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公因数和公倍数问题
（知识梳理+解决问题）
知识梳理
1、公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数．
2、给定若干个正整数，如果他们有相同的因数，那么这个（些）因数就叫做它们的公因数．
3、求几个数的最大公因数
（1）分别分解各个数的质因数，然后比较出公共的质因数相乘．
（2）用短除法，写短除算式，道理与第一种方法相似，只是找公共因数的过程与除法过程合并了．
4、求几个数的最小公倍数。
（1）分解质因数法：先把这几个数分解质因数，再把它们一切公有的质因数和其中几个数公有的质因数以及每个数的独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数．
（2）公式法．由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积．即（a，b）×[a，b]=a×b．所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数．
解决问题
一．应用题（共25小题）
1．一个长方形的长是21分米，宽为9分米，要分割成最大的正方形，且没有剩余，能分多少块？
2．一次联欢会中，李老师把27块糖和34块巧克力平均分给一组同学，结果糖还剩下3块，巧克力还差2块。这组学生最多有多少人？
3．张老师买回一条22米长的红彩带和一条20米长的黄彩带，把它们裁成同样长的小段，结果红彩带剩余1米，黄彩带剩余2米，所裁成的小段最长是多少米？各能裁成多少段长度相等的小段？
4．1路车每10分钟发一班车，2路车每15分钟发一班车，这两路公交车早上8点10分第一次同时发车，什么时间这两路车第二次同时发车？
5．李兵和爸爸晨练，两人绕运动场跑一圈，爸爸要6分钟，李兵要8分钟．如果两人同时向相同方向一起跑，那么至少多少分钟后两人在起点再次相遇？此时两人各跑了多少圈？
6．三个同学商议暑期去图书馆借书。小明说：“我每4天就去一次”，小华说：“我每6天去一次”，小红说：“我每8天才能去一次。“如果三人7月5日上午9点同时去图书馆借书，那么下一次他们三人会在几月几日上午9点同时在图书馆相遇？
7．一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，这盒围棋子在80颗至90颗之间．这盒围棋子有多少颗？
8．把30块糖和24块巧克力，平均分给一个组的同学，都正好分完，你知道这个组最多有多少同学吗？每位同学分得几块糖？几块巧克力？
9．有两根木棒，长分别是，，要把它们截成同样长的小棒而没有剩余，每根小棒最长多少厘米？
10．、两只青蛙玩跳跃游戏，每次跳10厘米，每次跳15厘米，它们每秒都只跳1次，且一起从起点开始，在比赛途中，每隔12厘米有一陷阱，当它们中第一只青蛙掉进陷阱时，另一只青蛙距离最近的陷阱有多少厘米？
11．明明家的客厅长6米，宽4.2米，用边长多少分米的方砖铺地不需要切割．至少要多少块地砖？
12．有一块长48厘米、宽24厘米、高36厘米的长方体木块，要想把它锯成最大的、大小相同的正方体木块且没有剩余。想一想这个正方体木块的棱长是多少？可以锯成多少块？
13．五一班的人数在之间，如果体育委员一人在前，其余同学每7人一组或6人一组都能够排成长方形，这个班有学生多少人？
14．把苹果和梨分别装在若干个纸箱中，要使每箱苹果的质量和每箱梨的质量相等，至少需要多少个纸箱？
15．上午6时从汽车站同时出发1路和2路公共汽车，1路车每隔12分钟发一次，2路车每隔18分钟发一次，求下次同时发车时间。
16．某班有学生63人，一天上体育课排队，4人一排多2人，5人一排多3人，6人一排多4人，这天上体育课的有多少人？缺勤的有多少人？
17．鲜花店用48朵玫瑰、60朵雏菊和36朵蔷薇扎花束，如果每束花中三种花的朵数分别相等且三种花都没有剩余，那么最多可以扎多少束花？每束花中玫瑰、雏菊和蔷薇各有多少朵？
18．小红、小刚和小亮三人某天在图书馆相遇，小红每15天去一次图书馆，小刚每10天去一次，小亮每20天去一次，下一次三人在图书馆相遇至少要经过多少天？
19．一袋果冻，无论是平均分给7个人、10个人还是4个人，都剩下1个，这袋果冻至少有多少个？
20．玲玲和莉莉都是烈士陵园的“义务讲解员”．玲玲每6天去讲解一次，莉莉每8天去讲解一次．7月1日她们一起去讲解，下一次她们同时去讲解是7月几日？
21．某大学48名男生和72名女生报名成为了全运会的志愿者，为全运会尽自己的一份力量。如果把这些男生和女生分别分成若干个小组，每个小组的人数相等。至少可以分成多少个小组？
22．少年宫象棋组每6天举办一次活动，围棋组每10天举办一次活动，两组5月1日第一次同时举办活动后，几月几日会第二次同时举办活动？
23．五（1）班同学做游戏，每8人一组，每12人一组都刚好分完。这个班同学在40人人之间，这个班有多少人？
24．张老师带五（3）班部分学生去植树，如果这些学生2人一组则多1人，如果3人一组则差2人，如果4人一组则差3人，请问。张老师最少带了多少名学生？
25．某小学组织学生参加“童心追梦”团体操比赛，所有队员排成一个方阵。每行站12人和每行站15人都没有剩余，已知总人数在之间。算一算，这个方阵一共有多少人？
参考答案
一．应用题（共25小题）
1．【分析】先求出21和9的最大公因数就是小正方形的边长，再用总面积除以小正方形的面积求出分成的块数。
【解答】解：
21和9的最大公因数是3
（块
答：能分21块。
【分析】此题主要考查求几个数的最大公因数并解决实际问题。
2．【分析】根据题意可知：如果糖有（块，巧克力有（块，正好够分，求这个组最多有多少同学，即求24和36的最大公因数，把24和36进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公约数；由此解答即可。
【解答】解：（块
（块
所以24和36的最大公因数是
答：这个组最多有12人。
【分析】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数。
3．【分析】求出22和20分别减去剩余的长度，再求出两数的最大公因数，即为小段最长是多少米，再用用去长度分别除以最大公因数，即可解答。
【解答】解：（米
（米
21和18的最大公因数是3。
（段
（段
答：所裁成的小段最长是3米，红彩带能裁成7段，黄彩带能裁成6段。
【分析】本题考查公因数的计算及应用。理解题意，找出最大公因数是解决本题的关键。
4．【分析】这两路车第二次同时发车的时间时（10分）和15的最小公倍数，用短除法求出。
【解答】解：
10和15的最小公倍数是：
8时10分分时40分
答：8时40分这两路车第二次同时发车。
【分析】本题考查的是最小公倍数问题，掌握求最小公倍数方法是解答关键。
5．【分析】可以通过求6、8的最小公倍数的方法求出再次相遇时间，然后用最小公倍数分别除以他们跑一圈各自用的时间，就可求出它们各自跑的圈数，据此解答即可。
【解答】解：
6和8的最小公倍数是
所以至少24分钟后两人在起点再次相遇
相遇时爸爸跑了：（圈
李兵跑了：（圈
答：至少24分钟两人在起点再次相遇，相遇时爸爸跑了4圈，李兵跑了3圈。
【分析】此题考查了学生运用求最小公倍数的方法解决行程问题的能力，注意互质的两数，最小公倍数是这两个数的乘积；数字大的可以用短除解答。
6．【分析】求出4、6、8的最小公倍数，用7月5日加上最小公倍数即可。
【解答】解：
4、6、8的最小公倍数是。5日天日
答：他们三人会在7月29日上午9点同时在图书馆相遇。
【分析】此题主要考查求两个数最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答。
7．【分析】4颗4颗数多3颗即总颗数是4的倍数少1颗，6颗6颗数多5颗即总颗数是6的倍数少1颗，那么这盒围棋子总颗数是4和6的公倍数少1的数，且在之间，由此求出即可．
【解答】解：
4和6的最小公倍数是：
由于总颗数在之间，
（颗
答：这盒围棋子有83颗．
【分析】解答此题的关键是明确这盒围棋子总颗数是4和6的公倍数少1的数，然后再进一步解答．
8．【分析】根据题意，也就是求30与24的最大公因数，即是这个组的最多人数；先把30和24分别分解质因数，进而找出它们公有的质因数，再把公有的质因数相乘即可。分别用糖和巧克力的块数除以最大公因数，即可求出每位同学分得几块糖，几块巧克力。
【解答】解：
所以30和24的最大公因数是：。
（块
（块
答：这个组最多有6名同学，每位同学分得5块糖，4块巧克力。
【分析】本题考查公因数的计算及应用。理解题意，找出最大公因数是解决本题的关键。
9．【分析】把它们截成同样长的小棒而没有剩余，求每根小棒最长是多少厘米，就是求12、44的最大公因数，据此解答即可。
【解答】解：
所以12、44的最大公因数是。
答：每根小棒最长能有4厘米。
【分析】解答此题的关键是确定把它们截成同样长的小棒而没有剩余，每根小棒最长的长度就是12、44的最大公约数，然后再求公因数的方法进行计算即可。
10．【分析】10与12的最小公倍数是60，15和12的最小公倍数也是60；当掉进陷阱时，跳到（厘米）处，此时距离最近的陷阱有（厘米）。据此解答即可。
【解答】解：10与12的最小公倍数是60，15和12的最小公倍数也是60；
掉进陷阱用了：（秒
跳了：（厘米）
距离最近的陷阱有：
（厘米）
答：另一只距离最近的陷阱有4厘米。
【分析】此题考查了公倍数的意义与实际应用。
11．【分析】求选用边长多少分米的方砖铺地不需要切割，并且求至少要多少块地砖，即求长和宽的最大公因数，首先把米化为分米，再把60和42进行分解质因数，然后求出它们的最大公因数，最后根据长方形的面积公式、正方形的面积公式求出客厅的地面的面积和每块方砖的面积，然后用客厅地面的面积除以每块方砖的面积即可求出需要的块数。
【解答】解：4.2米分米
6米分米
42的因数有：1，2，3，6，7，14，21，42；
60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，15，20，30，60。
所以42和60的公因数有1，2，3，6，所以选用边长1分米，2分米，3分米，6分米的方砖铺地不需要切割。
（块
答：用边长6分米的方砖铺地不需要切割，至少要70块地砖。
【分析】此题主要考查求两个数的最大公因数的实际应用，还考查了长方形、正方形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
12．【分析】要想把它锯成最大的、大小相同的正方体木块且没有剩余，就是求48、24、36的最大公因数；
用48、24、36分别除以它们的最大公因数，再把所得的结果相乘的积就是锯的块数。
【解答】解：48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48
24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24
36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36
所以48、24、36的最大公因数是12，即这个正方体木块的棱长是12厘米，
（块
答：这个正方体木块的棱长是12厘米，可以锯成24块。
【分析】没有剩余就是求他们的公因数，锯成棱长最大的就是求它们的最大公因数。
13．【分析】求这个班有学生多少人，即求之间的7、6的公倍数；再加1人，根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可．
【解答】解：7和6互质，
6和7的最小公倍数是；
因为在之间，所以这个班有学生应为人．
答：这个班有学生43人．
【分析】考查了求几个数的最小公倍数的方法，解答此题的关键是先求出6和7的最小公倍数，进而结合题意，解答得出结论．
14．【分析】要求使每箱苹果和每箱梨的质量相当，就是求140和120的最大公因数，然后用梨和苹果的总重量除以每箱苹果（每箱梨）的质量，就是至少需要多少个纸箱．据此解答即可．
【解答】解：
所以140和120的最大公因数是：
（个
答：最少需要13个这样的纸箱．
【分析】解决本题先求140和120的最大公因数，再根据除法的包含意义进行求解．
15．【分析】1路和2路下次同时发车时，所经过的时间必须既是12分钟的倍数，又是18分钟的倍数，也就是求它们的最小公倍数。
【解答】解：
12和18的最小公倍数是：
6时分钟时36分
答：下次同时发车时间是上午6时36分。
【分析】本题关键是理解：两辆车同时发车的两次之间间隔时间就是12和18的最小公倍数。
16．【分析】“4人一排多2人，5人一排多3人，6人一排多4人”可以理解为“4人一排少2人，5人一排少2人，6人一排少2人”，求多少人参加，也就是求63人以内的比4、5、6的公倍数少2的人，由此解答即可；然后用63减去上课的人数，即可求出缺勤的人数．
【解答】解：4、5、6的最小公倍数是60，所以上课的有：（人
缺勤的有：（人
答：这天上体育课的有58人，缺勤的有5人．
【分析】明确要求的上体育课的人数即比比4、5、6的公倍数少2的人，是答此题的关键．
17．【分析】把这些花分成相同的若干束，求最多扎成多少束，既是求60、48和36的最大公因数，先把它们分解质因数再求得最大公因数就是最多可以扎成的束数，然后分别用玫瑰、雏菊和蔷薇的数量除以它们的最大公因数，就是每束里玫瑰、雏菊和蔷薇的朵数，据此解答。
【解答】解：
所以60、48和36的最大公因数是：
（朵
（朵
（朵
答：最多可以扎12束，每束花里玫瑰4朵，雏菊5朵，蔷薇3朵。
【分析】解答本题要先分析理解：每束里三种花的朵数都相同，就是求60、48和36的最大公因数，注意掌握求最大公因数的方法。
18．【分析】由小红每15天去一次图书馆，小刚每10天去一次，小亮每20天去一次，可知：他们到下一次都到图书馆之间的天数是15、10、20的最小公倍数的数，据此解答．
【解答】解：
所以15、10、20的最小公倍数：
即下一次都到图书馆要经过60天．
答：下一次三人在图书馆相遇至少要经过60天．
【分析】本题主要考查最小公倍数的实际应用，解答本题的关键是：理解他们到下一次都到图书馆之间的天数是15、10、20的最小公倍数的数，由此即可解答．
19．【分析】求这袋果冻至少有多少个，就相当于求7、10、4的最小公倍数，然后加上1即可．
【解答】解：、
7、10、4的最小公倍数是：
（个
答：这袋果冻至少有141个．
【分析】解答此题的关键是先求出7、10、4的最小公倍数．
20．【分析】玲玲每6天去讲解一次，莉莉每8天去讲解一次，先求出6和8的最小公倍数，为24，然后用7月1日加上24，解答即可．
【解答】解：，，6和8的最小公倍数是，
即再过24天她们又同时去讲解，
所以，7月1日她们一起去讲解，下一次她们同时去讲解是7月25日，
答：下一次她们同时去讲解是7月25日．
【分析】此题考查了求两个数的最大公因数：对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数；两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数．
21．【分析】由男女生分别分组，要使每组的人数相同，可知每组的人数是男生和女生人数的公因数，要求至少可以分成多少个小组，就要求每组人数最多，就是每组的人数是男生和女生人数的最大公因数；求可以分成多少个小组，只要用男、女生人数分别除以每组的人数再相加即可。
【解答】解：
所以48和72的最大公因数是：
即每组最多有24人。
男生分的组数：（个
女生分的组数：（个
（个
答：至少可以分成5个小组。
【分析】解答本题关键是理解：每组的人数是男生和女生人数的公因数，要求每组最多有多少人，就是每组的人数是男生和女生人数的最大公因数。
22．【分析】要求第二次同时举办活动的时间，就是要求6和10的最小公倍数，5月1日往后推最小公倍数的天数，即可解答。
【解答】解：
6和10的最小公倍数是
5月1日往后推30天是5月31日。
答：5月31日会第二次同时举办活动。
【分析】本题考查公倍数的计算及应用。理解题意，找出最小公倍数是解决本题的关键。
23．【分析】由已知条件可知，这个班的学生人数必须是8和12的公倍数，又要符合人数在40人人之间，那就先求出它们的最小公倍数，然后再扩大几倍，在40人人之间的即是答案。
【解答】解：先求12和8的最小公倍数：
12和8的最小公倍数是：；
12和8的公倍数有：24，48，
所以在人之间的是48。
答：这个班的学生最多有48人。
【分析】此题主要考查公倍数的意义以及求两个数最小公倍数的方法，做题时要认真审题。
24．【分析】根据题意，“3人一组则差2人”可以理解为“3人一组则多1人”；“4人一组则差3人”可以理解为“4人一组多1人”，则原题中最少带学生数量，就转化为求2、3、4的最小公倍数，再加一人即可。
【解答】解：
2、3、4的最小公倍数是。
（人
答：张老师最少带了13名学生。
【分析】能将条件理解并有效转化是解答本题的关键。注意掌握最小公倍数的求法。
25．【分析】每行站12人或每行站15人，都能正好排成一个方阵，说明方阵的人数是12和15的公倍数。先求出12和15的最小公倍数是60，再依次乘2、3、直到得数为280到350之间。即可解答。
【解答】解：
所以12和15的最小公倍数是：
（人
答：这个方阵一共有300人。
【分析】本题考查公倍数的计算及应用。理解题意，找出最小公倍数是解决本题的关键。

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