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盈亏问题
（知识梳理+解决问题）
知识梳理
1、盈亏问题。
在等分除法的基础上发展起来的。他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。
2、解题关键。
盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差，再求两次分配中各次共分物品的差（也称总差额），用前一个差去除后一个差，就得到分配者的数，进而再求得物品数。
3、解题规律。
总差额÷每人差额=人数
总差额的求法可以分为以下四种情况：
第一次多余，第二次不足，总差额=多余+ 不足
第一次正好，第二次多余或不足 ，总差额=多余或不足
第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余
第一次不足，第二次也不足， 总差额= 大不足-小不足
解决问题
一．应用题（共25小题）
1．红星幼儿园有一些小篮球要分给小班，如果每班分7个，就多了6个，如果每班分9个，就少了2个。这些小篮球一共有多少个？
2．学校有一批图书分给五年级，如果每个班分15本，正好分完；如果每个班分18本，那么就有一个班没有分到，学校五年级有几个班级？这批图书共有多少本？
3．同学们去公园划船，如果每条船上坐4人，还多出12人，如果每条船上坐5人，还有4个空位。一共有多少名同学划船？
4．学校买来一些飞机模型，分给各个班级．如果每个班分8架，正好分完；如果每班分6架，余下14架，问：学校分给几个班级？一共买来多少架飞机模型？
5．学校安排寝室，如果每间13人就正好住满，如果每间10人，还缺三间寝室，学校有几间寝室？
6．学校组织学生参加为期三天的夏令营，为学生分配宿舍．如果每个房间住6人，那么正好空出3个房间；如果每个房间住4人，那么房间正好住满．宿舍有几间？学生共有多少人？
7．有一批苹果，每24个装一箱，最后一箱少5个，每30个装一箱，最后一箱少11个，每25个装一箱，最后还多出19个．这批苹果至少有多少个？
8．同学们买了一些气球扎成若干束布置教室，如果每4只气球一束，则多6只，如果每5只气球一束，则正好用完。同学们扎了几束气球？一共买了多少只气球？
9．李老师从甲地到乙地开会，如果每分钟走65米，迟到3分钟；如果每分钟走80米，则准时到达。李老师要准时到达，一共需要多长时间？
10．笑笑计划用若干天做完一套窗花作品集，如果她每天制作5张窗花，按照计划会还差4张没完成；如果她每天制作6张窗花，恰好可以提前一天做完。请问：笑笑的这套窗花作品集最少有多少张窗花？
11．小华去商店买日记本，买10本差1元，买同样的8本还剩2.2元，这样的日记本每本多少元？
12．五年级同学乘车去博物馆参观。如果租5辆车，则有10名同学没有座位；如果租6辆车，则多出32个座位。
（1）每辆车上有多少个座位？
（2）一共有多少名同学去博物馆参观？
13．体育老师给每个班级分发毽子，如果平均分给每个班级20个，那么还剩40个；如果平均分给每个班级22个，那么正好分完。共有多少个班级？多少个毽子？
14．小华从家到学校，先以每分钟走90米的速度走了2分钟，她估算了一下，以这个速度到学校将迟到3分钟，于是在接下来的路程中，她每分钟走120米，结果提早了3分钟到校。小华家到学校的距离是多少米？
15．爷爷买了一把香蕉，给几个孩子分着吃，一人2根少1根，一人一根半多1根，这把香蕉一共有几根？几个孩子把它们分？
16．一箱梨，如果按每千克1.6元卖，就会亏9元；如果按每千克2.1元卖，就会赚6元。如果不赚也不亏，每千克应卖多少元？
17．小婷和小静的钱合起来正好可以买一本《英汉辞典》。如果小婷单独买，那么差9.6元；如果小静单独买，那么差5.8元。如果用20元买这本《英汉辞典》，应找回多少元？
18．农民叔叔购买农作物种子，如果买5千克，剩下63.2元，如果购买8千克，剩下8元。他一共带了多少钱？
19．妈妈带一些钱去买布．买2米布后还剩下1.80元；如果买同样的布4米则差2.40元．问：妈妈带了多少钱？
20．一个工人接到加工一批零件的任务，限期完成。如果每天做10个，还差3个完成任务；如果每天做11个，就可以提前1天完成。他的工作期限是多少天？
21．老师给参加数学竞赛获奖的同学发奖品，若每人发6支笔，则就多出22支；若每人发8支则正好分完，问获奖的同学有多人？有多少支笔？
22．某商场在促销活动中，将一批商品降价处理．如果减去定价的出售，那么可以盈利170元：如果减去定价的出售，那么亏损150元．此商品的购入价是多少元？
23．用绳子测量一口井的深度，把绳子三折来量，井外每折余16米，把绳子四折来量，井外每折余4米，井深和绳长各是多少？
24．林老师和几位老师带着学校科学社团的同学观看神舟十一号飞船返回地球的全程直播。林老师数了数直播室里的座位椅（每张长椅共5个座位），算了算；1人1个座位，如果每张长椅上坐1位老师和4位同学，则有3个同学没有座位；如果每张长椅坐5位同学，则空出3个座位。问：学校科学社团共有几位同学？
25．小东从家出发去学校，如果每分走70米，能在上课前5分到校；如果每分走45米，就要迟到5分。那么小东家到学校的路程是多少米？
参考答案
一．应用题（共25小题）
1．【分析】如果每班分7个，就多了6个，如果每班分9个，就少了2个，即盈6，亏2，两次分配的差为，则共有（个班，则小篮球的个数为：（个。
【解答】解：
（个
（个
答：这些小篮球一共有34个。
【分析】本题主要考查盈亏问题，（盈数亏数）两次每人分配数的差人数。
2．【分析】设五年级有个班，根据这批图书的总本数不变，列出方程即可。
【解答】解：设五年级有个班，则这批图书共有本。
（本
答：有6个班，共有90本。
【分析】找出题目中的等量关系，是解答此题的关键。
3．【分析】设有条船，每条船坐4个人，一共坐了人；再加上12人，等于一共同学的人数；每天船坐5人，一共坐了人，再减去4个空位置，等于一共同学的人数，人数不变，列方程：，解方程，求出有多少条船，进而求出一共有多少名同学。
【解答】解：设有条船。
（名
答：一共有76名同学。
【分析】本题考查方程的实际应用，利用人数不变和船的数量不变，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。
4．【分析】如果每个班分8架，正好分完；如果每班分6架，余下14架，由此可知，两次每班分得的架数差为（架本），两次总数差为14架，也就是每班多分2架，就会多分14架，所以共有班数为（个，飞机模型买来（架，据此解答．
【解答】解：共有班数：
（个
架数：
（架
答：学校分给7个班级，一共买来56架飞机模型．
【分析】此题属于盈亏问题，在求共有班数时，运用了下列关系式：（盈数亏数）两次分物数量的差分物份数．
5．【分析】如果每间10人，还缺三间寝室，即亏人；两次分配的差为，根据盈亏问题公式可知共有寝室间；据此解答．
【解答】解：
（间
答：学校有10间寝室．
【分析】盈亏问题的解答思路是：通过比较已知条件，找出两个相关的差数，一是总差额，二是每份的差额，将这两个差相除，就可求出总份数，然后再求物品数；基本关系式为：总差额每份的差额总份数．
6．【分析】如果每个房间住6人，那么正好空出3个房间，即不足人；如果每个房间住4人，那么房间正好住满；两次分配的差为人，人数差为18，根据盈亏问题公式可知共有宿舍间，则共有学生人；据此解答．
【解答】解：
（间
（人
答：学生宿舍有9间，学生有36人．
【分析】盈亏问题的解答思路是：通过比较已知条件，找出两个相关的差数，一是总差额，二是每份的差额，将这两个差相除，就可求出总份数，然后再求物品数；基本关系式为：总差额每份的差额总份数．
7．【分析】由题意可知：每箱24个、或每箱30个或每箱25个都是剩19个；所以苹果总数减少19个后就是24、30、25的公倍数；又24、30、25的最小公倍数是600，所以这批苹果最少（个．
【解答】解：每箱24个、或每箱30个或每箱25个都是剩19个；
所以苹果总数减少19个后就是24、30、25的公倍数；
又24、30、25的最小公倍数是600，
所以这批苹果最少
（个
答：这批苹果至少有619个．
【分析】本题主要运用方程解决问题，也可根据余数相同，灵活应用最小公倍数的求解方法，然后减去余数，即可得解．
8．【分析】设同学们扎了束气球，气球总只数为或，则根据气球总只数不变，列方程解答即可得同学们扎了几束气球，再求一共买了几只气球即可。
【解答】解：设同学们扎了束气球，
（只
答：同学们扎了6束气球，一共买了30只气球。
【分析】本题的关键是根据气球总只数不变列方程。
9．【分析】设准点到达需要的时间为分，迟到3分为分，因为路程没变，根据路程速度时间，列方程为，解方程，即可求出李老师要准时到达，一共需要多长时间。
【解答】解：设准点到达需要的时间为分，迟到3分为分。
答：一共需要13分钟。
【分析】本题考查行程问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
10．【分析】每天制作6张窗花，恰好可以提前一天做完，即每天制作6张窗花，可以多完成6张。用每天制作6张多制作的量加上每天制作5张差的量除以两种制作方法的张数差即可计算出制作的天数，求出天数后根据每天制作5张窗花，按照计划会还差4张没完成求出需要制作的窗花张数。
【解答】解：
（天
（张
答：笑笑的这套窗花作品集最少有54张窗花。
【分析】本题考查了盈亏问题的应用。
11．【分析】如果买10本差1元，买同样的8本还剩2.2元，也就是如果买（本，则需要（元，即一本是（元，据此解答。
【解答】解：（元
（本
（元
答：这样的日记本每本1.6元。
【分析】由于两次买的数量不统一，造成钱的亏与盈，算出盈与亏是完成本题的关键。
12．【分析】（1）如果乘坐5辆车，则少10个座位，如果乘坐6辆车，多出32个座位，求每辆车上有多少个座位，则辆车上有名学生，由此即可求出每辆车上的座位数。
（2）求参观的学生共有多少名，可以先求出5辆车坐着的人数，然后加上少的没有座位的10名学生即可。
【解答】解：（1）
（个
答：每辆车上有42个座位。
（2）
（名
答：参观的学生共有220名。
【分析】此题属于盈亏问题，明确辆车上有名学生，是解答此题的关键。
13．【分析】平均分给每个班级20个，那么还剩40个；如果平均分给每个班级22个，那么正好分完，说明每个班级多分2个，可以分完40个毽子，故40里面有多少个2，即是班级数量，求出班级数量用每个班级分22个乘班级数量，即可求出毽子数量，据此解答。
【解答】解：
（个
（个
答：共有20个班级，440个毽子。
【分析】本题主要考查了盈亏问题的应用。
14．【分析】列方程解答，设正常用时分钟，用小华每分钟走90米的速度乘时间分钟，就是小华家到学校的距离，小华以每分钟走90米的速度走了2分钟走的路程是米，再加上120乘分钟，也是小华家到学校的距离，据此列方程，解方程即可解答。
【解答】解：设正常用时分钟，由题意得：
所以小华家到学校的距离是：
（米
答：小华家到学校的距离是2340米。
【分析】明确小华家到学校的距离不变，据此列方程，解方程解答此题即可。
15．【分析】根据题意：孩子的人数孩子的人数香蕉的总根数，根据此列方程解答即可。
【解答】解：设有个孩子。
（根
答：这把香蕉一共有7根，4个孩子把它们分。
【分析】解答本题的关键是找到两种分法中香蕉的数量是相等的，根据此数量关系，列方程解决。
16．【分析】如果按每千克1.6元卖，就会亏9元；如果按每千克2.1元卖，就会赚6元。则总差额是元，每份的差额是元，将这两个差相除，就可求出总质量，然后再进一步解答即可。
【解答】解：
（千克）
（元
答：如果不赚也不亏，每千克应卖1.9元。
【分析】盈亏问题的解答思路是：通过比较已知条件，找出两个相关的差数，一是总差额，二是每份的差额，将这两个差相除，就可求出总份数，然后再求物品数；基本关系式为：总差额每份的差额总份数。
17．【分析】由题意知：小婷单独买，差9.6元，差的9.6元就是小静有的钱数；小静单独买，那么差5.8元，差的5.8元，就是小婷有的钱数。据此列式解答即可。
【解答】解：
（元
答：应找回4.6元。
【分析】理解差的钱数就是对方应有的钱数，是解答本题的关键。
18．【分析】如果买5千克，剩下63.2元，如果购买8千克，剩下8元，那么多买了千克，少剩下了元，也就是55.2元是3千克的总价，再用55.2元除以3千克即可求出种子的单价，然后用单价乘8千克，求出8千克需要的钱数，再加上8元，就是他一共带了多少钱。
【解答】解：
（元
（元
答：他一共带了155.2元钱。
【分析】解决本题先找出两次购买时数量和总价的变化，得出3千克种子的总价，再利用单价、总价和数量三者之间的关系求解。
19．【分析】根据题意，利用盈亏问题公式：一盈一亏的解法：（盈数亏数）两次分配数的差，把数代入计算得：（元米），则妈妈所带钱数为：（元．据此解答．
【解答】解：
（元米）
（元
答：妈妈带了6元．
【分析】本题主要考查盈亏问题，关键分清盈亏情况，先求每米布多少钱．
20．【分析】设他的工作期限为天，如果每天做10个，还差3个完成任务，可用“”表示这批零件的个数；如果每天做11个，就可以提前1天完成，可以用“”表示这批零件的个数；据此列方程解答。
【解答】解：设他的工作期限是天。
答：他的工作期限是14天。
【分析】本题属于盈亏问题应用题，可用方程解答，分别用两种方法表示这批任务的总数，根据两种方法表示这批任务的总数相等列方程解答。
21．【分析】笔的总数是一定的，无论怎么分笔的数量不变，设获奖的同学有人，则人数人数，算出总人数，总人数就是一共有多少支笔。
【解答】解：设获奖的同学有人
（支
答：获奖有11人，笔有88支。
【分析】找准等量关系是关键。
22．【分析】把定价看作单位“1”，两种减价相差元，它对应的分率是，根据盈亏问题的解答方法可得定价是元，然后再根据百分数乘法的意义求出减去定价的后的钱数，再减去盈利即可．
【解答】解：
（元
（元
答：此商品的购入价是3350元．
【分析】本题考查了盈亏问题与百分数应用题的综合应用，解答思路是：通过比较已知条件，找出两个相关的差数，一是总差额，二是每份的差额，将这两个差相除，就可求出定价．
23．【分析】把绳子三折来量，井外余16米，也就是绳长比井深的3倍还多米；把绳子四折来量，井外余4米，也就是绳长比井深的4倍还多米．根据盈亏问题公式可知，井深为米，则绳长为米．
【解答】解：井深为：
（米
绳长为：
（米
答：绳长为144米，井深为32米．
【分析】本题为两次都有余的盈亏问题，公式为：（大盈小盈）（两次分配的差）分配数量．
24．【分析】因为每张长椅上坐4位学生，有3名学生没地方坐，每张长椅上坐5位学生，就有3个空座位，也就是每个长椅上多坐1人，就多坐（人，所以椅子数就是，进而求出学生数。
【解答】解：椅子数：
（把
学生数：
（位
答：学校科学社团共有27位同学。
【分析】此题主要考查学生运用盈亏问题的有关知识，灵活解决生活中的实际问题的能力；此题运用了下列关系式：（盈数亏数）两次分配之差份数。
25．【分析】由题意可知，如果每分钟走70米，能在上课前5分钟到校，也就是按原预定时间能多走（米，每分钟走45米，迟到5分钟，也就是按预定时间能少走了（米，路程相差：（米，每分钟相差：（米，由根据盈亏问题公式可知预定时间为：（分钟），再求家到学校的距离即可。
【解答】解：
（分钟）
（米
答：小东家到学校的路程是1260米。
【分析】在根据时间速度求出盈余与不足的路程的基础上，根据（盈亏）两次分配的差参于分配的数量的基础上求出预定时间是完成本题的关键。

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