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专题03 函数
易错点一：平面直角坐标系相关问题
1．平面直角坐标系的概念及点的坐标特征：
（1）各象限内点的坐标特征如图所示．
（2）点到坐标轴或坐标原点的距离：点P（x，y）到x轴的距离为_，到y轴的距离为_，到坐标原点的距离为_．
（3）特殊点的坐标特征：点P（x，y）在x轴上为_，在y轴上为_．若在第一、三象限的角平分线上，则_；若在第二、四象限的角平分线上，则_．
（4）坐标系内点的对称及平移：
点P（x，y） 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称
对称点的坐标
将点P（x，y）向左（或右）平移a（a>0）个单位，得对应点为（_，y）或（_，y）．向上（或下）平移b（b>0）个单位，得对应点为（x，_）或（x，_）．
（5）平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：
①平行于x轴的直线上，所有点的___________坐标相等．
②平行于y轴的直线上，所有点的___________坐标相等．
易错提醒：（1）明确点的横纵坐标分别对应点到y轴、x轴的距离，以此来确定坐标的绝对值；（2）明确点所在的象限，以此来确定坐标的符号；（3）平移时要分清是点的平移还是坐标系的平移，点的平移是左减右加．
例1．（2023·安徽芜湖·校考一模）
1．若点在第四象限，则a的取值范围是 ．
例2．（2023·安徽合肥·校考一模）
2．如图，若将（点C与点O重合）绕点O顺时针旋转度后得到，则点A的对应点的坐标是 ．

例3．（2022·安徽·模拟预测）
3．如图，在平面直角坐标系中，为格点三角形（三角形的顶点都在网格线的交点上）．

(1)将向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，请画出；
(2)在图中用无刻度的直尺画一条能将的周长与面积同时二等分的直线．
例4．（2022·安徽·模拟预测）
4．将一个图形先沿一条射线方向平移一定的距离得到图形，再作图形关于射线对称的图形，把由图形到图形的变换叫做滑动反射变换，简称滑动反射．如图，在菱形中，，点，点在轴正半轴上，且与点的横坐标相同，将菱形沿轴正方向作一次滑动反射得到菱形，作两次滑动反射得到菱形每次变换中平移的距离等于的长．
(1)点的坐标为_______；
(2)点的横坐标为_______；
(3)菱形（为正整数）的对称中心的纵坐标为_______．（用含的代数式表示）
（2023·安徽蚌埠·校联考二模）
5．如果点在第一象限，则点在第 象限．
（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考三模）
6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、均在格点上．

(1)画出向左平移5个单位后的图形，则点的坐标为 ．
(2)画出绕顺时针旋转后的图形，则点的坐标为 ．
(3)在（2）的条件下，扫过的面积为__________．
（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）
7．如图，的顶点坐标分别为，，．将绕原点O逆时针旋转90°的图形得到．
(1)画出的图形，并写出的坐标．
(2)若点在边上，直接写出点P旋转后对应点的坐标．
（2022·安徽·校联考模拟预测）
8．如图所示，在台球桌面ABCD上建立平面直角坐标系，点P从出发沿图中箭头方向运动，碰到边界（粗线）会发生反弹（反射角等于入射角）．若点P的运动速度为每秒个单位长度，则第2022秒时点P的坐标为（　　）

A． B． C． D．
易错点二：一次函数的相关问题
一、一次函数和正比例函数
1．定义：如果y=kx+b（k≠0），那么y叫x的一次函数，当b=0时，一次函数y=kx也叫正比例函数．正比例函数是一次函数的特例，具有一次函数的性质．
2．一次函数与正比例函数的关系
一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）与直线y=kx平行的一条直线．它可以由直线y=kx平移得到．它与x轴的交点为，与y轴的交点为（0，b）．
3．一次函数图象与性质
二、一次函数的图象与性质
函数 系数取值 大致图象 经过的象限 函数性质
y=kx（k≠0） k>0 一、三 y随x增大而增大
k<0 二、四 y随x增大而减小
y=kx+b（k≠0） k>0b>0 一、二、三 y随x增大而增大
k>0b<0 一、三、四
k<0b>0 一、二、四 y随x增大而减小
二、函数的概念
根据函数的概念，对于每一个自变量的值，都有唯一确定的y值与之对应，否则就不是函数关系．
易错提醒：（1）如果y=kx+b（k≠0），当b=0时，一次函数y=kx就叫正比例函数；（2）正比例函数是一次函数的特例，具有一次函数的性质，正比例函数是特殊的一次函数，但一次函数不一定是正比例函数；（3）一次函数图象与性质要熟练掌握．
例1．（2023·安徽·统考中考真题）
9．下列函数中，的值随值的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·安徽·统考中考真题）
10．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2019·安徽亳州·校联考一模）
11．一次函数与为常数，在同一平面直角坐标系中的图象应该是（ ）
A． B．
C． D．
（2021·安徽·统考中考真题）
12．某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（ ）
A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm
（2020·安徽·统考中考真题）
13．已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
（2023·安徽·模拟预测）
14．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·安徽合肥·校联考三模）
15．直线和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
（2023·安徽宿州·统考三模）
16．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示，当无人机上升时间为10s时，两架无人机的高度差为( )

A． B． C． D．
（2023·安徽合肥·统考三模）
17．下图是甲乙丙三位同学在一次长跑练习中所用时间与路程之间的函数图像，其中最先到达终点和平均速度最快的分别是（ ）

A．甲和乙 B．甲和丙 C．丙和甲 D．丙和乙
易错点三：反比例函数的相关问题
1．反比例函数的概念
一般地，形如y= （k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数．
反比例函数还有其他两种形式：
①y=kx-1（k为常数，k≠0）；
②xy=k（k为常数，k≠0）．
2．反比例函数的图象与性质
反比例函数
k的符号 k>0 k<0
图象
性质 （1）自变量x的取值范围为x≠0；（2）图象的两个分支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而 （1）自变量x的取值范围为x≠0；（2）图象的两个分支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而
3．反比例函数系数k的几何意义
易错提醒：（1）错把反比例函数的一般形式写成；在反比例函数中，自变量要写在分母的位置上；（2）对反比例函数图像的性质理解错误，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小；当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大；双曲线的两个部分是不连续的，解题时不能忽略在每一个象限内这一条．
例1．（2023·安徽·统考中考真题）
18．已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）

A． B． C． D．
例2．（2021·安徽·统考中考真题）
19．已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点A（m，2）．
（1）求k，m的值；
（2）在图中画出正比例函数的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
例3．（2023·安徽·统考中考真题）
20．如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过斜边的中点．

（1） ；
（2）为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为 ．
例4．（2022·安徽·统考中考真题）
21．如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则 ．
（2019·安徽·统考中考真题）
22．已知点A（1，-3）关于x轴的对称点在反比例函数的图像上，则实数k的值为（ ）
A．3 B． C．-3 D．
（2023·安徽·模拟预测）
23．如图，的顶点在轴上，顶点分别在反比例函数和的图象上．若的面积等于8，则的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
（2020·安徽·统考中考真题）
24．如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点与反比例函数上的图象在第一象限内交于点轴，轴，垂足分别为点，当矩形与的面积相等时，的值为 ．

（2022·安徽·模拟预测）
25．如图，点在双曲线上，过点作轴于点是轴负半轴上的一个动点，则的面积为 ．
（2023·安徽·模拟预测）
26．如图，的两个顶点分别在反比例函数和的图象上，顶点在轴上．已知平行于轴，且的面积等于7，则的值为 ．
（2022·安徽·模拟预测）
27．如图，一次函数和反比例函数的图象相交于两点，过点作轴的垂线，垂足分别为，四边形的面积为8．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)直接写出不等式的解集．
易错点四：二次函数的相关问题
1．二次函数的概念
一般地，形如（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项
2．二次函数的解析式
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：（a，b，c是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；
（3）交点式： （a≠0，是抛物线与x轴两交点的坐标，即一元二次方程的两个根）．
3．二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
函数 y=ax2+bx+c（a>0） y=ax2+bx+c（a<0）
开口方向 向上 向下
顶点坐标 （， （，）
对称轴 x= x=
增减性 x>时，y随x的增大而增大；x<时，y随x的增大而减小 x>时，y随x的增大而减小；x<时，y随x的增大而增大
最大（小）值 当x= 时，y最小值= 当x= 时，y最大值=
易错提醒：（1）二次函数y=ax2+bx+c中a≠0时，才能称为二次函数）；（2）二次函数的增减性由抛物线的开口方向，对称轴、点的位置等确定，增减性以对称轴为分界，左右两边有不同的增减性；（3）二次函数的最值有多种类型．如果自变量的取值范围是某个闭区间，那么其最值有可能在端点处，也有可能在顶点处．
例1．（2020·安徽·统考中考真题）
28．如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2021·安徽·统考中考真题）
29．设抛物线，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点，则 ；
（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ．
例3．（2023·安徽·统考中考真题）
30．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．
（ⅰ）当时，求与的面积之和；
（ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由．
例4．（2022·安徽·统考中考真题）
31．如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）．
（2023·安徽·模拟预测）
32．已知抛物线．
（1）该抛物线的顶点坐标为 ；
（2）若当时，该拋物线的最小值为，则的值为 或 ．
（2023·安徽·模拟预测）
33．已知拋物线与直线相交于点（点在点右侧），且．
（1）的值是 ．
（2）直线与抛物线相交于点，与直线相交于点，．若随的增大而增大，则的取值范围是 ．
（2023·安徽·模拟预测）
34．如图，为等腰直角三角形，，正方形的边长为1，且与在同一条直线上，从点与点重合开始，沿直线向右平移，直至点与点完全重合时停止．设的长为与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数图像大致是（ ）
A． B． C． D．
（2021·安徽·统考中考真题）
35．已知抛物线的对称轴为直线．
（1）求a的值；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，．比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．
（2020·安徽·统考中考真题）
36．在平面直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点．
判断点是否在直线上．并说明理由；
求的值；
平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
（2023·安徽·模拟预测）
37．某蔬菜基地调洒水车来浇灌菜地，已知洒水的剖面是由、两条拋物线和地面组成，建立如图的平面直角坐标系．拋物线的函数表达式为，拋物线上点的坐标为，其最高点离地面的高度是米，且恰好在点的正上方．
(1)如图1，当时，求抛物线与轴正半轴的交点坐标．

(2)如图2，若大棚的一边是防风墙，防风墙距离点有11米，墙高米，要想所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外，求的取值范围．

(3)如图3，在（2）抛物线正好经过墙角的条件下，为了防止强光灼伤蔬菜，菜农将遮阴网（用线段表示，与拋物线相交于点）两端固定在两处，点距点正好2米．若是线段上一动点，过点作轴交拋物线于点，求长度的最大值．

（2022·安徽·模拟预测）
38．如图，已知抛物线与轴正半轴交于点A，与轴负半轴交于点，且，与直线交于两点．
(1)求点的坐标；
(2)当时，求的面积；
(3)取何值时的面积最小？最小面积是多少？
（2023·安徽·模拟预测）
39．如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且．
(1)求该拋物线的表达式；
(2)连接是该抛物线上的一个动点，且位于线段的下方，相交于点，求的最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】根据第四象限内点的符号特征：，列出不等式进行求解即可．
【详解】解：∵点在第四象限，
∴，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查象限内点的符号特征，解一元一次不等式．熟练掌握第四象限内点的符号特征：，是解题的关键．
2．
【分析】根据题意，画出旋转图形，根据坐标系即可求解．
【详解】解：如图所示，

∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，求点的坐标，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-平移变换及轴对称，熟练掌握平移的性质及轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据等腰三角形轴对称的性质进行作图即可．
【详解】（1）如图，即为所作；
（2）如图，直线l即为所作；

4．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查坐标与图形，菱形的性质等知识：
（1）连接，证出轴，得是等边三角形，求出，得出点A，C的坐标，从而可求出点的坐标；
（2）根据求解即可；
（3）分别求出菱形和菱形对称中心的纵坐标，即可得到规律．
【详解】（1）解：连接，
∵点在轴正半轴上，且与点的横坐标相同，
∴轴，
在菱形中，
∴
∴
∴是等边三角形，
∵
∴
∴
，
∴，
将菱形沿轴正方向作一次滑动反射得到菱形，
∴；
故答案为：；
（2）解：由（1）知，
∴
∴，
∴点的横坐标为，
故答案为：；
（3）解：∵菱形对称中心的纵坐标，
菱形对称中心的纵坐标为1，
∴菱形（为正整数）的对称中心的纵坐标为，
故答案为：．
5．四
【分析】先根据第一象限的点横纵坐标都为正求出，进而得到，再根据第四象限的点的坐标特征即可得到答案．
【详解】解；∵点在第一象限，
∴，
∴，
∴点在第四象限，
故答案为：四．
【点睛】本题主要考查了坐标系中每个象限内的点的坐标特征，熟知每个象限的点的坐标特征是解题的关键：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．
6．(1)见解析，；
(2)见解析，；
(3)
【分析】（1）根据平移的性质找出的对应顶点的位置，顺次连接即可，然后根据所作图形可得点的坐标；
（2）根据旋转的性质找出的对应顶点的位置，顺次连接即可，然后根据所作图形可得点的坐标；
（3）首先求出，然后根据扫过的面积列式计算即可．
【详解】（1）解：如图所示：

由图可知：，
故答案为：；
（2）如图所示：

由图可知，，
故答案为：；
（3）∵，
∴扫过的面积
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了画平移图形和旋转图形，勾股定理以及扇形的面积计算，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
7．(1)见解析，
(2)
【分析】（1）分别作出点，绕原点逆时针旋转的对应点，，顺次连接、、即可，根据图可直接得出的坐标；
（2）按照（1）中点的旋转规律，即可写出点旋转后对应点的坐标为．然后设解析式为，把代入求得，则，把代入，得，即，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，△即为所求；
的坐标为；
（2）解：由（1）可得点绕原点逆时针旋转得到点，
绕原点逆时针旋转得到点，
将点绕原点逆时针旋转后对应点的坐标为．
设解析式为，把代入求得，
∴
把代入，得，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了旋转作图和坐标系中绕原点旋转的坐标规律，待定系数法求一次函数解析式，根据题意准确作图和求出m值是解题的关键．
8．C
【分析】根据小球的运动方向可得出小球运动一周所走的路程，再由运动速度得出运动一周所用的时间，从而得出第2022秒的小球所在位置．
【详解】解：根据题意画出图形得：

小球运动一周所走的路程，
∵小球以每秒个单位长度的速度运动，
∴小球运动一周所用的时间为：（秒），
∴，
∴第2022秒的小球所在位置为点E，
∴点E的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，掌握勾股定理以及坐标的表示方法是解题的关键．
9．D
【分析】根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，，对称轴为直线，
当时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，，对称轴为直线，
当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，，的值随值的增大而减小，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
10．D
【分析】分为和两种情况，利用一次函数图像的性质进行判断即可．
【详解】解：当时，两个函数的函数值：，即两个图像都过点，故选项A、C不符合题意；
当时，，一次函数经过一、二、三象限，一次函数经过一、二、三象限，都与轴正半轴有交点，故选项B不符合题意；
当时，，一次函数经过一、二、四象限，与轴正半轴有交点，一次函数经过一、三、四象限，与轴负半轴有交点，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质．理解和掌握它的性质是解题的关键．
一次函数的图像有四种情况：
①当，时，函数的图像经过第一、二、三象限；
②当，时，函数的图像经过第一、三、四象限；
③当，时，函数的图像经过第一、二、四象限；
④当，时，函数的图像经过第二、三、四象限．
11．C
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案．
【详解】解：根据一次函数的图象分析可得：
A、由一次函数图象可知，，；正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误；
B、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项正确；
C、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，一致，故此选项正确；
D、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象，解题的关键是掌握一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象．
12．B
【分析】设，分别将和代入求出一次函数解析式，把代入即可求解．
【详解】解：设，分别将和代入可得：
，
解得 ，
∴，
当时，，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握用待定系数法求解析式是解题的关键．
13．B
【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．
【详解】∵一次函数的函数值随的增大而减小，
∴k﹤0，
A．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；
B．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；
C．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；
D．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=﹥0，此选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
14．D
【分析】本题主要查了一次函数的图象和性质，根据图象得出，，，，再根据运算法则，以及图像上的点的情况，即可对选项做出判断．
【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限，
，．
一次函数的图象过第一、三、四象限，
，，
，，
A项，B项错误，不符合题意；
由图象可知当时，，
，即，
C项错误，不符合题意；
由图象可知当时，，，即，，
，
D项正确，符合题意．
故选：D．
15．B
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．分别根据两条直线经过的象限判断出的符号，找出两者一致的即可．
【详解】解：A、由直线的图象可知，；由的图象可知，，即，则此项不符合题意；
B、由直线的图象可知，；由的图象可知，，即，则此项符合题意；
C、由直线的图象可知，；由的图象可知，，即，则此项不符合题意；
D、由直线的图象可知，；由的图象可知，，即，则此项不符合题意；
故选：B．
16．C
【分析】分别解出甲、乙无人机所在的位置距离地面的高度y与无人机上升的时间的函数关系式，即可求解．
【详解】解：设甲、乙无人机所在的位置距离地面的高度与无人机上升的时间的函数关系式分别为，，
过点，
，解得，
；
过点，，
，解得，
，
当时，，，
两架无人机的高度差为，
故选C．
【点睛】本题主要考查求一次函数的解析式，掌握求一次函数的解析式是解题的关键．
17．B
【分析】直接观察图像即可判断谁先到达终点，直线倾斜度越大即直线越陡，则速度越快.
【详解】观察图像可知甲最先到达终点，丙最后到达终点，表示乙的直线倾斜度最小，表示丙的直线倾斜度最大，故丙的速度最快.
故选B.
【点睛】本题主要考查了根据一次函数图像解决实际问题，在路程与时间的关系图中，比例系数k表示速度，k越大，直线越陡，则表示速度越快，掌握以上知识是解题的关键.
18．A
【分析】设，则，，将点，代入，得出，代入二次函数，可得当时，，则，得出对称轴为直线，抛物线对称轴在轴的右侧，且过定点，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，

设，则，根据图象可得，
将点代入，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
对称轴为直线，
当时，，
∴抛物线经过点，
∴抛物线对称轴在的右侧，且过定点，
当时，，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出是解题的关键．
19．（1）的值分别是和3；（2）或
【分析】（1）把点A（m，2）代入求得m的值，从而得点A的坐标，再代入求得k值即可；
（2）在坐标系中画出的图象，根据正比例函数的图象与反比例函数图象的两个交点坐标关于原点对称，求得另一个交点的坐标，观察图象即可解答．
【详解】（1）将代入得，
，
，
将代入得，
，
的值分别是和3．
（2）正比例函数的图象如图所示，
∵正比例函数与反比例函数的图象都经过点A（3，2），
∴正比例函数与反比例函数的图象的另一个交点坐标为（-3，-2），
由图可知：正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围为或．
【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合题，利用数形结合思想是解决问题的关键．
20．
【分析】（1）根据已知条件得出的坐标，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的得出的坐标，进而即可求解；
（2）根据题意，求得直线，联立与反比例函数解析式，得出的坐标，进而根据两点距离公式求得，，进而即可求解．
【详解】解：（1）∵，，
∴
∴，
∵是的中点，
∴，
∵反比例函数的图象经过斜边的中点．
∴；
∴反比例数解析式为
故答案为：；
（2）∵，
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为，
∵，
设直线的解析式为，将点代入并解得，
∴直线的解析式为，
∵反比例数解析式为
联立
解得：或
当时，
当时，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
21．3
【分析】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，先证四边形CDEB为矩形，得出CD=BE，再证Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根据S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA=即可．
【详解】解：过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，
∴CD∥BE，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴ ，即，OC=AB，
∴四边形CDEB为平行四边形，
∵CD⊥OA，
∴四边形CDEB为矩形，
∴CD=BE，
∴在Rt△COD和Rt△BAE中，
，
∴Rt△COD≌Rt△BAE（HL），
∴S△OCD=S△ABE，
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=AD，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴S△OCD=S△CAD=，
∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，
∴S△OBA=，
∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=，
∴．
故答案为3．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质．
22．A
【分析】先求出坐标，代入函数解析式即可求出k．
【详解】解：点A（1，-3）关于x轴的对称点的坐标为：（1，3），
将（1，3）代入反比例函数，
可得：k=1×3=3，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，根据对称的性质求出的坐标是解题关键．
23．D
【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．也考查了平行四边形的性质．
连接OB，如图，利用平行四边形的性质得垂直y轴，则利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到和，所以，然后根据平行四边形的面积公式可得到的面积，即可求出k的值．
【详解】解：连接，如图，
∵四边形为平行四边形，
垂直y轴，
的面积．
，
，
故选：D．
24．
【分析】根据题意由反比例函数的几何意义得：再求解的坐标及建立方程求解即可．
【详解】解： 矩形，在上，
把代入：
把代入：
由题意得：
解得：（舍去）
故答案为：
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的性质，掌握反比例函数中的几何意义，一次函数与坐标轴围成的三角形面积的计算是解题的关键．
25．4
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，由题意可得中为底，为高，利用三角形的面积公式求出即可．
【详解】解：把代入，得，
∴点的坐标为，
∵轴，
∴轴，
∴点的坐标为，
∴，
，
故答案为：4．
26．
【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，分别过点作轴的垂线，垂足分别为点，设交轴于点，则，，根据和图象所在的象限求出k值即可．
【详解】分别过点作轴的垂线，垂足分别为点，设交轴于点．
，
．
∵点在反比例函数的图象上，
．
∵点在反比例函数的图象上，
．
由图象知
故答案为：．
27．(1)一次函数的表达式为；反比例函数的表达式为
(2)或
【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数交点问题，以及函数与不等式的关系等知识：
（1）用四边形的面积得出的值，再将求出的点A，B的坐标代入一次函数中即可求出k，b的值；
（2）根据两函数图象遥上下关系结合点A，B的坐标，即可得出不等式的解集．
【详解】（1）解：由题意得，点A的坐标为，点B 的坐标为，
∴，，，
∴，
解得，，
∴反比例函数的解析式为；
∴，，
代 入，得，
解得，
所以，一次函数解析式为：；
（2）解：由函数图象得：当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，
所以，不等式的解集为或．
28．A
【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得
【详解】C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,面积为y=x··=,
B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,面积为
y=(4－x)··=,
两个三角形重合时面积正好为.
由二次函数图象的性质可判断答案为A,
故选A.
【点睛】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论.
29． 0 2
【分析】（1）直接将点代入计算即可
（2）先根据平移得出新的抛物线的解析式，再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐标，再通过配方得出最值
【详解】解：（1）将代入得：
故答案为：0
（2）根据题意可得新的函数解析式为：
由抛物线顶点坐标
得新抛物线顶点的纵坐标为：
∵
∴当a=1时，有最大值为8，
∴所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是
故答案为：2
【点睛】本题考查将抛物线的顶点坐标、将点代入代入函数解析式、利用配方法求最值是常用的方法
30．(1)
(2)（ⅰ）；（2）
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）（ⅰ）根据题意画出图形，得出，，，继而得出，，当时，根据三角形的面积公式，即可求解．
（ⅱ）根据（ⅰ）的结论，分和分别求得梯形的面积，根据四边形的面积为建立方程，解方程进而即可求解．
【详解】（1）解：依题意，，
解得：，
∴；
（2）（ⅰ）设直线的解析式为，
∵，
∴
解得：，
∴直线，
如图所示，依题意，，，，

∴，
，
∴当时，与的面积之和为，
（ⅱ）当点在对称右侧时，则，
∴，
当时，，
∴，
∴，
解得：，

当时，，
∴，
∴，
解得：（舍去）或（舍去）

综上所述，．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，待定系数法求二次函数解析式，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
31．(1)y＝x2＋8
(2)（ⅰ）l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：最大面积27，＋9≤P1横坐标≤；方案二：最大面积＋≤P1横坐标≤
【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；
（2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，－m2＋8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；
（ⅱ）设P2P1＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围．
【详解】（1）由题意可得：A（－6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入，
（－6）2a＋8＝2，
解得：a＝，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋8；
（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，
∴P2的坐标为（m，m2＋8），
∴P1P2＝P3P4＝MN＝m2＋8，P2P3＝2m，
∴l＝3（m2＋8）＋2m＝m2＋2m＋24＝（m－2）2＋26，
∵＜0，
∴当m＝2时，l有最大值为26，
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；
（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，
∵－3＜0，
∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，
此时P2P1＝3，P2P3＝9，
令x2＋8＝3，
解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为＋9≤P1横坐标≤，
方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝9－n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－）2＋，
∵－1＜0，
∴当n＝时，矩形面积有最大值为，
此时P2P1＝，P2P3＝，
令x2＋8＝，
解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为＋≤P1横坐标≤．
【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．
32． 3
【分析】（1）本题考查将二次函数一般式化为顶点式，利用配方法将化为顶点式，即可解题．
（2）本题考查二次函数的图象和性质，根据或，分情况讨论二次函数在何处取得最值，根据最小值为，建立等式求解，即可解题．
【详解】（1）解：，
顶点坐标为．
故答案为：．
（2）当时，挞物线开口向上，
在顶点处取得最小值，即，
；
当时，抛物线开口向下，当时，端点是图象最低点，
在处取得最小值，即，
．
综上所述，的值为或3．
故答案为：，3．
33． 2
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，数形结合是解答本题的关键．
（1）先求出拋物线与直线交点横坐标，然后根据即可求出的值；
（2）设，，表示出的长，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）当时，，
解得，
，
即；
（2）当时，拋物线为，点，点，顶点为．
直线与轴交于点．
设，，
则，
∵当时，随的增大而增大，
∴，
解得．
34．B
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，抛物线的解析式及其图像，分割法计算面积，分类思想，图像信息的获取与处理，利用分类思想，表示不同阶段的图形面积，再画出大致图像即可．
【详解】解：①当时，∵为等腰直角三角形，，正方形的边长为1，
∴
∵设的长为x,
∴；
②当时，
∵设的长为x,
∴,,
∵,
∴
；
③当时，根据题意，得，
，
∴
．
∴．观察图像，知B项正确，
故选：B．
35．（1）；（2），见解析；（3）
【分析】（1）根据对称轴，代值计算即可
（2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果
（3）先根据求根公式计算出，再表示出，=，即可得出结论
【详解】解：（1）由题意得：
（2）抛物线对称轴为直线，且
当时，y随x的增大而减小，
当时，y随x的增大而增大．
当时，y1随x1的增大而减小，
时，，时，
同理：时，y2随x2的增大而增大
时，．
时，

（3）令

令
AB与CD的比值为
【点睛】本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点
36．（1）点在直线上，理由见详解；（2）a=-1，b=2；（3）
【分析】（1）先将A代入，求出直线解析式，然后将将B代入看式子能否成立即可；
（2）先跟抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，判断出抛物线只能经过A，C两点，然后将A，C两点坐标代入得出关于a，b的二元一次方程组；
（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，根据顶点在直线上，得出k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，在将式子配方即可求出最大值．
【详解】（1）点在直线上，理由如下：
将A（1，2）代入得，
解得m=1，
∴直线解析式为，
将B（2，3）代入，式子成立，
∴点在直线上；
（2）∵抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A，C两点，
将A，C两点坐标代入得，
解得：a=-1，b=2；
（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，
∵顶点在直线上，
∴k=h+1，
令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，
∵-h2+h+1=-（h-）2+，
∴当h=时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移和求最值，求出两个函数的表达式是解题关键．
37．(1)拋物线与轴正半轴的交点坐标为
(2)
(3)米
【分析】（1）先求出点D的坐标，进而求出点M的坐标，设抛物线的函数表达式为，把点A的坐标代入，求出抛物线的函数表达式，最后令，求出对的x的值即可；
（2），则可求当时，，然后根据所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外得出，即可求解；
（3）先求直线的表达式为，抛物线的表达式为，设点的横坐标为，则，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得，
解得，
点的坐标为，
抛物线的顶点的坐标为．
设抛物线的函数表达式为．
将点代入，得，解得，
抛物线的函数表达式为．
令，得，
解得，
拋物线与轴正半轴的交点坐标为．
（2）解：设抛物线的函数表达式为．
它经过点，
，
，
当时，．
要想所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外，
，
解得，
的取值范围为．
设抛物线的函数表达式为，把点A坐标代入，求出
（3）解：由题意知，点的坐标为，点的坐标为．
设所在直线的函数表达式为，
，解得
．
拋物线正好经过墙角，
抛物线的函数表达式为．
设点的横坐标为．
轴，点的横坐标为．
．
，
当时，取最大值，
即长度的最大值为米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法，二次函数的性质，线段长度问题等知识，明确题意，运用方程思想与数形结合思想是解题的关键．
38．(1)点的坐标为
(2)10
(3)时，的面积最小，最小面积是8
【分析】（1）由题意得点的坐标为，根据，得出点A的坐标为，把点A的坐标代入抛物线的解析式即可得出答案；
（2）当时，直线的函数表达式为，设直线与轴交于点，求出点的坐标为，得出，令，解得，根据三角形面积公式求出结果即可；
（3）令，解得，得出，表示出与之间的函数关系式为：，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：由题意得点的坐标为，
，
∴点A的坐标为，
，
解得或（舍去），
点的坐标为．
（2）解：抛物线的函数表达式为，
当时，直线的函数表达式为，
设直线与轴交于点，把代入得：，
∴点的坐标为，
，
由，得，
．
（3）解：同（2）可得，当时，
即，
解得，
，
与之间的函数关系式为：．
当时，有最小值为8．
故时，的面积最小，最小面积是8．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的面积问题，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质．
39．(1)
(2)
【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）求出直线的解析式，过点作轴，交于点，则，然后设点，点，根据求出最值即可解题．
【详解】（1）由题意知，
设该拋物线的表达式为，
将点代入，解得．
该拋物线的表达式为．
（2）设直线的表达式为．
由题意可得解得
直线的表达式为．
过点作轴，交于点，则．
由（1）知拋物线的表达式为，
设点，点，
．
，
，
，
当时，有最大值，最大值为．
答案第1页，共2页
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