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平罗中学2024届高三上学期1月期末考试（A）数学（理）试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．设全集为R,集合,,则( )
A. B. C. D.
2．已知a,b为实数,i为虚数单位,若,则( )
A. B. C.1 D.3
3．已知向量,满足,,且,则( )
A. B.0 C.1 D.2
4．在等比数列中,,,,则( )
A. B. C. D.
5．英国数学家泰勒1712年提出了泰勒公式,这个公式是高等数学中非常重要的内容之一.其正弦展开的形式如下:,(其中,),则的值约为(1弧度)( )
A. B. C. D.
6．用数字1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数中，奇数的个数为( )
A.24 B.48 C.60 D.72
7．某几何体的三视图如图所示,则它的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8．已知,,直线和垂直,则的最小值为( )
A.2 B.4 C.8 D.16
9．已知点是双曲线的右焦点,直线l是双曲线C的一条渐近线,若点F关于直线l的对称点在圆上,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C.2 D.3
10．对于函数,以下结论错误的是( )
A.的最小正周期为 B.在区间上是增函数
C.的图像关于直线对称 D.
11．已知等差数列与等差数列的前n项和分别为与,且,则( )
A. B. C. D.
12．正方体的棱长为2,点E,F是平面A1B1C1D1内的动点,若,AC⊥DF,现有以下四个命题:p:点E的轨迹是一个圆；q:点F的轨迹是一个圆；r:三棱锥F—A1BD的体积是定值；s:.则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题
13．设实数x,y满足约束条件,则的最大值是___________.
14．已知,则m的值是__________.
15．已知抛物线的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,且,（O为坐标原点）,则抛物线C的方程为____________.
16．已知关于x的不等式恰有2个不同的整数解,则k的取值范围是___.
三、解答题
17．已知数列满足:,.
（1）证明:是等差数列,并求的通项公式；
（2）设,求数列的前2024项和.
18．在中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,,.
（1）求a；
（2）记的面积为S,若,求的周长l.
19．如图,在四棱锥中,底面ABCD是等腰梯形,,侧面平面ABCD,,,为AD的中点.
（1）证明:平面POB；
（2）点M在棱PD上,直线CM与平面POB所成的角的正弦值为,求的值.
20．已知椭圆的左,右焦点分别为,,点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的动直线l与椭圆C交于不同的两点A,B.试问x轴上是否存在定点Q,使得x轴恰好平分 若存在,求出定点Q的坐标；若不存在,请说明理由.
21．设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明:,.
22．在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于O,A两点,与曲线交于O,B两点,当取得最大值时,求直线l的直角坐标方程.
23．已知.
（1）当时,求不等式的解集；
（2）若,恒成立,求实数的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：,,
故,
故选:D.
2．答案：B
解析：因为,
所以,
所以,,
所以.
故选:B
3．答案：C
解析：得,即
所以,所以.
故选:C
4．答案：D
解析：因为,所以,所以,
又,由得,所以,,,.
故选:D
5．答案：B
解析：又,则,
当时,则有,
又,则.
故选:B.
6．答案：D
解析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位上的数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.
7．答案：C
解析：根据几何体的三视图,换元该几何体为四棱锥,
其中底面ABCD为边长为2的正方形,且平面ABCD,,
该四棱锥可补成一个棱长为的正方体,
其中四棱锥的外接球和补成的正方体的外接球为同一个球,
设外接球半径为R,可得,所以,
所以外接球的表面积为.
故选:C.
8．答案：C
解析：因为直线和垂直,
所以,所以,
因为,,
所以,
当且仅当,即,时取等.
故选:C.
9．答案：C
解析：如图,设双曲线C的左焦点为,点F关于直线l的对称点为,
则直线l是线段的垂直平分线,连接,记与直线l交于点A,则(O为坐标原点)是直角三角形,,,在中,,,,,
,.
故选:C.
10．答案：B
解析：,
所以的最小正周期为,故A正确,
由,解得,.
所以在上单调递增,上单调递减,故B错误；
当,即的对称轴方程为:,.
所以的图像关于直线对称,故C正确；
,,.
所以,故D正确.
故选:B
11．答案：D
解析：因为数列,都是等差数列,所以,
又,,
故,,即有,
在中,令,得,
故.
故选:D.
12．答案：C
解析：如图建立以为原点空间直角坐标系,
因正方体的棱长为2.
则,,,,设,.
对于p,,
则点的轨迹是一个以为圆心,半径为1的圆,故正确；
对于q,由,则,
又,,
则,
即F在直线上,故点F的轨迹是一条直线,故q错误；
对于r,注意到,面,面,则面,
又F在直线上,则点F到平面距离d为定值,
则为定值,故r正确；
对于s,由以上分析可知,即为圆外一直线到圆上点距离,
当圆心,圆上一点,直线上点三点共线,且圆上一点,直线上点在圆心同侧时距离最小.
由题可得,直线到圆心距离为,又圆半径为1,
故最短距离为,即,故s正确.
则正确,错误,又,错误,则,错误.
故选:C
13．答案：6
解析：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示:
可变形为,表示斜率为的直线,
平移该直线,当直线经过点时,取得最大值.
故答案为:6.
14．答案：
解析：由可得:
.
故答案为:.
15．答案：
解析：设直线,,,
则,消去x,得,
所以,,
由,得,
有,解得,代入,
得.所以点O到直线l的距离为,
因为,,所以,
解得,所以抛物线C的方程为.
故答案为:
16．答案：
解析：由不等式,可得化为,
令且,则,
当时,,单调递增；
当时,,单调递减,
所以当时,取得极大值,也为最大值,
且当时,,
画出函数的图象,如图所示,
又由直线恒过定点,
当直线位于如图所示的两条直线和之间,
其中包含,不包含时,满足恰有两个整数解,
则,所以实数的取值范围为.
故答案为:.
17．答案：（1）证明见解析,
（2）
解析：（1）证明:.
则是以为首项,公差为的等差数列,故；
（2）由（1）,,
则.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
由正弦定理得,,
即,故,
所以.
（2）由面积公式可得,,
由余弦定理可得,,
即,
因为,所以,
因为,
由正弦定理得,,
因为,所以,
由勾股定理可得,,故,
所以的周长.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为,O为AD的中点,所以,
又平面平面ABCD,平面平面,平面PAD,
所以平面ABCD,又平面ABCD,所以,
又因为,,所以四边形ABCD是菱形,得到,
又,平面POB,平面POB,
所以平面POB.
（2）取BC中点H,连接OH,因为ABCD是等腰梯形,所以,
以OH,OD,OP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
因为,,易得,
则,,,,,,
所以,,
令,所以,得到,
由（1）知平面的一个法向量为,
设直线与平面所成的角为,
则,
整理得到,解得或(舍),所以.
20．答案：（1）
（2）存在,点
解析：（1）由题意知,,,,
则,,
,
故椭圆C的方程为；
（2）当l与x轴重合时,x轴上的任意一点都符合题意；
当l不与x轴重合时,设,,,,
由,得:,
,,
,即,
得,
所以,
x轴上存在定点,使得x轴恰好平分.
21．答案：（1）答案见解析
（2）证明见解析
解析：（1）的定义域为,,
当时,恒成立,在上单调递增；
当时,由得,
当时,,当时,,
故在上单调递减,在上单调递增,
综上所述:
当时,在上单调递增；
当时,在上单调递减,在上单调递增.
（2）当时,在上单调递增,
当时,,即,
故,,,,…,
,
故.
22．答案：（1）的极坐标方程:,的直角坐标方程:
（2）
解析：（1）曲线的参数方程为(为参数)消去参数,
可得直角坐标方程:,
又由,可得曲线的极坐标方程为,
由可得,则的直角坐标方程:；
（2）联立方程组,可得,
联立方程组,可得,
所以
当时,取得最大值,
此时直线l的直角坐标方程为.
23．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,
当时,由得到,解得,
当时,由得到,解得,
当时,由得到,无解,
综上,的解集是.
（2）当时,由,得到,
即,所以,得到,
由题可知,
又,所以.

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