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方阵问题
（知识梳理+解决问题）
知识梳理
将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题．
数量关系：
（1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数=（每边人数-1）×4
每边人数=四周人数÷4+1
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数=每边人数×每边人数
空心方阵：总人数=（外边人数）2-（内边人数）2
内边人数=外边人数-层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数=（每边人数-层数）×层数×4．
解决问题
一．应用题（共25小题）
1．学军小学举行广播操比赛，96名学生围成一个正方形，每边人数相等。四个顶点都有人，每边各有几名学生？
2．有一批正方形的地砖，排成一个大正方形后余下32块，如果将它改排成每边比原来多一块的大正方形后，就要差49块，问这批砖原来有多少块？
3．学校运动会上，小学生组成一个大型方阵队，方阵队最外层每边25人，共8层；中间部分是15名同学组成的运动会会徽，这个方阵队共有多少名学生？
4．学校体育队的同学排成一个方阵表演“中国功夫”，最外一层的人数是60人，方阵最外一层每边有多少人？一共有多少人？
5．红星小学五年级同学排成一个方阵参加学校运动会开幕式表演。外层每边都是9人，外层一共有多少人？整个方阵一共有多少人？
6．磷口区运动会广播操比赛中，阳光小学以2列纵队方阵出场，比赛过程中，队形会变化成3列和5列方阵。如果总人数不超过100人，这个学校可能有哪几种人数参加比赛？
7．在正方形的广场四周插彩旗，四个顶点各插一面，每边插40面，需要插多少面彩旗？
8．五年级同学参加田径运动会开幕式演出，表演方阵最外层每排16人，这个方阵最外层一共有多少人？
9．新学期开始，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边13人，彩车周围的少先队员有多少人？
10．同学们排成方阵进行团体操比赛，最外层每边站10名学生，最外层一共有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？
11．大合唱时，五年级（1）班的同学组成了一个方队，王亮的位置是，他的左面和后面都没有人，请问这个方队一共有多少人？
12．体育老师在正方形的场地四周共放36个足球，已知四个顶点都放了1个足球，且每边上足球的个数相同．求这个场地每边放足球的个数．
13．学校楼前摆了一个花坛方阵，这个花坛的最外层每边各摆8盆花，最外层共摆了多少盆花？
14．丘珊用围棋子摆了一个方阵，摆这个方阵一行一列共用17颗棋子．她摆这个方阵共用了多少颗棋子？
15．阳光公园有一块正方形的花坛，工人在四周种上树，每边种20棵，且四个顶点各种一棵，每相邻两棵树之间的距离是4米，这个正方形花坛的周长是多少米？
16．“六一儿童节”前夕，实验小学校园里用144盆鲜花摆成一个方阵花坛。最外层一共有多少盆鲜花？
17．为迎接“六一”儿童节，学校举行团体操表演。五年级学生排成下面的方阵，最外层每边站15名学生，最外层一共有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？
18．新明小学举行团体操表演，同学们组成了4个方阵，每个方阵都是18列，每列都是25人。参加团体操表演的一共有多少人？
19．学校举行艺术节队列表演，共4个方队，每个方队排成6行，每行6人．最外圈的同学穿红色运动服，其余同学穿蓝色运动服．一共要准备两种颜色的运动服各多少套？（先画图表示一个方队的队列，再计算）
20．在区运会中，有18个单位参加了开幕式方阵展示活动。每个单位一个方阵，每个方阵长，前后两个方阵间隔。方阵展示队伍一共有多长？
21．参加武术操表演的运动员站成一个正方形队列。如果使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少31人。这个正方形队列最外层共有多少名运动员？参加武术操表演的运动员共有多少名？
22．在学校举行的队列表演中，五年级有56人参加。
（1）如果排成长方形队列，那么有几种排法？（不能排成1行或1列）
（2）如果要求排成的行数和列数相同，那么至少需要去掉多少人或者至少需要增加多少人？
23．同学们在操场上做游戏，大家围成了一个正方形，每条边上都站了11个学生（四个角各站一个学生）。一共有多少个学生在做游戏？
24．五（1）班的36名同学要站成方阵进行广播操比赛，最外圈站了多少人？
25．2022年我们迎来了祖国的“73华诞”，中华大地普天同庆，张爷爷想在自家的正方形庭院的四周挂上红灯笼，每一面都挂上8个红灯笼，张爷爷至少需要购买多少个红灯笼？下面是奇思和妙想的做法：
奇思的做法：（个（个答：张爷爷至少需要购买28个红灯笼
妙想的做法：（个答：张爷爷至少需要购买32个红灯笼早起的鸟儿有虫吃谁的做法正确？说明理由。
参考答案
一．应用题（共25小题）
1．【分析】可以看作空心方阵问题，把96名学生看做96个点，利用空心方阵的最外围每边点数（最外层四周点数，即可解决问题。
【解答】解：
（名
答：每边各有25名学生。
【分析】此题考查了空心方阵中每边点数（四周点数这个公式的灵活应用。
2．【分析】改拼成一个每边比原来多一块的正方形，缺49块，所以（块正好拼满在首次拼成的大正方形的相邻两边周围，再减去相邻两边1个角上的地砖，等于首次拼成的大正方形边长的2倍，所以首次拼成的大正方形每边地砖数：（块．这批砖共有，计算解决问题．
【解答】解：原大正方形每边地砖有：
（块
这批砖原来有：
（块
答：这批砖原来有1632块．
【分析】解决此题的关键是求出首次拼成的大正方形每边地砖数，然后求出这批砖的数量．
3．【分析】空心方阵的层数是8层，方阵队最外层每边25人，根据“空心方阵的总人数（最外层每边的人数空心方阵的层数）空心方阵的层数，”算出人数，再加上15即可得出答案．
【解答】解：
（名；
或
（名；
答：这个方阵队共有559名学生．
【分析】方阵问题相关的知识点是：四周的人数（每边的人数，每边的人数四周的人数，中实方阵的总人数每边的人数每边的人数，空心方阵的总人数（最外层每边的人数空心方阵的层数）空心方阵的层数，外层边长数中空边长数实面积数．
4．【分析】根据题意可知，方阵中每边人数相等，都等于行数，方阵最外层有60人，因为：四周的人数（每边的人数，每边的人数四周的人数可得：（人，方阵总人数每边人数每边人数．据此解答．
【解答】解：（人，
（人
答：方阵最外一层每边有16人，一共有256人．
【分析】本题主要考查方阵问题．注意各角上的人．
5．【分析】最外层人数＝每边人数×4﹣4；实心方阵中总人数＝每边人数×每边人数；代入数据即可解答。
【解答】解：9×4﹣4
＝36﹣4
＝32（人）
9×9＝81（人）
答：外层一共有32人，整个方阵一共有81人。
【分析】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4；实心方阵中总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用。
6．【分析】求这个学校可能有哪几种人数参加比赛，就相当于求2、3、5的公倍数；据此解答即可。
【解答】解：，3，
30的倍数，且不超过100的有：30，60，90。
答：这个学校可能有30，60，90人参加比赛。
【分析】本题考查了倍数应用题，关键是求出2、3、5的最小公倍数。
7．【分析】由题意可知，四个顶点各插一面，每边插40面，除去顶点处则每边插面，再用38乘4，最后再加上四个顶点处各插的一面即可求出需要插多少面彩旗。
【解答】解：
（面
答：需要插156面彩旗。
【分析】本题主要靠方阵问题的应用，关键注意每个顶点上都多数了一次。
8．【分析】方阵最外层四个角上的4人是重复计数的，因此用每排的人数乘4，再减去重复计数的4人即可求出最外层的人数。
【解答】解：
（人
答：这个方阵最外层一共60人。
【分析】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数每边点数的灵活应用。
9．【分析】根据方阵的特点，内外两层差8人，每层的人数（每边的人数，求出最外层的人数，内层的人数外层的人数，据此解答。
【解答】解：由分析可得：
外层人数有：
（人
内层人数有：（人
周围总人数有：（人
答：彩车周围的少先队员有88人。
【分析】明确方阵每边人数与一周人数的关系及内外层人数的关系是解决本题的关键。
10．【分析】根据题意，方阵最外层每边有10名同学，则其4个点上人员是重复的，即最外层人数每边人数，实心方阵总人数每边人数每边人数，代入数据求解即可。
【解答】解：
（名
（名
答：最外层一共有36名学生，整个方阵一共有100名学生。
【分析】本题考查了方阵问题，牢记公式是解题的关键。
11．【分析】王亮的位置是第6列第六行。这是个的方队，总人数即可求。
【解答】解：（人
答：这个方队一共有36人。
【分析】熟悉用数对表示位置的方法及方队的意义是解决本题的关键。
12．【分析】由于四个顶点都放了1个足球，4个顶点重复计算了一次，由此得出四周共有个，再除以4求得答案即可．
【解答】解：
（个
答：这个场地每边放足球10个．
【分析】本题沿封闭图形栽树，用到的知识点是：总棵数每边种的棵数，或总棵数（每边种的棵数．
13．【分析】根据方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数（每边人数，由此列式计算即可。
【解答】解：（盆
答：最外层共摆了28盆花。
【分析】此题考查方阵问题。熟练掌握每边的数量和最外层之间的关系。
14．【分析】一行一列共用17颗棋子，那么每行每列就有颗；那么根据实心方阵中总点数每边点数每点人数；代入数据即可解答．
【解答】解：
（颗
（颗
答：她摆这个方阵共用了81颗棋子．
【分析】此题主要考查方阵问题中：总点数每边点数每边点数的计算应用．
15．【分析】根据“最外层四周点数每边点数”求出四周的间隔数，植树的棵数间隔数，然后再乘间距就是这个正方形鱼花坛的周长是多少米。
【解答】解：
（个
（米
答：这个正方形花坛的周长是304米。
【分析】此题属于封闭图形植树问题，公式是：植树棵数间隔数，间隔数间隔总长间隔距离。
16．【分析】方阵中每行、每列的数量都相等，，所以这个方阵的每行、每列都是12盆，最外层每边也是12盆；最外层四周的总点数每边点数，再由此求出最外层的盆数。
【解答】解：
所以最外层每边有鲜花12盆。
（盆
答：最外层一共有44盆鲜花。
【分析】本题考查了方阵的特点，以及最外层四周的总点数每边点数的灵活应用。
17．【分析】最外层人数每边人数；实心方阵中总人数每边人数每边人数；代入数据即可解答。
【解答】解：
（名
（名
答：最外层一共有56名学生；整个方阵一共有225名学生。
【分析】此题考查了方阵问题中：最外层点数每边点数；实心方阵中总点数每边点数每边点数的灵活应用。
18．【分析】每个方阵都排成了18列25行，则每个方阵有（人，4个方阵有4个450人，即；据此解答即可。
【解答】解：
（人
答：参加团体操表演的一共有1800人。
【分析】解答此题关键是明确“有18列25行”，求几个相同加数的和是多少，用乘法进行解答。
19．【分析】用6乘6求出每个方队的总人数，然后用减去4求出最外圈穿红色运动服的人数，再和每个方队的总人数相减求出穿蓝色运动服的人数．最后再求4个方队中两种颜色的运动服的套数；据此画图即可．
【解答】解：画图如下，
（套
（套
（套
（套
（套
答：一共要准备红色运动服80套，蓝色运动服64套．
【分析】此题考查了方阵问题中：总点数每边点数每边点数；最外层四周点数每边点数的灵活应用．
20．【分析】有18个单位参加了开幕式方阵展示活动，先计算出18个方阵的总长度；前后两个方阵间隔，有这样的17个间隔长度，用17乘5求出17个间隔的长度，再加上18个方阵的总长度，据此解答。
【解答】解：（米
（米
（米
答：方阵展示队伍一共有229米长。
【分析】掌握方阵问题的解决方法是解题的关键。
21．【分析】由题意可知，每行人数和每列人数相等，减少的人数加上1刚好是每列人数的2倍，先求出正方形队列每列的人数，正方形队列最外层每边人数按照一端栽一端不栽的植树问题计算，正方形队列最外层人数（实际每边的人数边数，参加武术操表演的总人数每行人数每列人数，据此解答。
【解答】解：每列人数：
（名
最外层人数：
（名
总人数：（名
答：这个正方形队列最外层共有60名运动员，参加武术操表演的运动员共有256名。
【分析】本题主要考查方阵问题，计算最外层人数时，也可以先求出4条边的总人数，再减去顶点处重复计算的人数。
22．【分析】（1）56人排成长方形队列，不能排成1行或1列，找出除了1和56以外的56所有的因数，写成乘法形式，即可得出不同的排法。
（2）要求56人排成的行数和列数相同，最接近的排法有或，即，由此得出至少需要去掉人，或者至少增加人。
【解答】解：（1）
因为不能排成1行或1列，所以舍去的排法。
可以排成：
①每行2人，排28行；
②每行28人，排2行；
③每行4人，排14行；
④每行14人，排4行；
⑤每行7人，排8行；
⑥每行8人，排7行；
答：有6种排法。
（2）（人
至少去掉：（人
（人
至少增加：（人
答：至少需要去掉7人或者至少需要增加8人。
【分析】本题主要考查了方阵及找因数的灵活运用。
23．【分析】根据“最外层四周点数每边点数”，代入数据解答即可。
【解答】解：
（个
答：一共有40个学生在做游戏。
【分析】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数每边点数的灵活应用。
24．【分析】因为，所以每边有6人，然后根据“四周人数（每边人数”解答即可．
【解答】解：因为，所以每边有6人，
（人
答：最外圈站了20人．
【分析】此题考查了方阵问题中：总点数每边点数每边点数；最外层四周点数每边点数的灵活应用．
25．【分析】正方形的四个角上都要挂上灯笼，每个角上的灯笼在相邻两边都算在8个里面，所以四个角上的灯笼在总数中各重复了一次。每条边上就有个灯笼，4条边上的灯笼即可求。
【解答】解：
（个
因为方形的四个角上都要挂上灯笼，每个角上的灯笼在相邻两边都算在8个里面，所以四个角上的灯笼在总数中各重复了一次。每条边上就有个灯笼，共有28个灯笼。奇思的做法正确。
【分析】弄清楚有重复部分是解决本题的关键。

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