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初三年级第一调研试卷数学
本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上．
2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题．
3．考生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上）
1. 有理数的相反数是（ ）
A. B. C. D.
2. 今年3月12日是我国第46个植树节，全国绿化委员会办公室公布的《中国国土绿化状况公报》显示，2023年，我国完成造林5997万亩．5997万用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
3. 整数满足，则的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 若一次函数的函数值随的增大而增大，则值可能是（ ）
A. 0 B. －1 C. －2 D. －3
5. 学校举行“书香校园”读书活动，某小组五位同学在这次活动中读书的本数分别为10，11，9，10，12，下列关于这组数据描述正确的是（ ）
A. 众数为10 B. 平均数为10 C. 方差为2 D. 中位数为9
6. 有一个正边形绕旋转中心旋转后与自身重合，则的值可能为（ ）
A. 6 B. 9 C. 10 D. 12
7. 如图，在矩形中，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点作直线，交于点，交于点，若，则矩形的周长为（ ）
A 8 B. 12 C. 24 D. 36
8. 抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点，下列说法：①；②；③与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为；⑤当时，函数有最大值，其中正确的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 计算：（3a）2=_____．
10. 计算的结果等于___________．
11. 若有意义，则x的取值范围是______．
12. 方程的解为______．
13. 有五张看上去无差别的卡片，正面分别写着，，，，0．背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是______．
14. 如图，正方形的边长为1，对角线，相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为______．
15. 如图，四边形是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上，若平行四边形的面积是9，则______．
16. 如图，已知中，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为______．
三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
18. 解关于的不等式组：．
19. 已知，求代数式的值．
20. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
21. 一只不透明的袋子中装有3个小球，分别标有编号1，2，3，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为_______；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求两次摸到的小球编号的和是偶数的概率是多少？（用列表或画树状图的方法说明）
22. 3月5日，某学校师生积极参加“学雷锋志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的师生共有_______人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“文明宣传”对应的圆心角度数；
（3）该校共有1500名师生，若有的师生参加志愿者服务，请你估计参加“敬老服务”项目的师生人数．
23. 如图，某学习小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡比为（点在同一水平线上）．
（1）求从点到点的过程中上升的高度；
（2）求大树高度（结果保留根号）．
24. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）设直线交轴于点，点，分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形是平行四边形，求点的坐标．
25. 3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种树苗的价格是树苗基地的倍，用元在市场上购买的种树苗比在树苗基地购买的少捆．
（1）求树苗基地每捆种树苗的价格．
（2）树苗基地每捆种树苗价格是元．学校决定在树苗基地购买，两种树苗共捆，且种树苗的捆数不超过种树苗的捆数．树苗基地为支持该校活动，对、两种树苗均提供八折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
26. 【问题初探】如图1，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角．求证：．
【拓展研究】如图2，已知内接，，点是的中点，过点作，垂足为点．求证：＋．
【解决问题】如图3，已知等腰三角形内接于，，为上一点，连接、，，的周长为，，求的长．
27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求面积的最大值；
（3）当时，是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．初三年级第一调研试卷数学
本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上．
2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题．
3．考生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上）
1. 有理数的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相反数定义，只有符号相反的两个数，互为相反数，根据定义直接求解即可得到答案，熟记相反数定义是解决问题的关键．
【详解】解：有理数的相反数是，
故选：A．
2. 今年3月12日是我国第46个植树节，全国绿化委员会办公室公布的《中国国土绿化状况公报》显示，2023年，我国完成造林5997万亩．5997万用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键．
【详解】解： 万，该数有8个位数，根据科学记数法要求表示为，
故选：B．
3. 整数满足，则的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查无理数估算，涉及二次根式性质等知识，根据题意，利用二次根式性质及无理数估算即可得到答案，熟记二次根式性质是解决问题的关键．
【详解】解：，，整数满足，
，即，则整数的值为，
故选：C．
4. 若一次函数的函数值随的增大而增大，则值可能是（ ）
A. 0 B. －1 C. －2 D. －3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数图象与性质，涉及解一元一次不等式，根据题意得到，解不等式即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：一次函数的函数值随的增大而增大，
，解得，
综合四个选项中的数值，满足题意，
故选：A．
5. 学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为10，11，9，10，12，下列关于这组数据描述正确的是（ ）
A. 众数为10 B. 平均数为10 C. 方差为2 D. 中位数为9
【答案】A
【解析】
【分析】根据众数，平均数，方差，中位数的定义分别判断，即可得到答案．
【详解】解：A、10出现2次，出现次数最多，故众数10，该项正确；
B、 ，故该项错误；
C、方差为，故该项错误；
D、中位数为10，故该项错误；
故选：A．
【点睛】此题考查了求众数，中位数，方差及平均数，正确理解各定义及计算公式是解题的关键．
6. 有一个正边形绕旋转中心旋转后与自身重合，则的值可能为（ ）
A. 6 B. 9 C. 10 D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正多边形性质及旋转性质，根据题意，得到最少边数的正方形的每一条边所对中心角为满足题意，从而满足题意的正多边形边数为的整数倍，逐项判断即可得到答案，熟记正多边形的性质及旋转后对称是解决问题的关键．
【详解】解：正方形绕旋转中心旋转后与自身重合，
由正多边形性质可知，当一个正边形的边数是的整数倍时，正边形绕旋转中心旋转后与自身重合，
正边形满足题意，
故选：D．
7. 如图，在矩形中，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点作直线，交于点，交于点，若，则矩形的周长为（ ）
A. 8 B. 12 C. 24 D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】由尺规作图得到直线是线段的垂直平分线，连接，如图所示，结合矩形性质，根据三角形全等的判定与性质得到，进而由平行四边形的判定、菱形的判定得到，最后结合矩形性质与勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：由题中尺规作图可知，直线是线段的垂直平分线，连接，如图所示：
，，
在矩形中，，则，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
在中，，，，则由勾股定理可得，且,
在矩形中，，，
矩形的周长为，
故选：C．
【点睛】本题考查求线段长，涉及尺规作图-垂直平分线、矩形性质、中垂线性质、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定、勾股定理等知识，读懂题意，数形结合，灵活运用相关几何性质与判定求证是解决问题的关键．
8. 抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点，下列说法：①；②；③与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为；⑤当时，函数有最大值，其中正确的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】抛物线的对称轴为直线，开口向下，可得，，故①正确；根据抛物线过点，可得，从而得到，故②错误；由抛物线的对称轴为直线，开口向下，可得当时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为，可得到，故③错误；令y=0，则解得：，故④正确；根据二次函数的性质可得当时，函数有最大值，再由直线经过点，可得，从而得到，进而得到，故⑤错误，即可求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线过点，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∴当时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为，
∵，
∴，故③错误；
令y=0，则
解得：，
∴方程的两根为，故④正确；
，
∵，
∴当时，函数有最大值，
∵直线经过点，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，函数有最大值，故⑤错误；
∴正确的有2个．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图形和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 计算：（3a）2=_____．
【答案】9a2
【解析】
【详解】（3a）2=32×a2=9a2，
故答案为9a2
10. 计算的结果等于___________．
【答案】18
【解析】
【分析】根据平方差公式即可求解．
【详解】解：，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的展开式是解题的关键．
11. 若有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式的性质意义，被开方数大于等于0，即可求得．
【详解】解：由题意得，
解得：，
故答案为：
12. 方程的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：，
∴，
解得：，
故答案为：．
13. 有五张看上去无差别的卡片，正面分别写着，，，，0．背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是______．
【答案】##0.2
【解析】
【分析】本题考查简单概率公式求概率，涉及无理数定义，根据所给五个数，确定无理数的个数，利用简单概率公式代值求解即可得到答案，熟记无理数定义及简单概率公式是解决问题的关键．
【详解】解：，，，，0中有一个无理数，混合后随机抽取一张，有5种等可能的结果，
混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是，
故答案为：．
14. 如图，正方形的边长为1，对角线，相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据锐角三角函数求出，再根据扇形面积公式和三角形面积公式即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：四边形是正方形，
，，，则在等腰中，由勾股定理可得，
由正方形性质可知，，
阴影部分的面积，
故答案：．
【点睛】本题考查求不规则图形面积，涉及扇形面积公式、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握扇形面积公式和正方形性质的应用，由等腰直角三角形求出是解题关键．
15. 如图，四边形是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上，若平行四边形的面积是9，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义、平行四边形的面积，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是是解答此题的关键．连接，根据反比例函数系数k的几何意义得到，进而即可求得k的值．
【详解】解：连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴轴，
∴，，
∴，
∴，
∵平行四边形的面积是9，
∴，
∴
∵反比例函数的图象在第四象限，
∴，
故答案为：．
16. 如图，已知中，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，如图所示，由圆周角定理的推论得到，从而确定动点在以中点为圆心、为半径的圆弧上运动，如图所示，由点到圆周上动点距离最值的求法转化为，利用勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：
以为直径作，
，则，
，
动点在以中点为圆心、为半径的圆弧上运动，如图所示：
连接，在中，由三角形三边关系可得，从而当三点共线时，可取到最小值，为，
已知中，，，
在中，，则的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查动点最值问题，涉及圆的性质、圆周角定理的推论、动点最值问题-圆弧型、三角形三边关系、勾股定理等知识，熟练掌握动点最值问题-圆弧型的解法步骤是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数混合运算，涉及绝对值、零指数幂及特殊角的三角函数值等知识，先分别去绝对值、计算零指数幂及特殊角的三角函数值，再由有理数加减运算法则求解即可得到答案，熟练掌握绝对值、零指数幂及特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
【详解】解：
．
18. 解关于的不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据解一元一次不等式的方法分别求解，再由不等式组解集的求法即可得到答案，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解决问题的关键．
【详解】解：，
由①得；
由②得；
不等式组的解集为．
19. 已知，求代数式的值．
【答案】2
【解析】
【分析】先将分式进行化简，再将变形整体代入化简好的分式计算即可．
【详解】解：原式，
由可得，
将代入原式可得，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，注意整体代入思想的应用．
20. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）AE=9
【解析】
【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，得出，，根据平行线的性质和等边对等角，结合，得出，即可证明结论；
（2）根据，得出，代入数据进行计算，即可得出AE的值．
小问1详解】
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴，，
，，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵，
∴，
即，
解得：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意得出，是解题关键．
21. 一只不透明的袋子中装有3个小球，分别标有编号1，2，3，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为_______；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求两次摸到的小球编号的和是偶数的概率是多少？（用列表或画树状图的方法说明）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查概率综合，涉及一步概率问题及两步概率问题，熟记简单概率公式及列举法求两步概率问题是解决问题的关键．
（1）直接利用概率公式代值求解即可得到答案；
（2）列表，得到所有等可能的结果，利用概率公式代值求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：一只不透明的袋子中装有3个小球，分别标有编号1，2，3，这些小球除编号外都相同，
搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的情况只有一种，
（球的编号是2），
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意，列表如下：
② ① 1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
由表可知，共有种等可能的结果，其中偶数有种，
（两次摸到的小球编号的和是偶数）．
22. 3月5日，某学校师生积极参加“学雷锋志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的师生共有_______人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“文明宣传”对应的圆心角度数；
（3）该校共有1500名师生，若有的师生参加志愿者服务，请你估计参加“敬老服务”项目的师生人数．
【答案】（1）300，补全条形统计图见解答
（2）
（3）480名
【解析】
【分析】（1）根据“清洁卫生”的人数和所占的百分比求出样本容量，再用样本容量减去其他三个项目的人数，可得“文明宣传”的人数，进而补全条形统计图；
（2）用乘“文明宣传”所占的百分比即可得出“文明宣传”对应的圆心角度数；
（3）用参加志愿者服务的人数乘样本中参加“敬老服务”的人数所占的百分比即可．
【小问1详解】
解：本次调查的师生共有：（人），
“文明宣传”的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：300；
【小问2详解】
解：由（1）知“文明宣传”的人数为人，
在扇形统计图中，“文明宣传”对应的圆心角度数为；
【小问3详解】
解：由条形统计图中数据可知样本中“敬老服务”的人数为人，
（人）．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23. 如图，某学习小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡比为（点在同一水平线上）．
（1）求从点到点的过程中上升的高度；
（2）求大树的高度（结果保留根号）．
【答案】（1）从点到点的过程中上升的高度为米
（2）大树的高度为米
【解析】
【分析】（1）过点作，如图所示，由坡度比，设，，根据勾股定理列方程求解即可得到答案；
（2）过点作，如图所示，在和中，由三角函数定义列方程求得相关线段关系，再由数形结合，根据代值求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：过点作，如图所示：
斜坡的坡比为（点在同一水平线上），
，
设，，
从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，
，
在中，，解得，
从点到点的过程中上升的高度为米；
【小问2详解】
解：过点作，如图所示：
四边形是矩形，则，
在中，，，则，解得；
在中，，，则，解得；
由（1）知，，，则，，
，
，即，解得，
大树的高度为米．
【点睛】本题考查测高问题，涉及坡比定义、勾股定理、矩形判定与性质、正切函数值定义、俯角仰角定义、解直角三角形及二次根式运算等知识，熟记相关定义，数形结合，掌握解直角三角形实际运用是解决问题的关键．
24. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）设直线交轴于点，点，分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形是平行四边形，求点的坐标．
【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为
（2）或
【解析】
【分析】（1）分别将，代入反比例函数解析式，即可求得，的值，再将，两点坐标代入一次函数解析式，求得，的值；
（2）若四边形是平行四边形，则，且，即，由此进行求解．
【小问1详解】
解：将点，代入，
得，解得，
点，反比例函数的解析式为；
将点，代入，
得，解得，
一次函数的解析式为．
【小问2详解】
解：将代入，得，
，．
若四边形是平行四边形，
则，且，
设，，
则，
解得．
或．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数与平行四边形的综合，熟练掌握平行四边形的性质与判定及函数相关知识是解题的关键．
25. 3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种树苗的价格是树苗基地的倍，用元在市场上购买的种树苗比在树苗基地购买的少捆．
（1）求树苗基地每捆种树苗的价格．
（2）树苗基地每捆种树苗的价格是元．学校决定在树苗基地购买，两种树苗共捆，且种树苗的捆数不超过种树苗的捆数．树苗基地为支持该校活动，对、两种树苗均提供八折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用；
（1）设树苗基地每捆种树苗的价格为元/捆，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解；
（2）设购买捆种树苗，则购买捆种树苗，共花费元，先求得，根据题意列出函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
（1）设树苗基地每捆种树苗的价格为元/捆，依题意，得
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：树苗基地每捆种树苗的价格为元/捆；
【小问2详解】
解：设购买捆种树苗，则购买捆种树苗，共花费元，
∵
解得：
∵，随的增大而减小，
∴当时，取得最小值，最小值为
26. 【问题初探】如图1，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角．求证：．
【拓展研究】如图2，已知内接，，点是的中点，过点作，垂足为点．求证：＋．
【解决问题】如图3，已知等腰三角形内接于，，为上一点，连接、，，的周长为，，求的长．
【答案】[问题初探]见解析；[拓展研究]见解析；[解决问题]
【解析】
【分析】[问题初探]根据已知得出，进而可得，根据圆内接四边形对角互补，进而得出，等量代换即可得证；
[拓展研究] 在上取点，使得，证明，得出，根据等腰三角形的性质得出，进而即可得证；
[解决问题] 过点作于点，得出为的中点，根据（2）的结论可得，进而根据，可得，进而勾股定理，即可求解．
【详解】[问题初探]证明：∵，
∴
∴
∴
∴
∴；
[拓展研究] 证明：在上取点，使得，连接，
∵是中点，
∴，则
∵
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴，
[解决问题]过点作于点，
∵
∴为的中点，
由（2）可得
∵的周长为，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求面积的最大值；
（3）当时，是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）当时，面积有最大值，为
（3）、或
【解析】
【分析】（1）根据抛物线对称性得到，再由得到，联立方程组求解得到，，利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案；
（2）由（1）中所求解析式，得到，，求出直线：，根据在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线的交点为，分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时；利用平面直角坐标系中三角形面积的表示方法，最后结合抛物线图象与性质求解即可得到答案；
（3）分两种情况：点在上方；点在下方；当点在上方时，如图所示，，当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案；同理，当点在下方时，如图所示，，当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：抛物线，
对称轴为，
抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，
，，则，解得，
，，
将代入得，解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：由得：，
设直线：，将，代入得，解得，
直线：，
在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为，根据，，则分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时；
当在轴之间时，如图所示：
，，
，
，，
抛物线开口向下，当时，有最大值，为；
当在轴右边时，过作轴，如图所示：
，，
，
，对称轴为，，
抛物线开口向上，则当时，随着的增大而增大，即当时，有最大值，为；
，
当时，面积有最大值，为；
【小问3详解】
解：由（1）知，当时，，解得或，
，
当在上方，即时，如图所示：
，
当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；
由（1）（2）可知，，，且，，
当时，，
，
，即，解得（舍去）或；
当时，，
，
，即，解得（舍去）或（舍去）；
当在下方，即时，如图所示：
，
当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；
由（1）（2）可知，，，且，，
当时，，
，
，即，解得（舍去）或；
当时，，
，
，即，解得（舍去）或；
综上所述，存在点，使以为顶点的三角形与相似，此时，、或．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质、抛物线与三角形面积问题、抛物线与三角形相似、解一元二次方程等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型的解法，分类讨论是解决问题的关键．

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