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安徽省当涂第一中学2022-2023学年高一下学期4月期中考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知，其中i为虚数单位，则( )
A.5 B. C.2 D.
2．已知单位向量、满足,则( )
A.0 B. C.1 D.2
3．已知向量,,且与的夹角为,则m的值为( )
A.-1 B.2 C.-2 D.1
4．若,则( )
A. B. C. D.
5．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,,,则( )
A. B. C. D.3
6．的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则结合a的值,下列解三角形有两解的为( )
A. B. C. D.
7．把函数的图像向右平移个单位长度,所得图像关于轴对称,则的最小值是( )
A. B. C. D.
8．奇函数在区间上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知,,则( )
A. B.
C. D.
10．设复数,（i为虚数单位）,则下列结论正确的为( )
A.是纯虚数 B.对应的点位于第二象限
C. D.
11．函数（其中）的图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.是函数的周期
B.
C.为了得到的图象,只需将的图象向左平移个单位长度
D.为了得到的图象,只需将的图象向左平移个单位长度
12．在中,D,E,F分别是边,,中点,下列说法正确的是( )
A.
B.
C.若,则是在的投影向量
D.若点P是线段上的动点（不与A,D重合）,且,则的最大值为
三、填空题
13．在中,,则的形状为______________.
14．如图,在中,为线段上一点,若,,且与的夹角为,则的值为______________.
15．已知,,,,则______
16．已知函数在区间上单调递减,则实数的取值范围为___________.
四、解答题
17．已知,i是虚数单位,复数.
（1）若z是纯虚数,求m的值;
（2）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限,求m的取值范围.
18．已知是第四象限角.
（1）若,求的值;
（2）若,求的值.
19．已知平面向量,,,,,且A,C,D三点共线.
（1）求的坐标;
（2）已知,若A,B,D,E四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点E的坐标.
20．已知在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.
（1）求;
（2）若的面积为1,且求的周长.
21．已知函数,,且．
（1）求的值及函数的单调递增区间;
（2）求函数在区间的最小值和最大值．
22．已知向量,,函数.
（1）求函数的最大值及相应自变量x的取值;
（2）如图四边形中,,,,,,求的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：由复数z满足，则，
则，
故选：B．
2．答案：C
解析：因为单位向量、满足,
所以,,
所以,
故选：C.
3．答案：D
解析：由向量夹角的坐标表示
得：,解得：;
故选：D．
4．答案：A
解析：．
故选：A.
5．答案：B
解析：在中,由余弦定理得：,
即,解得：或（舍）,.
故选：B.
6．答案：B
解析：由正弦定理可得,,所以,
因为三角形有两解,所以,且,因此由选项知,只有符合.
故选：B.
7．答案：C
解析：函数的图像向右平移个单位长度,
所得函数解析式,
其图象关于轴对称,则,,即,,
因为,所以当时的最小值是.
故选：C.
8．答案：B
解析：因为为奇函数，
所以，即，当时，则，
所以，
解得：.
故选：B.
9．答案：ABC
解析：对于A,,所以A正确;
对于B,,所以B正确;
对于C,由于,所以,所以C正确;
对于D,由于,所以与不垂直,所以D不正确．
故选：ABC．
10．答案：AD
解析：对于A：,其实部为零,虚部不为零,是纯虚数,A正确;
对于B：,其在复平面上对应的点为,在第四象限,B错误;
对于C：,则,C错误;
对于D：,则,D正确.
故选：AD.
11．答案：ABD
解析：对A,由图可知,,最小正周期T满足,所以,
所以是函数的周期,故正确;
对B,,即,将代入可得,,得,又,所以,故B正确;
对C,由上述结论可知,为了得到,应将函数向左平移个单位长度.故C错误,D正确.
故选：ABD.
12．答案：BD
解析：如图所示：
对选项A,,故A错误.
对选项B,
,故B正确.
对选项C,,,分别表示平行于,,的单位向量,
由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量.
因为,所以为的平分线,
又因为为的中线,所以,如图所示：
在的投影为,
所以是在的投影向量,故选项C错误.
对选项D,如图所示：
因为P在上,即A,P,D三点共线,
设,.
又因为,所以.
因为,则,.
令,
当时,取得最大值为.故选项D正确.
故选：BD.
13．答案：直角三角形
解析：因为,所以由余弦定理得,整理得,是直角三角形.
14．答案：-3
解析：因为,所以,
所以
即.
故答案为：-3.
15．答案：
解析：因为,,
所以,
所以,
所以,
因为,所以.
故答案为：
16．答案：
解析：由题意有, 可得,
又由,在上为减函数,故必有, 可得.
故实数的取值范围为.
故答案为：.
17．答案：（1）-2
（2）
解析：（1）因为复数是纯虚数,
故,解得;
（2）由于复数在复平面内对应的点位于第二象限,
故,解得,
即m的取值范围是.
18．答案：（1）
（2）或
解析：（1）是第四象限角,,所以,
,
.
（2）,
,
或.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,,所以与不共线,即与可以作为平面内的一组基底,
因为,
所以,又,
因为A,C,D三点共线,所以,解得.
所以
.
（2）由（1）知,又因为,则有,
因为,所以,
因为A,B,D,E四点按逆时针顺序构成平行四边形,所以.
设,则,
因为,所以解得,即点E的坐标为.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由及正弦定理得,
整理得,
因为,,所以, ,,
因为在锐角中,所以
（2）由的面积为1,得,所以,
在锐角中,由,得,
由余弦定理得
,
所以,,
所以,即的周长为
21．答案：（1）,,
（2）最小值-1;最大值2．
解析：（1）,
由知,
则,或,,
所以,或,,
又,则,所以,
令,,则,,
则函数的单调递增区为,;
（2）由（1）知,,则,
当,即时,函数有最小值-1;
当,即时,函数有最大值2．
22．答案：（1）当,时,最大值为1;
（2）
解析：（1）,
所以当,,
即,时,最大,且最大值为1.
（2）由（1）知,,则,即,
, ,,故,
设,在中,由正弦定理得,
即,整理得,
由余弦定理得,
因为,所以.
在中,
由余弦定理得,
（其中）,所以当时,.

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