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专题3 与曲线的切线相关问题
【典例1-1】（23-24高二上·河北·期中）
1．设为的导函数，若，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（22-23高二下·辽宁·期中）
2．过原点且与函数图像相切的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【题后反思】
求曲线的切线问题主要分两大类：
一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点和斜率即可；
另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标，利用导数表示切线的斜率以及切线方程，根据所过的点求切点，得出切线方程.
【举一反三】
3．直线过坐标原点且与曲线相切，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，曲线在点处的切线与直线平行，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-1】（22-23高二下·山东泰安·期中）
5．若函数的图像在点处的切线恰为直线，则（ ）
A．3 B． C．1 D．
【典例2-2】（22-23高二下·北京·期中）
6．函数与函数的图象在点的切线相同，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．或
【题后反思】
【典例2-2】考查导数的几何意义，求切线方程，关键点在于将问题转化为方程的根的问题，根据方程的根的个数，求解参数的取值范围，考查导函数的综合应用，涉及等价转化，数形结合思想.
【举一反三】
（22-23高二下·北京·期中）
7．若曲线在点处的切线的斜率为2，则t的值为（ ）
A．–1 B． C．0 D．1
（22-23高二下·重庆·期中）
8．若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A． B．2或 C．2 D．1或
【典例3-1】（22-23高二上·安徽·期中）
9．抛物线与的两条公切线（同时与两条曲线相切的直线叫做两曲线的公切线）的交点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【典例3-2】
10．已知方程的两实根为，，若函数在与处的切线相互垂直，满足条件的的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【题后反思】
【典例3-2】考查利用过曲线外一点作曲线切线的条数求参数的取值范围，解题的关键在于写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，将切线与切点建立一一对应的关系，转化函数的零点个数，利用导数与数形结合思想求解．
【举一反三】
（22-23高二下·江苏盐城·期中）
11．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A． B． C． D．
12．若函数与存在两条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例4-1】（22-23高二下·陕西安康·期中）
13．若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【典例4-2】
14．点在函数的图象上．若满足到直线的距离为的点有且仅有3个，则实数的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【题后反思】
求距离的最小值就是作出平行切线，求两平行线间的距离问题，首先需要利用导数求出切线方程.
【举一反三】
（22-23高二下·重庆南岸·期中）
15．已知点为函数的图象上一点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二下·黑龙江·期中联考）
16．在平面直角坐标系中，过作轴的垂线，与函数的图象交于点，过点作函数的图象的切线，与轴交于，再过作轴的垂线，与函数的图象交于点，再过点作函数的图象的切线，与轴交于，……，如此进行下去，在轴上得到一个点列，记的横坐标构成的数列为．
（1）求；
（2）求数列的通项公式．
（23-24高二上·江苏宿迁·期中）
17．函数的图象与轴交于点，该曲线在点处的切线方程为
（23-24高二上·湖北武汉·期中）
18．已知曲线.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线过点的切线方程.
（22-23高二下·河南驻马店·期中）
19．已知函数.
(1)求曲线与直线垂直的切线方程；
(2)若过点的直线与曲线相切，求直线的斜率.
（22-23高二下·上海闵行·期中）
20．若直线为曲线的一条切线，则实数的值是 ．
（23-24高二上·广东深圳·期末）
21．过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·二模）
22．若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·模拟预测）
23．若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数的取值范围是 ．
（22-23高二下·四川泸州·期中联考）
24．若点是曲线上任意一点，则点P到直线：距离的最小值为 .
（22-23高三上·陕西宝鸡·期中）
25．已知函数，直线的方程为，则函数上的任意一点到直线的距离的最小值为
（22-23高二下·上海普陀·期中）
26．对于函数，分别在处作函数的切线，记切线与轴的交点分别为，记为数列的第n项，则称数列为函数的“切线-轴数列”，同理记切线与轴的交点分别为，记为数列的第n项，则称数列为函数的“切线-轴数列”
(1)设函数，记“切线-轴数列”为，记为的前n项和，求.
(2)设函数，记“切线-轴数列”为，猜想的通项公式并证明你的结论.
(3)设复数均为不为0的实数，记为的共轭复数，设，记“切线-轴数列”为，求证：对于任意的不为0的实数，总有成立.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】求导，令，求得，则可求，进而求出切线方程.
【详解】因为，
所以，
令，
，，
所以曲线在点处的切线方程为：，即.
故选：D
2．C
【分析】先设出切点，再利用导数的几何意义建立方程求出切线的斜率即可得到结果.
【详解】因为，所以，
设所求切线的切点为，则，
由题知，，解得，所以切线斜率为，
故所求切线方程为.
故选：C.
3．B
【分析】设出切点坐标，求导得切线斜率，表示出切线方程，代入切点坐标解出，由斜率即可求解.
【详解】设切点，，则直线的斜率为，直线方程为，代入点，得，
解得，则斜率为1，故倾斜角为.
故选：B.
4．B
【分析】利用导数的几何意义求出点的坐标，然后利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】因为，其中，则，
直线的斜率为，由，可得，且，即点，
所以，直线的方程为，即.
故选：B.
5．D
【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由条件可得，，即可求得．
【详解】函数的导数为，
由题意可得，图像在点处的切线恰为直线，
所以，，解得，，
即．
故选：D．
6．C
【分析】分别对、求导，解出在点的切线方程，根据切线方程相同解出参数的值.
【详解】解：函数，有，
则，所以函数的图象在点的切线方程为，
又函数，有，
则，所以函数的图象在点的切线方程为，
因为函数与函数的图象在点的切线相同，
所以，即，
故选：.
7．C
【分析】求导解方程即得解.
【详解】由题得，所以.
故选：C
8．B
【分析】由两线垂直可知处切线的斜率为5，利用导数的几何意义有，即可求的值.
【详解】由题意知：直线的斜率为，则在处切线的斜率为5，
又∵，即，
∴，解得或，
故选：B．
9．C
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再联立求解作答.
【详解】设直线与抛物线相切的切点为，
与抛物线相切的切点为，
由求导得：，由求导得：，
则抛物线在点处切线为，即，
抛物线在点处切线为，即，
依题意，，解得，
因此两条公切线方程分别为，，
由，解得，
所以两条公切线的交点坐标为.
故选：C
10．D
【分析】由题得，，再根据两切线互相垂直得到，把韦达定理代入化简即得解.
【详解】，，依题知，
即.∵，，
∴，
∴.解得，，
即，，经检验每个值都符合题意，故满足条件的有4个.
故选D
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11．D
【分析】设出两个切点坐标，根据导数的几何意义可得.将切点代入两条曲线，联立方程可分别求得,代入其中一条曲线即可求得的值，由此可求.
【详解】直线是曲线的切线,也是曲线的切线,
则两个切点都在直线上,设两个切点分别为
则两个曲线的导数分别为,
由导数的几何意义可知,则
且切点在各自曲线上,所以
则将代入可得
可得
由可得
代入中可知
所以，
所以.
故选：D.
12．D
【分析】设切线与曲线相切于点，利用导数写出曲线在点处的切线方程，将切线方程与函数的解析式联立，由可得出直线与曲线有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】设切线与曲线相切于点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
联立可得，
由题意可得且，可得，
令，其中，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，所以，.
且当时，，当时，，如下图所示：
由题意可知，直线与曲线有两个交点，则，解得.
故选：D.
13．D
【分析】先分析出当切线与直线平行时，点到直线距离最小，设出切点，求导后利用斜率得到切点坐标，求出答案.
【详解】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离最小.
设切点为，
所以切线斜率为，由题知，解得或（舍），
，此时点到直线距离.
故选：D
14．D
【分析】在曲线的点作切线，使得此切线与直线平行，得，进而根据题意得点到直线的距离为时满足条件，根据点到直线的距离公式得或，再结合图形分析即可得答案.
【详解】过函数的图象上点作切线，使得此切线与直线平行
因为，于是，所以，∴，
于是当点到直线的距离为时，则满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，
∴ ，解得或
又当时，函数的图象与直线不相交（如图），从而只有一个点到直线距离为，所以不满足；
当时，函数的图象与直线相交，满足条件.
故选：D．
【点睛】本题考查导数的几何意义，解题的关键在于求出过曲线的点作切线，使得此切线与直线平行的切点，进而根据数形结合思想求解，是中档题.
15．A
【分析】作出直线与函数的图象，利用平行于直线且与函数的图象相切的直线，可以求得相应的最小距离.
【详解】设直线平行于直线，则直线的斜率为2，

当直线与函数的图象相切，点为切点时，点到直线的距离的最小，
设切点坐标为，
因为，则，解得，
又在函数的图象上，则，
则切点坐标为，到直线的距离为，
则点到直线的距离的最小值为.
故选：A.
16．（1）；（2）.
【分析】（1）先对求导，结合，可求得过的切线方程，令得点的横坐标，从而可得，进而求出；
（2）由（1）可推出数列是首项与公比均为2的等比数列，然后可求得数列的通项公式．
【详解】解：（1）因为，，
因为，所以过的切线方程为，
即，令得点的横坐标为，
所以，
因为，所以；
（2）由（1）知，
∴
又∵
∴数列是首项与公比均为2的等比数列
∴，即
所以，数列的通项公式为．
17．
【分析】利用导数的几何意义求解即可.
【详解】，
，故.
且，
,
故该曲线在点处的切线方程为.
故答案为：
18．(1)
(2)和
【分析】（1）先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用点斜式即可得到切线方程；
（2）设过点的切线与曲线相切于点，然后根据曲线在点处切线的切线方程，求出切点坐标，从而可求出结果．
【详解】（1）由题意得，则在点处的切线的斜率，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）设曲线与过点的切线相切于点，
设切线的斜率为，则由点斜式得直线方程为，又因为切点为，
则，解得或，
则曲线过点处的切线方程为和.
19．(1)
(2)或5
【分析】（1）求出切线的斜率，再写出切线方程；
（2）根据切线的斜率与直线的方程列方程组求解即可.
【详解】（1）因为斜率为，所以，
所以，又.
所以所求切线方程为，即.
（2），设切点的横坐标为，直线的斜率为，直线的方程：，
则
则，整理得，所以，
所以或5.
20．
【分析】根据导数的几何意义、导数的运算公式以及切线方程的求法求解.
【详解】由，可得，
设切点为，则，
故切线方程为，即，
又因为切线为，所以，
解得，所以，
故答案为：.
21．A
【分析】设切点坐标，写出切线方程，过点，代入化简得，将问题转化为该方程有三个不等实根，结合导函数讨论单调性数形结合求解.
【详解】设切点为，∵，∴，
∴M处的切线斜率，则过点P的切线方程为，
代入点的坐标，化简得，
∵过点可以作三条直线与曲线相切，
∴方程有三个不等实根.
令，求导得到，
可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
如图所示，
故，即.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，求切线方程，关键点在于将问题转化为方程的根的问题，根据方程的根的个数，求解参数的取值范围，考查导函数的综合应用，涉及等价转化，数形结合思想，属于中档题.
22．B
【分析】根据导数的几何意义求出过点的切线方程为，利用方程的解个数与函数图象交点个数的关系将问题转化为图象与直线在R上有3个交点，结合导数求出函数的极值，根据数形结合的思想即可求解.
【详解】设该切线的切点为，则切线的斜率为，
所以切线方程为，
又切线过点，则，整理得.
要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解，
即函数图象与直线在R上有3个交点，
设，则，
令，令或，
所以函数在上单调递增，在和上单调递减，
且极小值、极大值分别为，如图，
由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点，
即过点的切线有3条.
所以实数a的取值范围为.
故选：B.
23．
【分析】先设切点坐标，再利用导数的几何意义，表示切线方程，然后根据切线方程过原点建立关于参数的方程（有两个根），利用导数分析符合条件的情况即可.
【详解】函数的定义域为，则．
设切点坐标为，，有，
则切线方程为．
又因为切线过原点，
所以，即，
整理得，即关于的方程有两个不等实根．
解法一：，当时，方程无解．
当时，即．
令，，则，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数取得极大值．
当时，，
当时，，且当时，，
当时，，所以实数的取值范围是．
解法二：令，，则，
当时，恒成立，函数单调递增，则函数至多有一个零点，因此不合题意；
当时，令，即，
当时，，函数在上单调递减，且当时，；
当时，，函数在上单调递增，且当时，，
所以函数的极小值为．
若关于的方程有两个不等实根，即函数有两个零点，则，又因为，所以，即，所以，所以实数的取值范围是．
故答案为：
24．
【分析】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小.根据导数的几何意义即可求解．
【详解】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小．
设切点为，
∴切线斜率为，
由题知，解得或(舍)．
∴，此时点到直线距离．
故答案为：．
25．
【分析】根据导数的几何意义，结合平行线间距离公式进行求解即可.
【详解】函数上任意一点的坐标为，过该点的切线为，
当直线与直线平行时，点到直线的距离的最小，
由，
所以直线的方程为，
因此函数上的任意一点到直线的距离的最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：利用导数的几何意义求切线方程是解题的关键.
26．(1)当是正奇数时，；当是正偶数时，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求出导数，设出切点，表示出切线方程，根据“切线-轴数列”的定义即可求出数列的通项公式，进一步分类讨论即可求其前项和.
（2）求出导数，设出切点，表示出切线方程，根据“切线-轴数列”的定义即可求出数列的通项公式.
（3）由复数的概念、运算先表示出，再求出导数，设出切点，表示出切线方程，根据 “切线-轴数列”的定义即可求出数列的通项公式结合的定义以及模即可得证.
【详解】（1）由题意，则，设切点为，
则过切点的切线为，
令，整理得，
当是正奇数时，；当是正偶数时，；
所以当是正奇数时，；当是正偶数时，.
（2）猜想的通项公式为，证明过程如下：
由题意，则，设切点为，
则过切点的切线为，
令，整理得.
（3）由题意，则，
所以，
设切点为，
则过切点的切线为，
令，整理得.
【点睛】关键点睛：解决问题的关键是读懂新定义的数列，然后具体会求切线方程进行运算转换即可，综合性较强.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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