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专题05待定系数法、函数图象性质
易错点一：函数待定系数法
函数解析式的常用形式
一次函数的解析式：y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）
反比例函数的解析式有三种常见形式：y=，xy=k，y=k（k是常数，k≠0），
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
易错提醒：用待定系数法求解析式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，同时计算要仔细．
例1
1．已知与成正比例，且当时，，则y关于x的函数表达式为 ．
例2
2．若直线与直线平行，且过点，则该直线的解析式为 ．
例3（23-24九年级上·天津西青·期中）
3．一个二次函数的图象与抛物线的形状相同，且顶点为，那么这个函数的解析式是 ．（结果写成一般式）
4．已知抛物线经过点和，对称轴为直线，则它与x轴的另一个交点为 ，抛物线的表达式为 ．
5．已知与x成正比例，且时，．求y与x的函数关系式．
6．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围．
7．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，直线的解析式为．
(1)求直线的解析式；
(2)求直线被直线和y轴所截线段的长．
（23-24九年级上·天津西青·期中）
8．已知抛物线的顶点为，且与y轴交于点，求这个二次函数的解析式．
（23-24九年级上·天津静海·阶段练习）
9．已知抛物线的对称轴是轴，且该函数的最大值是3，过点，求该抛物线解析式．
（23-24九年级上·天津河东·阶段练习）
10．求符合下列条件的抛物线对应的函数解析式：
(1)抛物线过点；
(2)抛物线与的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为．
易错点二：函数的图象与性质
一次函数：一次函数的图像是一条直线，具有一些特殊的性质，如单调性、连续性等．
反比例函数：反比例函数的图象是双曲线．有一些特殊的性质，如当 k＞0 时，函数在第一象限和第三象限；当k＜0时，函数在第二象限和第四象限．
二次函数：抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在一定的自变量x取值范围内讨论抛物线的增减性；
二次函数的最值： 对于二次函数，当时，抛物线有最低点，函数有最小值，即为抛物线顶点坐标的纵坐标；当时，抛物线有最高点，函数有最大值，即为抛物线顶点坐标的纵坐标；
二次函数图形与系数的关系：二次函数中，a决定抛物线的开口方向，b与a一起确定抛物线的对称轴，c决定抛物线与y轴的交点．
易错提醒：要重视并区分清楚这些性质，在应用性质时避免因混淆而出错．同时，平面直角坐标系内两图象的存在性问题，一般先假设简单函数图象成立，再验证复杂函数是否成立，利用排除法，得到最后答案．
例1（22-23八年级下·天津和平·期末）
11．若一次函数（为常数）的图象经过点，则该一次函数的图象与轴交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
例2
12．如果直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是9，那么的值为 ．
例3
13．已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，则这个函数图象的另一个交点为（ ）
A． B． C． D．
例4（14-15九年级上·江苏扬州·期末）
14．二次函数的图象的顶点坐标是 ．
例5（23-24九年级上·天津北辰·阶段练习）
15．若点N是点关于抛物线的对称轴的对称点，则点N的坐标是 ．
（22-23八年级下·天津红桥·期末）
16．已知点，，在一次函数（为常数）的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
（23-24九年级上·天津宁河·期末）
17．对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图像开口向上 B．当时，y随x的增大而减小
C．顶点坐标是 D．当时，y有最小值是0
（23-24九年级上·天津河西·阶段练习）
18．抛物线的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
（23-24九年级上·天津滨海新·期中）
19．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
（22-23九年级上·天津·期末）
20．抛物线过，，三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
（23-24九年级上·天津滨海新·期末）
21．关于抛物线，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．抛物线与y轴交于点
C．当时，y取最大值 D．抛物线与x轴没有交点
（2018九年级·全国·专题练习）
22．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
（23-24九年级上·天津津南·阶段练习）
23．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
（2022·广东深圳·三模）
24．二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像是（　　）
A． B．
C． D．
（2021·广东·一模）
25．如图，平面直角坐标系xOy中有4条曲线分别标注着①，②，③，④，是双曲线y＝﹣的一个分支的为（　　）
A．① B．② C．③ D．④
（23-24九年级上·天津北辰·阶段练习）
26．已知点、、在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
（23-24九年级上·天津·阶段练习）
27．函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围是 ．
28．如图，直线与轴、轴分别交于两点，把绕点顺时针旋转后得到，则点的坐标是 .
（2020·北京·中考真题）
29．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为 ．
（23-24九年级上·天津北辰·阶段练习）
30．已知反比例函数，则函数图象所在象限是第 象限．
（23-24九年级上·天津滨海新·期中）
31．已知二次函数．
(1)图象的顶点坐标为： ；
(2)抛物线与x轴交点坐标为 ；
(3)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
(4)当时，x的取值范围是 ；
(5)当时，y的取值范围是 ．
（23-24九年级上·天津·期末）
32．已知二次函数（b为常数）．
(1)该函数图像与x轴交于A，B两点，若点A坐标为．
①求二次函数的解析式和点B的坐标；
②当时，求自变量x的值；
(2)对于一切实数x，若函数值总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；
(3)当时（其中m，n为实数，，自变量x的取值范围是，求n和b的值以及m的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【分析】本题考查了正比例的定义，待定系数法求正比例函解析式，设正比例函数解析式为，根据时，，代入求解出k的值即可．
【详解】解：设正比例函数解析式为，
∵当时，，
∴，解得，
∴y关于x的函数表达式为：，
故答案为：．
2．##
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，求一次函数解析式，根据两直线平行一次项系数相同得到，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：∵直线与直线平行，
∴．
又∵直线过点，
∴，
解得：．
故答案为：．
3．或
【分析】根据顶点设出顶点式，再结合抛物线形状相同可得结果．
【详解】解：图象顶点坐标为，
可以设函数解析式是，
又形状与抛物线相同，即二次项系数绝对值相同，
，
这个函数解析式是：或，
即或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，如果已知三点坐标可以利用一般式求解；若已知对称轴或顶点坐标利用顶点式求解比较简单．
4．
【分析】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式和求二次函数与x轴的交点坐标．先利用条件确定与轴的另一个交点为，再设抛物线表达式为：，再将的坐标代入表达式得，解得，最后求得表达式即可．
【详解】
解：∵抛物线经过点，对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
设抛物线的表达式为，
把的坐标代入表达式得，解得，
∴抛物线的表达式为，即．
故答案为：．
5．
【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，先根据与成正比例设出一此函数的解析式是解答此题的关键．
【详解】解：∵与x成正比例，
∴设，
∵时，，
∴，解得，
∴，即．
6．(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为
(2)或
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）利用点A坐标求得反比例函数解析式，然后可求一次函数解析式；
（2）根据图象及（1）可直接进行求解
【详解】（1）解：在反比例函数图象上，
把代入反比例函数得：，
解得，
反比例函数解析式为；
把代入一次函数得：
，
解得：，
一次函数解析式为；
（2）解：由（1）可联立：，
解得：，
∴，
∴当一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围为或．
7．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与一次函数的交点以及勾股定理．
（1）用待定系数法求一次函数解析式即可．
（2）先求出两条之间的交点C，过点C作轴于点D，求得和，利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：由题意，设为，
再将A、B两点代入得∶
，
解得：，
∴直线的解析式为：
（2）设直线和直线的交点为C，
联立两方程：，
解得：，
∴，
过点C作轴于点D，如图，
则，，，
在中，，
故直线被直线和y轴所截线段的长为．
8．
【分析】根据题意可设顶点式为，然后再进行求解即可．
【详解】解：设二次函数的解析式为，则把点代入得：
，
∴，
∴该二次函数的解析式为．
【点睛】本题主要考查二次函数的解析式，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．
9．
【分析】根据题意设，把代入求出的值，即可确定出解析式．
【详解】解：根据题意设，把代入得：，即，
则抛物线解析式为．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，熟练掌握待定系数法是解决本题的关键．
10．(1)
(2)
【分析】（1）把代入抛物线的解析式，从而可得答案；
（2）根据抛物线与的开口大小相同，开口方向相反，可得，结合顶点为，可得，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴抛物线为：；
（2）∵抛物线与的开口大小相同，开口方向相反，
∴，
∴抛物线为，
∵顶点为．
∴，
∴抛物线为：；
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，熟记待定系数法的方法与步骤是解本题的关键．
11．C
【分析】把点代入，求出的值，再令，得出，然后求解即可．
【详解】解：一次函数为常数的图象经过点，
，
解得：，
，
当时，，
解得：，
该一次函数的图象与轴交点的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
12．
【分析】
当时，，当时，可求，由，即可求解．
【详解】解：当时，，
当时，，
解得：，
，
，
解得：，
故答案：．
【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴围成的面积，掌握求法是解题的关键．
13．D
【分析】利用正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，即可求解．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，两函数图象交于点，
∴这个函数图象的另一个交点为，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数图象的性质，掌握反比例函数与正比例函数图象的性质是解题的关键．
14．
【分析】本题主要考查二次函数顶点式的性质，根据二次函数的图象的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：根据二次函数的顶点式可得，二次函数的图象的顶点坐标为．
故答案为：．
15．
【分析】设点，先计算抛物线的对称轴为，根据，代入解析式计算即可．
【详解】设点，
∵抛物线的对称轴为，点N是点关于抛物线的对称轴的对称点，
∴，
解得，
故点，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线的对称轴，对称计算，熟练掌握对称轴与对称点的关系是解题的关键．
16．B
【分析】先判断一次函数的增减性，再根据一次函数的增减性比较大小即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴中y的值随x的增大而减小．
∵，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，）当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小．
17．B
【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式可得：抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，y随x的增大而减小，抛物线的顶点坐标是，当时，y有最大值是，由此即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：，
，抛物线开口向下，对称轴为直线，故A错误，不符合题意；
当时，y随x的增大而减小，故B正确，符合题意；
抛物线的顶点坐标是，故C错误，不符合题意；
当时，y有最大值是，故D错误，不符合题意；
故选：B．
18．A
【分析】此题考查二次函数的性质，配方法将二次函数关系式化为顶点式，将函数关系式化为顶点式即可得到对称轴，熟练掌握配方法及二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：
∴抛物线的对称轴为直线，
故选：A．
19．D
【分析】本题主要考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，利用平移可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标．
【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后抛物线解析式为，即，
∴顶点坐标为，
故选：D．
20．B
【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，
所以该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵，，，且点离对称轴最近，点离对称轴最远，
∴；
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
21．D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：对于抛物线，
∵，
∴抛物线的开口向下，选项A正确，不符合题意；
∵当时，，
∴抛物线与y轴交于点，选项B正确，不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
∴当时，y取最大值，选项C正确，不符合题意；
∵，
∴抛物线与x轴有一个交点，故选项D不正确，符合题意，
故选：D．
22．D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题；根据二次函数的图象开口向上，可得，再由二次函数的图象的对称轴为直线，可得，可判断①；根据二次函数的图象与x轴有2个交点，可得，可判断②；根据当时，，可判断③；根据当时，以及，可判断④．
【详解】解：二次函数的图象开口向上，
∴，
∵二次函数的图象的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象与x轴有2个交点，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，故②正确；
∵当时，，
∴，故③正确；
∵当时，，
∴，
∵，
∴，故④正确；
故选：D
23．B
【分析】本题考查了二次函数的性质．用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，直接写出顶点坐标．
【详解】解：
∴顶点坐标是．
故选：B．
24．A
【分析】根据二次函数的图像判断a、b、c的正负，再根据函数性质判断图像即可得到答案；
【详解】解：由二次函数的图像可得，
，，，
∴，
根据，，即可得到一次函数图像过一二四象限，
根据，可得反比例函数图像过二四象限，
故选A．
【点睛】本题考查二次函数图像性质，一次函数图像性质，反比例函数图像性质，解题的关键是熟练掌握图像性质．
25．A
【分析】由k＜0可排除③④，由①经过（﹣2，3），②经过（﹣1，3），即可解答．
【详解】解：∵双曲线y＝﹣中，k＜0，
∴双曲线y＝﹣的分支在第二、四象限，可排除③④；
由图可知，①经过（﹣2，3），②经过（﹣1，3），
而3＝﹣，
故为双曲线y＝﹣的一个分支的是①．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的性质成为解答本题的关键．
26．B
【分析】本题考查了反比例函数的性质：先把点、、分别代入，然后比较a、b、c的大小，即可作答．
【详解】解：∵点、、在反比例函数的图象上，
∴把点、、分别代入，
得，，，
∴，
故选：B．
27．##
【分析】在中，，则函数图象过第一、三象限，在函数的图象不经过第二象限得，进行计算即可得．
【详解】解：∵中，，
∴函数图象过第一、三象限，
∵函数的图象不经过第二象限，
∴，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质．
28．
【分析】本题考查了旋转，一次函数与坐标轴的交点问题，由一次函数求出点的坐标，可得，再根据旋转可得，进而得到点的纵坐标和横坐标，即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：把代入得，，
把代入得，，
∴，，
∴，，
∵把绕点顺时针旋转后得到，
∴，，，，
∴轴，轴，
∴点的纵坐标为，横坐标为，
∴点的坐标是，
故答案为：．
29．0
【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.
【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，
∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，
∴，
故答案为：0.
【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题.
30．一、三##三、一
【分析】
本题考查了反比例函数的性质，的时，反比例函数经过第一、三象限，据此即可作答．
【详解】解：∵反比例函数，
∴函数图象所在象限是第一、三象限
故答案为：一、三
31．(1)
(2)，
(3)见解析
(4)
(5)
【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
（1）利用配方法化简即可；
（2）令，然后求解即可；
（3）用“五点法”取值描点连线即可求解；
（4）、（5）观察函数图象即可求解．
【详解】（1）解：由题意，由，
∴该抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
（2）解：由题意，令，
∴或．
∴该抛物线与x轴的交点为，．
故答案为：，．
（3）解：由题意，由抛物线，
∴抛物线的对称轴是直线．
令，则，
∴抛物线与y轴交于点．
又该抛物线与x轴的交点为，，
故作图如下．
（4）解：由题意，由结合（3）的图象，
∴图象在x轴下方部分对应的自变量即为所求．
∴．
故答案为：．
（5）解：由题意，当时，
∵当时，，
当时，．
当时，y取最小值为，
又结合（3）所作图象，
∴当时，．
故答案为：．
32．(1)①，点B的坐标是；②，
(2)
(3)，，
【分析】（1）①根据题意将点坐标代入中即可求得值即为二次函数解析式，再令即可得到点B的坐标；②将代入函数解析式即可得到本题答案；
（2）先将二次函数化成顶点式，根据二次函数图像及性质即可得到本题答案；
（3）根据二次函数顶点式可知函数对称轴，并画出简图，根据题干信息可求列出对称轴代数式求得，通过顶点式即可再次得知的值及m的取值范围．
【详解】（1）解：①解：∵函数图像与x轴交于点，
∴，∴．∴．
∴当时，有．解得，．
∴点B的坐标是．
②当时，有，解得，．
（2）解：∵，
∴当时，y有最小值为；
∵对于一切实数x，若函数值总成立，
∴．
（3）解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为．
∵当时（其中m、n为实数，），自变量x的取值范围是，
∴直线与抛物线的两个交点为，，直线在抛物线的下方，
，
∴，关于对称轴对称．
∴．
∴．
∴，
∴，
当时，y有最小值，
∴．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像性质．熟练掌握二次函数的图像的特点及规律是解题的重点.
答案第1页，共2页
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