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专题06函数模型解决实际问题
易错点一：自变量的取值范围的确定
在利用函数解决实际问题时，要特别注意自变量的取值范围，例如确定有多少人、几条船等，那么自变量就不能取负数和小数，一定要是非负整数，再比如汽车速度取值时，要考虑题设中有没有汽车速度的限制速度范围，若题目中有，那么汽车速度的取值范围只能在限制速度范围内取值，不能随意取值．
易错提醒：取值范围的确定一定要考虑两个方面，一是数学意义，二是实际意义．
例1
1．某班数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请完成下面各小题．
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 3 m 0 0 3 …
其中，_______；
(2)完成函数图象，直接写出：
①方程的实数根有________个；
②关于x的方程有4个实数根时，则a的取值范围是____________．
2．甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，结合图象信息解答下列问题：

(1)甲登山的速度是每分钟_______米，_______；
(2)请直接写出乙距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；求出点E的坐标，并解释点E的实际意义；
(3)求登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．
（23-24九年级上·天津·阶段练习）
3．如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙，另三边除大门外用篱笆围成．已知篱笆总长为，门宽是，若设这块场地的宽为．
(1)求场地的面积与之间的函数关系式；
(2)写出自变量的取值范围．
（2023·贵州黔东南·二模）
4．某车行经销的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元，今年6月份与去年同期相比，销售数量相同，销售总额增加．今年A，B两种型号车的进价和售价如下表：
A型车 B型车
进货价格（元） 800 950
销售价格（元） 今年的销售价格 1200
(1)求今年A型车每辆售价多少元？
(2)该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且A型车辆至少30辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多？
易错点二：识别几何性质与函数模型
在做几何与函数相结合的题目时，要注意结合几何性质来确定函数，有时候往往需要分类讨论，例如涉及到等腰三角形时和反比例函数时，要对等腰三角形进行分类讨论，从而得到不同的反比例函数．
易错提醒：遇到此类问题可以在直角坐标系中画出几何图形，有利于解题思路的打开．
例1（23-24九年级上·天津滨海新·期中）
5．如图，已知，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为．与y轴交于点在抛物线上．
(1)求抛物线的表达式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点P，求出当最小时点P的坐标；
(3)若抛物线上有一动点Q，Q点在直线的下方，当使的面积最大时，求Q点坐标．
（23-24九年级上·天津和平·期末）
6．如图，某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的正中心有一个竖直的立柱，从立柱的顶端向外喷水，喷出的水恰好落在喷水池的边缘处，已知喷出的水柱为相同的抛物线，且在距离水池中心3米处达到最大高度为5米，以水池直径所在的直线为x轴，立柱所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)第一象限抛物线的顶点坐标为 ，与x轴交点B坐标为 ；
(2)求第一象限水柱所在抛物线的函数表达式；
(3)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？请说明理由．
（23-24九年级上·天津滨海新·期末）
7．抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，已知，抛物线顶点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是线段上的一个动点，过点D作轴于点E,延长交抛物线于点F,求线段的最大值及此时点D的坐标；
(3)在y轴上是否存在一点P,使得．若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．
易错点三：利用数形结合思想解决函数问题
数形结合思想方法的运用，要注意结合图像性质解题．函数图象与图形结合学会从复杂图形分解为简单图形的方法，图形为图像提供数据或者图像为图形提供数据．
易错提醒：熟能生巧，利用数学思想解决数学问题是能力的体现．
例1
8．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(-2，3)，在坐标轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
例2（23-24九年级上·天津河西·期中）
9．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为 ．

(1)的长度是否能有两个不同的值都满足菜园面积为？说明理由．
(2)当的长为多少时，围成的菜园面积最大？
10．点，，在反比例函数的图像上，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
（23-24九年级上·天津南开·阶段练习）
11．已知关于x的二次函数（实数b，c为常数）.
(1)若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式及顶点坐标；
(2)若，，则该抛物线的顶点随着k的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
(3)记关于x的二次函数，若在（1）的条件下，当时，总有，求实数m的取值范围．
（2023·天津河西·一模）
12．在平面直角坐标系中，有，，点Q在边上，过点Q作于Q，且，以PQ为边向右侧作正方形，设．
(1)如图①，当点E与点A重合时，求t的值；
(2)如图②，当点E在点A右侧，且正方形与重叠部分为五边形时，边与边相交于点M，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围；
(3)设正方形与重叠部分图形的面积为S．当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
（2022·天津和平·一模）
13．在平面直角坐标系中，△AOB为直角三角形，点O（0，0），点A（0，3），点B在轴的正半轴上，∠OAB=30°，点P为AB的中点．
(1)如图①，求点P的坐标；
(2)以点O为中心，顺时针旋转△AOP，得到△A1OP1，记旋转角为（），点A，P的对应点分别为A1，P1．
①如图②，线段OA1交线段AB于点M，线段OP1交线段AB于点N，当△OMN为等腰三角形时，求点A1的坐标；
②直线OA1交直线AB于点M，直线OP1交线段AB于点N，当△OMN为等腰三角形时，求的度数（直接写出结果即可）．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)0
(2)图像见解析；①3；②
【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
（1）根据函数的对称性即可求解；
（2）描点画出函数图象即可；
①从图象上看函数与x轴有3个交点，故对应方程有3个根，即可求解；
②有4个实数根时，即和有4个交点，从图象看即可得出结论．
【详解】（1）解：根据函数的对称性可得，，
故答案为：0；
（2）解：描点画出如下函数图象：
①从图象上看函数与x轴有3个交点，故对应方程有3个根，
故答案为：3；
②方程有4个实数根时，即和有4个交点，
从图象看，此时，
故答案为：．
2．(1)10；11
(2)，点E的坐标为，点E的实际意义：登山6.5分钟时，乙追上了甲；
(3)登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲乙两人距离地面的高度差为50米．
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
（1）根据速度高度时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度速度时间即可算出乙在地时距地面的高度的值；据此求得的值；
（2）利用待定系数法求解即可；联立得，据此即可求得点E的坐标；
（3）根据函数图象和题意可以得到登山多长时间时，甲．乙在距地面的高度差50米．
【详解】（1）解：甲登山的速度是：（米分钟），
乙在地时距地面的高度，
则乙提速后，乙的登山速度是（米分钟），
∴，
故答案为：10；11；
（2）解：当时，设乙对应的函数解析式为，
则，解得，
∴乙对应的函数解析式为，
当时，设乙对应的函数解析式为，
则，解得，
∴乙对应的函数解析式为，
乙距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数关系式为，
同理，求得甲对应的函数关系式为：，
联立得，
解得．
点E的坐标为，点E的实际意义：登山6.5分钟时，乙追上了甲；
（3）解：当，解得，
当，解得，
当，解得，
故登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲乙两人距离地面的高度差为50米．
3．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的应用；
（1）根据矩形的面积列出关系式；
（2）根据边长大于，宽大于门宽，列出不等式组，解不等式组，即可求解．
【详解】（1）由题意得；
（2），
，
又门宽是，
，
．
4．(1)今年A型车每辆售价元
(2)应进A型车30辆，B型车20辆.售完后获利最多
【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键．
（1）设今年型车每辆售价元，去年型车辆的售价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出答案；
（2）设今年进型车辆，则型车辆，总获利为元，根据题意得出关于的关系式，由一次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：设今年型车每辆售价元，去年型车辆的售价为元，
由题意，得，
解得，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
答：今年型车每辆售价元；
（2）解：设今年进型车辆，则型车辆，总获利为元，
则，
又，
∴随的增大而减小，
又，
∴当时，最大为，
∴应进型车30辆，型车20辆，售完后获利最多．
5．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题目中点和点的坐标，利用待定系数法可以求得该抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求得直线的函数解析式为，根据二次函数图象具有对称性和两点之间线段最短可知，连接点和点与直线的交点就是使得最小时的点，进而可点的坐标；
（3）设，过点作轴，交于，则，得，则，即，，由二次函数的性质可得当时，有最大值，此时，即可得此时点的坐标．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点和点，
∴，得：，
即抛物线的解析式为；
（2）∵抛物线解析式为，
∴该抛物线的对称轴为直线，
∵点为抛物线的对称轴上的一动点，点和点关于直线对称，
∴，则
∵两点之间线段最短，
∴连接点和点与直线的交点就是使得最小时的点，
设过点和点的直线解析式为，
得：，解得：，
即直线的函数解析式为，
当时，，
即点的坐标为；
（3）设，过点作轴，交于，则，
∴，
则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，此时，
即：此时点的坐标为．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、最短路线问题，抛物线中三角形面积问题等，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
6．(1)；
(2)
(3)为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心米以内
【分析】（1）根据图形，结合圆形喷水池直径，得出抛物线的顶点坐标，点B的坐标即可；
（2）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点，求出值，此题得解；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的值，由此即可得出结论．
【详解】（1）解：根据图可知，第一象限抛物线的顶点坐标为，
∵直径为16米的圆形喷水池，喷水池的正中心有一个竖直的立柱，从立柱的顶端向外喷水，喷出的水恰好落在喷水池的边缘处，
∴点B的坐标为．
故答案为：；．
（2）解：设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，
将代入，
得：，
解得：，
水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为．
（3）解：把代入得：
，
解得：（舍去），，
∴为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心米以内．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当时的值．
7．(1)
(2)2；
(3)存在，或
【分析】（1）设，结合，对称轴为顶点的横坐标为，确定，得到．构造方程组求解即可．
（2）根据得到，结合，设直线的解析式为，设，则，则，计算即可．
（3）如图，设，过点P作于点G，结合，设，则，，利用特殊角的三角函数计算即可．
【详解】（1）设，∵，抛物线顶点的横坐标为，
∴，
解得，
∴．
∴，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）根据得到，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为：，
设，则，
∴，
∵抛物线开口向下，故当时，有最大值，且最大值为2，
此时．
（3）存在，且或．理由如下：
如图，设，过点P作于点G，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
解得，
∴，
∴，
解得，
故点；
当点P关于原点的对称点，根据对称性质，此时的点P也符合条件的，
故
故点或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，线段型构造二次函数求最值，角的和问题，特殊角的三角函数值，正切函数，原点对称，熟练掌握待定系数法，三角函数是解题的关键．
8．A
【分析】根据等腰三角形的判定得出以OA为底，或OA为腰两种情况，依此即可得出答案．
【详解】①以A为圆心，以AO为半径作圆，此时交x轴只有1个点（O除外）；交y轴1个交点；
②以O为圆心，以OA为半径作圆，此时交x轴和y轴分别有2个点；
③作线段AO的垂直平分线，此时交x轴和y轴分别有1个点；
综上，符合条件的点P共有8个
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论．
9．(1)能，理由见解析
(2)当的长为时，菜园面积最大
【分析】（1）根据矩形的面积列方程，解方程求出x的值即可以解答；
（2）设菜园的面积为，列出函数关系式，然后配方找到最大值解题即可．
【详解】（1）设长为，则的长为．
依题意，得
整理得
解得．
由的长不能超过，
∴，解得，
所以的长有两个不同的值满足菜园面积为是正确的．
（2）设菜园的面积为
则．
当时，S取最大值．
答：当的长为时，菜园面积最大．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出方程和关系式是解题的关键．
10．D
【分析】根据反比例函数的性质和反比例函数增减性，结合函数的纵坐标即可解答．
【详解】解：∵，
∴时，，y随着x的增大而减小，时，，y随着x的增大而减小，
∵，
∴，即 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的性质和反比例函数增减性是解题的关键．
11．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，化顶点式等知识．
（1）将点代入二次函数的解析式可得c的值，根据二次函数的对称轴可得b的值，由此即可得；
（2）由，得出 ，从而得到顶点的横坐标为：，顶点的纵坐标为：，即从而得到当时，顶点移动到最高处，此时抛物线的顶点坐标为；
（3）先根据可得令，再根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得．
【详解】（1）解：将点代入得：，
∵二次函数的对称轴为，
∴，解得，
二次函数的表达式为；
（2）解：∵，，
∴顶点的横坐标为：，
顶点的纵坐标为：，即，
∴当时，顶点移动到最高处，此时抛物线的顶点坐标为，
（3）解：由1可知，，
由得：，即，
令，它的对称轴是直线，且开口向上，
∴在内，随x的增大而增大，
要使得当时，总有即，
则只需当时，即可，
因此有，
解得：．
12．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正方形性质得到，结合A点坐标根据长度列式即可得到答案；
（2）根据，可得到，再根据线段加减即可得到答案；
（3）由正方形得到，，用t表示出，根据面积加减直接表示出S与t函数关系式，结合函数的性质即可得到答案；
【详解】（1）解∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：在中，，
∵于Q，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，解得：，
①当时，
，
∴当时，的最小值为，最大值为；
②当时，
,
当时，的最小值为；
当时，的最大值为；
③当时，
∴当时，
当时，的最小值为；
当时，；
综上所述：
【点睛】本题考查正方形的性质，平行线所截线段对应成比例，二次函数的性质解直角三角形，解题的关键是根据三角函数直接得到线段之间的关系．
13．(1)P（）
(2)①A1的坐标为（）；②α的度数为45°或90°或135°
【分析】（1）如图①，过P作于H，可知，是的中位线，，根据，，求出的长，求出的长，，进而可得点坐标；
（2）①如图②，过点作轴，由题意知，分三种情况求解：情况一、当时，，，，．中，，根据，求的值，，求的值，进而可得坐标；情况二、当时，，由可知不成立；情况三、当时，，由可知不成立；②由题意知，分三种情况求解：如图③，情况一、时，由①中可知，，△OMN为等腰三角形，此时的旋转角为45°；情况二、当时，，根据三角形内角和定理以及三角形外角的性质求解即可；情况三、当时， ，，根据三角形内角和定理以及三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图①，过P作于H，
∴
∵P是AB的中点
∴是的中位线
∴
∵点A的坐标为（0，3），
∴
∵
∴
∴
∵
∴．
（2）①解：如图②，过点作轴
由题意知，分三种情况求解：
情况一、当时，
∵，
∴
由旋转的性质可知
∴
∵，
∴
∵，
∴．
∵轴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
情况二、当时，
∵
∴不成立；
情况三、当时，
∴不成立；
综上所述，当△OMN为等腰三角形时，的坐标为．
②由题意知，分三种情况求解：如图③
情况一、时，由①中可知，，△OMN为等腰三角形，此时的旋转角为45°；
情况二、当时，，
∴
∵
∴；
∴，△OMN为等腰三角形，此时的旋转角为90°；
情况三、当时，，
∴
∵
∴
∴
∴，△OMN为等腰三角形，此时的旋转角为135°；
综上所述，△OMN为等腰三角形时的旋转角为45°或90°或135°．
【点睛】本题考查了中位线，三角函数值，旋转的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．体现了分类讨论的思想．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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