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植树问题
（知识梳理+解决问题）
知识梳理
为使其更直观，用图示法来说明．树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题．
一、在线段上的植树问题可以分为以下三种情形．
1、如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数=间隔数+1．
2、如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵数=间隔数．
3、如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：棵数=间隔数-1．
4、如果植树路线的两边与两端都植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，再乘二，即：棵树=段数+1再乘二．
二、在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数=间隔数．
三、在正方形线路上植树，如果每个顶点都要植树．则棵数=（每边的棵数-1）×边数．
非封闭线路上的植树问题主要可分为以下情形：
（1）如果在非封闭线路的两端都要植树，那么：
株数=段数+1=全长÷株距+1
全长=株距×（株数-1）
株距=全长÷（株数-1）
（2）如果在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树，那么：
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数．
解决问题
一．应用题（共25小题）
1．新杨村新修一个长方形的人工湖，长150米，宽90米，现要在人工湖四周等距离安装路灯，每两盏灯之间的距离要尽可能大，并且四个顶点都要装灯。一共需要安装多少盏路灯？
2．一条长96米的路上，原来每隔4米种一棵树，现在改为6米种一棵，从头到尾有多少棵树保留在原来的位置？（两端都栽）
3．2023年3月12日是我国第45个植树节，今年植树节的主题是“履行植树义务，共建美丽中国”。为绿化校园，五（2）班同学在一个长48米、宽40米的长方形花坛周围等距离种植桂花树（四个角都要栽），至少要栽多少棵桂花树？
4．欣欣家和小辉家计划一起前往西子湖露营。
（1）他们两家到西子湖的距离一共有220千米，早上同时从家出发，往西子湖开出，2小时后同时到达。欣欣家汽车的平均速度是52千米时，小辉家汽车的平均速度是多少千米时？
（2）他们准备的帐篷底面呈圆形，直径是2米。沿着帐篷的外沿每隔3.14分米钉一枚地钉，一共要钉多少枚？
5．小区里有一条长30米的长廊，在它的一侧从头到尾摆了一排花。原来每2米摆一盆，现在是每3米摆一盆，除了第一盆花不用动，还有几盆花是不用移动位置的？写出你的思考过程。
6．把一根木料锯成10段，如果每锯一段的时间相等，那么锯5段的时间是锯完这要木料所用总时间的几分之几？
7．广元进行老旧小区改造工程，某老旧小区为了解决居民电动车充电问题，准备新增、两排充电区。
（1）排充电区沿小区里60米长的马路一边每隔1.5米设置一个充电桩（两端都设置），排充电区一共可设置多少个充电桩？
（2）排充电区沿着原来电动车棚内侧一边每隔1.5米设置一个充电桩（两端都不设置），共设置了21个充电桩，原来电动车棚的长度是多少米？
8．在一条全长1.5千米的街道两旁安装路灯（两端都不安装），每隔50米安一盏。一共要安装多少盏路灯？
9．建筑工程队要盖一栋楼，需要在长150米，宽60米的长方形地基上打桩。四个角都要打桩，每隔2.5米打一根桩。这栋楼地基的四周要打多少根桩？
10．有一个长为40米，宽为30米的长方形池塘，要在四周插木桩建篱笆，每隔2米插一根木桩，每个角都插一根，共需多少根木桩？
11．步行街长，在街的一边挂红灯笼（两端都挂），相邻两个灯笼之间的距离都是，一共挂了多少个红灯笼？
12．国庆节期间，宽城瀑河大桥上每隔4米插了一面彩旗。桥的两端都要插，其中桥的一侧插了50面，瀑河大桥的长是多少米？
13．走楼梯的益处很多，有助于活动关节和降压降脂等。小刚家住在9楼，为了锻炼身体，他步行上楼回家。从1楼走到5楼，他用了120秒，如果用同样的速度，小刚走到自己家所在楼层共需要多长时间？
14．一条观光走廊长，在走廊的两旁每隔安装一块风景画（一端安装一端不安装）。这条观光走廊上安装了多少块风景画？
15．25名同学在老师画好的圆形场地玩“抢板凳”游戏（板凳沿圆形摆一圈，且间隔相等）。开始时，相邻两个板凳之间的间隔是0.5米，玩了一会儿，有14名同学被淘汰，剩下的同学继续玩，现在相邻两个板凳之间的间隔是多少米？
16．人们自己驾驶汽车，以旅游为目的的出行方式就叫自驾游，这种出行方式的路线、所去的景点、食宿安排及行程，完全自主，不受任何人和单位的左右或干扰，备受人们青睐。今年国庆长假期间，小明一家6人自驾到离家360千米的贵阳旅游。为了锻炼小明，妈妈决定将本次外出自驾游的所有事情交给小明来做，小明可高兴了！
小明发现：从印江到贵阳的高速路上，为了方便人们休息、加油，每隔就有一个服务区（两端都有）请你帮小明算一算，印江到贵阳的高速路一共有多少个服务区？
17．一条笔直的走廊的一旁放了41个凳子（两端都放），每隔3米放一个，这条走廊长多少米？
18．有一座15层的楼房，每层的台阶数都相等，小红从一层到三层共走了48个台阶，那么，从一层到15层共要走多少个台阶？
19．某公交车行驶的路线上每隔800米就有一个站台，一共15个站台。这条公交路线长是多少千米？
20．青青家园小区的广场中间有一个圆形的喷泉，喷泉的直径是，若在喷泉周围每隔种一棵树，这个喷泉的周围最多能种几棵树？
21．建筑学家经过测量发现，为了保证最底层房子的采光，相邻两栋楼的间距达到楼层总高度的时是最合适的。现一个小区楼栋的设计均为28层，层高为2.8米，则相邻两栋楼之间的间距为多少米才最合适？（结果保留整数）
22．一根钢管，把它锯成7段需用18分钟，照这样的速度，把它锯成16段需用多少分钟？
23．某一条路上有若干个红路灯，每两个红灯之间间隔900米，一辆汽车以10米秒的速度通过红路灯，每个红路灯都以红灯25秒，黄灯5秒，绿灯30秒间隔闪动一次。如果它想在每个红路灯口遇绿灯。那么它要提高速度多少千米时才行？
24．奥运会男子110米栏共有10个栏架，每两个栏架间距离相等．其中第一个栏架距离起跑线为13.72米，最后一个栏架距离终点线为14.02米，那么每两个栏架之间的距离是多少米？（提示：在草稿纸上先画一下草图）
25．沿着环形跑道的起点每隔相等的距离插上一面红旗，一共有20面。一个运动员起跑后，6秒到达第三面红旗处。如果速度保持不变，这个运动员一共要用多少秒才能跑完一圈回到第一面红旗处？
参考答案
一．应用题（共25小题）
1．【分析】先确定每两盏灯之间的距离，再根据长方形的周长公式，求出长方形周长，运用在封闭线路上植树，棵数与段数相等，据此求解即可。
【解答】解：每两盏灯之间的距离是150米和90米的最大公因数30米。
（盏
答：一共需要安装16盏路灯。
【分析】本题主要考查了植树问题，解题的关键是明确：在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数间隔数。
2．【分析】求出4和6的最小公倍数，用全长除以最小公倍数，再加上开头的一棵，就得位置不变的棵数。
【解答】解：4和6的最小公倍数是12。
（棵
（棵
答：从头到尾有9棵树保留在原来的位置。
【分析】明确两种植树方式间的数量关系是解决本题的关键。
3．【分析】求出48和40的最大公因数，即为间隔的长度，求出长方形的周长，再除以最大公因数，即可求出至少要栽的棵数。
【解答】解：
48和40的最大公因数是。
（棵
答：至少要栽22棵桂花树。
【分析】本题考查植树问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
4．【分析】（1）用路程和减去欣欣家2小时所行路程，再除以2，求小辉家汽车的速度；
（2）利用圆的周长公式：，计算帐篷外沿的长，再除以3.14即可。注意单位要统一。
【解答】解：（1）
（千米时）
答：小辉家汽车的平均速度是58千米时。
（2）2米分米
（枚
答：一共要钉20枚。
【分析】本题主要考查行程问题及植树问题的应用。
5．【分析】原来2米摆一盆，现在3米摆一盆，那么除第一盆外不移动的花就是在2和3的公倍数上，找出30以内2和3的公倍数，即可求解。
【解答】解：2和3的最小公倍数是6；
答：还有5盆花是不用移动位置的。
【分析】本题考查了利用求公倍数的方法解决实际问题的能力。
6．【分析】锯成10段，那么需要锯9次，锯5段需要锯4次，每次锯的时间相等，再用除法计算即可。
【解答】解：（次
（次
答：锯5段的时间是锯完这要木料所用总时间的。
【分析】本题关键是知道锯的次数比锯段数少1，然后再根据分数的意义求解。
7．【分析】（1）根据“间隔数路长间隔距离”及“植树棵数间隔数（两端都栽）”直接解答；
（2）根据“路长（植树棵数间隔数（两端都不栽）”直接解答。
【解答】解：（1）
（个
答：排充电区一共可设置41个充电桩。
（2）
（米
答：原来电动车棚的长度是33米。
【分析】解答本题需熟练掌握路长、间隔数和间隔距离之间的关系。
8．【分析】先求出1.5千米里面有几个50米，即有几个间隔，因为两端都不安装，所以求得的间隔数减去1就是一旁安装路灯的盏数，进而求出两旁安装路灯的盏数。
【解答】解：1.5千米米
（盏
（盏
答：一共要安装58盏路灯。
【分析】本题主要考查植树问题是应用，关键分清间隔数与灯的盏数的关系做题。
9．【分析】这是典型的“封闭型”植树问题，本题种木桩的区域是一个长方形，且这个长方形的四个角都要打，木桩数段数，用长方形的长间隔棵树，长方形的宽间隔棵树，长方形有两个长和两个宽。则综合数量关系式为：木桩的根数（长方形的长间隔长方形的宽间隔）。
【解答】解：
（根
答：这栋楼地基的四周要打168根桩。
【分析】本题考查了植树问题的应用。
10．【分析】根据“长方形的周长（长宽）”，先求出长方形池塘的周长，再用周长除以2，求出共需要多少根木桩。
【解答】解：
（米
（根
答：共需70根木桩。
【分析】本题主要考查植树问题中的在封闭线路上植树的情况，先求出长方形的周长是关键。
11．【分析】先用300除以20求出300米里有几个间隔，再加1，就是灯笼数。
【解答】解：
（个
答：一共挂了16个红灯笼。
【分析】本题属于植树问题中两端都植树的问题：如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数间隔数。
12．【分析】桥的两端都要插，其中桥的一侧插了50面，用50减去减去1求出间隔数，再乘4即可。
【解答】解：
（米
答：瀑河大桥的长是196米。
【分析】此题属于植树问题中两端都要栽的情况：抓住间隔数植树棵数即可解答。
13．【分析】从1楼走到5楼，需要走层楼梯，用所需时间除以楼梯层数，计算每层所需时间，再乘层即可。
【解答】解：
（秒
答：小刚走到自己家所在楼层共需要240秒。
【分析】本题主要考查植树问题的应用，关键注意楼层数与楼梯层数的关系做题。
14．【分析】根据植树问题公式：如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵数间隔数。解答即可。
【解答】解：（块
（块
答：这条观光走廊上安装了100块风景画。
【分析】本题主要考查植树问题，关键是分清间隔数和植树棵数之间的关系。
15．【分析】25名同学在老师画好的圆形场地周围玩游戏，那么板凳间隔数，25名同学就需要个板凳，他们每两个人的间隔是，所以一圈的周长是（米，然后除以间隔数就是间隔应改为几米。
【解答】解：
（米
（米
答：现在相邻两个板凳之间的间隔是1.2米。
【分析】在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数间隔数。
16．【分析】先用360除以40求出间隔数，然后再加1即可。
【解答】解：
（个
答：印江到贵阳的高速路一共有10个服务区。
【分析】如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数间隔数。
17．【分析】走廊两端都放，一共放41个凳子，那么间隔数是（个，然后乘间距即可。
【解答】解：
（米
答：这条走廊长120米。
【分析】本题属于植树问题中两端都植的情况，如果植树路线的两端都植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1。
18．【分析】因为每层楼的台阶数相等，小红从一层到三层共走了48个台阶，其实她才走了2层的楼梯，由此可以通过48除以2算出每层的台阶数，同样从一层到15层走了层的楼梯，用乘法计算即可。
【解答】解：
（个
答：从一层到15层共要走336个台阶。
【分析】本题实质属于植树问题，关键是明白从一层到15层中间经过的楼层，正好是树的间隔数问题，用楼层数减去1，就是经过的楼层数，从而求得每两层之间的台阶数。
19．【分析】根据植树问题公式：如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数间隔数，利用站台数减1计算间隔数，再乘间隔米数，计算这条公交路线长是多少千米即可。
【解答】解：
（米
11200米千米
答：这条公交路线长是11.2千米。
【分析】本题主要考查植树问题的应用，关键注意站台数与间隔数的关系做题。
20．【分析】根据圆的周长，圆的直径已知，从而可以求出其周长。根据“间隔数总距离间距”可以求出数的间隔数，由于在封闭图形上的植树，栽树的棵数间隔数，据此解答。
【解答】解：
（棵
答：这个喷泉的周围最多能种18棵树。
【分析】本题要考虑实际情况，属于在封闭图形上的植树问题，知识点是：栽树的棵数间隔数；知识链接（沿直线上栽）：栽树的棵数间隔数（两端都不栽），植树的棵数间隔数（两端都栽），植树的棵数间隔数（只栽一端）。还考查圆的周长的计算方法。
21．【分析】先求出总高度，再乘以即可。
【解答】解：
（米
答：相邻两栋楼之间的间距为65米才最合适。
【分析】本题考查的主要内容是分数乘法计算问题。
22．【分析】把钢管锯成7段，需要锯6次，所以锯一次需要时间：（分钟），所以锯16段，需要锯15次，再用乘法计算出锯成16段需用多少分钟。
【解答】解：
（分钟）
答：把它锯成16段需用45分钟。
【分析】解决本题的关键是知道：所锯次数所锯段数。
23．【分析】把每次红绿灯的变化看成一个周期，先求出路灯循环一个周期是多少秒，只要行驶的时间是一个周期即可，用路程除以一个周期的时间就是这辆车的速度，减去原来的速度就是提高的速度。
【解答】解：
（米秒）
（米秒）
5米秒千米小时。
答：它要提高速度18千米时才行。
【分析】本题中把每次红绿灯的变化看成需要的时间，然后用路程除以时间就是需要的速度。
24．【分析】根据题意可知，10个栏架之间的距离是相等的，利用植树问题公式，10个栏架之间有9个空，则每个空之间的距离为：（米．
【解答】解：如图：
（米
答：每两个栏架之间的距离是9.14米．
【分析】本题主要考查植树为题，关键知道栏架和栏架之间的空之间的数量关系．
25．【分析】根据植树问题规律可知，在沿着环形跑道的起点每隔相等的距离插上一面红旗，一共有20面，一共有20个间隔。从第一面旗到第三面旗一共是（个间隔，求跑1个间隔的时间，再乘20即可。
【解答】解：
（秒
答：这个运动员一共要用60秒才能跑完一圈回到第一面红旗处。
【分析】本题主要考查植树问题，关键是根据间隔数与红旗面数的关系做题。

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