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乌海市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知i是虚数单位,,a,则( )
A. B. C.2 D.
2．给出下列四个命题：
①若,则,;
②若,则A,B,C,D是一个平行四边形的四个顶点;
③若,,则;
④若,,则;
其中正确的命题的个数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
3．已知，为单位向量，当向量，的夹角等于时，向量在向量上的投影向量为( )
A.3 B. C. D.
4．最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高,商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理,如图所示,满足“勾三股四弦五”,其中股,D为弦上一点（不含端点）,且满足勾股定理,则向量,夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5．已知向量a与b不共线,,,则与共线的条件是( )
A. B. C. D.
6．在中,若,且,那么一定是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
7．如图,在中,,,若,则的值为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
8．为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度,复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图,设A,B分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG,使得H,G,B三点在同一直线上,在G,H两点用测角仪测得A的仰角分别是和,,测角仪器的高度是h．由此可计算出建筑物的高度AB,若,,则此建筑物的高度是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知平面向量,,则下列命题正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
10．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则B的值为( )
A. B. C. D.
11．在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且,,若满足条件的唯一确定,则a的可能值为( )
A.3 B.1 C. D.2
12．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.当最小值时,则A的值不可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题
13．已知,,,若,则__________.
14．在中,其内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,,则的面积为__________．
15．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列结论错误的是_________________.
①若,
②若,,则符合条件的三角形有2个
③若,则
④若的面积,则
16．设锐角的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则的取值范围是___________．
四、解答题
17．已知复数.
（1）若z为实数,求m的值.
（2）若z为纯虚数,求m的值.
18．已知向量，满足，，，与的夹角为，，，当实数k为何值时，
（1）；
（2）.
19．已知函数的最小正周期是.
（1）求值;
（2）的图象向右平移个单位后,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,求的单调递增区间.
20．的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,．
（1）求c的值;
（2）若,求的面积．
21．已知向量,,且.
(1)求的值;
(2)求的取值范围;
(3)记函数,若的最小值为,求实数的值.
22．在锐角三角形中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,．
（1）求角B的值;
（2）若,求的取值范围．
参考答案
1．答案：D
解析：由,a,,
可得,解得,,则.
故选：D.
2．答案：D
解析：①若,只能说明,模相等,它们方向不一定相同或相反,错;
②若,若且,即A,B,C,D是一个平行四边形的四个顶点,若A,B,C,D四点共线,不能构成平行四边形,错;
③若,,即,、,,分别为相等向量,故,对;
④若,,当为零向量时不一定成立,错.
故选：D.
3．答案：C
解析：，为单位向量，当向量，的夹角等于时，
则在上的投影向量为.
故选：C.
4．答案：A
解析：由题意知：,,,,
满足勾股定理,
,
,则,
所以,所以向量与夹角的余弦值为.
故选：A.
5．答案：D
解析：由,共线,得,
即,所以.
故选：D.
6．答案：D
解析：因为,则,
因为,则,所以,则,
又因为,,则,
则,即,
即,又因为A,,则,
所以,即.
即一定是等边三角形,故D正确.
故选：D.
7．答案：C
解析：由题意及图可得,
,
,
,
,．
,
,,解得：,,,
故选：C．
8．答案：A
解析：在中,,,,
由正弦定理得,
所以,
,
在中,,
所以,
即此建筑物的高度是.
故选：A.
9．答案：ABD
解析：A.若,则,解得,故正确;
B.若,则,解得,故正确;
C.若,或,故错误;
D.若,则,解得,故正确,
故选：ABD.
10．答案：BD
解析：根据余弦定理可知,代入,
可得,即,因为,
所以或.
故选：BD.
11．答案：ABD
解析：若满足唯一确定,
则或,
故选：ABD.
12．答案：ACD
解析：因为,结合余弦定理得,
,整理得,
所以,
当且仅当,即时,等号成立,此时
此时,
又因为,
所以,
故选：ACD.
13．答案：5
解析：由题设,又,
则
故答案为：5.
14．答案：3
解析：在中,,,,
由余弦定理得：,
,
解得,
所以,
故答案为：3.
15．答案：③
解析：对于①,由及正弦定理,得,所以,故①正确;
对于②,由题意及正弦定理得,
所以,因为,所以,
所以或,即符合条件的三角形有2个,故②正确;
对于③,由,得或,
所以或,所以或,故③错误;
对于④,由,得,
所以,由于,所以,故④正确.
故答案为：③.
16．答案：
解析：因为,则,,
又,
故由正弦定理可得：
,
又为锐角三角形,故可得,,
解得,则,
由于,在上单调递增,
当,,当,
故,
即．
故答案为：．
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得,得,即
（2）由题意得,得,即.
18．答案：（1）
（2）或-8
解析：（1）由题意得：
当时，，则
，即
解得：；
（2）
，解得：或-8.
19．答案：（1）2
（2）,.
解析：（1）,又,
,
.
（2）由（1）知,,将的图像向右平移个单位后可得：,
再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变得到：,
由,解得,.
的单调递增区间为,.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）,,则．
又,所以．
（2）,,
因为,则,
故的面积．
21．答案：(1)
(2)
(3)
解析：（1）向量,,.
（2）,,
,,,所以的取值范围为.
（3）由（1）（2）可知,函数,
令,则,
,其图像抛物线开口向上,对称轴方程为,
当,即时,最小值为,解得（舍去）;
当,即时,最小值为,解得或（舍去）;
当,即时,最小值为.
综上可知,.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
由正弦定理边化角可得,
所以,又,
所以,又B为锐角,
则;
（2）由正弦定理,
则,,
所以,
,
因为在锐角三角形中,得,
所以,
则,
所以的取值范围为.

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