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河北省石家庄二十五中2023-2024学年高一下学期期中数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图,若向量对应的复数为z,则z表示的复数为( )
A. B. C. D.
2．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
3．已知平面向量,且,则( )
A. B. C. D.
4．已知向量,,其中,,且,则与的夹角是( )
A. B. C. D.
5．设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6．在中,若,且,那么一定是( )
A. 等腰直角三角形 B.直角三角形
C. 等腰三角形 D.等边三角形
7．设D是所在平面内一点,,则( )
A. B. C. D.
8．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,全书十八卷共八十一个问题,分为九类,每类九个问题,《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就,其中在卷五“三斜求积"中提出了已知三角形三边a,b,c求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即, 现在有周长为的满足,则用以上给出的公式求得的面积为( )
A. B. C. D.12
二、多项选择题
9．已知向量,,则( )
A. B.
C. D.与的夹角为
10．复数z满足,则下列说法正确的是( )
A.z的实部为3 B.z的虚部为2 C. D.
11．在中,,,,则( )
A. B.
C.的面积为 D.外接圆的直径是
三、填空题
12．已知以O为起点的向量,在正方形网格中的位置如图所示、网格纸上小正方形的边长为1,则____________.
13．在中角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,,则的外接圆面积为________
14．已知复数满足,则（i为虚数单位）的最大值为_____________．
四、解答题
15．已知复数,,（,i是虚数单位）．
（1）若在复平面内对应的点落在第一象限,求实数a的取值范围;
（2）若是实系数一元二次方程的根,求实数a的值．
16．已知向量，.
（1）求向量与夹角的余弦值；
（2）若向量与互相垂直，求k的值.
17．如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上.
（1）求渔船甲的速度;
（2）求的值.
18．如图,在平行四边形中,点E是的中点,F,G是,的三等分点（,）.设,.
（1）用,表示,;
（2）如果,用向量的方法证明：.
19．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,．
（1）求A;
（2）若点D是上的点,平分,且,求面积的最小值．
参考答案
1．答案：C
解析：由图可知,,
所以z在复平面内所对应的点为,
则.
故选：C.
2．答案：D
解析：由于在平行四边形ABCD中，根据平行四边形的性质：所以，，，故选：D.
3．答案：B
解析：因为,,且,
所以,,,
故选：B.
4．答案：B
解析:由于,所以,,
设与的夹角为,
则,
由于,所以.
故选:B
5．答案：B
解析：由题意知,,
所以在复平面内所对应的点为,位于第二象限.
故选：B.
6．答案：D
解析：,则,
因为A,,所以,则,
又因为,,则,
则,即,
即,又因为A,,则,
所以,即.
即一定是等边三角形,故D正确.
故选：D.
7．答案：D
解析：由题意可得 ,
故选：D.
8．答案：A
解析：由题意结合正弦定理可得：,
周长为,即,
,,.
所以,
故选：A.
9．答案：ACD
解析：,,
,,
,故A正确;
,
与不平行,故B错误;
又,C正确;
,又,
与的夹角为,D正确.
故选：ACD.
10．答案：BD
解析：由于,
可得,
所以z的实部为-3,虚部为2,所以,．
故选：BD．
11．答案：ABD
解析：A选项,,故A正确;
B选项,由A选项知,
由余弦定理得．
故,B正确;
C选项,由于在中,,故,
所以,
,C错误;
D选项,设外接圆半径为R,,D正确．
故选：ABD.
12．答案：2
解析：以O为坐标原点建立如图所示直角坐标系,
设一小格为1单位,则,,,
则,
故答案为：2.
13．答案：
解析:,故,即.
根据余弦定理:,故.
根据正弦定理:,解得,故.
故答案为:.
14．答案：6
解析：设(a,b为实数),
则复数z满足的几何意义是以原点为圆心,以1为半径的圆上的点,
则表示的几何意义是圆上的点到的距离,
根据圆的性质可知,所求最大值为.
故答案为：6.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）
则在复平面对应的点坐标为,在复平面对应的点落在第一象限,
,解得．
（2）是方程的根
则,即,
所以,解得．
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由，，
，，设向量与的夹角为，则
（2）若向量与互相垂直，则，所以.
17．答案：（1）14海里/小时
（2）
解析:（1）依题意,,,,.
在中,由余弦定理,得
.
解得.故渔船甲的速度为海里/小时.
即渔船甲的速度为14海里/小时.
（2）在中,因为,,,,
由正弦定理,得,即.
的值为.
18．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）因为点E是的中点,所以.
因为,,所以.
所以,.
（2）由（1）可得：,.
因为,
所以,
所以.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意知中,,
故,即,
即,
所以,而,
故,即,
又,故;
（2）由于点D是上点,平分,且,
则,
由,得,
即,则,当且仅当时取等号,
故,当且仅当时取等号,
所以,
即面积的最小值为.

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