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专题6 用导数解析函数零点问题
【典例1-1】（22-23高二下·陕西榆林·期中）
1．已知函数，若函数只有一个零点，则实数的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】（22-23高二下·四川遂宁·期中）
2．已知函数
(1)当时，求函数的极值
(2)若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围
【题后反思】根据函数零点个数求参数方法总结反思：
1、分离参数后，将原问题转化为的值域（最值）问题或转化为直线与的图象的交点个数问题（优先分离、次选分类）求解；
2、利用函数零点存在定理构造不等式求解；
3、转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.
【举一反三】
（22-23高二下·安徽池州·期中）
3．已知函数，若关于的方程恰好有6个不同实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二下·四川绵阳·期中）
4．已知在点处的切线方程为．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有三个零点，求实数的取值范围．
【典例2-1】（22-23高二上·浙江杭州·期末）
5．已知函数．则下列结论中正确的是（ ）
A．函数既有最小值也有最大值 B．函数无最大值也无最小值
C．函数有一个零点 D．函数有两个零点
【典例2-2】
6．已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【题后反思】1、判断函数零点个数的常用方法
（1）直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图.函数零点的个数问题即是函数图象与轴交点的个数问题．
（2）分离出参数，转化为，根据导数的知识求出函数在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线与函数图象交点的个数问题．只需要用a与函数的极值和最值进行比较即可．
2.证明函数零点个数的方法与判断零点个数的方法相似，多在解答题中进行考察.
利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.
注意：单调性+零点存在=唯一零点
【举一反三】
（23-24高二上·北京·期中）
7．已知函数，曲线在处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)求函数的定义域及单调区间；
(3)求函数的零点的个数．
（22-23高二下·陕西榆林·阶段练习）
8．已知．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，判断的零点个数．
【典例3-1】（22-23高二下·北京海淀·期中）
9．函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例3-2】（22-23高二下·福建泉州·期中）
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图像关于原点对称
B．若在R上单调递增，则
C．当时，函数恰有两个零点
D．当时，函数恰有两个极值点
【题后反思】有关三角函数的零点问题处理主要手段有：
（1）分段处理；
（2）讨论好单调性与端点（特殊点），注意高阶函数的应用，直接能清楚判断所讨论区间的单调性；
（3）关注有关三角函数不等式放缩，有时候可优化解题，避免繁杂的找点过程：
；；
【举一反三】
（22-23高二下·河北邯郸·期中）
11．已知函数是函数在上的一个零点，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，
（23-24高二上·山西大同·期末）
12．已知函数．
(1)求的解析式；
(2)讨论在上的零点个数．
【典例4-1】（22-23高二下·河南许昌·期中）
13．已知函数．
(1)求出函数的极值；
(2)若对于任意的，都有，求整数的最大值．
【典例4-2】（22-23高二下·河南·期中）
14．设函数，其中，e是自然对数的底数．
(1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若是非负实数，且函数在上有唯一零点，求的值．
【题后反思】1.不含参函数的“隐零点”问题的解策略：
已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，
设方程的根为，则有：①关系式成立；②注意确定的合适范围.
2.含参函数的“隐零点”问题解题策略：
已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，
设方程的根为，则有①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.
3.“虚设零点”的具体操作方法：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的范围；这里应注意，确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等；至于隐性零点范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围；
第二步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式；这里应注意，进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键；
第三步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小．导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征（零点方程），判断其范围（用零点存在性定理），最后整体代入即可．（即注意零点的范围和性质特征）
【举一反三】
（22-23高二下·吉林白城·期末）
15．已知函数在处的切线与直线：垂直．
(1)求的单调区间；
(2)若对任意实数，恒成立，求整数的最大值．
（22-23高二下·江西南昌·期末）
16．已知函数.
(1)若曲线在处的切线与直线平行，求a的值；
(2)当时，对任意的，恒成立，求整数k的最大值.（参考数据：）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】求出，分三种情况讨论，求出单调区间、极值点，结合零点存在性定理，列出关于的不等式即可求出实数的取值范围．
【详解】，则，又，
①当时，有两个零点，不合题意；
②当时，令，或，
当时，或；当时，；
递增区间为，，递减区间为，
而，，
在存在一个零点，因为函数在R上只有一个零点，
所以在上不能有零点，
因为时，在上取得最小值，
故，解得，
③当 时，当时，或；当时，；
的递减区间为，，递增区间为，
，，在存在唯一零点，
因为函数在R上只有一个零点，
所以在上不能有零点，
因为时，在上取得最小值，
故，解得，
综上，实数的取值范围为．
故选：C．
2．(1)极大值，无极小值
(2)
【分析】（1）首先利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值；（2）首先分和两种情况讨论函数的单调性，再根据函数的零点个数，列不等式求实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，极大值为，无极小值.
（2），，
当时，恒成立，在单调递增，所以最多只有1个零点，不成立，
当时，，，单调递增，当时，，单调递减，
若函数在上有且仅有2个零点，则，解得：，
且，解得：，
且，解得：，
综上可知，，
所以实数的取值范围是.
3．D
【分析】设，令可得，再求导分和两种情况，数形结合分析极值满足的区间范围，进而列式求解即可.
【详解】设，则时，，解得，
要满足题意则，且方程分别应有3个不同实根.
又，
①当时，单调递增，方程不可能有3个不同实根；
②当时，可得在上单调递增，上单调递减，
则.
要使原方程有6个不同实根，则；
（ⅰ）当时，因，故只需，解得满足；
（ⅱ）当时，只需，
设，原不等式等价为，即，即.
综上得满足条件的的取值范围是.
故选：D.
4．(1)的单调递减区间是，单调递增区间是
(2)
【分析】（1）根据题意，列出方程组求得，得到，进而求得函数的单调区间；
（2）由题意得到，利用导数研究函数的极值，结合条件列出不等式组，求解即可.
【详解】（1）点在切线上，则，
，则，
由题意得，解得，
所以，
由得或；由得，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是；
（2）因为，
由（1）可知，在处取得极大值，在处取得极小值，
的单调递减区间是，单调递增区间是，
依题意，要使有三个零点，则，
即，解得，
经检验，，
根据零点存在定理，可以确定函数有三个零点，
所以的取值范围为．
5．C
【分析】求导得到导函数，确定函数的单调区间，得到函数有最大值，无最小值，AB错误，设，函数单调递增，，故函数有一个零点，C正确，D错误，得到答案.
【详解】，，，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
故函数有最大值，无最小值，AB错误，
设，则恒成立，函数单调递增，
且，故函数有一个零点，C正确，D错误.
故选：C
6．C
【分析】令，将问题转化为，结合图象判断出直线与的图象的交点个数，再由的函数图象即可判断零点个数.
【详解】令，则由可得．作出的函数图象如图所示：
当直线与相切时，切点为，，则，解得；
当直线与相切时，切点为，则，解得，
∴直线与的图象有4个交点，不妨设4个交点横坐标为，且，
由图象可知，由的函数图象可知无解，有1解，有3解，有2解．
∴有6个零点．
故选：C．
7．(1)
(2)；递增区间为，单调递减区间为,；
(3)1
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义列出相应的等式，即可求得答案；
（2）根据函数解析式可求得其定义域；结合（1）的结果，可得函数的导数的表达式，判断导数的正负，即可求得单调区间；
（3）结合（2）的结论以及零点存在定理，即可判断函数零点个数.，
【详解】（1）由函数可知其定义域为，
则，故，，
因为曲线在处的切线方程为，
故，，
解得；
（2）由（1）可知，需满足，
则其定义域为；
而，
由于，令，解得，
令，解得且，
即的递增区间为，单调递减区间为,；
（3）由（2）可知时，取得极大值，
当且x无限趋近于0时，的值趋向于负无穷大，
即在区间内无零点；
当且x无限趋近于0时，的值趋向于正无穷大，
当且x无限趋近于1时，的值趋向于负无穷大，
由此可作出函数的图象：

结合
，
，
可知在内的零点个数为1.
【点睛】难点点睛：解答本题的难点是判断函数的零点个数时，要结合函数的单调性以及零点存在定理去判断，特别是特殊值的选取以及正负判断，计算比较复杂.
8．(1)答案见解析
(2)零点个数为3个．
【分析】（1）求出，分，，三种情况讨论，分别根据导函数的符号，可求的单调区间；
（2）由（1）知在，上单调递增，在上单调递减，求出函数的极大值与极小值，再结合零点存在性定理求解即可.
【详解】（1），
①当时，在R上恒成立，所以在R上单调递增；
②当时，令，得，或，令，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
③当时，令，得，或，令，得．
所以在，上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减．
（2）当时，由（1）知在，上单调递增，在上单调递减，
所以，，
又，，
所以在，，上各有一个零点，
故在R上的零点个数为3个．
9．B
【分析】利用导数求函数的单调性，易知0是函数的零点，从而可求解.
【详解】记，函数的定义域为，
，故函数在上单调递增.
又，所以函数的零点个数为.
故选:B.
10．ABD
【分析】利用函数的奇偶性可判定A，利用导数研究函数的单调性、极值、最值和零点可判断B、C、D选项.
【详解】对于A项，易知，即函数为奇函数，故A正确；
对于B项，由题意可得：恒成立，即，
令，
令，故单调递增，
又，所以在上单调递减，在上单调递增，
即，故B正确；
对于C项，由B项可知时，恒成立，
即在R上单调递增，由零点存在性定理可知不存在两个零点，故C错误；
对于D项，由B项可知，即是偶函数，
且当时，，所以，
故时，有两个实数根，不妨设为，
结合的性质可得和时，即单调递增，
时，即单调递减，所以函数恰有两个极值点，故D正确.
综上，ABD三项正确.
故选：ABD
11．AC
【分析】对求导，根据函数的单调性及零点存在定理得出，即可判断A，B；令，根据的单调性可判断C；令，根据的单调性可判断D．
【详解】，当时，，此时函数单调递增；
当，，此时函数单调递减，
且，
因为是函数在上的一个零点，所以，
所以当，当，
对于A选项，当时，，故A正确；
对于B选项，当，故B错误；
对于C选项，令，故在上为增函数，
当时，，所以，即，故C正确；
对于D选项，令，故在上为增函数，
当时，，所以，即，故D错误.
故选：AC.
12．(1)
(2)2
【分析】（1）对函数求导后令可得，即可求得；
（2）根据函数解析式对自变量进行分类讨论，易知是其中一个零点，再通过构造函数利用零点存在定理即可得出在上有2个零点．
【详解】（1）（1）．
令可得，解得．
所以．
（2）由（1）中可得，
①当时，有，，
所以恒成立，
所以在上单调递减，，
即可得0是的一个零点．
②当时，
设，则恒成立，
即在上单调递增．
又，，
根据零点存在定理可知，使得．
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增．
又，所以．
因为，
根据零点存在定理可知，使得．
综上所述，在上的零点个数为2．
【点睛】方法点睛：求解零点个数问题时要充分利用函数特征，由导函数判断出其单调性并结合零点存在定理即可得出零点个数.
13．(1)极小值为，无极大值
(2)6
【分析】（1）求出函数的导数，判断函数单调性，然后根据单调性即可作答.
（2）将不等式等价变形，分离参数并构造函数，再探讨函数的最小值即可推理作答.
【详解】（1）由函数的定义域为，
所以，
令，则，令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以取得极小值， 无极大值.
（2），，
令，，则，
由（1）知，在上单调递增，
且，
则在区间内存在唯一的零点，
使，即，
则当时，，，
有在上单调递减，
当时，，，
在上单调递增，
于是得，
因此，，
所以整数的最大值为6.
【点睛】关键点睛：
涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
14．(1)；
(2)或.
【分析】（1）求出函数的导数，由给定的单调性建立恒成立的不等式并求解即得.
（2）求出函数，按和分类，利用导数结合零点存在性定理求解即得.
【详解】（1）若函数在上的单调递减，则在上恒成立，
化简得，显然函数在上递增，即，
所以.
（2）函数，，，
当时，由得，，
当时，，函数递减，当时，，函数递增，
因此当时，取得极小值，则只要，即，
令，则，在上单调递增，而，
则由，得，即方程的根为1；
当时，，函数在上单调递减，而，，
此时函数有且只有一个零点，
所以实数的值是或.
15．(1)单调递减区间为，单调递增区间为．
(2)1
【分析】（1）利用导数的几何意义得出，再利用导数判断单调区间即可；
（2）分离参数将问题转化为恒成立，利用导数求最值结合隐零点计算即可.
【详解】（1）由，得，又切线与直线：垂直，所以，即．
所以，令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）对任意实数，恒成立，
即对任意实数恒成立．
设，即．
，令，
所以恒成立，所以在上单调递增．
又，，所以存在，使得，
即，所以．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以
，
当时，，
所以，由题意知且
所以，即整数的最大值为1．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据斜率相等，求导即可得切点处导数值，解出a；
（2）求导，利用导数求解单调性，结合零点存在性定理，即可求解最值得解.
【详解】（1）由题意可得，
则，解得.
故.
（2）当时，.
设，则，
故在上单调递增.
因为，，
所以存在唯一的，使得，即，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故.
设，则，
所以在上单调递减，所以，即，
即.
因为对任意的，恒成立，且k为整数，所以，
则.
【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的问题的解题常用方法：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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