详解】解：当方程为一元二次方程时，方程有解，
则且，
解得：且，
当方程为一元一次方程时，
方程有解，则只需，
综上：当时，方程有实数根．
∴四个数中的值不可能是2，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，掌握分类讨论思想是关键．
10．，
【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．
【详解】
则方程的解为，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟记各解法是解题关键．
11．B
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程(m 1)x2+4x+1=0有实数根，
∴
解得：且，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
12．B
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式可得且，然后解两个不等式即可得到答案．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
且，
∴，
∴的取值范围是且．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记一元二次方程根的判别式是解题的关键．
13．C
【分析】利用一元二次方程解的定义和韦达定理可得，，将整理成，代入即可求解．
【详解】解：∵，为一元二次方程的两根，
∴，，
∵，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、韦达定理，掌握一元二次方程的解的定义和韦达定理是解题的关键．
14．2
【分析】由方程有两个相等的实数根可知，利用根的判别式等于0即可求m的值，
【详解】解：由题意可知：
，，
，
∴，
解得：．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式求参数：方程有两个不相等的实数根时，；方程有两个相等的实数根时，；方程无实数根时，等知识．会运用根的判别式和准确的计算是解决本题的关键．
15．6
【分析】要使一元二次方程没有实根，只需二次项系数不等于0且根的判别式小于0，由此可求出k的范围，再找出最小值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，
∴且，
解得，，
∴，
∴整数k的最小值是6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的构成条件、解一元一次不等式等知识，解题的关键是掌握根的判别式：对于一元二次方程， 时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根．
16．x=-1或x=3
【分析】本题利用直接开平方法即可求出答案．
【详解】解：x-1=±2，
x-1= 2或x-1=-2，
解得：x=-1或x=3．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，能够根据方程特点选取不同的解法是解题关键．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解；
（2）根据题意，结合图形规律，即可求解．
（3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：第1个图案中有个，
第2个图案中有个，
第3个图案中有个，
第4个图案中有个，
……
∴第个图案中有个，
故答案为：．
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，
第2个图案中“★”的个数可表示为，
第3个图案中“★”的个数可表示为，
第4个图案中“★”的个数可表示为，……，
第n个图案中“★”的个数可表示为，
（3）解：依题意，，
第个图案中有个，
∴，
解得：（舍去）或．
【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．
18．
【分析】本题考查了分式方程的解法，熟记方程的解法是解题关键．需注意的是，求出解后一定要代入分式方程进行检验．
将分式方程转化为整式方程，然后计算求解，注意结果要进行检验．
【详解】解：
整理，可得，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是原分式方程的根．
原分式方程的解是．
19． ； 或1
【分析】解方程即可；根据分式方程无解求解即可．
【详解】∵，，
∴，
去分母，得
3-2x=0，
移项、合并同类项，得
2x=3，
系数化为1，得
x=，
经检验，x=是原方程的根．
∵，方程无解，
∴无解，
去分母，得
3-2x+mx-2=3-x，
∵方程无解，
∴x=3，
解得m=，
去分母，得
3-2x+mx-2=3-x，
合并同类项，得
(m-1)x=2，
∵方程无解，
∴m-1=0，
故m=1．
故答案为：，或1．
【点睛】本题考查了新定义，分式方程的解法，分式方程无解的计算，熟练掌握分式方程无解的意义是解题的关键．
20．A
【分析】
本题考查解分式方程，去分母，移项，合并同类项，系数化为1即可得到答案；
【详解】解：两边同时乘以得，
，
解得，
，
当时，，
∴是原方程的解，
故选：A．
21．(1)16万元
(2)每辆型车的售价为19万元时，可以获得最大利润，且最大利润为98万元
【分析】（1）设今年二月份每辆型汽车的售价为万元．根据卖出相同数量的A型汽车列方程，解方程并检验即可得到答案；
（2）设每辆型车的售价为元，利润为元．列出w关于a的二次函数，根据二次函数的性质求出答案即可；
此题考查了二次函数的应用、分式方程的应用，读懂题意，正确列出方程和函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设今年二月份每辆型汽车的售价为万元．
根据题意，得，
解得．
经检验，是分式方程的解且符合题意．
答：今年二月份每辆型汽车的售价为16万元．
（2）设每辆型车的售价为元，利润为元．
根据题意，得，
∴当每辆型车的售价为19万元时，可以获得最大利润，且最大利润为98万元．
22．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：时，分母，
原方程的解为
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验
23．D
【分析】解分式方程即可求解．
【详解】解：由题意得：
解得：
经检验：是方程的解
故选：D
【点睛】本题考查了相反数的应用、分式方程的求解．根据题意列出分式方程是解题关键．
24．A
【分析】根据分式方程无解得到x=1，将x=1代入化简后的整式方程计算即可得到k.
【详解】化简得3=2（x-1）+k，
∵方程无解，
∴x=1，
将x=1代入3=2（x-1）+k，
解得k=3，
故选：A.
【点睛】此题考查分式方程无解的情况，正确理解分式方程的计算过程，确定分式方程无解时未知数的值是解题的关键.
25．（1）（元）（2）40元
【分析】（1）根据该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用为“购买乒乓球拍的费用＋购买羽毛球拍的费用”列式即可．
（2）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解．本题等量关系为：“购买的两种球拍数一样”．
【详解】解：（1）∵每副乒乓球拍的价格为x元，一副羽毛球拍比一副乒乓球拍费贵20元，
∴每副羽毛球拍为元．
∵购买乒乓球拍的费用为2000元，购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的费用多25副乒乓球拍的费用，
∴羽毛球拍的费用为元．
∴该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用为（元）．
（2）根据题意，得，
解得．
经检验，都是原方程的根，但，∴．
∴每副乒乓球拍的价格为x为40元．
26．张老师骑自行车的平均速度是每小时9千米．
【分析】设张老师骑自行车的平均速度是每小时千米，列方程求解即可；
【详解】解：设张老师骑自行车的平均速度是每小时千米．
依题意得，，
解得：，
∴张老师骑自行车的平均速度是每小时9千米．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，正确列出方程是解题的关键．
27．(1)见解析
(2)km
【分析】（1）先根据开工时政府部门要求工程队每天的平均速度要比原计划提高得实际平均每天修建公路的长度，然后根据工作效率、工作时间、工作量的关系进行解答即可，
（2）先根据结果提前20天完成了任务和得方程，然后解方程即可．
【详解】（1）解：如下表：
平均每天修建公路/km 完成全部工程所需天数/天
原计划 x
实际
（2）解：由题意可列方程，
解得．
经检验：是原分式方程的解，
∴．
答：该工程队实际平均每天修建公路km．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准数量关系，正确的列出分式方程是解题的关键．
28．C
【分析】根据“每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
29．
【详解】分析：仿照已知整体代入法求出方程组的解即可.
详解：由①得， ③
把③代入②得， ，
，
把代入③得，
∴
点睛：考查了解二元一次方程组，利用了消元思想，常用的方法有代入消元法和加减消元法，根据题目选择合适的方法.
30．调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元
【分析】
设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元，根据题意，列出二元一次方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元，根据题意得，
解得：
答：调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．
31．D
【分析】设年参加城镇职工养老保险和城乡居民养老保险的人数分别为万人和万人，则年参加城镇职工养老保险的人数为万人，参加城乡居民养老保险的人数为，由题意：年某地区参加养老保险的妇女人数共万人，比年增加人，列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设年参加城镇职工养老保险和城乡居民养老保险的人数分别为万人和万人，则年参加城镇职工养老保险的人数为万人，参加城乡居民养老保险的人数为，
由题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
32．(1)
(2)
【分析】（1）把代入原方程组，再利用加减消元法解答，即可求解；
（2）根据相反数的性质可得，再代入，可得到关于y，m的方程组，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴原方程组为，即，
由得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴程组的解为；
故答案为：
（2）解：∵与互为相反数，
∴，即，
∴原方程组为，
解得：．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
33．(1)1.25x+1.3y
(2)2021年进口额亿元，出口额亿元．
【分析】（1）根据进出口总额＝进口额＋出口额计算即可；
（2）根据2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，列方程1.25x+1.3y=520+140，然后联立方程组，解方程组即可．
【详解】（1）解：
年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元
2020 x y 520
2021 1.25x 1.3y 1.25x+1.3y
故答案为：1.25x+1.3y；
（2）解：根据题意1.25x+1.3y=520+140，
∴，
解得：，
2021年进口额1.25x=亿元，2021年出口额是亿元．
【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，列代数式，掌握列二元一次方程组解应用题的方法与步骤是解题关键．
34．(1)购进A种纪念品每件需要150元，购进B种纪念品每件需要100元；
(2)该商店共有四种进货方案；方案1，购进A种纪念品12件，B纪念品22件；方案2，购进A种纪念品14件，B纪念品19件；方案3，购进A种纪念品16件，B纪念品16件；方案4，购进A种纪念品18件，B纪念品13件．
【分析】（1）设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元，根据“若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A种纪念品a件，B纪念品b件，正好用完4000元，根据总价=单价×数量结合（1）的结论，即可得出关于a、b的二元一次方程，再由a、b均为不小于12的正整数，即可找出各进货方案．
【详解】（1）解：设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进A种纪念品每件需要150元，购进B种纪念品每件需要100元；
（2）解：设购进A种纪念品a件，B纪念品b件，正好用完4000元，
根据题意得：，
化简得：，即．
∵a、b均为不小于12的正整数，
∴当时，；当时，；当时，；当时，．
答：该商店共有四种进货方案；方案1，购进A种纪念品12件，B纪念品22件；方案2，购进A种纪念品14件，B纪念品19件；方案3，购进A种纪念品16件，B纪念品16件；方案4，购进A种纪念品18件，B纪念品13件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据总价=单价×数量，列出关于a、b的二元一次方程．
35．
【分析】观察方程组的特点，把看作一个整体，得到，将之代入②，进行消元，得到，解得，进一步解得，从而得解.
【详解】解：由①，得，③
把③代入②，得，解得.
把代入③，得，解得.
故原方程组的解为
【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法：整体代入法.解方程（组）要根据方程组的特点灵活运用选择合适的解法.
36．A
【分析】先解不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可求解．
【详解】解：
解得：，
数轴上表示不等式的解集

故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键．
37．A
【分析】将点代入直线中,得到m、n的关系式，分别表示代入不等式即可判断的最值；
【详解】解：将点代入直线中，
得，则
将代入中，解得：
将代入中，解得：
∴当，时，=有最大值
故选：A
【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式的综合应用，掌握相关知识点并灵活应用是解题的关键．
38．(1)一次函数，
(2)元
(3)元
【分析】本题主要考查一次函数的运用，二次函数求最值的方法，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象的增减性及最值的计算，解一元一次不等式的方法是解题的关键．
（1）根据表格信息，运用待定系数法即可求解；
（2）根据二次函数图象的增减性，最值即可求解；
（3）根据题意列一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：一次函数，理由如下，
设关于的函数表达式为．
将点和点代入，得
，
解得，
∴关于的函数表达式为：．
（2）解：设日销售利润为，则，
∵，
∴当时，有最大值，
∴当该饰品的销售单价为元时，日销售利润最大．
（3）解：由题意可知，，
解得，
由（2）可知，当时在对称轴左侧，随增大而增大，故当时利润最大，此时最大利润为（元）．
答：在新的规定下，该饰品的最大日利润为元．
39．
【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案．
【详解】解：
去分母，得x-3≥2，
移项，得x≥2+3，
合并同类项，系数化1，得，x≥5，
故答案为：x≥5．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键掌握解一元一次不等式的方法步骤．
40．
【分析】利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可解答．
【详解】，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练运用一元一次不等式的解法是解决问题的关键．
41．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①，可得，
解不等式②，可得，
∴不等式组的解集为．
42．，在数轴上表示见解析
【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
分别解两个不等式得，
在数轴上表示（如图所示）．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
43．C
【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质进行计算和推理，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，A项正确，不符合题意；
由，得，
∴，B项正确，不符合题意；
由，得，
代入，得，
∴，
∵，
∴，，
∴，C项错误，符合题意；
∵，
∴，，，
∴，D项正确，不符合题意；
故选：C．
44．（1）y1＝（x﹣4）2+，y2＝x+1；（2）7，2；（3）5.
【分析】（1）甲、乙两个销售团队在第1个月的销售量相同，均为（万件），代入y1、y2解答即可；
（2）运用y2-y1=0，再利用二次函数和一元二次方程以及一元二次不等式的关系解答即可；
（3）可利用不等式组解决问题.
【详解】解：（1）∵甲、乙两个销售团队在第1个月的销售量相同，均为（万件），
∴＝9a+，＝k+1，
解得：a＝，k＝，
∴y1＝（x﹣4）2+，y2＝x+1；
（2）y1﹣y2＝（x﹣4）2+﹣x+1＝﹣（x﹣5）2+2，
令y1﹣y2＝0，解方程得：x1＝1，x2＝9，
结合函数的图象可知，当1＜x＜9时，y1﹣y2＞0，即y1＞y2
又x为整数，∴x＝2，3，4，5，6，7，8，共有7个月乙销售团队比甲销售团队的销量高，当x＝5时，当月最多高出2万件．
（3）∵甲、乙两个销售团队的销售量均不低于万件．
∴（x﹣4）2+≥①，x+1≥②，
由①得，x≤0或x≥8，由②得，x≥4.5
又∵x为整数，
∴x＝8，9，10，11，12，共5个月甲、乙两个销售团队的销售量均不低于万件．
【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数与方程和不等式的关系，掌握数形结合思想以及结合函数图象解不等式是解答本题的关键.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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