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专题02整式与因式分解、分式与二次根式
易错点一：整式的运算
幂的运算：
①同底数幂的乘法：；（m、n都是整数）
②同底数幂的除法：（a≠0，m、n都是整数）
③幂的乘方：；（m、n都是整数）
④积的乘方：；（n是整数）
易错提醒：幂的运算也会进行相应的逆运算；对于整式的运算在熟练掌握运算顺序的基础上，可以适时应用运算技巧进行简便运算．
例 1．（2022·天津·校联考模拟预测）
1．计算的结果等于 ．
例 2．（2023·天津河北·统考二模）
2．计算的结果等于 ．
（2023·天津河西·新华中学校考一模）
3．计算的结果等于 ．
（2023·天津·统考中考真题）
4．计算的结果为 ．
（2023·天津和平·统考三模）
5．计算的结果等于 ．
（2023·天津河东·统考二模）
6．计算的结果是 .
（2023·天津东丽·统考二模）
7．计算的结果等于 ．
（2023·天津西青·统考二模）
8．计算的结果等于 ．
（2023·天津河西·统考一模）
9．计算：的结果等于 ．
（2023·天津东丽·统考一模）
10．计算的结果等于 ．
（2023·天津滨海新·统考一模）
11．计算的结果等于 ．
（2023·天津和平·统考二模）
12．计算的结果等于 ．
（2023·天津红桥·统考一模）
13．计算的结果等于 ．
（2023·天津河北·统考一模）
14．计算的结果等于 ．
（2023·天津南开·统考一模）
15．计算的结果是 ．
（2023·天津河东·天津市第七中学校考模拟预测）
16．计算的结果是 ．
（2023·天津·模拟预测）
17．计算： ．
易错点二：因式分解不彻底
因式分解一般步骤：
一提（提公因式）；二套（套乘法公式）；三检验（检验是否分解彻底）．
易错提醒：因式分解时需要先观察分析代数式的特点，选择合适的方法后下笔．
例 1．（2024上·天津西青·八年级统考期末）
18．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
例 2．（2023上·天津滨海新·八年级统考期末）
19．把多项式分解因式时，应提取的公因式是（）
A． B． C． D．
（2024上·天津南开·八年级统考期末）
20．下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·天津滨海新·八年级天津经济技术开发区第一中学校考期中）
21．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
（2022·天津南开·二模）
22．将多项式分解因式，其结果是 ．
（2024上·天津红桥·八年级统考期末）
23．将多项式分解因式的结果等于 ．
易错点三：分式的相关概念与性质
分式有意义的条件：分母不为零；
分式值为零的条件：分母不为零，分子为零．
易错提醒：分式值为0时，要确保分式有意义，容易忽略分母不为零的条件．
例 1．（2023上·天津和平·八年级天津市第五十五中学校考期末）
24．当时，值为0的分式是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2022上·天津·八年级天津市第五十五中学校考期末）
25．分式可变形为（　　）
A． B． C． D．
（2024上·天津河西·八年级统考期末）
26．要使分式有意义，应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
（2024上·天津西青·八年级统考期末）
27．若分式的值为0，则的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
（2024上·天津南开·八年级统考期末）
28．若分式的值为0，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
易错点四：分式的化简求值
分式化简求值的常见问题：
（1）不可直接代入求值，需化简后再代入求值；
（2）对于异分母的分式需要先通分再化简，变形后可能需要整体代入求值；
（3）对于分式的化简求值，选择数值代入的试题需要注意保证有意义；
（4）负数代入计算需要加括号，分数代入乘方运算也要添加括号．
易错提醒：分式的化简的结果要化为最简分式，求职时字母的取值一定使原代数式有意义．
例 1．（2023·天津河西·新华中学校考二模）
29．计算的结果为（ ）
A．1 B．－1 C． D．
例 2．（2023·天津西青·统考二模）
30．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
（2023·天津滨海新·统考二模）
31．计算的结果为（ ）
A．1 B． C． D．
（2023·天津河西·统考二模）
32．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
（2023·天津河东·统考二模）
33．计算的结果为（ ）
A． B． C．1 D．－1
（2023·天津东丽·统考二模）
34．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
（2022·天津东丽·统考一模）
35．计算的结果是（ ）
A．2 B． C． D．
（2023·天津河西·天津市新华中学校考三模）
36．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
（2023·天津南开·统考三模）
37．化简的结果为（ ）
A．1 B． C．2 D．
（2023·天津·统考中考真题）
38．计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
（2023上·天津河东·八年级统考期末）
39．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
（2023·天津红桥·统考三模）
40．计算的结果是（　　）
A．1 B． C． D．
易错点五：二次根式有意义的条件及非负性
二次根式有意义的条件问题主要根据：
（1）二次根式的被开方数大于等于零
（2）分式的分母不为零
常见的非负数有以下三种形式：，，
易错提醒：（1）要根据定义考虑二次根式的意义；
（2）若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必须为0；
（3）若和同时有意义，则a=0
例 1．（2017·天津河西·统考一模）
41．若，则x的取值范围是 ．
（2023下·天津·八年级校考期中）
42．已知为整数，则正整数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2023下·天津滨海新·七年级校考期中）
43．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023下·天津滨海新·八年级统考期末）
44．若是二次根式，则x的取值范围是( )
A． B． C． D．
易错点六：二次根式的估值和运算
二次根式的估值步骤：
（1）先对根式进行平方
（2）找出平方后所得数相邻的两个平方数
（3）求出两个平方数的算术平方根
（4）这个根式的值在这两个相邻整数之间
二次根式的两个性质：；
二次根式的运算法则：
二次根式的四则运算：
（1）运算顺序与整式运算相同；
（2）仍可运用整式及分式运算的各种方法技巧．
易错提醒：
（1）二次根式的估算：一要确定在哪两个相邻的整数之间；二是确定离哪个整数较近．
（2）二次根式化简要考虑二次根式的意义；也要保证结果是最简二次根式后再进行合并及运算．
例 1．（2023·天津和平·统考二模）
45．估计的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
例 2．（2023·天津河西·统考二模）
46．计算的结果等于 ．
例 3．（2023·天津河北·统考二模）
47．计算的结果等于 ．
（2023·天津南开·统考一模）
48．估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
（2022·天津河东·统考二模）
49．估计的值在（ ）
A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间
（2022·天津·模拟预测）
50．估计2﹣4的值应在（　　）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
（2022·天津·天津市双菱中学校考模拟预测）
51．计算： ．
（2023·天津河西·天津市新华中学校考一模）
52．计算的结果等于 ．
（2023·天津·统考中考真题）
53．计算的结果为 ．
（2023·天津河东·统考二模）
54．计算的结果为 .
（2023·天津·统考二模）
55．计算的结果等于 ．
（2023·天津东丽·统考一模）
56．计算的结果等于 .
（2023·天津河西·统考一模）
57．计算的结果等于 ．
（2019·天津和平·天津二十中校考一模）
58．计算： ．
（2023·天津河西·新华中学校考三模）
59．计算的结果等于 ．
（2022·天津南开·统考一模）
60．计算的结果是 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】根据幂的乘方法则求出即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂的乘方，能熟记幂的乘方法则是解此题的关键，注意：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
2．
【分析】根据合并同类项法则：合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变，化简即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，解题的关键是熟记合并同类项法则．
3．
【分析】根据合并同类项的方法即可求解
【详解】原式
【点睛】此题主要考查合并同类项，解题的关键是熟知整式的加减运算法则．
4．
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算即可求得答案．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
5．##
【分析】利用单项式乘单项式以及积的乘方的运算法则计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．
【分析】根据同底数幂除法运算后直接得出答案．同底数幂相除，底数不变，指数相减．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，熟练掌握这一运算法则或公式是解题关键．
7．
【分析】根据合并同类项进行计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的运算法则是解题的关键．
8．
【分析】根据单项式乘以单项式的法则进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
9．
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
10．
【分析】根据单项式与单项式的乘法法则计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式的乘法，单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．
11．
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行计算求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法．解题的关键在于正确的运算．
12．
【分析】利用单项式乘单项式的法则计算即可．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
13．
【分析】根据同底数幂除法计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了同底数幂除法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
14．
【分析】先根据积的乘方计算，然后根据同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握积的乘方、同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．
15．
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
16．
【分析】
根据幂的乘方及同底数幂的乘法可进行求解．
【详解】解：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17．
【分析】根据同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．
18．D
【分析】本题考查了因式分解的定义，“将一个多项式化为几个整式的积的形式，叫因式分解”，据此逐项判断即可求解．
【详解】解：A. ，没有转化为整式的积的形式，不是因式分解，不合题意；
B. ，等号左边不是多项式，不是因式分解，不合题意；
C. ，是单项式乘以多项式计算，不合题意；
D. ，是因式分解，符合题意．
19．B
【分析】本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键．
将原式因式分解后即可求得答案．
【详解】解：，
则把多项式分解因式时，应提取的公因式是，
故选：B．
20．C
【分析】本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．
【详解】解：A、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；
B、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；
C、等式右边是整式积的形式，故是分解因式，故本选项正确；
D、是整式的乘法，故不是分解因式，故本选项错误．
故选：C．
21．D
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式．
【详解】解：A、是整式乘法，不是因式分解，故不合题意；
B、是整式乘法，不是因式分解，故不合题意；
C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故不合题意；
D、是因式分解，故符合题意；
故选：D．
22．
【分析】先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2-2ab+b2=（a-b）2．
【详解】解：3a2-6ab+3b2
=3（a2-2ab+b2）
=3（a-b）2．
故答案为：3（a-b）2．
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
23．
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
24．C
【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的 条件是分母不为0，分子为0是解题的关键．
【详解】解：A、当时，，此时分式没有意义，不符合题意；
B、当时，，此时分式没有意义，不符合题意；
C、当时，，此时分式有意义且值为0，符合题意；
D、当时，，此时分式有意义但值不为0，不符合题意；
故选：C．
25．C
【分析】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的性质进行变形是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴选项A、选项B、选项D都不符合题意，只有选项C符合题意，
故选：C．
26．D
【分析】本题考查分式的知识，解题的关键是掌握分式有意义的条件，则分母不为，即可．
【详解】∵使分式有意义，
∴，
解得：．
故选：D．
27．C
【分析】本题考查分式的值为0的条件，如果分式的值为0，则分子等于0，分母不等于0，据此即可求解．
【详解】解：由题意得，并且，
解得，并且，
∴．
故选：C
28．D
【分析】本题考查了分式的值为0的条件，根据题意得到并且，即可得到．
【详解】解：由题意得，并且，
解得，
解得，
∴．
故选：D
29．B
【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【详解】解：原式
，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
30．D
【分析】运用同分母分式相加减，分母不变分子相加减，进行运算即可．
【详解】解：，
，
，
．
故选：
【点睛】本题考查了分式加减的运算，掌握并正确运用分式的运算法则是解答本题的关键．
31．A
【分析】根据同分母的分式减法法则求解即可．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题考查分式的加减，熟练掌握同分母的分式加减法运算法则是解答的关键．
32．D
【分析】根据同分母分式加法法则计算即可．
【详解】解：原式，
故选：D．
【点睛】本题考查分式加法，熟练掌握分式加法法则是解题的关键．
33．C
【分析】先通分求差，再根据分式的性质进行约分即可解答．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】本题考查同分母分式的减法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
34．C
【分析】根据同分母分式的减法进行计算即可求解．
【详解】解：
，
故选：C．
【点睛】本题考查了同分母分式的减法，熟练掌握同分母分式的减法运算法则是解题的关键．
35．A
【分析】用分式的减法法则计算，把分子分解因式，约分即可．
【详解】解：
故选A．
【点睛】本题考查了分式的减法，熟练掌握分式减法的法则，分解因式，约分，是解决问题的关键．
36．C
【分析】利用同分母分式的加法法则计算即可．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】此题考查了分式的加法，熟练掌握分式的加减法法则是解题的关键．
37．C
【分析】先将改写为，再进行合并，最后约分化简即可．
【详解】解：原式
；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，解题的关键掌握分式通分计算的方法和约分的法则．
38．C
【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．
【详解】解：
；
故选：C．
【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．
39．C
【分析】本题主要考查了异分母分式加法计算，先把两个分式通分，再把分子去括号，合并同类项，最后约分即可得到答案．
【详解】解：
，
故选C．
40．C
【分析】先通分，再计算分式减法，最后约分即可求解.
【详解】解：
.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了异分母分式减法，通分和约分，理解相关知识是解答关键.
41．
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据已知得出，求出不等式的解集即可．理解是解决问题的关键．
【详解】解：∵，
∴，得，
则x的取值范围是，
故答案为：．
42．D
【分析】根据开平方的运算即可求解．
【详解】解：∵为整数，
∴是某个数的平方，
∴当时，，
∴正整数的最小值为，
故选：．
【点睛】本题主要考查求一个数的算术平方根，掌握开平方运算的方法是解题的关键．
43．B
【分析】利用算术平方根可以判断A、C，利用立方根可以判断B，利用合并同类项的法则可以判断D．
【详解】解：A.，故原选项计算错误，不符合题意；
B.，故原选项计算正确，符合题意；
C.，故原选项计算错误，不符合题意；
D.，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，求一个数的立方根，合并同类同类二次根式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
44．D
【分析】根据被开方数大于等于零，列式求解即可．
【详解】∵是二次根式，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数大于等于零是解题的关键．
45．D
【分析】
直接利用估算无理数的方法估算出的范围即可得到答案．
【详解】解：
∵
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，二次根式的化简，正确得出的取值范围是解题关键．
46．
【分析】根据二次根式乘法运算，利用平方差公式计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查二次式混合运算，利用平方差公式计算是解题的关键．
47．##
【分析】根据完全平方式可求解，完全平方式为
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，完全平方式的正确运用是解题关键
48．B
【分析】先根据二次根式的性质得到，再估算出的值即可解答．
【详解】解：，，
即，
的值应在4和5之间，
故选：B．
【点睛】此题考查了无理数的估算，正确估算出的值是解题的关键．
49．C
【分析】先把化为，再由，即可求解．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
即的值在8到9之间．
故选：C
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，二次根式的性质，把把化为是解题的关键．
50．A
【分析】找出与24接近的开方开的尽的数，根据被开方数越大算术平方根越大，求解即可．
【详解】
，
，
即： ，
，
故选A．
【点睛】本题考查了无理数的估值，二次根式性质化简，求出无理数的范围是关键．
51．
【分析】利用平方差公式，完全平方公式将式子化简求值即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
52．
【分析】
先根据平方差公式和二次根式的性质进行计算，再算减法即可．
【详解】原式
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和平方差公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
53．1
【分析】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理．
【详解】解：
故答案为：1
【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
54．
【分析】根据平方差公式计算即可；
【详解】原式；
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，准确利用公式计算是解题的关键．
55．19
【分析】先套用平方差公式，再根据二次根式的性质计算可得．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算以及平方差公式．关键是掌握计算法则．
56．
【分析】根据平方差公式计算即可.
【详解】
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算及平方差公式，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键.
57．
【分析】直接利用平方差公式计算，进而得出答案．
【详解】解：
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用平方差公式计算是解题关键．
58．
【分析】根据完全平方公式，二次根式的性质化简，进行计算即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
59．##
【分析】直接利用完全平方公式展开计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式、二次根式的化简，正确应用公式是解题的关键．
60．
【分析】根据二次根式及完全平方公式运算法则解答即可，
【详解】解：
=
=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式及完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特点是解答本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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