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专题04 三角形
易错点一：全等三角形的相关问题
全等三角形及其性质，三角形全等判定．着重学会论证三角形全等．
易错提醒：用“≌”表示两个三角形全等时，对应点放在对应位置，但用语言描述的两个三角形全等却不需要，不要形成固定思维．解决这类问题要考虑各种对应情况，避免出现考虑不全面，导致结果错误．
判定一般三角形全等的方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”4种方法，不存在“SSA”的判定方法．
例1．（2022·安徽·中考真题）
1．如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题：
（1） °；
（2）若，，则 ．
例2．（2021·安徽·中考真题）
2．如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF．
（1）求证：；
（2）如图2，若，，，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值．
（2022·安徽·中考真题）
3．已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．
(1)如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形；
(2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．
（2020·安徽·中考真题）
4．如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点
求证：；
若，求的长；
如图2，连接，求证：．
（2020·安徽·中考真题）
5．如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的两点与相交于点是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点，
求证：；
若求平分．
（2022·安徽·模拟预测）
6．如图，在等腰与等腰中，，连接，相交于点，连接，，．

(1)探究线段，有何关系？写出结论并说明理由．
(2)若，，求的值．
(3)直接写出的值．
（2022·安徽·模拟预测）
7．如图1，在中，，为边上一点，于点，连接并延长交于点．

(1)若，求的长；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，若为中点，求证：．
（2023·安徽·模拟预测）
8．如图是的正方形网格，线段的端点都在格点（网格线的交点）上．

(1)将线段绕点逆时针旋转得到对应线段，画出线段；
(2)请仅用无刻度的直尺过点作一条直线，使得点到的距离相等．
易错点二：等腰三角形的相关问题
等腰（等边）三角形的定义以及等腰（等边）三角形的判定与性质，运用等腰（等边）三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题．
易错提醒：这里需注意分类讨论思想的渗入．但不可忽略三角形存在的条件，即任意两边之和大于第三边．对出现的情况需要逐一验证，确定取舍．
例1．（2023·安徽·中考真题）
9．如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（ ）

A．的最小值为 B．的最小值为
C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为
例2．（2022·安徽·中考真题）
10．已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2020·安徽·中考真题）
11．已知点在上．则下列命题为真命题的是（ ）
A．若半径平分弦．则四边形是平行四边形
B．若四边形是平行四边形．则
C．若．则弦平分半径
D．若弦平分半径．则半径平分弦
（2023·安徽·模拟预测）
12．已知点在矩形的对角线上（不与点重合），下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
（2023·安徽·模拟预测）
13．如图，已知直线，点在直线上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线于两点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（2022·安徽·模拟预测）
14．如图，在等腰中，，，为边上一动点，将沿折叠得到，，连接．
（1） ；
（2） ．
（2023·安徽·模拟预测）
15．如图，在中，，为边延长线上一点，且，过点作，连接，，．
(1)求证：．
(2)若，延长交于点．
①求的值；
②求证：．
易错点三：直角三角形的相关问题
运用勾股定理及其逆定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题．
易错提醒：在题目中没有明确哪个角为直角时，常需要分类讨论，不可漏解．在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实第三边可能是斜边，也可能是直角边．
例1．（2021·安徽·中考真题）
16．在中，，分别过点B，C作平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME．则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·安徽·中考真题）
17．如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）

A． B． C． D．
例3．（2022·安徽·中考真题）
18．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A． B．4 C． D．5
（2021·安徽·中考真题）
19．如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A． B． C． D．
（2023·安徽·中考真题）
20．如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过斜边的中点．

（1） ；
（2）为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为 ．
（2021·安徽·中考真题）
21．如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：．
（2023·安徽·中考真题）
22．已知四边形内接于，对角线是的直径．

(1)如图1，连接，若，求证；平分；
(2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长．
（2023·安徽·中考真题）
23．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均为格点（网格线的交点）．

(1)画出线段关于直线对称的线段；
(2)将线段向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段；
(3)描出线段上的点及直线上的点，使得直线垂直平分．
易错点四：相似三角形的相关问题
相似三角形的常用判定方法有：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；两角对应相等，两三角形相似．全等三角形的常用判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS这4种．
易错提醒：两个角相等和平行经常是相似的基本构成要素，以及相似三角形对应高之比等于相似比，对应线段成比例，面积之比等于相似比的平方．
例1．（2023·安徽滁州·三模）
24．如图，中，，，，半径为5的与，分别相切于点，，与交于点，，则的长为（　　）

A． B． C． D．
例2．（2022·安徽·模拟预测）
25．如图，在中，，，，点D，E分别在边上，且，平分，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．5
例3．（2022·安徽·模拟预测）
26．如图1，在等腰中，，动点从点A出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为与之间关系的图象如图2所示，则的长是（ ）

A． B． C． D．
（2023·安徽·中考真题）
27．在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接．

(1)如图1，求的大小；
(2)已知点和边上的点满足．
（ⅰ）如图2，连接，求证：；
（ⅱ）如图3，连接，若，求的值．
（2023·安徽·模拟预测）
28．已知是矩形的边上一点，连接交于点，过点作于点，交于点．
(1)如图1，若，求的值．（用含的代数式表示）
(2)如图2，设的延长线交于点，移动点，使得．
①求证：；
②若，求证：．
（2022·安徽·模拟预测）
29．如图，以为直径的经过点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为，交于点．

(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，求的值．
易错点五：解直角三角形的相关问题
特殊角的三角函数值及计算．熟练记忆一些特殊角的三角函数值．易错提醒：不得混淆特殊角的三角函数值；
解直角三角形的实际应用．坡度是指坡面的垂直高度h和水平宽度l的比值，而并非度数．仰角和俯角是指视线与水平线的夹角，而非视线与铅垂线的夹角．只有在直角三角形中才能解直角三角形，没有直角三角形时需要通过作辅助线构造直角三角形求解．
例1．（2020·安徽·中考真题）
30．如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·安徽·模拟预测）
31．如图，在中，平分交于点，则的长为（ ）
A． B． C．6 D．
例3．（2023·安徽·模拟预测）
32．如图，在中，半径，，点在弦上，，连接，过点作交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
（2022·安徽·模拟预测）
33．如图，内接于，，，于点．若的长为，则的直径为（ ）

A． B．2 C．4 D．
（2023·安徽·中考真题）
34．如图，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点时，测得到点的距离为点的俯角为，无人机继续竖直上升到点，测得点的俯角为．求无人机从点到点的上升高度（精确到）．参考数据：，．

（2022·安徽·中考真题）
35．如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：，，．
（2021·安徽·中考真题）
36．学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，，，，．求零件的截面面积．参考数据：，．
（2020·安徽·中考真题）
37．如图，山顶上有一个信号塔，已知信号塔高米，在山脚下点处测得塔底的仰角，塔顶的仰角．求山高(点在同一条竖直线上)．
(参考数据： )
（2022·安徽·模拟预测）
38．如图，为了测量河对面（点在上，点不在上）两点之间的距离，测绘人员在处测得，在处测得．已知，求间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，，）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 45
【分析】（1）先证△ABE≌△GEF，得FG=AE=DG，可知△DFG是等腰直角三角形即可知度数．
（2）先作FH⊥CD于H，利用平行线分线段成比例求得MH；再作MP⊥DF于P，证△MPF∽△NHF,即可求得NH的长度，MN=MH+NH即可得解．
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB=AD，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵FG⊥AG，
∴∠G=∠A=90°，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=FE，∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠FEG=90°，
∴∠FEG=∠EBA，
在△ABE和△GEF中，
，
∴△ABE≌△GEF（AAS），
∴AE=FG，AB=GE，
在正方形ABCD中，AB=AD
∵AD=AE+DE，EG=DE+DG，
∴AE=DG=FG，
∴∠FDG=∠DFG=45°．
故填：45°．
（2）如图，作FH⊥CD于H，
∴∠FHD=90°
又∵∠G=∠GDH=90°，
∴四边形DGFH是矩形，
又∵DG=FG，
∴四边形DGFH是正方形，
∴DH=FH=DG=2，
∴
∴，
∴DM=，MH=，
作MP⊥DF于P，
∵∠MDP=∠DMP=45°，
∴DP=MP，
∵DP2+MP2=DM2，
∴DP=MP=，
∴PF=
∵∠MFP+∠MFH=∠MFH+∠NFH=45°，
∴∠MFP=∠NFH，
∵∠MPF=∠NHF=90°，
∴△MPF∽△NHF,
∴，即，
∴NH=，
∴MN=MH+NH=+=．
故填： ．
【点睛】本题主要考查正方形的性质及判定以及相似三角形的性质和判定，熟知相关知识点并能熟练运用，正确添加辅助线是解题的关键．
2．（1）见解析；（2）6；（3）
【分析】（1）根据平行线的性质及已知条件易证，，即可得，；再证四边形AFCD是平行四边形即可得，所以，根据SAS即可证得；
（2）证明，利用相似三角形的性质即可求解；
（3）延长BM、ED交于点G．易证，可得；设，，，由此可得，；再证明，根据全等三角形的性质可得．证明，根据相似三角形的性质可得，即，解方程求得x的值，继而求得的值．
【详解】（1）证明：，
；
，
，，
，
，，
，，
，，
四边形AFCD是平行四边形
在与中．
，
（2），
，
在中，，
，
，
又，，
，
在与中．
，
；
；
，
；
，
；
，
，
或（舍）；
（3）延长BM、ED交于点G．
与均为等腰三角形，，
，
，
设，，，
则，，
，
，
；
在与中，
，
；
．
；
，
，
，
，
，
，
，
，
（舍），，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角形全等及相似是解决问题的关键．
3．(1)见解析
(2)（ⅰ）；（ⅱ）见解析
【分析】（1）先根据DC=BC，CE⊥BD，得出DO=BO，再根据“AAS”证明，得出DE=BC，得出四边形BCDE为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，得出四边形BCDE为菱形；
（2）（ⅰ）根据垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一，证明∠BEG=∠DEO=∠BEO，再根据∠BEG+∠DEO+∠BEO=180°，即可得出；
（ⅱ）连接EF，根据已知条件和等腰三角形的性质，算出，得出，证明，再证明，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵DC=BC，CE⊥BD，
∴DO=BO，
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∵CE⊥BD，
∴四边形BCDE为菱形．
（2）（ⅰ）根据解析（1）可知，BO=DO，
∴CE垂直平分BD，
∴BE=DE，
∵BO=DO，
∴∠BEO=∠DEO，
∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG=∠DEO，
∴∠AEG=∠DEO=∠BEO，
∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°，
∴．
（ⅱ）连接EF，
∵EG⊥AC，
∴，
∴，
∵
∵AE=AF，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
，
，
，
∴，
，
∴（AAS），
．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质，作出辅助线，得出，得出，是解题的关键．
4．（1）见解析；（2）；（3）见解析
【分析】（1）由矩形的形及已知证得△EAF≌△DAB，则有∠E=∠ADB，进而证得∠EGB=90 即可证得结论；
（2）设AE=x，利用矩形性质知AF∥BC，则有，进而得到x的方程，解之即可；
（3）在EF上截取EH=DG，进而证明△EHA≌△DGA，得到∠EAH=∠DAG，AH=AG，则证得△HAG为等腰直角三角形，即可得证结论．
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠EAD=90 ，AO=BC，AD∥BC，
在△EAF和△DAB，
，
∴△EAF≌△DAB(SAS)，
∴∠E=∠BDA，
∵∠BDA+∠ABD=90 ，
∴∠E+∠ABD=90 ，
∴∠EGB=90 ，
∴BG⊥EC；
（2）设AE=x，则EB=1+x，BC=AD=AE=x，
∵AF∥BC，∠E=∠E，
∴△EAF∽△EBC，
∴，又AF=AB=1，
∴即，
解得：，（舍去）
即AE=；
（3）在EG上截取EH=DG，连接AH，
在△EAH和△DAG，
，
∴△EAH≌△DAG(SAS)，
∴∠EAH=∠DAG，AH=AG，
∵∠EAH+∠DAH=90 ，
∴∠DAG+∠DAH=90 ，
∴∠HAG=90 ，
∴△GAH是等腰直角三角形，
∴即，
∴GH=AG，
∵GH=EG-EH=EG-DG，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．
5．证明见解析；证明见解析．
【分析】利用证明利用为直径，证明结合已知条件可得结论；
利用等腰三角形的性质证明： 再证明 利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明： 从而可得答案．
【详解】证明：
为直径，
．
证明：
为半圆的切线，
平分．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
6．(1)且，理由见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－“手拉手”模型，熟记模型的构成及结论是解题关键．
（1）证即可求解；
（2）根据
即可求解；
（3）过点作，交于点．证得，即可求解．
【详解】（1）解： 且．理由如下：
和都是等腰直角三角形，
，
，
即
，
，
，
，
，
．
（2）解：由（1）知，
由勾股定理得：
．
（3）解：如图，过点作，交于点，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴
，
，
．
7．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键，（1）根据题意易证，再根据勾股定理求得的长，再利用相似比即可得到的值；（2）过点作，交的延长线于点．利用“”证明，得到，进而得到，即可得到，利用等量代换即可得到．（3）过点作，交的延长线于点．作于点．易证，可得，即，则，从而得到．则，即可得到．
【详解】（1）解：，
，
．
又，
．
，
，
．
在中，
，
由勾股定理得，
．
（2）解：如图1，

，
，
，
又．
，
，
，
，
，即．
（3）解：如图2，过点作，交的延长线于点．作于点．

为的中点，，
．
，
∴，
，
即．
又，
．
，即．
8．(1)画图见解析
(2)画图见解析
【分析】本题考查的是作旋转图形，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，利用旋转，平行线，三角形全等的性质进行作图是解本题的关键；
（1）取格点，满足，即可；
（2）取格点，满足，或取的中点，直线也满足条件．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求作的线段；

（2）如图，即为所求作的直线；

9．A
【分析】延长，则是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当点与重合时，则三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解．
【详解】解：如图所示，

延长，
依题意
∴是等边三角形，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
则为的中点
如图所示，

设的中点分别为，
则
∴当点在上运动时，在上运动，
当点与重合时，即，
则三点共线，取得最小值，此时，
则，
∴到的距离相等，
则，
此时
此时和的边长都为2，则最小，
∴，
∴
∴，
或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，

此时
故A选项错误，
根据题意可得三点共线时，最小，此时，则，故B选项正确；
周长等于，
即当最小时，周长最小，
如图所示，作平行四边形，连接，

∵，则
如图，延长,，交于点，
则，
∴是等边三角形，
∴，
在与中，
∴
∴
∴
∴
∴，则，
∴是直角三角形，

在中，
∴当时，最短，
∵
∴周长的最小值为，故C选项正确；
∵
∴四边形面积等于

∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合
∴四边形面积的最小值为，故D选项正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当点与重合时得出最小值是解题的关键．
10．B
【分析】根据，可得，根据等边三角形的性质可求得△ABC中AB边上的高和△PAB中AB边上的高的值，当P在CO的延长线时，OP取得最小值，OP=CP-OC，过O作OE⊥BC，求得OC=，则可求解．
【详解】解：如图，
，，
∴
=
=
=
==，
∴，
设△ABC中AB边上的高为，△PAB中AB边上的高为，
则，
，
∴，
∴，
∵△ABC是等边三角形，
∴，
，
∴点P在平行于AB，且到AB的距离等于的线段上，
∴当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值，
过O作OE⊥BC于E，
∴，
∵O是等边△ABC的中心，OE⊥BC
∴∠OCE=30°，CE=
∴OC=2OE
∵，
∴，
解得OE=，
∴OC=，
∴OP=CP-OC=．
故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到P点的位置是解题的关键．
11．B
【分析】根据圆的有关性质、垂径定理及其推论、特殊平行四边形的判定与性质依次对各项判断即可．
【详解】A．∵半径平分弦，
∴OB⊥AC，AB=BC，不能判断四边形OABC是平行四边形，
假命题；
B．∵四边形是平行四边形,且OA=OC,
∴四边形是菱形，
∴OA=AB=OB，OA∥BC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=60 ,
∴∠ABC=120 ,
真命题；
C．∵，
∴∠AOC=120 ，不能判断出弦平分半径，
假命题；
D．只有当弦垂直平分半径时，半径平分弦，所以是
假命题，
故选：B．
【点睛】本题主要考查命题与证明，涉及垂径定理及其推论、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，解答的关键是会利用所学的知识进行推理证明命题的真假．
12．D
【分析】本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、真假命题的判断等知识，．依据相关图形的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
如图，

，
在矩形中，
∵，
∴，
∵
，
A项为真命题，不符合题意；
如图，

，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
B项为真命题，不符合题意；
如图，

∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴；
故选项C是真命题，不符合题意；
如图，

当时，无法证明，
故D选项是假命题，符合题意．
故选：D．
13．B
【分析】本题考查求角度问题，涉及到尺规作图、等腰三角形性质、平行线的性质，理解尺规作图是解决问题的关键．根据尺规作图可知，利用等腰三角形性质得到，再结合平行线的性质得到，最后列式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
根据作图可知，，
，
直线，
，
，
故选：B．
14． ##度 ##
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理的运用，掌握折叠的性质，等腰直角三角形的判定方法和性质是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质，折叠的性质可得是等腰三角形，，再根据三角形的内角和定理即可求解；
（2）根据（1）的证明可得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，设，运用勾股定理可得的长度，由此即可求解．
【详解】解：（1）∵等腰中，，，
∴，
∵将沿折叠得到，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∴在中，，
故答案为：；
（2）∵，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，即是等腰直角三角形，
设，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
15．(1)见解析
(2)①；②见解析
【分析】（1）根据“边角边”即可证明两个三角形全等；
（2）①先利用平行线的性质，可逐步推得，进一步得到，设，，可得到一元二次方程并求解，即得答案；
②延长交的延长线于点，先通过平行线的性质及全等三角形的性质，证明，再证明，即得答案．
【详解】（1），
，
，，
，
又，
；
（2）①由（1）知，
，
，
，
，
，
，
即，
设，，
，
解得，（舍去），
；
②如图，延长交的延长线于点，
由（1）知，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，一元二次方程的应用，利用中点倍长添加辅助线是解答本题的关键．
16．A
【分析】设AD、BC交于点H，作于点F，连接EF．延长AC与BD并交于点G．由题意易证，从而证明ME为中位线，即，故判断B正确；又易证，从而证明D为BG中点．即利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求出，故判断C正确；由、和可证明．再由、和可推出 ，即推出，即，故判断D正确；假设，可推出，即可推出．由于无法确定的大小，故不一定成立，故可判断A错误．
【详解】如图，设AD、BC交于点H，作于点F，连接EF．延长AC与BD并交于点G．
∵AD是的平分线，，，
∴HC=HF，
∴AF=AC．
∴在和中，，
∴，
∴，∠AEC=∠AEF=90°，
∴C、E、F三点共线，
∴点E为CF中点．
∵M为BC中点，
∴ME为中位线，
∴，故B正确，不符合题意；
∵在和中，，
∴，
∴，即D为BG中点．
∵在中，，
∴，
∴，故C正确，不符合题意；
∵，，，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵AD是的平分线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，故D正确，不符合题意；
∵假设，
∴，
∴在中，．
∵无法确定的大小，故原假设不一定成立，故A错误，符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线的判定和性质以及含角的直角三角形的性质等知识，较难．正确的作出辅助线是解答本题的关键．
17．B
【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，，，
∴，，，
∵，
∴
∴，，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
18．D
【分析】连接，过点作于点，如图所示，先利用垂径定理求得，然后在中求得，再在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，过点作于点，如图所示，
则，，
∵PA＝4，PB＝6，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
故选：D
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键．
19．A
【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长．
【详解】∵HF⊥BC,EG⊥AB,
∴∠BEO=∠BFO=90°，
∵∠A=120°，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，
由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，
因为O点是菱形ABCD的对称中心，
∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH，
∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，
∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，
所以四边形EFGH是矩形；
设OE=OF=OG=OH=x，
∴EG=HF=2x，，
如图，连接AC，则AC经过点O，
可得三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=AB=2,
∴OA=1,∠AOE=30°，
∴AE=，
∴x=OE=
∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=,
故选A．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等内容，要求学生在理解相关概念的基础上学会应用，能分析并综合运用相关条件完成线段关系的转换，考查了学生的综合分析与应用的能力．
20．
【分析】（1）根据已知条件得出的坐标，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的得出的坐标，进而即可求解；
（2）根据题意，求得直线，联立与反比例函数解析式，得出的坐标，进而根据两点距离公式求得，，进而即可求解．
【详解】解：（1）∵，，
∴
∴，
∵是的中点，
∴，
∵反比例函数的图象经过斜边的中点．
∴；
∴反比例数解析式为
故答案为：；
（2）∵，
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为，
∵，
设直线的解析式为，将点代入并解得，
∴直线的解析式为，
∵反比例数解析式为
联立
解得：或
当时，
当时，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
21．（1）；（2）见解析．
【分析】（1）根据M是CD的中点，OM与圆O直径共线可得，平分 CD，则有，利用勾股定理可求得半径的长；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，根据，，可得，，利用圆周角定理可得，可得，利用直角三角形的两锐角互余，可证得，即有．
【详解】（1）解：连接OC，
∵M是CD的中点，OM与圆O直径共线
∴，平分CD，
．
在中．
∴圆O的半径为
（2）证明：连接AC，延长AF交BD于G．
，
又
在中
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，勾股定理等知识点，熟练应用相关知识点是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可．
(2)证明四边形平行四边形，后用勾股定理计算即可．
【详解】（1）∵对角线是的直径，
∴，
∴，
∴平分．
（2）∵对角线是的直径，
∴，
∴
∵，
∴，
∴四边形平行四边形，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理的推论，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理的推论，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质找到关于直线的对称点，，连接，则线段即为所求；
（2）根据平移的性质得到线段即为所求；
（3）勾股定理求得，，则证明得出，则，则点即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求；

（2）解：如图所示，线段即为所求；

（3）解：如图所示，点即为所求

如图所示，

∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴
∴，
∴垂直平分．
【点睛】本题考查了轴对称作图，平移作图，勾股定理与网格问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24．D
【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质以及勾股定理，掌握直角三角形的边角关系，圆周角定理，切线的性质以及相似三角形的性质是正确解答的前提．根据切线的性质，正方形的性质以及相似三角形的性质可求出，，进而求出，再根据三角形的面积可求出，由勾股定理可求出，由垂径定理可得．
【详解】解：如图，连接，，，，，分别交于点，点，过点作于点，

则，，
，，
四边形是正方形，
，
，，
，，
，，
，，
，，
即，，
解得，，
，，
，
，即，
，
在中，
，
，
故选：D
25．C
【分析】本题考查勾股定理、相似三角形的性质和判定、平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，熟知相关性质是正确解决本题的关键．
由中，，，可求出的长，由及平分，可证明，再利用相似三角形的性质和判定即可求出的长．
【详解】解：中，，，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，即，
，
故答案为：C．
26．C
【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，并注意进行分类讨论．设，分两种情况：①当点在上运动，即时，②当点运动到点时，点恰好运动到点，当点在上运动，即时，点与点重合，且停止运动，分别求出函数关系式，根据时，，列出方程，求出，（舍去），得出的长是即可．
【详解】解：设．
①当点在上运动，即时，由题意知：
，
，
∵在等腰中，，
，
，
∴，
，其函数图象为抛物线对称轴（轴）右侧的一部分；
②当点运动到点时，点恰好运动到点，如图，

当点在上运动，即时，点与点重合，且停止运动，，
，
由图2知，当时，，
，
解得，（舍去），
的长是．
故选：C．
27．(1)
(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）
【分析】（1）根据旋转的性质得出，根据等边对接等角得出，在中，根据三角形内角和定理即得出，进而即可求解；
（2）（ⅰ）延长交于点，证明四边形是菱形，进而根据平行线分线段成比例得出，，根据等腰三角形的性质，得出是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证；
（ⅱ）如图所示，过点作于点，由，得出，，进而根据正切的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴，
在中，
∴
（2）证明：（ⅰ）证法一：
如图，延长，交于点，则，

∵，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵是的中点，，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴是菱形．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，即，
∴，即点是斜边的中点．
∴．
证法二：
∵，是斜边的中点，
∴点在以为圆心，为直径的上．

∵，
∴垂直平分．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
证法三：
∵，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵是的中点，，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴是菱形．
∴．
∵，是斜边的中点，
∴点在以为圆心，为直径的上．
∴．
（ⅱ）如图所示，过点作于点，

∵，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，菱形的性质与判定，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，求正切，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
28．(1)
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）证明则．即可得到结论；
（2）①证明及即可证明．
②过点作，交的延长线于点．证明，则，进一步得到．根据角平分线的性质得到．证明四边形是矩形，则，即可得到结论；
此题主要考查相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）在矩形中，
，
，
，
．
；
（2）①
，
，
由（1）知，
，
∴．
②过点作，交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
．
29．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，证明即可求证；
（）连接，证明得到即可求解；
本题考查了切线的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，余角性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定和性质，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接，

，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
为等腰三角形；
（2）解：连接，

是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
30．C
【分析】先根据，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据，即可得cos∠DBC=cosA=，即可求出BD．
【详解】∵∠C=90°，
∴，
∵，
∴AB=5，
根据勾股定理可得BC==3，
∵，
∴cos∠DBC=cosA=，
∴cos∠DBC==，即=
∴BD=，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键．
31．C
【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质等知识，过点D作于E，由角平分线的在求得的长，再根据直角三角形中特殊角的三角函数关系求得，在中根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点D作于E，
∵平分，
∴，
又∵BD=6，
∴，
∴，
∴，即，
由勾股定理得：，
即
∴，
∴（负值舍去），
故选：C．
32．B
【分析】本题考查了垂径定理，三角函数，勾股定理，连接，，过点作于点，由得到，由勾股定理得到，由三角函数得到，再由勾股定理即可得到，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，，过点作于点，
，
，
，
在中，
∵，
，
又∵，
∴，
，
故选：．
33．C
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，连接,，先证是等边三角形，再解求出的长，从而得解，作辅助线构造等边三角形是解本题的关键．
【详解】连接,．

，
，
，
是等边三角形，
，
，，，
，
的直径为4．
故选：C．
34．无人机从点到点的上升高度约为米
【分析】解，求得，，在中，求得，根据，即可求解．
【详解】解：依题意，，，，
在中，，
∴，，
在中，，
∴
（米）
答：无人机从点到点的上升高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
35．96米
【分析】根据题意可得是直角三角形，解可求出AC的长，再证明是直角三角形，求出BC的长，根据AB=AC-BC可得结论．
【详解】解：∵A，B均在C的北偏东37°方向上，A在D的正北方向，且点D在点C的正东方，
∴是直角三角形，
∴，
∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°，
在Rt△ACD中，，CD=90米，
∴米，
∵，
∴
∴，
∴ 即是直角三角形，
∴，
∴米，
∴米，
答：A，B两点间的距离为96米．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形-方向角问题的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题．
36．53.76cm2
【分析】首先证明，通过解和，求出AE，BE，CF，BF，再根据计算求解即可．
【详解】解：如图，
四边形AEFD为矩形， ，
∴EF//AB，
∵，
∴，
∵
∴
在中，．
又
同理可得，
答：零件的截面面积为53.76cm2
【点睛】此题主要考查了解直角三角形，通过解和，求出AE，BE，CF，BF的长是解答此题的关键．
37．75米
【分析】设山高CD=x米，先在Rt△BCD中利用三角函数用含x的代数式表示出BD，再在Rt△ABD中，利用三角函数用含x的代数式表示出AD，然后可得关于x的方程，解方程即得结果．
【详解】解：设山高CD=x米，则在Rt△BCD中，，即，
∴，
在Rt△ABD中，，即，
∴，
∵AD－CD=15，
∴1.2x－x=15，解得：x=75．
∴山高CD=75米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握三角函数的知识是解题的关键．
38．间的距离约为
【分析】本题主要考查平行线的性质，勾股定理的运用，解直角三角形形的运用，掌握勾股定理的运用方法，正余弦，正切值的计算方法，构造直角三角形是解题的关键．
根据题意运用的正切值可求出的值，过点作，交于点，交于点，运用三角函数的计算可求出的值，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：在中，，
，
过点作，交于点，交于点，
则，设，
在中，，
∴，
在中，，
，
，解得，
，
在中，，
答：间的距离约为．
答案第1页，共2页
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