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专题01实数的相关概念及计算
易错点一：对实数范围内的各种基本概念的理解
一、准确掌握各概念的定义
实数及其相关概念有：有理数、无理数、相反数、绝对值、数轴、平方根、算术平方根、立方根、乘方、科学计数法．实数除了是中考基础题中必考内容外，也贯穿于各题目的计算、推理过程中，所以这就需要我们先要准确掌握各种概念的含义．
二、仔细审题，确定题目考查的概念
实数概念的考查通常没有难度，为避免出现小差错，一定仔细审题，并确定题目考查的概念，严格以概念为抓手解决问题．
易错提醒：用科学记数法表示较大的数时，指数n可根据从左数第一个不是0的数字到小数点前的数字个数减1来确定．
例1（2020·天津红桥·统考二模）
1．点A， 在数轴上的位置如图所示，其对应的实数分别是，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
例2（2023·天津·统考中考真题）
2．据年月日《天津日报》报道，在天津举办的第七届世界智能大会通过“百网同播、万人同屏、亿人同观”，全球网友得以共享高端思想盛宴，总浏览量达到人次，将数据用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
例3 （2023上·天津静海·九年级校考阶段练习）
3．对于实数，定义运算“*”：，例如：．若是一元二次方程的两个根，则 ．
（2018下·天津·七年级统考期末）
4．的平方根是(　　)
A．3 B． C． D．
（2023下·天津河西·八年级统考期中）
5．实数4的算术平方根是 ．
（2023下·天津河北·七年级校考阶段练习）
6．的算术平方根为 ．
（2023上·天津·七年级校联考期中）
7．下列各数中：，，，，，，负数一共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
（2023上·天津滨海新·七年级校考期中）
8．下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2018下·天津宁河·七年级统考阶段练习）
9．比较大小： （填，或）．
（2023下·天津和平·七年级校考期末）
10．的值为（ ）
A．5 B． C．1 D．
（2023·天津河西·新华中学校考二模）
11．将数据用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
（2021·天津南开·统考三模）
12．如图，数轴上有若干个点，每相邻两点相距1个单位长度．其中点A，B，C，D对应的数分别是整数a，b，c，d，且，则的值为 ．
（2023下·天津宝坻·七年级校考阶段练习）
13．我们规定：，例如，按这个规定，若，则的范围是 ．
（2019下·天津·七年级校考期中）
14．用“*”定义新运算:对于任意实数都有，如，那么 ．
（2020上·天津南开·七年级南开翔宇学校校考阶段练习）
15．对于有理数、，定义一种新运算“※”，规定：，则 ．
易错点二：实数的运算
实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．
易错提醒：仔细加小心避免符号、括号、变号等常见错误的出现．
例 1．（2022上·天津和平·七年级校考期中）
16．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
例 2．（2023·浙江湖州·统考中考真题）
17．计算：．
（2022·天津和平·统考二模）
18．计算的结果等于( )
A． B． C． D．
（2023·天津河西·天津市新华中学校考一模）
19．计算的结果等于（ ）
A．8 B． C．35 D．
（2023·天津东丽·统考二模）
20．计算的值是（ ）
A．6 B．1 C． D．
（2023下·天津·九年级专题练习）
21．计算：（ ）
A． B．6 C． D．8
（2023·天津·统考中考真题）
22．计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．1
（2023·天津红桥·统考三模）
23．计算的结果等于（　　）
A． B．9 C． D．1
（2023·青海西宁·统考中考真题）
24．计算：．
（2023·江苏盐城·统考中考真题）
25．计算：.
（2023下·天津滨海新·七年级统考期末）
26．在平面直角坐标系中，为原点，点的坐标为，，轴于点，将线段沿轴负方向平移个单位长度，平移后得到线段．在四边形中，点从点出发，沿方向移动，移动到点停止．若点的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒．

(1)点的坐标为_________，线段与线段的位置关系是_________；
(2)当点在线段上运动时，若三角形的面积为，则此时_________；
(3)当点在线段上运动时，
①直接写出点在运动过程中的坐标为_________(用含的式子表示)；
②若四边形的面积是四边形面积的，求点的横坐标．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据数轴判断出a，b的大致范围，然后进行比较即可．
【详解】解：由数轴可得，
A、，故该选项错误；
B、，故该选项错误；
C、∵，
∴,
∴，故该选项错误；
D、，故该选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了实数与数轴的关系，解决本题的关键是根据已给数轴判断出字母的大致范围．
2．B
【分析】根据科学记数法的表示方法进行表示即可．
【详解】解：；
故选B．
【点睛】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法：，为整数，是解题的关键．
3．或
【分析】因式分解得：，进而求得，或，，接下来结合新定义求解即可．
【详解】解：，即，
或，
所以，或，，
或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了新定义题型和因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法和理解新定义的运算法则是解题的关键．
4．C
【分析】本题主要考查的是平方根的定义和性质，依据平方根的定义和性质解答即可．
【详解】解：
故选：C．
5．2
【分析】本题主要考查的是算术平方根的定义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．依据算术平方根根的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
6．
【分析】先计算，在计算9的算术平方根即可得出答案．
【详解】，9的算术平方根为
的算术平方根为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．
7．C
【分析】本题主要考查了实数的分类，解题的关键是熟练掌握实数分为正实数、负实数和零．
【详解】解：，，，，，中负数有，，，共3个，故C正确．
故选：C．
8．D
【分析】根据实数的性质和运算法则计算即可．
【详解】解：A、，故错误；
B、，，故错误；
C、，故，故错误；
D、，故，正确
故选：D．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，实数的混合运算，熟知实数混合运算的法则和实数的性质是解题的关键．
9．
【分析】本题主要考查无理数比较大小，根据被开方数越大，值越大即可求解，掌握无理数比较大小的方法，求一个数的算术平方根的方法是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
10．C
【分析】根据绝对值的性质进行化简去绝对值，再进行计算．
【详解】解：，
原式
故选：C．
【点睛】本题主要考查绝对值的性质，熟练掌握去绝对值的方法是解题的关键．
11．C
【分析】根据科学记数法的表示形式为“”，其中，n为整数，通过的整数数位，确定n的值，即可解答．
【详解】解：∵，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为“”，其中，n为整数，解题的关键要确定a的值以及n的值．
12．
【分析】根据数轴得到，利用，求出a=-5，得到b=-2，c=-1，代入计算即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知：，
∴
∵ ，
∴，
解得a=-5，
∴b=-2，c=-1，
∴=-3，
故答案为：-3．
【点睛】此题考查数轴上两点间的距离公式，解一元一次方程，已知字母的值求代数式的值，正确掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键．
13．##
【分析】根据新定义，按照要求将转化为，解一元一次不等式即可得到答案．
【详解】解：由知，，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义运算下的一元一次不等式求解，读懂题意，按照新定义转化为熟悉的先关运算是解决问题的关键．
14．8
【分析】根据新定义运算，将，代入求值即可．
【详解】解：根据题意可得：
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握实数混合运算法则，是解题的关键．
15．-6
【分析】根据a※b=|a|-|b|-|a-b|代入实际数值，可以求得所求式子的值．
【详解】∵．
∴．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
16．D
【分析】根据有理数的减法法则，逐一进行计算即可．
【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查有理数的减法运算．熟练掌握有理数的减法法则，是解题的关键．
17．
【分析】根据实数的运算顺序进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查实数的运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．
18．D
【分析】根据有理数的减法进行计算即可求解．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法的运算法则是解题的关键．
19．B
【分析】根据有理数的除法法则计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20．D
【分析】根据有理数的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键．
21．A
【分析】根据有理数的乘法法则计算即可．
【详解】解：．
故选：A
【点睛】此题考查了有理数乘法，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键．
22．D
【分析】根据有理数的乘法法则，进行计算即可．
【详解】解：；
故选D．
【点睛】本题考查有理数的乘法．熟练掌握有理数的乘法法则，是解题的关键．
23．A
【分析】利用有理数的除法公式进行计算即可．
【详解】解：原式；
故选A．
【点睛】本题考查有理数的除法．熟练掌握有理数的除法法则，正确的计算，是解题的关键．
24．
【分析】
计算乘方、化简绝对值、计算零指数幂，再进行加减运算即可得到答案．
【详解】解：原式
.
【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
25．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂分别化简，进而得出答案．
【详解】原式．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
26．(1)；平行；
(2)
(3)①；②
【分析】（1）根据平移的规律和性质即可求解；
（2）①根据三角形面积公式得到关于的方程，解方程即可；
②先求出点的纵坐标，再根据点在上从点运动到点时，运动时间为，表示出横坐标，即可求解；
③根据四边形的面积是四边形面积的得到关于的方程，求出，再根据点的坐标意义即可求出点的横坐标．
【详解】（1）解：如图，∵点沿轴方向向左平移了个单位，
∴点的坐标为，线段与线段的位置关系是平行；
故答案为：，平行；
（2）∵点在上，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）①∵点在线段上运动，
∴点纵坐标为，
当点在上从点运动到点时，运动时间为，
∴点横坐标为，
∴点坐标为；
故答案为：；
②∵四边形的面积是四边形面积的，
∴，
∴，
∴此时点的横坐标为，
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，点的坐标的特点，实数的运算，一元一次方程的实际应用，理解平面直角坐标系点的坐标特点是解题关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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